第五单元 圆（知识清单）数学北京版六年级上册（新教材）

该小学数学“圆”单元知识清单系统涵盖圆的概念、性质、周长、面积及应用，包含基础要素、计算方法、组合图形等知识范畴，搭建从概念理解到实际应用的递进式学习架构，辅以思维导图梳理知识框架。 清单通过分知识点梳理定义、公式及易错点，如标注“半圆周长需加直径”，题型设计典型例题与跟踪训练结合，培养几何直观和推理意识。“方中圆”面积比等结论助力快速解题，既方便学生自主复习，也为教师教学提供精准支持。

第五单元 圆 知识清单 知识点一、圆的概念及特点 1. 定义：圆是平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。 2. 基本要素： (1) 圆心 ( )：确定圆的位置。 (2) 半径 ( )：连接圆心和圆上任意一点的线段，确定圆的大小。同圆或等圆中，半径有无数条，长度相等。 (3) 直径 ( )：通过圆心并且两端都在圆上的线段。同圆或等圆中，直径有无数条，长度相等。 3. 关系：在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即 或 。 4. 对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 知识点二、与圆相关的轴对称图形 1. 常见组合： (1) 圆环：对称轴是经过圆心的直线（无数条）。 (2) 半圆：只有一条对称轴，即垂直于直径且过圆心的直线。 (3) 扇形：只有一条对称轴，即圆心角的角平分线所在的直线。 2. 组合图形对称轴判定： (1) 若由多个圆组成（如外切、内切），对称轴通常是连心线所在的直线。 (2) 若圆与正方形、长方形组合，需寻找公共对称轴。例如，“方中圆”有4条对称轴；“圆中方”也有4条对称轴。 知识点三、圆的周长 1. 圆周率 ( )：圆的周长与直径的比值是一个固定的数，叫作圆周率，用字母 表示。 （计算时通常取此近似值）。 2. 周长公式： (1) 已知直径： (2) 已知半径： 3. 注意： 是无限不循环小数，不是分数，也不是有限小数。 知识点四、圆的周长的应用 1. 已知周长求直径/半径： (1) (2) 2. 半圆的周长： (1) 定义：圆周长的一半 + 一条直径。 (2) 公式： 或 。 (3) 易错点：切勿漏加直径。 3. 滚动问题： (1) 车轮滚动一周前进的距离 = 车轮的周长。 (2) 滚动 周的距离 = 。 知识点五、圆的面积 1. 推导思路：将圆分成若干等份，拼成一个近似的长方形。长方形的长相当于圆周长的一半 ( )，宽相当于圆的半径 ( )。 2. 面积公式： (1) (2) 若已知直径： (3) 若已知周长： 3. 变化规律：半径扩大 倍，直径、周长也扩大 倍，但面积扩大 倍。 知识点六、圆的面积的应用 1. 已知面积求半径： (1) ，先求出 ，再开方求 。 2. 实际问题： (1) 自动喷水装置：射程即为半径 ，覆盖面积为 。 (2) 钟表指针：分针扫过的面积按圆面积计算；时针扫过的面积需注意时间占比（如1小时扫过 圆）。 知识点七、圆环的面积 1. 定义：两个同心圆之间的部分。 2. 公式： (1) (2) 提取公因数简化： (3) 其中 为外圆半径， 为内圆半径。 3. 已知环宽：若已知内圆半径 和环宽 ，则 。 知识点八、含圆的组合图形的面积 1. 解题策略：“割补法”或“加减法”。 2. 常见类型： (1) 外方内圆：正方形面积 - 圆面积。 (2) 外圆内方：圆面积 - 正方形面积。 (3) 跑道形：两个半圆 + 一个长方形（中间部分）。 (4) 阴影部分：观察图形构成，用总面积减去空白部分面积，或将分散的阴影部分拼接成规则图形。 知识点九、方中圆和圆中方的面积问题 1. 方中圆（正方形内剪去最大的圆）： (1) 设正方形边长为 ，则圆直径 ，半径 。 (2) (3) (4) 剩余面积： (5) 结论：正方形面积与内切圆面积之比约为 (或 )。 2. 圆中方（圆内剪去最大的正方形）： (1) 设圆半径为 ，则正方形对角线长为 。 (2) (3) (4) 剩余面积： (5) 结论：圆面积与内接正方形面积之比约为 (或 )。 知识点十、弧、圆心角、扇形的认识 1. 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 3. 扇形：由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。 4. 扇形的大小： (1) 在同圆或等圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关。圆心角越大，扇形面积越大。 (2) 在不同圆中，扇形大小还与半径有关。 题型一、圆的概念及特点 【典型例题】在同一个圆中，所有的半径都( )，所有的直径都( )，直径的长是半径的( )。 【跟踪训练1】生活里车轮都做成圆形，以保证车辆行驶平稳，是因为（    ）。 A．圆心决定圆的位置 B．圆的半径决定圆的大小 C．圆是轴对称图形 D．同圆中的半径都相等 【跟踪训练2】如图，已知圆形和半圆形的半径相等，长方形的宽是( )厘米。 【跟踪训练3】画一画。 请用圆规画一个直径3厘米的圆，分别用O，r表示圆心和半径。 题型二、与圆相关的轴对称图形 【典型例题】要使大、小两个圆组成的图形有无数条对称轴，应采用画法（    ）。 A． B． C． D． 【跟踪训练1】在圆、半圆、长方形和正方形中，( )的对称轴只有一条。 【跟踪训练2】画出下面图形的所有对称轴。 题型三、圆的周长 【典型例题】计算圆的周长。 【跟踪训练1】一个圆的直径是6cm，它的周长是( )cm；一个圆的半径是4cm，它的周长是( )cm。 【跟踪训练2】计算下面各圆的周长。         题型四、圆的周长的应用 【典型例题】一辆自行车的轮胎外直径为71厘米。如果它平均每分钟转100周，那么通过一座1100米长的大桥，大约需要多少分钟？