第05讲 数列求和（专项训练）（全国通用） 2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 系统覆盖数列求和9大主流方法，以题型为载体构建“基础-创新-实战”三阶训练体系，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础演练|35题|倒序相加、分组（普通/奇偶）、并项、错位相减、裂项（等差/根式/指数/相加）|从基本方法到变式应用，构建“方法-类型-运算”逻辑链| |重难创新|10题|奇偶分段并项、裂项放缩、子数列重构|融合跨模块载体，发展推理与创新意识| |真题实战|4题|分组、错位相减、裂项相消综合|对接高考高频考点，强化模型观念与问题解决能力|

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第05讲数列求和 目录 模拟基础演练… 2 题型01倒序相加法， 2 题型02分组求和法 (两数列相加) 题型03分组求和法（奇偶式） .8 题型04并项求和法 .11 题型05 错位相减法重 ,…3 题型06裂项相消法之等差型重 .17 题型07裂项相消法之根式型 20 题型08裂项相消法之指数型重 22 题型09裂项相消法之相加型滩 26 重难·创新演练… 28 真题实战演练.… 34 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模拟•基础演练 考查重，点：倒序相加、分组（普通/奇偶）、并项、错位相减、多类裂项求和，覆盖数列求和全部 主流方法，区分等差、等比、根式、指数等不同裂项形式，侧重式子变形、消项化简与分段分类运 算。 题型01 倒序相加法 1已区数高.克别起f0+日)-+片0，则做的 2x 通项公式为() 4*1 2 B.n+1 C.(n+1) 2 D.n(n+1) 2.已知数列毯}是公比为gg+)的正项等比致列，且h=0,者)，则 f6)+f6)++f@)F(,) A.4069 B.4046 C.2024 D.2023 已数闲-s9世，数a满-动2） ()求证： (+/-)为定值，并求数列0，的通项公式： 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4定义在R上的数满E)+/-=2,数列包满起“=o+f份+（月） 0 若存在n∈N”,使不等式+2n-a.+5≤0成立，则入的取值范围是() A.[2,+∞) B.3,+) c.[4,+o) D.5+) >题型02} 分组求和法（两数列相加） 重 5已知数列a, 是公差不为零的等差数列，a=3,4,“,4成等比数列. (①)求数列{a} 的通项公式： (②设么=0，+2 ,求数列的前”项和了 6.已知等差数列@，的前”顶和为，且满足4=2，a=8,数列满足41，b=3动 S b (1)求"和”； ②若，三+，求数列c的前n项和。 -+b 3/19 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.已知数列 ,是公差不为0的等差数列，4=2，且“.0，“成等比数列 (1)求数列 a,}的通项公式： 2若%=2+20， } 求数列的前”项和， 8.已知数列 a,的前”项和为，.=3”-，数列}是等差数列，且么=a,6=a (1)求数列 ,和} 的通项公式： (2)设，=4，+b, 求数列，}的前”项和 T 7 题型03分组求和法（奇偶式） 9.已知等差数列a的前”项和为，（∈N), 数列也，}是等比数列，4=1,6=1,6+S,=6,a-26=4 ①求数列a和的通项公式： 4/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2a1,n为奇数 2 (②若9 bn,n为偶数 2 ，设数列的前项和为2求7. n 米7 an+l,n为偶数 10.已知等差数列{a,}中a,=6,4,=12,且么 2,n为奇数· (1)求数列 a,}的通项公式： ②记数列，的前”和为，求的值（结果可以用幂的形式表示）· 1.数列a,的前n项和为5，满足25=3+n, (1)证明：数列 }为等比数列： an,n为奇数 (2)记cn=了 为偶数，求数列c,}的前2n项和7 2n 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 12.已知数列{a,}为等比数列，a=2,且a,4,44成等差数列： an} (1)求 “的通项公式： an,n为奇数 (2②若{a,}为单调递增数列，且。 1log2an,n为偶数，求数列{c,}的前2n项和T2n 题型04并项求和法 1B,设数列a,}的通项公式为0.=(-1旷(n-小os-1,其前n项和为5，则5m=() A.4041 B.-5 C.-2021 D.-4045 14.已知等差数列a,}的公差为1，且4,4，+1,2，成等比数列，则数列《-少}的前20项和为《) A.210或90B.210 C.-210或90 D.-210 15.设数列{a}的通项公式为4，=(2n-1)cos 2,其前n项和为Sn,则S= 16,已知5为数列a,的前”顶和，4-1,5=10，meN,且”≥3,4-a:=2 (1)求"： (-s (2)求 的值 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >题型05错位相减法 重 an+4,n为奇数 1已知数列a}中，4=14=1且2： 40n为偶数. 1 (1)求数列 a,}的通项公式： (2)若数列 么=，求6 的前”项和 18.已知等差数列a,和等比数列么的首项分别为1和2，a,的前项和为5，么>0，且“，么， 03 ba=Sa 成等差数列， 0求数列a.的通项公式： ②没9，=a,neN,求数列的前项和 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19。已知等差数列a的前”项和为3，且5=，4=7 ①求数列a,的通项公式， ②老=2”，令5=ah.求数列的前”项和 0斑数到列收的肯项=，月满E后-aeN) 1 (1)求证：数列an为等差数列，并求数列{an}的通项公式： 3” b.= (2)记 an,求数列{bn}的前n项和Sn. 岭题型06裂项相消法之等差型 重 21.设等差数列a的前”项和为5，已知4=4,3=21 ,的通项公武： (1)求 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B=-1 ②泥a,数到物的前”项和为，证所，<位 22.已知数列 ,为等差数列，数列，}为公比大于0的等比数列，且8=A=6+6=64+a,=26, (1)求数 a}和} 的通项公式： n为奇数 ②)设9 、1一 a,an+2 为属数：求数列c,}的前10项和。 23.已知数列a}中，4=l,满足-1=3a,(neN) 「1 (1)证明数列( a.+2是等比数列： 1 (2)设bn=log3(2an+1),Tn为数列bbn+1的前n项和，求Tn. 9/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1,1+1=2」 24.已知数列{an}满足 d=l,d2=2'd dm2 dae (①求数列（的通项公式”： ②若=a,a求数列个的前n项和 25.记正项数列a,}的前n项和为5，已知S.-色-3a+》 0求， a2+3 ☒记么-，殿列6的前项有和为，正明：工-a<号 2 7 题型07裂项相消法之根式型 1 d= 26.数列{a,}的通项公式为”Nn+1+(n+)Nn,则这个数列的前3项之和为() 8 7 A.9 B.9 c.3 9 D.10 10/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27.已知数列 ,的各项均为正数，前项和为5，且凸，a+5 (1)证明： { 是等差数列： (2)设 =(-)”2+) a,a1,数列亿n}的前n项和为T,不等式2<Tn对任意正整数n恒成立，求实数入的取 值范围. 8.