（得数保留整数） 【跟踪训练1】动物园要修一个半圆形的孔雀活动区（不靠墙），活动区半径为8米，在活动区外侧安装一圈防护栏。防护栏的长度是多少米？ 【跟踪训练2】一台大型压路机的前轮半径是1.5m，如果前轮每分钟转5圈，20分钟就可以从新修道路的一端行驶到另一端。这条新修道路大约长多少米？ 题型五、圆的面积 【典型例题】计算圆的面积。 【跟踪训练1】聪聪画圆时圆规两脚之间的距离是2.5厘米，他所画圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【跟踪训练2】计算下面各圆的面积。 题型六、圆的面积的应用 【典型例题】2023中国癸卯兔年金银纪念币中，金质纪念币重10公斤，圆形精制金质纪念币的直径为180毫米，它的正面面积是多少平方厘米？ 【跟踪训练1】一根镀金钢丝长30米，在一根圆柱形钢管上绕100圈后还剩174厘米，这根钢管的横截面面积是多少平方厘米？ 【跟踪训练2】双面绣也叫两面绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，始于宋代。下面的双面绣作品中间部分是一个圆形，周长是62.8厘米。这个圆的面积是多少？ 题型七、圆环的面积 【典型例题】图中外圆直径为。求阴影部分的面积。 【跟踪训练1】求下图中阴影部分的面积。 【跟踪训练2】一个圆形花坛，直径是12米，在花坛周围修一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？（π取3.14） 题型八、含圆的组合图形的面积 【典型例题】我国古代的建筑非常精美，经常应用回纹、缠枝莲纹等元素进行雕刻。下图是一个雕花木窗，木窗直径为80厘米，中间正方形的边长为26厘米。圆形与正方形之间部分的面积是多少平方厘米？ 【跟踪训练1】求阴影部分的面积。 【跟踪训练2】如下图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形。请你算出这个运动场的面积。 题型九、方中圆和圆中方的面积问题 【典型例题】求阴影部分面积。 【跟踪训练1】“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理。如果图（1）中外面正方形的面积是36dm2，则内圆的面积是（ ）dm2，如果图（2）中外圆的面积是25.12dm2，则圆内大正方形的面积是（ ）dm2。 【跟踪训练2】求阴影部分的面积。 题型十、弧、圆心角、扇形的认识 【典型例题】以下四个图形中，（    ）是扇形。 A． B． C． D． 【跟踪训练1】下面图形中，图（    ）中的角是圆心角。 A． B． C． D． 【跟踪训练2】请在下边空白处画一个半径是2厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是90度的扇形，并用阴影部分表示。 1．一根10m长的线，围成下面的平面图形，（    ）的面积最大。 A．长方形 B．正方形 C．圆 D．三角形 2．下面说法错误的是（    ）。 A．直径是半径的2倍，半径是直径的。 B．直径是圆内最长的线段。 C．画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径的长度。 D．一个圆内有无数条直径。 3．一个圆的直径是4厘米，它的面积是（    ）平方厘米。 A．16 B．25.12 C．50.24 D．12.56 4．如果一个圆的半径增加1cm，那么它的周长增加（    ）cm。 A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．1 5．下列各图中，有且只有一条对称轴的是（    ）。 A． B． C． D． 6．下面的图形中，涂色部分是扇形的是（    ）。 A． B． C． D． 7．一个圆的周长是18.84cm，则它的直径是( )cm，半径是( )cm。 8．用圆规在硬纸板上画圆，圆规两脚张开的距离是6cm，画出的圆的面积是( )，将这个圆剪成两个半圆形，其中一个半圆形的周长是( )cm。 9．一个半圆的半径是6厘米，那么这个半圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 10．如图，将一个圆分成若干等份后，可以拼成一个近似的长方形。如果长方形的长是31.4厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米。 11．如图，一个长方形内有3个完全相同的圆。若长方形的周长是24cm，则每个圆的直径是( )cm，周长是( )cm。 12．钟表的分针长10厘米，从1时到2时，分针针尖走过了( )厘米；从1时到2时，分针扫过的面积是( )平方厘米。 13．上海世博会世博轴上分布着六个形似喇叭的“阳光谷”，其中最大的一个下端是直径20米的圆，这个圆的周长是( )米，面积是( )平方米。 14．计算下面图形的周长。 15．求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） （1）      （2） 16．画一个半径是2厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是30°的扇形。 17．张老师每天骑自行车上下班，自行车轮胎的外直径是60厘米，自行车车轮平均每分钟转120圈，张老师每天骑车从家到学校需20分钟，那么张老师家距离学校多少米？（取3.14） 18．阳光小学课间增加了跳跳球活动，玩跳跳球时需要一只脚在圈内，将跳跳球旋转起来，另一只脚跳起躲避球。如下图，如果站在圈内的脚在跳动时位置不变，那么每个人的活动面积至少是多少平方米？ 19．用一根长62.8米的篱笆围成一个圆形梅花观赏区，这个观赏区的面积是多少平方米？ 20．中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。图中正方形的边长是2米，正方形和圆之间部分的面积是多少平方米？ 