已知各项郑是正数的敏列a,}其前n项和为s:4-1,且S-反-a+-山 0)求a,的通项公式 1+++=3 (2若b,=Va.+Va1,求证：bbb4. ●题型08裂项相消法之指数型 重 29.设数列a的前”项积为乙，满足 2an+Tn=1(n≥l,n∈N) bn=1+ (山设工，求证：数列也}是等比数列： 11/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设数列 满足.=27工，求数列c 的前”项和 30.已知数列a,满足4=1，且“a-a,+0=0. (①求数列o.} 的通项公式： (n+2)a, ②没，一+)2，求数列亿，}的前项和5 3引1。已知5为等比数列a的前”项和，若24，是4“和“的等差中项，且8=14 (1)求数列 a. 的通项公式： ②法a,+2a+2,且数别}的前0项和为，若<m恒成立，求乙的表达武以及m的取省范 围 12/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 只心数到a满足：4=8-号子 (1)证明：数列 (a,) 是等比数列； lal ②若8，(a+1a小+可，求数列化}的前n项和工 33.在数列 }中，4=4a1=3a.-6 (1)证明数列 a.-3} {a} 为等比数列，并求出的通项公式； 3 ②设3aa,记激列么}的前n项和S,证明：三<日 >题型09裂项相消法之相加型 难 34。记5是公差不为0的等差数列a,的前”项和，已知+3a,=5,4=8,数列}满足 b =3b-1+2"(n22)b=a-1 ,且 ①求a的通项公式 13/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ®证明：数列修+小是等比数列 4n 若数列c}满足9-（ (a,-)(a1-),求{c}的前n项和的最大值、最小值 S4-S2=1 35.己知数列{an}的前n项和为Sn,且a=1,n+1n2 0求 6.=（-1)2n+1 (2) a.a1,求数列也.}的前n项和。 重难·创新演练 设题创新：融合奇偶分段并项、错位相减、裂项放缩，结合斐波那契、导数跨模块载体；新增子数 列重构、求和恒成立求参、求最小正整数，融合不等式综合，强化分类讨论与最值分析。 1.【新角度】（2026山西大同三模)已知数列a清足41，a+0=2n+3 ,则 14/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a1+a2+a%3+…+a13= b.=- 2.已知数列{a}的前n项和为Sn,且Sn=m+3n,设aVa1+a√a,,T,是数列bn}的前n项和， 若>6，则正整数n的最小值为() A.30 B.31 C.60 D.61 3.【新考法】己知数列a,的前”项和为5，a+-ra,=2n+1,则S 4【新情】数列a1,1,2,3,58,13,21,4,称为斐波那契数列，该数列是由意大利 数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”， a,清足4=41，a,=a+a:(n之3.neN),则+a+a+,+…+是斐波那契数列的第 项 5. 2S-1=2a.-" 【新考法】数列a}的前n项和为S,若n 对任意n∈N恒成立，则台 (-y(2a-a) 6已知等比数列a的前”顶和为S,满足5m=2,+1,neN 求数列a,的通项公式 1 ②宏血=受，且数列b山的前n项和为7，求证：≤工<3， 15/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7。【新考法1已如等发数列@中，a=5, ,前8项和为80. ④①求a}的通项公式： ②从o 中依次取出第 识2、原，按限预学排胶一个新数列，若+，水数列 }的前 n项和 8.【新载体】(2026四川绵阳模拟预测)已知数列 ,的前”顶和为，3改，=4如，2. ①证明：数列a,是等比数列，并求出通项公式： (2)设函数 闪子的导函数为四，效刻他满足=了a.求数对的前限和易 9已知等差数列a,的首项41，且4,4.“成等比数列、公差d+0. ①求数列a的通项公式： 16/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a听a,记数列{b}的前n项和为T,若不等式-21>T,对任意的n∈N恒成立，求实数t的 取值范围。 S l0.（2026陕西榆林·模拟预测)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a,=1,数列an是公差为3的等差 数列 ⑩求a,的通项公式： 262 (2)设a1,记数列b,}的前n项和为Tn,求使得T,>120成立的最小正整数n的值. 小真题实战演练 高频考点：分组求和、错位相减、裂项相消、奇偶分段求和、并项求和；高考多选、解答题第二问 高频考查，中档综合题型居多，突出奇偶分类、不等式放缩、多方法混合运用热点。 17/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 an-6,n为奇数 1.(2023新课标Ⅱ卷高考真题)已知{an}为等差数列， bn= 2an,n为偶数，记Sn,Tn分别为数列{an}, b. 的前n项和， S4=32T=16 0求a,的通项公式： ②证明：当>5时.7>8 2,2022新高老全国【卷高老真题)记S为数列2的前2项和，已知4三1/ an是公差为3的等差数 列. 山)求a,的通项公式： 12 +1++ (2)证明：4a2an. 3.(202天津高考真题)设a}是等差数列，6}是等比数列，且4=6=4么=46= ①求a,}与a的通项公式： 18/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②没a,的前项和为，求证，（代.+a=5-5 2[a-(-a,]b, (3)求 4.(2026:天津·高考真题)已知等差数列 与等比数列么清足：4=2，么1，，=4+血. as=b3-b ①求数列a,6的通项公式 ②记E,=红eRr≤n,3keN,x=“或X=6,记S为中的元素个数。 ①求： 西求2豆r吃 19/19西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第05讲数列求和 目录 模拟基础演练… 2 题型01倒序相加法， 2 题型02分组求和法 (两数列相加) 题型03分组求和法（奇偶式） .8 题型04并项求和法 .11 题型05 错位相减法重 13 题型06裂项相消法之等差型重 .17 题型07裂项相消法之根式型 20 题型08裂项相消法之指数型重 22 题型09裂项相消法之相加型滩 26 重难·创新演练… 28 真题实战演练.… 34 1/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模拟•基础演练 考查重，点：倒序相加、分组（普通/奇偶）、并项、错位相减、多类裂项求和，覆盖数列求和全部 主流方法，区分等差、等比、根式、指数等不同裂项形式，侧重式子变形、消项化简与分段分类运 算。 题型01 倒序相加法 1已区数高.克别起f0+日)-+片0，则做的 2x 通项公式为() A.141 B 2 C.n+) n+1 2 D.n(n+1) 【答案】B 【乐10E0-小2别--？ 数到a满足4=fo+/日/)+〔00 又a,=f0+(片+f"片2++f日+o)@ ①+②： 2a,-[o+f0-[+】+[0+o]=24a*+ 得8n+1 故选：B. 2已知数列6是公比为qg的正项等比数列，且h4,=0,若广闪)=十，则 2/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f6)+f色，)++f(b)F() A.4069 B.4046 C.2024 D.2023 【答案】B 【详解1白数列他是公比为2阳的正现等比数列，故2>0。 In bi012 =0 o2=1 又 ,可得 所以 ·b2023=b2·b202=…=b2023b=1 4 4x2 由(+，则 x 所以)+/日=4。 