21．安全重于泰山。街道上有一块圆形的限速标志指示牌（如图），直径是120厘米。沿着指示牌的边缘向里面刷了一圈红色油漆（油漆圈的宽是20厘米），红色油漆的面积是多少平方米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 圆 知识清单 知识点一、圆的概念及特点 1. 定义：圆是平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。 2. 基本要素： (1) 圆心 ( )：确定圆的位置。 (2) 半径 ( )：连接圆心和圆上任意一点的线段，确定圆的大小。同圆或等圆中，半径有无数条，长度相等。 (3) 直径 ( )：通过圆心并且两端都在圆上的线段。同圆或等圆中，直径有无数条，长度相等。 3. 关系：在同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即 或 。 4. 对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 知识点二、与圆相关的轴对称图形 1. 常见组合： (1) 圆环：对称轴是经过圆心的直线（无数条）。 (2) 半圆：只有一条对称轴，即垂直于直径且过圆心的直线。 (3) 扇形：只有一条对称轴，即圆心角的角平分线所在的直线。 2. 组合图形对称轴判定： (1) 若由多个圆组成（如外切、内切），对称轴通常是连心线所在的直线。 (2) 若圆与正方形、长方形组合，需寻找公共对称轴。例如，“方中圆”有4条对称轴；“圆中方”也有4条对称轴。 知识点三、圆的周长 1. 圆周率 ( )：圆的周长与直径的比值是一个固定的数，叫作圆周率，用字母 表示。 （计算时通常取此近似值）。 2. 周长公式： (1) 已知直径： (2) 已知半径： 3. 注意： 是无限不循环小数，不是分数，也不是有限小数。 知识点四、圆的周长的应用 1. 已知周长求直径/半径： (1) (2) 2. 半圆的周长： (1) 定义：圆周长的一半 + 一条直径。 (2) 公式： 或 。 (3) 易错点：切勿漏加直径。 3. 滚动问题： (1) 车轮滚动一周前进的距离 = 车轮的周长。 (2) 滚动 周的距离 = 。 知识点五、圆的面积 1. 推导思路：将圆分成若干等份，拼成一个近似的长方形。长方形的长相当于圆周长的一半 ( )，宽相当于圆的半径 ( )。 2. 面积公式： (1) (2) 若已知直径： (3) 若已知周长： 3. 变化规律：半径扩大 倍，直径、周长也扩大 倍，但面积扩大 倍。 知识点六、圆的面积的应用 1. 已知面积求半径： (1) ，先求出 ，再开方求 。 2. 实际问题： (1) 自动喷水装置：射程即为半径 ，覆盖面积为 。 (2) 钟表指针：分针扫过的面积按圆面积计算；时针扫过的面积需注意时间占比（如1小时扫过 圆）。 知识点七、圆环的面积 1. 定义：两个同心圆之间的部分。 2. 公式： (1) (2) 提取公因数简化： (3) 其中 为外圆半径， 为内圆半径。 3. 已知环宽：若已知内圆半径 和环宽 ，则 。 知识点八、含圆的组合图形的面积 1. 解题策略：“割补法”或“加减法”。 2. 常见类型： (1) 外方内圆：正方形面积 - 圆面积。 (2) 外圆内方：圆面积 - 正方形面积。 (3) 跑道形：两个半圆 + 一个长方形（中间部分）。 (4) 阴影部分：观察图形构成，用总面积减去空白部分面积，或将分散的阴影部分拼接成规则图形。 知识点九、方中圆和圆中方的面积问题 1. 方中圆（正方形内剪去最大的圆）： (1) 设正方形边长为 ，则圆直径 ，半径 。 (2) (3) (4) 剩余面积： (5) 结论：正方形面积与内切圆面积之比约为 (或 )。 2. 圆中方（圆内剪去最大的正方形）： (1) 设圆半径为 ，则正方形对角线长为 。 (2) (3) (4) 剩余面积： (5) 结论：圆面积与内接正方形面积之比约为 (或 )。 知识点十、弧、圆心角、扇形的认识 1. 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 3. 扇形：由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。 4. 扇形的大小： (1) 在同圆或等圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关。圆心角越大，扇形面积越大。 (2) 在不同圆中，扇形大小还与半径有关。 题型一、圆的概念及特点 【典型例题】在同一个圆中，所有的半径都( )，所有的直径都( )，直径的长是半径的( )。 【答案】 相等 相等 2倍 【分析】根据圆的基础性质：在同一个圆里，从圆心到圆上任意一点的线段都是半径，所以所有半径长度都相等；经过圆心且两端都在圆上的线段是直径，所有直径长度也都相等；一条直径刚好可以拆成2条同圆的半径，所以直径长度是半径的2倍。 【详解】在同一个圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径的长是半径的2倍。 【跟踪训练1】生活里车轮都做成圆形，以保证车辆行驶平稳，是因为（    ）。 A．圆心决定圆的位置 B．圆的半径决定圆的大小 C．圆是轴对称图形 D．同圆中的半径都相等 【答案】D 【分析】车轮行驶平稳需要保证车轴到地面的距离始终不变，结合圆的特征判断即可。 【详解】车轮的车轴安装在圆心位置，同圆中所有半径长度相等，车辆行驶时，车轴到地面的距离始终等于半径长度，不会上下颠簸，因此行驶平稳。 【跟踪训练2】如图，已知圆形和半圆形的半径相等，长方形的宽是( )厘米。 【答案】10 【分析】根据题意，已知圆形和半圆形的半径相等，从图中可知长方形的长等于3个半径的长度，先根据长方形的长求出半径，再根据长方形的宽等于2个半径的长度，计算出长方形的宽，据此解答。 【详解】圆的半径是15÷3＝5（厘米），圆的直径（长方形的宽）是5×2＝10（厘米）。 综上所述，长方形的宽是10厘米。 【跟踪训练3】画一画。 请用圆规画一个直径3厘米的圆，分别用O，r表示圆心和半径。 【答案】图见详解 【分析】用圆规画一个直径3厘米的圆，圆规两脚间的距离是1.5厘米，圆规有针尖的一端定在某一点上，另一端绕这个点旋转一周即可。圆心用大写字母O表示，半径用小写字母r表示。 【详解】 题型二、与圆相关的轴对称图形 【典型例题】要使大、小两个圆组成的图形有无数条对称轴，应采用画法（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆有无数条对称轴，所有对称轴都经过圆心。想要大小两个圆组成的图形拥有无数条对称轴，必须让两个圆圆心重合（同心圆）。 【详解】A．圆心不重合，只有1条对称轴； B．圆心不重合，只有1条对称轴； C．圆心不重合，只有1条对称轴； D．大小圆共用同一个圆心（同心圆），有无数条对称轴。 【跟踪训练1】在圆、半圆、长方形和正方形中，( )的对称轴只有一条。 【答案】 半圆 【分析】如果将一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 圆有无数条对称轴（直径所在的直线）；长方形有两条对称轴（对边中点的连线）；正方形有四条对称轴（对边中点的连线和对角线）；半圆只有一条对称轴（通过圆心且垂直于直径的直线）。 【详解】在圆、半圆、长方形和正方形中，圆的对称轴有无数条，半圆的对称轴只有一条，长方形的对称轴有两条，正方形的对称轴有四条。 所以，在圆、半圆、长方形和正方形中，半圆的对称轴只有一条。 【跟踪训练2】画出下面图形的所有对称轴。 【答案】 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解答。 【详解】图略。 题型三、圆的周长 【典型例题】计算圆的周长。 【答案】31.4cm 【分析】由图可知，该圆的半径r＝5cm，根据圆周长公式：C＝2πr（π取3.14，r为半径），把数据代入计算即可。 【详解】2×3.14×5＝31.4（cm） 圆的周长是31.4cm。 【跟踪训练1】一个圆的直径是6cm，它的周长是( )cm；一个圆的半径是4cm，它的周长是( )cm。 【答案】 18.84 25.12 【分析】已知直径求周长，用公式：周长＝π×直径，π取3.14。 已知半径求周长，用公式：周长＝2×π×半径，π取3.14。 【详解】直径6cm圆周长：3.14×6＝18.84（cm） 半径4cm圆周长：2×3.14×4＝25.12（cm） 【跟踪训练2】计算下面各圆的周长。         【答案】25.12分米；18.84米；11.304分米 【分析】（1）根据圆的周长公式，代入数据计算即可。 （2）（3）根据圆的周长公式，代入数据计算即可。 【详解】（1） （分米） （2）（米） （3）（分米） 题型四、圆的周长的应用 【典型例题】一辆自行车的轮胎外直径为71厘米。如果它平均每分钟转100周，那么通过一座1100米长的大桥，大约需要多少分钟？（得数保留整数） 【答案】5分钟 【分析】先统一长度单位，再根据圆的周长公式算出轮胎转1周的行驶距离，乘每分钟转的周数得到每分钟行驶的路程，最后用大桥长度除以每分钟行驶的路程得到所需时间，结果保留整数。 【详解】根据分析，解答如下： 71厘米 ＝ 0.71米 （米） （分钟） 答：大约需要5分钟。 【跟踪训练1】动物园要修一个半圆形的孔雀活动区（不靠墙），活动区半径为8米，在活动区外侧安装一圈防护栏。防护栏的长度是多少米？ 【答案】41.12米 【分析】防护栏长度是半圆形活动区的周长，包含半圆弧长度和一条直径，先利用圆周长公式C＝2πr，π取3.14，求出圆的周长，再除以2求出半圆弧长，再加上直径长度求出总长度。 【详解】半圆弧长：2×3.14×8÷2 ＝6.28×8÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（米） 直径：8×2＝16（米） 总长：25.12＋16＝41.12（米） 答：防护栏长度是41.12米。 【跟踪训练2】一台大型压路机的前轮半径是1.5m，如果前轮每分钟转5圈，20分钟就可以从新修道路的一端行驶到另一端。这条新修道路大约长多少米？ 【答案】942米 【分析】根据“圆的周长＝2πr（r为半径）”代入数值计算出半径为1.5米的前轮的周长；再用前轮的周长乘5计算出一分钟行驶的路程；最后用一分钟行驶的路程乘20即可。 【详解】3.14×2×1.5×5×20 ＝6.28×1.5×5×20 ＝9.42×5×20 ＝47.1×20 ＝942（米） 答：这条新修道路大约长942米。 题型五、圆的面积 【典型例题】计算圆的面积。 【答案】50.24平方米 【分析】要计算圆的面积，利用圆的面积公式S＝πr²计算，图中已知圆的直径是8米，先求出半径r＝8÷2＝4米，再代入面积公式计算。 【详解】r＝8÷2＝4（米） S＝πr² ＝3.14×4² ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 【跟踪训练1】聪聪画圆时圆规两脚之间的距离是2.5厘米，他所画圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 15.7 19.625 【分析】圆规两脚之间的距离是圆的半径，因此半径r＝2.5厘米。根据圆的周长公式C＝2πr和面积公式S＝πr2，代入半径计算即可，π取3.14。 【详解】周长：2×3.14×2.5 ＝6.28×2.5 ＝15.7（厘米） 面积：3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（平方厘米） 【跟踪训练2】计算下面各圆的面积。 【答案】28.26平方厘米；0.1256平方米；113.04平方分米 【分析】根据圆的面积＝，把数据代入公式即可求解。 【详解】（1）3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 所以，这个圆的面积是28.26平方厘米。 （2）3.14×（0.4÷2）2 ＝3.14×0.22 ＝3.14×0.04 ＝0.1256（平方米） 所以，这个圆的面积是0.1256平方米。 （3）3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方分米） 所以，这个圆的面积是113.04平方分米。 题型六、圆的面积的应用 【典型例题】2023中国癸卯兔年金银纪念币中，金质纪念币重10公斤，圆形精制金质纪念币的直径为180毫米，它的正面面积是多少平方厘米？ 【答案】254.34平方厘米 【分析】根据圆的特征，半径等于直径的一半，求出圆的半径，再利用圆的面积公式：，代入数据计算，还要注意把单位毫米转化为厘米。据此解答即可。 【详解】180毫米18厘米 （平方厘米） 答：它的正面面积是254.34平方厘米。 【跟踪训练1】一根镀金钢丝长30米，在一根圆柱形钢管上绕100圈后还剩174厘米，这根钢管的横截面面积是多少平方厘米？ 【答案】63.585平方厘米 【分析】根据题意，先用钢丝的全长减去剩下的长度，即是绕100圈的长度，再除以100，求出绕一圈的钢丝长度，即是这根圆柱形钢管横截面的周长； 根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出钢管的底面半径； 根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出这根钢管的横截面面积。 【详解】30米＝3000厘米 （3000－174）÷100 ＝2826÷100 ＝28.26（厘米） 圆的半径： 28.26÷3.14÷2 ＝9÷2 ＝4.5（厘米） 圆的面积： 3.14×4.52 ＝3.14×20.25 ＝63.585（平方厘米） 答：这根钢管的横截面面积是63.585平方厘米。 【跟踪训练2】双面绣也叫两面绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，始于宋代。下面的双面绣作品中间部分是一个圆形，周长是62.8厘米。这个圆的面积是多少？ 【答案】314平方厘米 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，用62.8÷3.14÷2即可求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据即可求出这个圆的面积。 【详解】半径：62.8÷3.14÷2＝10（厘米） 面积：3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 答：这个圆的面积是314平方厘米。 题型七、圆环的面积 【典型例题】图中外圆直径为。求阴影部分的面积。 【答案】 【分析】阴影部分是个圆环，根据圆环的面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），列式计算即可。 【详解】 阴影部分的面积是。 【跟踪训练1】求下图中阴影部分的面积。 【答案】34.54cm2 【分析】已知内圆半径是5cm，外圆的直径是12cm，外圆的半径是12÷2＝6cm。阴影部分的面积＝外圆的面积－内圆的面积，根据圆的面积：S＝πr2，代入数据计算，即可求出阴影部分的面积。 【详解】12÷2＝6（cm） 3.14×62－3.14×52 ＝3.14×36－3.14×25 ＝113.04－78.5 ＝34.54（cm2） 阴影部分的面积是34.54cm2。 【跟踪训练2】一个圆形花坛，直径是12米，在花坛周围修一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？（π取3.14） 【答案】40.82平方米 【分析】大圆半径＝花坛半径＋路宽，小路的面积是环形面积，根据环形面积公式：S＝π（R2－r2），把数据代入公式解答。 【详解】12÷2＋1 ＝6＋1 ＝7（米） 3.14×（72－62） ＝3.14×（49－36） ＝3.14×13 ＝40.82（平方米） 答：小路的面积是40.82平方米。 题型八、含圆的组合图形的面积 【典型例题】我国古代的建筑非常精美，经常应用回纹、缠枝莲纹等元素进行雕刻。下图是一个雕花木窗，木窗直径为80厘米，中间正方形的边长为26厘米。圆形与正方形之间部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】4348平方厘米 【分析】圆形与正方形之间部分的面积＝圆的面积－正方形面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方，正方形面积＝边长×边长，据此列式解答。 【详解】3.14×（80÷2）2－26×26 ＝3.14×402－676 ＝3.14×1600－676 ＝5024－676 ＝4348（平方厘米） 答：圆形与正方形之间部分的面积是4348平方厘米。 【跟踪训练1】求阴影部分的面积。 【答案】10.88平方米 【分析】根据图示，阴影部分面积＝梯形面积－半圆面积，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，梯形的高为半圆的半径； 半圆面积＝πr2÷2，半圆的半径＝8÷2＝4（米），将数据代入公式计算出结果即可。 【详解】8÷2＝4（米） 梯形面积： （10＋8）×4÷2 ＝18×4÷2 ＝72÷2 ＝36（平方米） 半圆面积： 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方米） 阴影部分面积：36－25.12＝10.88（平方米） 阴影部分的面积10.88平方米。 【跟踪训练2】如下图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形。请你算出这个运动场的面积。 