所以f6)+f6as)=f（么，)+f)==fn)+f6)=4 则2[f6)+f6,)++f6m]=[fb)+fm月+[f6,)+f6]++[f()+f6】 =2023[f(6)+f(b3)]=2023×4=8092 故f6)+f6)++f6）=8092=4046. 2 故选：B 3.已知函数 数别清“=会+ (y小=1g20-10 (1)求证： )+f-为定值，并求数列a 的通项公式： 11 1 ②记数列a,0的前n项和为T,求证：3≤7，<2 【答案】①证明见解标，8，=2n-】 3/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明见解析 【分析】 【详解】()由题意得/)+f1-)=1g20-10x+1g 10+10x 1+x 2-x =1g(20-10xx10+105)=1g100=2. 1+x2-x 则a=++++2马】 2 2n 2n 2n 照-223+234， an=2(2n-1)）an=2n-1 两式相加得 ,即 11 111 (2)由题意得a,(2n-l(2n+)22n-12n+, 则” n1. f(n)=-1 令 1 2+ ,因为反比例函数y在[化切)上单调递减。 n n 1 所以m在[心，+∞)上单调递增，即工在[L,+切)上单调递增，故3≤7<2得证 4定义在R上黄/满是(0-=2.数别a满足=o+/日) 0. 若存在n∈N,使不等式n+2n-a.+5≤0成立，则入的取值范围是() A.[2,+∞) B 3.+) c.[4,+o∞) D.[5,+o) 4/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【详解】因为对任意x∈R,有f(x)+f(I-x)=2, 数列a=fo+f月)[+"f0aeN)o. 将0式倒序得：马，=m+元…+/得f0@ ①+②得： 2a-[r@+/0]r[日/】+-[v0*o=2* 因此，=n+1n∈N) 将a=a+1代入不等式，整理得：存在1eN,使羽2+5。 n+1成立. +2n+5_m++4=6+0+4 =4 因为n+1 n+1 22m+1x4 +1 +1, 当且仅当n+1)=4 =n+1时等号成立，解得n+1=2: n2+2n+5 即n=1时n+1有最小值4'故≥4，即2的取值范围为[4，+o) >题型02分组求和法（两数列相加） 重 5.已知数列 a是公差不为零的等差数列，4-3.，，“成等比数列 ()求数列a, 的通项公式： (2②设%0，+2 b} S ,求数列的前”项和 【答案】①”=3n 3n2+3n,8+-8 (②)S=2 7 5/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】(1)设等差数列 的公差为，d+0。 由4=3.4.0，“成等比数列，得 a=ads 即(3+3d)=(3+d3+7a) 解得d=3或d=0(舍去). 所以0，=3+(n-)x3=3n (2)由1)知8，=3n 所以名=3办+2 从而数列么的前”项和 Sn=(3+6+9++3n)+(23+26+…+2m） =n3+3m）8×1-8） 2 1-8 3n2+3n,8+1-8 2 7 6.已知等差数列a的前”项和为5，且日满足4=2，a=8,数列么满足4=1，=3站. S.b (1)求“和”： 1 +bn ②若5，三+也，求数列的前m项和 【答案】)=n(n+)么=3 } 【详解】（山设等差数列1a,}的公差为d,则d==2, 6/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由等差数列求和公式得Sn=na nn-)d=2m+n(n-0, 2 S,=n2+n 化简得 b1=3 因为b1=3b且=1≠0，所以b。是常数， 因此是等比数列，设其公比为9，则9=3， b. 即数列仙是以么=1为首项，9=3为公比的等比数列， 。=bg"=3"- 由等比数列通项公式得 所以3=n+n么=3 1 设数列，的前”项和为，则 T=c+c2+c3+...+Cn [目g传日8+) =3+n-1 2+n+12 3",n1 所以数列{c,}的前n项和为2+n+2 7.己知数列 ,是公差不为0的等差数列，4=2，且“，4，品成等比数列 (1)求数列 a,} 的通项公式： 7/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若=2+2，求数列么}的前”项和 .} 【答案】(0%，=2n ②3，=44+2aa+） 3 【分析】 a.}的公差为 (d≠0) 【详解】(1)设数 因为4,4， 成等比数列，所以4=44 0 又% 2,所以(2+2=2(2+8d ,解得d=2或d=0(舍去)， 所以0，=4+(m-)d=2+2(n-）=2n 国斑 的通项公式为0，=2n n=2.+2an=4”+4n (2)由(1)知 所以=6+6+…+6，=4+4x1+4+4×2++4+4n =4+42+…+4"+4×1+4×2+…+4n=- ，4-4）n4+4n_4=4+2n(a+10】 1-4 2 3 所以8-4,4+2aa+) 3 8。己知数a的前”项和为5以，-3-，数列6是等差数列，且4=4,6=。 求数列a和私} 的通项公式： ②设，=a+,求数列仁的前”顶和 8/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】0)2，=2×36=4n-2 ②7=3+2m2-1 【详解】（山）当”=1时，4=8=3-1=2 当n≥2时，a,=S,-5-(3°--(3-1)=3-3叫=2x3 经检验，n=1时符合上式， 所以，0=2x31 b=a1=2,b2=a2=2×3=6 由上可知， 设的公若为4，则d=6-6=6-2=4 所以，么，=么+(m-d=2+n-1x4=4n-2 即6=4n-2 (2)由(1得，=a,+6,=2×3-+(4n-2) 则数列，}的前”项和为 Tn=(a,+2+…+an)+(b+b2+…+bn) 7=3+n6+6) 2 7,=(3-1)+n(2+4n-2) 2 Tn-3”-1+2n2 所以，数列0的前”项和7=3”+2-1 9/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 题型03分组求和法（奇偶式） 9.已知等差数列a,}的前”项和为 (aeN）.数列}是等比数列，4=1=L么+S=6a-2=a (1)求数列 和} 的通项公式： -2an1,n为奇数 2 (2)若9 为偶数，设数列}的前，项和为。'求.’ 2 (3)求· 【答案】()%，=2n-16=2 22=-2m2+2-1 n2 +23 T= 2 n为奇数 (3) n2 +22-1,n为偶数 【分析】 【详解】(1设等差数列a ,的公差为，等比数列，的公比为9g≠0) a=1,b=1,b2+S2=6,a5-2b2=a3 9+1+1+d=6 1+4d-2g=1+2d [d=2, 解得9=2， .an=2n-1b,=2-1 10/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Tn=G+C2+…+C2m-1+C2n (2) =(G+G3+…+C2m-1)+(C2+…+C2n) =-2(a+a2+…+an)+(b+b2+…+bn) =-2(1+3+…+2n-1)+(2°+2+22+…+2-1) =-2n2+2"-1 （3)由(2)可知万。=-2m2+2”-1 若n为偶数，则 22 22+22-1=-n2 +22-1 2 若”为奇数，若 n=1,Tn=-2a1=-2 若n>1,则=7+e=+20学 -2,+2号-1+(2m 2气2 +23 n2 3 -n+22- n为奇数 T,= 2 综上， 2+22-1n为偶数 n2 an+l,n为偶数 10.已知等差数列a}中4=6,4，=12，且么= 2,n为奇数 (1)求数 a,}的通项公式： 11/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②记数列，的前”和为乙，求的值结果可以用零的形式表示)· 【答案】(0，=2n 4-4+230. ②15 【分析】 a3=a,+2d=6 a=2 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d,则a。=a+5d=12,解得d=2, 所以8，=4+m-)1=2+(m-1)x2=2n (2)由(1)知，当”为偶数时， b.=an+1=2n+1 ；当”为奇数时， bn=2.=22m=4 所以T0=6+b+b+…+b0 =(b+b+…+bg)+(b2+b4+…+b20) =(4+43+…+49）+(5+9+…+41) 41-16）(5+41)×10 1-16 2 421-4 +230 15 11.数列o, 的前项和为，满足 S,=3n2+n (1)证明：数列 .为等比数列： an,n为奇数 (2)记= 为偶数，求数列仁，的前2n项和7 2n T 【答案】()证明见解析 12/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23m*2-4 ②.=3n2-n+ 7 【分析】 【详解】)因为28.=3折+n,故8-30+”。 2 [2,n=1 {-8n≥2放23m+n3-+n- [S,n=1 而0n= 2 ,n≥2， 2 2,n=1 得a.=3n-1n22,即a,=3n-l, 整理得“ 故b,=21,所以b =8，故数列6，}为等比数列： 3n-1,n为奇数 (2)由(1)可得cm= 2,为偶数' 2n=G+C3+…+c2m-+C2+c4++C2n 故 =2+8+…+6n-4+22+25+…+21=n(2+6m-4)41-8） 2 1-8 =3n2-n+ 23m+2-4 7 3 12.已知数列{an}为等比数列，a,=2,且a2,a,44成等差数列 {an} (1)求”的通项公式： an,n为奇数 (②若a,}为单调递增数列，且，一log,4,为偶数，求数列C,}的前2m项和7 【答案】（①）0=2×（白）-1 ,或an=2" 13/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22m1-2 (②)Tn= 3 +n(n+1) 【分析】 3 【详解】(1)：a24,40成等差数列， 3 :.2a=a+4a4, an3 又0，为等比数列，设公比为9， 3 :.2a9=ag+409, 解得9=3，或q=2 2 当9=5时，4=2×写：当g=2时，a,=2: 综上所述，4=2x,或a=2 (2)由题意，可知 an 2m 2”,n为奇数 :9s n,n为偶数 T2n=C+C2+C3+C4+…+C2n-1+C2n=(G+C3+…+C2m-)+(C2+C4+…+C2m) =(2+23+…+22m-+(2+4+…+2) =20-4)+n2+2m 1-4 2 21-2+nn+0 3 题型04 并项求和法 1日.设数列a}的通项公式为9，=(-少(2n-小cos-1,其前n项和为S,则5=(） 2 14/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4041 B.-5 C.-2021 D.-4045 【答案】D 【详解】当n=4-3或n=4-1,kN时，cos受=0，a=a1=-1, 2 鸣n=4k-2,kEN时，cos7=，,82x铁-2x-1E-8+4 2 当n=4,kEN时，c0s7=1,a4=2x4-1-1=8-2 .a4k-3+04k-2+a4k-+a4k=0 ∴.S202=S2020+a2021+a2022=a2021+a2022=-1+(2×2022-1)(-1)-1=-4045 故选：D 14.己知等差数列a,}的公差为1，且4,4，+1,2a成等比数列，则数列《-)少}的前20项和为（) A.210或90 B.210 C.-210或90 D.-210 【答案】B 【详解】设等差数列 a 首项为”，已知公差d=1,故0=a+-), 因为4.4+1,20， (a5+1)2=a32a6 成等比数列，由等比中项性质： 代入表达式得： (a+5)2=2(a1+2)(a+5) 整理得： (a,+5)(a-1)= 0,解得4=1或4=-5， 者95 则%+10 等比数到不能合0项，故会去-一5仅保留品，数，=20 数列-ra3的前20项和分组得：5。-（←a+a)+(g+a)++(6+a). 对每组用平方差公式： a2-a2-1=(a2k-a2k-1)(a2k+a2k-i)=1(a2k+a2k-i) 因此：S20=4+a2+a3+…+a0 201+20)=210 2 15/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15。设数列a}的通项公式为4.=(m-小cos受，其前n顶和为3：则5。 【答案】100 【详解1当n=4-3或n=4秋-1，keN时，Q受=-0，a=44=0 当n=i-2keN时，o受=-，aa=2x4钻-2-小x)激+5， 当=4秋：人eN时c0s经=1au=2x4秋-1=8新-1 2 :0+a2+a+a4=4 :8w=25x4=100 故答案为：100， 16,已知5为数列 }的前”项和，a1,S=10,meN,且n23,a.-a,=2 求 2-s (2)求 的值 【答案】()，=n (2)110 【分析】 【详解】(1)依题意， a=1a3-a1=2 ,则 0=3 又%-4=2 所以02+4， 4=a+a2+a3+a4=10 6+2a2=10 又 ,所以 解得%2 则数列a}中所有的奇数项是以4=1为首项，公差为2的等差数列， 16/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以0=1+20n-0=2n-1 ，即n为奇数时， an=n 数列}中所有的偶数顶是以4=2为首项，公老为2的等差数列， 所以0。=2+20n-1)=2 ,即”为偶数时， a=n 所以8=n ②由)可知及-g.(r8北4， 则2-1ys=2×[（-1P+2-32+4--192+20）+(-1+2-3+4--19+20] =2×[2-）+(4-3）+…+(202-19）+2-+4-3)++20-19列] -e7+0+10-0g90 2 =110 题型05 错位相减法 重 an+4,n为奇数 n+2=了1 17.己知数列{a}中，a=1,a,=1,且 an,n为偶数 4 (1)求数列 a} 的通项公式； {b} b} (2)若数列 中， b=an-aa,求 的前”项和 2n-l,n为奇数 1 n-2 【答案】山 ,n为偶数 ②5-2812+7 9 9.4 【分析】 17/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】山当n为奇数时，设a=2改-收eN),则a==,+4=44:且=”。 2 所以数列aeN)是首项为4=-1，公差为4的等差数列， 放a,=0=a+4k-)=1+4-4=4k-3=4×”生-3=2n-1 2 11 当n为偶数时，设n=2kkeN'),则k=分，a2=42=4=4, 所以数列{a,}k∈N)是首项为a,=1,公比为4的等比数列， 前24=a(目- 2n-1,n为奇数 1 1n-2 综上所述， 2 ,n为偶数。 ②由可数a-20-少-1=如-3.%月-得门 3=+5+94-3 404+4+…+ 4-1①， 1 4- 4”②， 11 D@S1+4 （442+… ）4n-3,1- +4-厂4" 2=1+4_4n-3_712n+7 1-143349, 4 化简得8-答 18、已知等差数列a和等比数列么的首项分别为1和2，a,的前见项和为3，>0，且”，么， 18/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b4=S4 成等差数列， ①求数列a}、6}的通项公式 ②没，=a么，neN,求数列的前n顶和了 【答案】0，=2n-16,=2 (②7=(2m-3)2+6 【分析】 【详解】(1)设等差数列 ,的公差为d等比数列么}的公比为g, 2×2g=(1+d)+(1+2d), 依题意得 2g3=4 4×3d. 2 d=2, 又b.