【答案】 9615.36平方米 【分析】运动场的面积由中间长方形的面积和两端半圆形的面积组成，两个半圆形可以拼成一个完整的圆，因此用长方形的面积加上圆的面积即可求出总面积。已知圆的半径是32米，长方形的长是100米，长方形的宽等于圆的直径。长方形的面积＝长×宽，圆的面积公式。 【详解】 （平方米） 答：这个运动场的面积是平方米。 题型九、方中圆和圆中方的面积问题 【典型例题】求阴影部分面积。 【答案】7.74m2 【分析】由图可知：阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，正方形的边长等于圆的直径。将数据代入正方形的面积公式：S＝a2及圆的面积公式S＝πr2计算即可。 【详解】3×2＝6（m） 6×6－3.14×32 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（m2） 阴影部分的面积为7.74m2。 【跟踪训练1】“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理。如果图（1）中外面正方形的面积是36dm2，则内圆的面积是（ ）dm2，如果图（2）中外圆的面积是25.12dm2，则圆内大正方形的面积是（ ）dm2。 【答案】 28.26 16 【分析】正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2＝π（d÷2）2，三角形的面积＝底×高÷2； （1）外面正方形的边长等于内圆的直径，根据36＝6×6可知外面正方形的边长是6dm，则内圆的面积等于直径是6dm的圆的面积； （2）圆内正方形的对角线等于外圆的直径，对角线可以把正方形分成2个底等于外圆的直径（2r），高等于外圆的半径（r）的三角形，则正方形的面积＝2r×r÷2×2＝2r2，先用外圆的面积除以π求出r2，再把r2代入2r2中计算即可。 【详解】36＝6×6 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（dm2） 25.12÷3.14＝8 2×8＝16（dm2） 如果图（1）中外面正方形的面积是36dm2，则内圆的面积是28.26dm2，如果图（2）中外圆的面积是25.12dm2，则圆内大正方形的面积是16dm2。 【跟踪训练2】求阴影部分的面积。 【答案】10.26平方厘米 【分析】阴影部分面积＝圆面积－三角形面积×2，圆面积＝πr2，三角形面积＝底×高÷2。看图，圆的直径是6厘米，用直径除以2求出半径。三角形的底和直径相等，高和半径相等。将数据代入公式，先分别求出圆的面积，三角形面积的2倍，再利用减法求出阴影部分的面积。 【详解】3.14×（6÷2）2－6×（6÷2）÷2×2 ＝3.14×32－6×3÷2×2 ＝3.14×9－18 ＝28.26－18 ＝10.26（平方厘米） 题型十、弧、圆心角、扇形的认识 【典型例题】以下四个图形中，（    ）是扇形。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】扇形是由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。据此逐项分析。 【详解】A．图形中角的顶点不在圆心，不满足扇形“两条半径”的要求，不是扇形。 B．图形中由一条弧和两条半径围成，符合扇形的定义，是扇形。 C．图形中角的顶点不在圆心，不满足扇形“两条半径”的要求，不是扇形。 D．图形中角的顶点不在圆心，不满足扇形“两条半径”的要求，不是扇形。 故答案为：B 【跟踪训练1】下面图形中，图（    ）中的角是圆心角。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】顶点在圆心的角叫圆心角。据此判断。 【详解】A．图中角的顶点不在圆心上，不是圆心角； B．图中角的顶点在圆心上，是圆心角； C．图中角的顶点不在圆心上，不是圆心角； D．图中角的顶点不在圆心上，不是圆心角。 所以图中的角是圆心角。 【跟踪训练2】请在下边空白处画一个半径是2厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是90度的扇形，并用阴影部分表示。 【答案】 【分析】根据画圆的方法：先把圆规的两脚分开，定好距离2厘米，也就是半径的长度，把有针尖的一点固定在一点上，也就是圆心，带有铅笔的那只脚绕圆心旋转一周，就画成了一个圆； 画出一条射线，用量角器的中心点和射线的端点重合，0刻度线与射线重合；在量角器上找出所要画的角90°，点上点；以射线的端点过刚画出的点，画出射线即可，据此用阴影填充扇形区域。 【详解】略 1．一根10m长的线，围成下面的平面图形，（    ）的面积最大。 A．长方形 B．正方形 C．圆 D．三角形 【答案】C 【分析】利用正方形、长方形、圆、三角形的周长公式，分别计算出它们的边长、长和宽、圆的半径、底和高，然后再依据各自的面积公式计算出这些图形的面积，最后再比较大小即可得到答案。 【详解】正方形： 边长：（m） 面积：（） 长方形： 长与宽的和：（m） 长与宽越接近，面积越大，取长3m、宽2m， 面积：（），小于正方形面积。 圆： 半径：（m） 面积：（），大于正方形面积。 周长相等的三角形中，等边三角形面积最大，计算得面积约为4.8，小于上述图形面积。 所以周长相等的平面图形中，圆的面积最大，其次是正方形，之后是长方形、三角形。 2．下面说法错误的是（    ）。 A．直径是半径的2倍，半径是直径的。 B．直径是圆内最长的线段。 C．画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径的长度。 D．一个圆内有无数条直径。 【答案】A 【分析】在同一圆内，直径是半径的2倍。 通过圆心，并且两端都落在圆周上的线段，就叫做该圆的直径。直径是同一个圆内长度最长的线段。 半径是指连接圆心和圆上任意一点的线段。画圆时，圆规的针尖固定的点是圆心，两脚间的距离是圆心到圆上任意一点的距离，也就是圆的半径长度。 