>0,解得9=2 所以0=2n-16=2” (2)设9=a,6=(2n-1)-2“ 所u7=12+3x245x2++0a-32+0-小-2,0 2Tn=1×2+3×23+…+(2n-3)2”+(2n-1)2m ,② ②-①得： Tn=(2n-1)2"+-2×(2+23+…+2"）-2 =(2n-1)21-22+8-2=(2n-3)2+6 即数列，的前项和=(2m-3引-2+6 19/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19。已知等差数列a的前”项和为3，且5=，4=7 ⑩求数列a} 的通项公式： (2②若么=21 令9，=b,求数列c的前”顶和了 【答案】（①，=2n+1 ②7=(2m-2+4 【分析】 【详解】(1)设等差数列 ,的首项为”，公差为d, a1+2d=7 4a1+ 2 a+2d=7 即4a+6d=6a,+3d, 解得4=34=2 所以，=3+(n-10x2=2n+1 因此数列包，的通项公式为4=2m+1 (2)0=ab=(2n+1）-21 T,=3×22+5×23+7×24++(2n+1)×2 2T,=3×23+5×24+7×25++(2n+1)×2*2 所以7-27，=12+2(2+2++2）-(2n+1x2 20/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =12+2× 20-2）-（2m+10x22=0-2m22-4。 1-2 即7=0-2加)22-4 所以7=(2n-022+4 20.己知数列a}的首项4=1，且满足 ne) 1 (I)求证：数列anJ为等差数列，并求数列{an}的通项公式； 3” 一。，求数列么}的前n项和5 (2)记” 1=4+11-1=4 【答案】(1)由 4a+1,相4+，即84 了1 又a,∴.an为等差数列，首项为1，公差为4； 1-=1+(n-1)x4=4n-3 1 由a 得0,4n-3 @5-》g+月 2 【分析】 【详解】(1)略 (②由(1得2=(4n-3)3 3.=1x3+5x32+9x3++(4n-73+4n-3)30. 21/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3Sn=1×32+5×32+…+(4n-7)3”+(4n-3）31 ②)， -2Sn=1×3+4×32+4×33+…+4×3”-(4n-3）3m+1 ①一②得， =3+4× 30-）-（n-3列3=6-4n）3-15. 1-3 3=4n-5）.3+15 2 2· >题型06裂项相消法之等差型重 21.设等差数列a的前”顶和为5，已知8=4,3=21 (求a的通项公式： b=1 ©记Qa,数列6}的前n项为了，5两：复日 a =3n+1 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 3=3a2=21 【详解】(1)解：因为 02=7 ,所以 94 ，所以公差d=7-4=3 所以0，=4+3(1-)=3n+1 1 111） 2由a知Bn+la+3n中3n+4. 所工=4热6得片0司】 22/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 据4ab 2.已知数列a,}为等差数列，数列，}为公比大于0的等比数列，且4=4=l6+6=64+a,=26, 四求数列a和} 通项公式： 6 n为奇数 (②设1 1 aan+2 内偶数：求数列c}的前10项和S 【答案】()0，=nb=2 8189 (②24· 【分析】 【详解】（山令}公比为9且9>0，则4g+6时=9+矿=6， 2+9-6=0 整理 ，或93 解得9=2 （舍去）， 放么=g1=2 又4+a,=26,令fa,的公差为4，则a+d)+(a+d)=8. 所以2+6d=8,可得d=1, 故2，=a+(u-)ad=n 11=111 (2)由a.a+2n(n+2）2nn+2 所以S。=么++么++++1 aa asd6 41o412 -般》2++品司 21012 23/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -+…2提6+0司 期司 1023,58189 324241 23.已知数列a中，4=1满足-1=30.(neN)】 〔1 an (1)证明数列 2是等比数列： 1 (2)设bn=log3(2an+1),Tn为数列bbn1J的前n项和，求Tn. 【答案】0a.+1得4+分3品+ 3 13 又4+22 =二≠0 1 13 所以口，+2引是以4+22为首项，3为公比的等比数列： 四g 【分析】 【详解】(1)略； 2)由1)可知a,+)3×3-3 22 2,所以2a,+1=3”, 所以么，=lg,(2a+)-1og,3”=n 1111 则b.b1n(n+l)nn+1, 24/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以--》》+日中1 1,1+1-2 24.已知数列{a}满足 d=1.da=2'd a 四求数列”的通项公式”： 四芳么=a,求数列的前n项和. 1 【答案】(1)an= n 311 (②)42n+22n+4 1+1=2 1 【详解】(1)a。a2a,则数列a.为等差数列， 1=11=2 1 1_1=1 又a,a,数列a.J的公差为aa, 1=1+a-1)×1=1+a-1)= aa , 8-a02） 1 (2)由(1)知0.=n,所以 ++s+-0-合r目》-日】 所以 +时2 25。记正项数列a,}的前n项和为5，已知S.=色-3a+5》 4 求： 25/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如9 .1 。1,数列，的前n项和为，证明：了，-”<2. 【答案】(0)0，=2n+3 (2②由(1)知，=2m+3 6g+3 由”a2-1, 为子-i8 4 题别%的。系工么R中] 111 因此，7.-n=2n+22 【分析】 【详解】山少由正项数列a}:前n项和S,-a-3+ 4 当m=1时，4=S=色-34+5) 4 2-2a-15=0 整理得 解得8=54=-3) 舍去 当n≥2时，5a-3+5) 4 26/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以a,=5-31-a,-3a,+)-(a1-3a+5) 4 即4o,=a-a+2a.-2a 整理得a+a-0,-a1-2)=0 因为>0，所以8，-a-2=0,即a,}是首项为5，公差为2的等差数列， 所以数列 a 的通项公式为0，=5+(-)x2=2n+3 (2)略 7 题型07裂项相消法之根式型 1 an= 26.数列{an}的通项公式为”Wn+1+(n+l)Vn,则这个数列的前63项之和为() 8 A. > c. 9 B.9 D.10 【答案】C 1 1_Vn+1-√n11 【详解】依题意，a,nVn+'n+1+Vnn+i元n+i, 南意老前之新。-女石子 故选：C 27.已知数列 a} 的各项均为正数，前项和为，且4=1,0=S+S (1)证明： {} 是等差数列： =(←1)”-2(4，+1) (2)设 a,a1,数列亿n}的前n项和为T,不等式2<Tn对任意正整数n恒成立，求实数入的取 27/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 值范围。 【答案】0在正项数列a中，+尽=4=S-S.=(5+v反X5-反) 则S-反=1，所以《是等差数列 四4<号 【分析】 【详解】(1)略 (2)由(1)知， 等差数列《的首项=瓦=l,公差4=1，则V反=”，S=心， a1=n+1+F=2n+1=2n+)-1,于是0，=21-1，而4=1满足上式， 4n 因此a.=2n-1,6,=(-) ye-an6r, 4n+1, 玉不11 1 ”4n-1, 显然Z>1>,且数列江，}单调递增，7.≥？=4 5, 因此)=乃=5，又不等式元<7对任意正整数n恒成立，则<专 4 5 所以实数入的取值范围是< 5 8。品知务项都是正数的数列a},其前n项和为s,4=1,且S,-反-包+，-少 )求a的通项公式： 1,1 1 -=3 (②)若b,=Va。+√a,求证：么b,b4. 28/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)，=2n-1 ②证明：由(4)得么，=V2n-1+2n+7 所以方2-+2T产-n可.】 1 1 11 +…1 1 所以五b +…+a5++5+5++49+④7 裂项得5-)+5-5)++-可列西-)=3，证毕 【分析】 【详解】（山由题意得45，-4S,=a-1 所以2S,-=a,又数列a,}是各项都是正数的数列，a=1, 所以2-1=0，45，=(a,+1 当n≥2时，有48.-45.=4a,=+2a-a-2a, 所以2a+a)=c听-正=a.+aa,-a） 所以4。-a=2,故数列a是1为首项，2为公差的等差数列， 所以8=2n-1 (2)略 >题型08裂项相消法之指数型 重 a2an+Tn=l(n≥l,n∈N) 29.设数列 ,的前”项积为乙，满足2 1 bn=1+ (1)设 T,求证：数列b.}是等比数列： 29/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设数列 满足.=27工，求数列 '的前”项和。 【答案】(1) 当1时，南2a+7=1n7=6可得4=，所以4，工-》 当≥2时，由7=70得0.(2+7)=1 1 所以当n≥2时结合4=3，了= 3 可得当neN an≠0Tn≠0 时， ，故 所以0n= T' 代入已知条件2a,+T=1,得2·+T=1 2+1=11 2 2 两边同除以工，得7T,即工 =1+ T 由么1+ 1 =1+1+2=21+ 1 n,得 T =2bn 是等比数列 所以数列” 1 又6=1+ =1+3=4 故数列么是首项为4，公比为2的等比数列 1 1 ②S.=322-1 【分析】 【详解】(1)略 (②)因为数列么是首项为4，公比为2的等比数列所以么=421=2 30/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为6-1，所以1+2” 1 从而T,=2i-1,则722-， 2+刊 .=27,72-122-0, 所以 1 1 故Cn= 21-12*2-17 所u8-传引号动-） 11 解得S,=322- 30.已知数列 且00，-a,+a1=0 满足只1 a ①求数列a的通项公式。 (n+2)a ②没么=a+2,求数列色}的前n项和3 1 【答案】)a,- 1 Sn=1- (2) （n+1)2” 【分析】 an+1an-an+anH=0→an-anl=an+1an→ 1-1=11=1 【详解】(1) antl an,a, an是以1为首项，1为公差的等差数列 31/53 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :1=1+n-1=n a=1 n 、1 1 (2) 8-taga+gpj =1n+1)2 31.已知S为等比数列a,}的前”项和，若20是4a:和“的等差中项，且3=14 ①求数列a,的通项公式， b= (②)若(a,+2)(a1+2),且数列b.}的前n项和为T,若T,<m恒成立，求T的表达式以及m的取值范 围 【答案】（①=2”，neN @7-42+2,m≥ 11 4 【分析】 【详解】山设数列a}的公比为9(g≠0)，由a,2a,a成等差数列可得a,+a,=a, 放4+92=4 9=2 ,解得 a1-2） 由S=14,得1-2 =14,解得4=2， 32/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 放0 2,即数列a的通项公式为，=2”，neN 2" 11 (2②由4)可得a,+2a+22+22+习2+22+2. 做x-6g0001242 11 易知2+2单调递减，故7，-42+2单调递增， 111 即亿}为递增数列，则7，≥7=4612· →n味00，所以-片 1 1 故2，<4，所以m≥ 1 1 4 32,已知数列{a,}满足：4=1，S,=01 )证明：数列a,)是等比数列： lal (②若(a+1)a+可），求数列，}的前n项和工，. 【答案】(1)证明见解析 2 ②1-2°+1 【分析】 【详解】1n=1时。4=S=名2a 334,解得4=-1 2 30+50,化简得a= 2 2 n≥2时，a,=。-Sn1= 20, 11 又4=2-24， 所以{an}是以1为首项，一2为公比的等比数列： 33/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②由4可01(=( 1 20- g可0到 u-g2】 1、、2 2"+1· 38.在数列a}中.4=4a1=3,-6 ①证明数列a,-3》为等比数列，并求出a的通项公式， 3- ②设3aa,记数列色，}的前n现和S,证明：<日 b= 【答案】①证明见解析，8，=3+3 (2)证明见解析 【分析】 【详解1山由2=30-6，得到-33a-》,又8=4,8-3=10， 所以数列a,-3》是以为首项，3为公比的等比数列 则0-3=3 ·得到0=31+3 ·所以数列包 的通项公式为0，=3”+3 34/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3- 1(1-1 (2由4)知a.=3+3,所6+3g+23+33+3, 11111 则S= 21+33+33+33+3+…+ )好中 1 1 又3”+3>0，所以5 ~题型09裂项相消法之相加王难 34。记5是公差不为0的等差数列a,的前”项和，已知+3a,=5,a4=8,数列他满足 b,=3b.-1+2"(n22）。b=4-1 )求a的通项公式 证明：数列各+ 是等比数列： 4n (3)若数列c}满足 (a。-1(a-),求{c}的前n项和的最大值、最小值 【答案】0%=2m (2)证明见解析 4 (3)最大值为3，最小值为5 【分析】 (d≠0) 【详解】(1)解：设等差数列 a,}的公差为 a+21+3(a+3d)=5a+5x4d 2 由a+3a4=S,得 ，即a=d ,解得a=2 ads =S a(a+4d）=4a+4x3d 2 a +4ad 4a,+6d d=2 35/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以，=2+2(n-1）=2n 2)解：由(1)可知6=a-1=1,则)+1=) bn_3b1+1 由b,=3b1+2(n22),可得2°=22+2’ 所+1引+ n≥2' 3 所以数列2”是以2为首项，2为公比的等比数列： 4n (3)解：由(1)可得“ 角5=（少a-a-可(-y2w-2-可 4n =( a8rga-(r司 4n 设c,的前”项和为”，则 W g-+6+6目)传传》(r(高y 所以，当n为奇数时。化=1+2十，形随若n的增大面减小，可料<形≤号 1 4 当n为偶数时，m,=1 2n+1W随着n的增大而增大，可得写≤所<1 4 4 所以w的最大值为3，最小值为5 S-S=1 35.已知数列{a,}的前n项和为Sn,且a=1,n+1n2 (1)求 6=(-1)2n+1 (2)若 aa1,求数列也.}的前n项和 36/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】①S,=nn+凹 2 ②1* n+1 【分析】 S-S=1 【详解】()因为n+1n2,且a=l, S 可知数列 n 是以首项为=1，公差为}的等差数列， 则=1+5n-)=”+ n 2,所以S=n(n+) 2 (2)由1)可知：3=n+) 2, 当n2时，测a=8-5=.2》 2 2 且4符合上式，所以2=”， y(rr 可得 设数列么的前项和为。 -传…(r- 所以数列凸，的前n项和为1+二 重难创新演练 37/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设题创新：融合奇偶分段并项、错位相减、裂项放缩，结合斐波那契、导数跨模块载体；新增子数 列重构、求和恒成立求参、求最小正整数，融合不等式综合，强化分类讨论与最值分析。 1.【新角度】《2026山西大同三模)己知数列a,}满足4=1,0+a,=2n+3 则 a1+a2+a3+…+a13= 【答案】103 【详解】由题意得，4+a+a+…+ag=a+(a,+a)+(a,+a,)++(a+a） 1+7+11+..