圆上存在无数个点，任意两个经过圆心的圆上点的连线都是直径，因此一个圆内有无数条直径。 【详解】A．直径是半径的2倍、半径是直径的的前提是在同圆或等圆中，该选项没有说明前提，说法错误。 B．直径是圆内最长的线段，说法正确。 C．画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径的长度，说法正确。 D．一个圆内有无数条直径，说法正确。 3．一个圆的直径是4厘米，它的面积是（    ）平方厘米。 A．16 B．25.12 C．50.24 D．12.56 【答案】D 【分析】圆的面积，其中半径为2厘米。 【详解】（厘米） （平方厘米） 即，它的面积是12.56平方厘米。 4．如果一个圆的半径增加1cm，那么它的周长增加（    ）cm。 A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．1 【答案】B 【分析】假设圆原来的半径是1cm，根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，分别求出半径增加前后的周长，求差即可得到周长增加的长度。 【详解】假设圆原来的半径是1cm。 原来的周长：2×3.14×1＝6.28（cm） 半径增加后的周长：2×3.14×（1＋1） ＝2×3.14×2 ＝12.56（cm） 增加的周长：12.56－6.28＝6.28（cm） 5．下列各图中，有且只有一条对称轴的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对称轴的定义：使图形沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的直线。据此逐项分析即可。 【详解】A．图形是圆，圆是轴对称图形，有无数条对称轴，故不符合题意； B．图形是大小两个圆依次排列，两个圆的圆心在同一条直线上，沿这条直线对折时，图形左右两侧能完全重合，因此只有一条对称轴，故符合题意； C．图形为同心圆，对称轴是经过圆心的任意直线，因此有无数条对称轴，故不符合题意； D．图形为三个圆呈等边三角形排列，沿经过每个圆的圆心和对边中点的直线对折，图形都能重合，因此有3条对称轴，故不符合题意。 6．下面的图形中，涂色部分是扇形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形。扇形是圆的一部分。 【详解】 A． 不是扇形，不符合题意； B． 不是扇形，不符合题意； C． 不是扇形，不符合题意； D． 是扇形，符合题意。 故答案为：D 7．一个圆的周长是18.84cm，则它的直径是( )cm，半径是( )cm。 【答案】 6 3 【分析】根据圆的周长：（取3.14，d是直径），用周长除以圆周率求出直径；根据同圆中直径是半径的2倍，用直径除以2即可求出半径。 【详解】18.84÷3.14＝6（cm），6÷2＝3（cm）。 8．用圆规在硬纸板上画圆，圆规两脚张开的距离是6cm，画出的圆的面积是( )，将这个圆剪成两个半圆形，其中一个半圆形的周长是( )cm。 【答案】 113.04 30.84 【分析】圆规两脚距离是半径r＝6cm，圆面积公式。 半圆周长＝圆周长一半＋直径，直径是12cm。 【详解】 （cm2） 3.14×6×2÷2＋6×2 ＝18.84＋12 ＝30.84（cm） 9．一个半圆的半径是6厘米，那么这个半圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 30.84 56.52 【分析】已知半径为6厘米，根据半圆的周长公式：C＝πr＋2r，半圆的面积公式：S＝πr2÷2，把数据代入公式解答。 【详解】 （厘米） （平方厘米） 因此这个半圆的周长是30.84厘米，面积是56.52平方厘米。 10．如图，将一个圆分成若干等份后，可以拼成一个近似的长方形。如果长方形的长是31.4厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米。 【答案】314 【分析】将一个圆分成若干等份后，可以拼成一个近似的长方形，长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。用长方形的长除以π算出圆的半径，再根据圆的面积公式（）算出圆的面积。 【详解】31.4÷3.14＝10（厘米） 3.14×＝314（平方厘米） 圆的面积是314平方厘米。 11．如图，一个长方形内有3个完全相同的圆。若长方形的周长是24cm，则每个圆的直径是( )cm，周长是( )cm。 【答案】 3 9.42 【分析】观察图，长方形的长＝3个圆的直径，长方形的宽＝1个圆的直径。根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出长＋宽的值，再求出每个圆的直径，进而求出圆的周长：周长＝π×直径。 【详解】长方形的长＝3个圆的直径 长方形的宽＝1个圆的直径 所以，长＋宽＝4个圆的直径 长＋宽＝24÷2＝12（cm） 因此4个圆的直径＝12 1个圆的直径＝12÷4＝3（cm） 即每个圆的直径是3cm。 周长＝π×3＝3.14×3＝9.42（cm） 即每个圆的周长是9.42cm。 12．钟表的分针长10厘米，从1时到2时，分针针尖走过了( )厘米；从1时到2时，分针扫过的面积是( )平方厘米。 【答案】 62.8 314 【分析】钟面上分针走1小时正好是一圈。分针的长度相当于圆的半径，分针针尖走过的路程等于半径为10厘米的圆的周长，分针扫过的面积等于半径为10厘米的圆的面积。根据圆的周长公式C＝2πr和面积公式S＝πr2进行计算。 【详解】从1时到2时经过1小时，分针正好走了一圈。 分针针尖走过的路程： ＝2πr ＝2×3.14×10 ＝6.28×10 ＝62.8（厘米） 分针扫过的面积： ＝πr2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 13．