+27=1+20=103 2 1 b=- 2.已知数列{a}的前n项和为Sn,且S。=+3n,设”aVa1+a1Van,Tn是数列b}的前n项和， 若高，则正整致n的最小值为() A.30 B.31 C.60 D.61 【答案】B 【分析】详解】因为5，=+3n,当n=1时，4=4：当n>1时，S=(a-旷+3a- an=Sn-Sn1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2 综上8*2n+2 ； 1 bn=- vama-yan arvam+drva varvaa+a)varva (d-a) 因为01-0，=2 38/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a店+点点而皮a 1、3 即2n+48,即2n+4>8→2m+4>64, 解得n>30,故正整数n的最小值为31. 3.【新考法已知数列a的前”项和为，0，+-少a,=2n+1,则S= 【答案】324 【分析】详解】由01+()少a,=2n+1 当n为奇数时，n+1为偶数， 则01-a=2n+102+a1=2(n+1)+1=2m+3 两式相减得2+0，=2 当n为偶数时，n+l为奇数， 则01+a,=2n+1a2-a41=2(n+1)+1=2n+3 两式相加得：+a,=4加+4 则54=(a+a+a+a++a1+a)+(a,+a+a,+a,++a+a4) -2x6+[4x2+6+10++18+2)+4×6]=12+4x6x2+2）+24]-324 4.【新情境】数列a}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列，该数列是由意大利 数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”， 39/53 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a}满足4=4=，8=4+a(a23,neN),则+a+8+++a是实彼那奖数列的第 项 【答案】2027 【分析】详解】由题意知， a,=a+am-2n≥3.neNy 所以0=a,-a2n23.neN 所以4=44.0=4，-4， 02026=02027-02025 ,“, 由累加法可得+a+a,++aas-(a,-a)+(a-a,)+(a-a,)++(am,-aa)=am-1 +a2+a4+a6+…+a2026=1+a2027-1=a2027 则 +a2+a4+a6+…+02026 所以 是斐波那契数列的第2027项. 5. 【新考法】数列a,}的前n项和为Sn,若n m-1=2a.- 对任意n∈N恒成立，则台 (-j(2a-a） 【答案】1013 【分】】由起设得。又网g,发S-a-以4 2 u2-8-ea.gla.a0,a1, 2am-an=an+1 觉（-1y(2a-a)=-a,++(a+1)-(a,+0+-(as+0+aam+0 所以 =(a3-42)+(a5-a4)++(a227-a2o26)=1013×1=1013 40/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6,已知等比数列a,的前”项和为3，满足S=25,+1,neN (1)求数列 a. 的通项公式： ∫1 ②法久=受，且数对列b功的前n项和为1，求证： 4≤I<3. 【答案】（①，=2 (2) 验心期或司 6,-1% 因t=20-村+片中20分点 n-1n+1nn+21 2n+1n+2 =3-2以中，到-无=南0，甲数列7是通数列 -中妇0，所 4 【详解】(1)由 =2,1,得8=28+1422 两式相减得 3-5=25,-25,则 d antl 2an 由数列a}是等比数列，得数列a的公比为9=2， 2=2S,+1a1+a2=2a1+1 42=41+1 方法一：由 ，得 化简得 则2a=4+1,解得4=1，所以数列a的通项公式为0=2 方法二：由5=28.+1，得90-2”-2.40-2”+1. 1-2 1-2 a,(2m1-1)=2a,(2”-1)+1 ·解得91 41/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以数列 的通项公式是“，=2 (2)略 7.【新考法】已知等若教列a,中，4=5， ,前8项和为80. 四求o} 的通项公式： ②从a中依次取出第39,27，3，项，按原顺序排成一个新数}，若5，=+，求数列c的前 n项和. 【答案】(%，=2m+1 23=0+3n+3-3 【详解1)设等差数列a的公差为4，由4=5，前8项和为80， a1+d=5 a1=3 得 8a+)x8×7a=80→{d=2→a,=3+(m-l)-2=2n+1: 1 2 an=2n+1 (2)因为 n=2×3”+1 所以由题意可知 于是=a,+b,=2m+1+2×3”+1=2×3”+2n+2 所M5=2×30-3+2×。+2n=n2+3n+31-3 1-3 2 8.【新载体】《2026四川绵阳模拟预测)已知数列a的前”项和为3,38，=4a,一2 )证明：数列a,是等比数列，并求出通项公式： 42/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设函数 小-ar-号写数为r回，数列色足A-a,求数到项和. 【答案135，=4如，-235=4a-2(a≥2) 相减 3a,=4a-4a,即8=4a,又39=4a-2a-20 所以数列a,是以4为公比的等比数列， 所以，=241=2 =h2[-}+9 【详解】(1)略 f()=x2 (2) .f(x)-2xlnx+x.-x=2xlnx bn=222m-lh22m-=ln2(2n-1）4 T.=ln2-[1×4'+3×42++(2n-1)4] .47,=lh2-[1x42+3×4+…+(2n-1)4] 相减得3江。=2-[1x4+2(4++4）-(2m-1)4 整理得 9.已知等差数列a,的首项”1，且，，“成等比数列，公差≠0. 43/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①求数列a,的通项公式 (2)设aa,记数列b.}的前n项和为Tn,若不等式-2t>Tn对任意的nN恒成立，求实数t的 取值范围。 【答案】()4=n(n∈N) ag 的公差为2，由题意知d≠0 {an} d 【详解】(1)设等差数列 因为2,4,0成等比数列，故 4=a2·ag R91 2=1+da4=1+3da8=1+7d ，所以 ,代入得 (1+3d)2=(1+d)1+7d) 展开整理得2d2-2d=0,即d(d-1)=0 由4x0 得d=,因此数列a} 的通项公式为 an=1+(n-1)×1=n 6---2-m+2.11 (2) a7a元1n2(n+1)2n+1)2n2, 数列也}的前n项和 -+-经得 1 1 因为m∈N,所以m+1≥4：故0<n+≤4： 44/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 3 因此1<T,≤-4，即？，的最大值为4 不等式1-21>了，对任意n∈N恒成立，等价于-21>（亿）m=- 4 整理得41-8t+3>0,即(2t-1)(2t-3)>0, 1 3 解得1<2或>2 10.(2026陕西榆林模拟预测)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a,=1,数列an是公差为3的等差 数列. @求a,的通项公式： 经6-n:2 (2)设a,记数列凸，}的前n项和为T,求使得T,>120成立的最小正整数n的值. n(n+1) 【答案】()an= 2 (2)9 S=1 s 1 鸟=1+a-l)=”+2 【详解】(1)因为4，数列an是公差为3的等差数列，所以an 3 3, 则3-”2。，当n2时.a=5-5”号2a”号0 n+2。n+1 an an-1 整理得到n+ii,则(n+)nn(n-),所以数列(n+)n是常数列， an 541 n(n+1) 又a=1,则n+1)m2x12,所以。=2. n…2” n.2H2+22n*1 (②由题意知b-aa+a+2)+2i+1, 45/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 川…司 20+2 又77 2+1+2 22 -2 243 20+2 -2 22(m+1)>0 n+1+2 (n+2 n+3n+2(n+2)(n+3), 所以亿是道指数列。 2-2-50 又18+2 29+2 2<120,T,=9+2 2=2026>120. 11 n>120 所以使得 成立的最小正整数”的值为9。 真题实战演练 高频考点：分组求和、错位相减、裂项相消、奇偶分段求和、并项求和；高考多选、解答题第二问 高频考查，中档综合题型居多，突出奇偶分类、不等式放缩、多方法混合运用热，点。 an-6,n为奇数 1.(2023新课标Ⅱ卷育考真题)已知a,}为等差数列，么-2a为偶数，记S,T分别为数列a, 的前n项和， S4=32T3=16 )求a,的遁项公式： ②证明：当”>5时.7>Sn 时， 【答案】(0%=2m+3 @证明：方法1与由知，=5+0+》=r+机么 2 -6er 46/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当”为偶数时， b+bn=2(n-1)-3+4n+6=6n+1 7=13+6n+.n-3e,7 =-n2+-n 222”2" 当n>5时.工-感=+号0-信+0方n-0>0,因7>5 2 2 2 当n为奇数，五=6++号a+小-a++-r+a-5。 当>助7-成=+ 0--(+0-a+2a-5列小>0，因t7>8 所以当”>5时，7>8 2n-3,n=2k-1 方法2.由1)知，S=5+2n+动=n+4n6.=4n+6,n=22k∈W0 2 当n为偶数时，7=(6+么++b)+6,+6,+…+h)=1+2n-)-3.”+14+4n+6.”_3n7 22222m+ , 当n5时，万-5=r+号0-r+间-a-0>0,因能>5 当n为奇数时，7=6+6++6)+@+6++b)=1+2-3.n+1+14+40n-)+6n- 22 2 2 -+0-5,显然7=4=-1满足上式，因此当为备数时，工-+宁0-5。 3 5 当>5时，万-=r+0-列-心+40a+2a-5列>0，因此7>8 3 2 所以当n>5 Tn>S 时， 【分析】 an-6,n=2k-1 bn= 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d,而”2an,n=2k ke 则A=4-66=24,=2a+2d,6=4-6=4+2l-6 47/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S4=4a1+6d=32 于是T=4a,+4d-12=16,解得a=5,d=2,an=a+(n-)d=2n+3, 所以数列a,的通项公式是.=2n+3 (2)略 1 一2022新高考全国1卷高考真)记3为数列a的前加项和，已知4位是公差为了的等 列. 求a的通项公式， 1+1++1<2 (2)证明：aa,an 【答案】()an= n(n+1) 2 a女- 1 女日--g日=42 ∴.a1a2 【分析】 S=1 【详解】(1)a=1,.=a=1,.4, 5. 1 又，an是公差为3的等差数列， 81--2又-a+2 3,. 3, 48/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当n≥2时，1=+1a 3 a,=S,-5=+20._+10a 3 3 整理得 (n-1)an=(n+1)a-i d=n+l 即an-n-1 片8=g×径x2xxux4 a az an-2 an =1x2×g×xn,x+1-n+ 12 n-2n-121 显然对于n=1也成立， n(n+1) {an}的通项公式a,= 2 (2)略 3.(2022天津高考真题)设a是等差数列， 么}是等比数列，且4=6=4-=4-61 ①求a}与 的通项公式： (②设 ,的前n项和为，求证： S+an)bn =SnbS.bn )∑aa]h 【答案】(00,21-1,6=2 (2)证明见解析 3)61-24+8 9 49/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详解】山设a,公差为d6}公比为，则a=1+a-d么=g, 「1+d-9=1 由4-6=4-么=1可得1+21-g2-1→d=g-=2。 (d=q=0舍去)， 所以0，=2n-16,=2 (2)证明：因为 n1=2bn≠0， (+a)b=Sb1-S,b 所以要证 8+ab=52h,-S6,即证 Sa+an=2S-S 即证 即证41=S43, 1=SH一S最然成立，所以 (S+a)b=Sb-Sb 而 （3)因为0-(-a]h+[a1-(-a]b =(4k-1+4k-3)×22*-2+[4k+1-(4k-1)]×221=2k.4 两e。(a]A-交ereo护a,] .4 =∑2k.4 设” 所以=2×4+4x4+6x4+…+2n×4 则47.=2x4+4×4+6×4+…+2n×4 50/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 作差得-37.=24+4+4+4+…+4）-2n:41_2x×40-49-2m×4 1-4 =(2-6n)41-8 3 所以7，=(6m-2)41+8 9, 2[a-a]A=m-24m+8 所以 9 4.(2026天津·高考真题)已知等差数列 a与等比数列，满足：4=2，么=.=+6， as=b3-b 四求数列a},6}的道项公式 ②记E,={eRr≤n,3k∈N,K=a或=b,记为E中的元素个数. 求： y求2ag 【答案】)，=2m6,=3 23”+n+ 1 32m*1+(4n-6)3”+3 ②(i)9 2:(i) 【分析】 【详解】①)设等差数列a,的公差为，等比数列么的公比为， 因为=24=1.4=么+么4，=么-4 51/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [2+d=1+q [d=q-1 [d=2「d=-1 所以2+3d=92-1,即3d=92-3,解得9=3或9=0（公比不能为0，舍去）， 所以9=2m,6=3 (2①由（4)知”为偶数.么为奇数，所以数列a和没有相同项。 根据题意，果合中的元素由数列a,}和}中小于等于”项组成， 3”-1 小于3n的正偶数有2个，由3≤3得k≤n+1?k∈N, 3-1 所以数列{a}中小于等于3的项有2个，{，}中小于等于3的项有n+1个， 3”-1, 1 1 所以C= -+n+1=。.3”+n+。 2 2 2 m当3≤m<3时，么中小于等于m的项有'个， m m-1 又m为偶数时，{a}中小于等于m的项有2个，m为奇数时，{a}中小于等于m的项有2个， i+",3≤m<3,ieN,m为偶数 2 所以Cm= 上：2≤m<3ieN内奇数 2im+m2,3≤m<3',ieN,m为偶数 所以a9。 2im+m(m-1),3-≤m<3',ieN,m为奇数， 从4到9共有3-1-(-刂=2.3】 项， 又m为奇数时， am1cm1-acm=2i(m+1)+(m+1)}°-2im-m(m-1)=2i+1+3m m三（ro=a+小-g2B-刃 52/53 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =36+433*3-2-（6-2+6y 2 ura总-少aa-之(r+ya =(03°+6-9）+(23+6-9）+(432+6.92）+…+[(2n-2)3+69-] =[03°+23+4.32+…+(2n-2)3-1+6(9°+9+92+…+9-） -3+43++0-2]69 =[23+432+…+(2m-2)3]+9-1) 令9，=2-3+4-32++2n-2列3 ①， 则3，=2.3+43++2m-23@. ①-②得25，=2(3+32++3）-(2m-23 -230-3）-2n-23 1-3 =-(2n-3)3”-3 所以3=(2-3)3+3 2 旷ae-30--m66 所以台 4 53/53