上海世博会世博轴上分布着六个形似喇叭的“阳光谷”，其中最大的一个下端是直径20米的圆，这个圆的周长是( )米，面积是( )平方米。 【答案】 62.8 314 【分析】根据圆周长公式：，圆面积公式：，分别代入数据即可解答。 【详解】3.14×20＝62.8（米） 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 14．计算下面图形的周长。 【答案】第一个圆形的周长是12.56厘米，第二个组合图形的周长是27.42分米。 【分析】第一个图形：首先识别图形为圆形，已知半径2cm，直接将半径数值代入即可计算周长。 第二个图形：先拆分图形，该图形由一个半圆和一个缺了一条边的正方形组成，周长是半圆的弧长加上正方形的三条边长度。 【详解】①圆形周长： ②半圆弧长： 正方形三条边的长度： 组合图形的周长： 综上，第一个圆形的周长是厘米，第二个组合图形的周长是分米。 15．求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） （1）      （2） 【答案】（1）251.2平方厘米；（2）114平方厘米 【分析】（1）圆环的面积＝大圆面积－小圆面积，再根据圆面积，即可解答； （2）阴影部分的面积＝（圆面积÷4－小三角形面积）×4，小三角形的底和高都是直径的一半，再根据圆面积，三角形面积＝底×高÷2，即可解答。 【详解】（1） （平方厘米） （2） （平方厘米） 16．画一个半径是2厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是30°的扇形。 【答案】 【分析】画圆：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；把有针尖的一端固定在一个点上（即圆心）；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 画扇形：在圆中先画一条半径，以半径为角的一条边，用量角器画出所需的角度，由两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形。 【详解】略 17．张老师每天骑自行车上下班，自行车轮胎的外直径是60厘米，自行车车轮平均每分钟转120圈，张老师每天骑车从家到学校需20分钟，那么张老师家距离学校多少米？（取3.14） 【答案】4521.6米 【分析】先将车轮直径的单位从厘米换算为米，统一计算单位；再根据圆的周长公式计算出车轮转动1圈行驶的长度；用车轮一圈的长度乘每分钟转动的圈数，算出自行车每分钟行驶的路程；最后根据“路程＝速度×时间”，用每分钟行驶的路程乘骑行时间，即可求出张老师家到学校的距离。 【详解】60厘米＝0.6米 周长：3.14×0.6＝1.884（米） 每分钟路程：1.884×120＝226.08（米）   总路程：226.08×20＝4521.6（米） 答：家到学校4521.6米。 18．阳光小学课间增加了跳跳球活动，玩跳跳球时需要一只脚在圈内，将跳跳球旋转起来，另一只脚跳起躲避球。如下图，如果站在圈内的脚在跳动时位置不变，那么每个人的活动面积至少是多少平方米？ 【答案】2.5434平方米 【分析】站在圈内的脚位置不变，跳跳球旋转形成一个圆，绳长90 厘米就是圆的半径，活动面积就是这个圆的面积，先把单位换算成米，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】90厘米＝0.9米 3.14×0.92 ＝3.14×0.81 ＝2.5434（平方米） 答：每个人的活动面积至少是2.5434平方米。 19．用一根长62.8米的篱笆围成一个圆形梅花观赏区，这个观赏区的面积是多少平方米？ 【答案】314平方米 【分析】利用圆的周长，求出圆的半径，再根据圆的面积，代入半径的值，取3.14，求出圆形梅花观赏区的面积。 【详解】62.8÷（2×3.14） ＝62.8÷6.28 ＝10（米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 答：这个观赏区的面积是314平方米。 20．中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。图中正方形的边长是2米，正方形和圆之间部分的面积是多少平方米？ 【答案】0.86平方米 【分析】已知外方内圆的图形中正方形的边长是2米，那么正方形内最大圆的直径等于正方形的边长； 观察图形可知，正方形和圆之间部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】2×2＝4（平方米） 3.14×（2÷2）2 ＝3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） 4－3.14＝0.86（平方米） 答：正方形和圆之间部分的面积是0.86平方米。 21．安全重于泰山。街道上有一块圆形的限速标志指示牌（如图），直径是120厘米。沿着指示牌的边缘向里面刷了一圈红色油漆（油漆圈的宽是20厘米），红色油漆的面积是多少平方米？ 【答案】0.628平方米 【分析】求红色油漆的面积，就是求圆环的面积；根据半径＝直径÷2，据此求出指示牌的半径；再用指示牌的半径－油漆圈的宽度，求出小圆的半径，即不刷红色油漆的面积，根据圆环面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），据此解答，注意单位换算。 【详解】120÷2＝60（厘米） 60－20＝40（厘米） 3.14×（602－402） ＝3.14×（3600－1600） ＝3.14×2000 ＝6280（平方厘米） 6280平方厘米＝0.628平方米 答：红色油漆的面积是0.628平方米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $