第四单元 常见数量关系的应用（三）（知识清单）数学北京版六年级上册（新教材）

该小学数学知识清单系统梳理了“常见数量关系的应用（三）”单元内容，涵盖分数与百分数应用、工程问题、利率及税率计算等核心知识，构建了从“核心逻辑解析”到“解题公式推导”再到“典型题型应用”的递进式学习支架。 清单通过“单位‘1’已知/未知”分类呈现知识体系，标注“对应分率找准”等易错点，培养学生抽象能力与运算能力。典型例题配跟踪训练，如利率问题结合生活存款场景，帮助学生建立模型意识，既便于学生自主复习，也为教师教学设计提供精准支持。

第四单元 常见数量关系的应用（三） 知识清单 知识点一、求比一个数多/少几分之几的数是多少 1. 核心逻辑 此类问题中，“一个数”通常为单位“1”（标准量），且单位“1”是已知的。解题关键在于确定分率对应的具体数值或直接利用乘法关系求解。 2. 解题公式 设单位“1”的量为 ，分率为 。 (1) 比 多 的数：或者： (2) 比 少 的数：或者： 知识点二、比一个数多/少百分之几的数是多少 1. 核心逻辑 逻辑与分数应用完全一致，只是将分率替换为百分数。单位“1”依然已知，用乘法计算。 2. 解题公式 设单位“1”的量为 ，百分率为 。 (1) 比 多 的数： (2) 比 少 的数： 3. 注意事项 (1) 计算时可将百分数化为小数或分数进行运算，以提高准确率。 (2) 例如： 。 知识点三、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 1. 核心逻辑 此类问题中，要求解的“这个数”是单位“1”，且单位“1”是未知的。 (1) 方法一（方程法）：设单位“1”为 ，根据等量关系列方程。这是最推荐的方法，逻辑清晰，不易出错。 (2) 方法二（除法/算术法）：已知量 已知量对应的分率 = 单位“1”。 2. 解题公式 设已知量为 ，分率为 。 (1) 已知比 多 的数是 ： 1　 方程： 2　 算术： (2) 已知比 少 的数是 ： 1　 方程： 2　 算术： 知识点四、已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 1. 核心逻辑 同第三部分，单位“1”未知，已知量与百分率对应。优先使用方程法。 2. 解题公式 设已知量为 ，百分率为 。 (1) 已知比 多 的数是 ： (2) 已知比 少 的数是 ： 3. 易错点提示 (1) 找准“对应分率”：如果题目说“增加了 20%”，那么已知量对应的分率不是 20%，而是 。 知识点五、求一个数比另一个数多/少百分之几 1. 核心逻辑 这是求差值占单位“1”的百分比。 (1) 第一步：确定单位“1”（“比”字后面的那个数）。 (2) 第二步：计算两个数的差（大数 - 小数）。 (3) 第三步：差 单位“1” 。 2. 解题公式 设甲数为 ，乙数为 。 (1) 甲比乙多百分之几（乙是单位“1”）： (2) 甲比乙少百分之几（乙是单位“1”）： 知识点六、两人合作的工程问题 1. 核心概念 (1) 工作总量：通常看作单位“1”。 (2) 工作效率：单位时间内完成的工作量。若单独做需 天，则效率为 。 (3) 合作效率：甲效率 + 乙效率。 2. 基本数量关系 3. 常见题型与解法 (1) 求合作时间： (2) 中途加入/离开：分段计算。先算独做部分，再算合作部分，或者利用总工作量减去已完成部分。 知识点七、利率问题 1. 核心术语 (1) 本金：存入银行的钱。 (2) 利息：取款时银行多支付的钱。 (3) 利率：利息与本金的比值（通常指年利率）。 (4) 存期：存款的时间。 2. 计算公式 3. 注意事项 (1) 注意利率的时间单位（年利率、月利率）与存期单位必须一致。 (2) 目前中国大陆储蓄存款暂免征收利息税（除非题目特殊说明，否则不考虑扣税）。 知识点八、税率问题 1. 核心术语 (1) 应纳税额：需要缴纳的税款。 (2) 税率：应纳税额与各种收入（销售额、营业额、应纳税所得额等）的比率。 2. 计算公式 3. 常见场景 (1) 增值税/营业税：基于营业额或销售额计算。 (2) 个人所得税：基于应纳税所得额计算（六年级通常考查简单层级，即：应纳税所得额 = 总收入 - 起征点 - 专项扣除，然后乘以对应税率）。 题型一、求比一个数多/少几分之几的数是多少 【典型例题】某品牌新能源汽车2025年的年销售量为50000辆，2024年比2025年少。2024年该品牌新能源汽车的年销售量为多少辆？ 【跟踪训练1】晨光小学开展“六一义卖”活动，六（1）班收入义卖款2400元，六（2）班的义卖款比六（1）班多，六（2）班的义卖款是多少元？ (1)根据题意，把线段图补充完整。 (2)列式解答。 【跟踪训练2】一台电脑原价4000元，现在的价格比原来降低了，现价多少元？ 题型二、比一个数多/少百分之几的数是多少 【典型例题】新中国成立以来，我国粮食产量稳步增长。2024年我国粮食总产量约为6.9亿吨，2025年比2024年增长了2%，2025年我国粮食总产量约是多少亿吨？ 【跟踪训练1】阳光小学食堂原来每天产生的厨余垃圾约120千克。实行“光盘行动”后，厨余垃圾减少了30%。现在食堂每天的厨余垃圾大约是多少千克？ 【跟踪训练2】学校开展垃圾分类志愿活动，六年级参与志愿者160人，五年级参与人数比六年级多20%。五年级有多少人参与志愿活动？ 题型三、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【典型例题】被誉为河北“生态纽带”的滹沱河，河道两岸将建设若干座主题公园，共打造水域面积1800亩，比绿化面积少。建成后滹沱河河道两岸的绿化面积是多少亩？ 【跟踪训练1】某汽车公司今年5月份生产新能源汽车5500辆，比4月份增长了。4月份生产了多少辆？（先画线段图分析，再列式解答） 【跟踪训练2】光明小学组织五、六年级学生参加运动会，其中五年级学生有210人，五年级学生人数比六年级多，六年级参加的学生有多少人？ 题型四、已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 【典型例题】某电商平台引进了AI智能客服。据统计，AI客服每小时能处理480个简单咨询，比人工客服工作效率提高了20%。人工客服每小时能处理多少个咨询？ 【跟踪训练1】端午节是中国的传统节日，主要风俗之一就是吃粽子。六年级一班同学包了豆沙和红枣两种粽子，红枣粽包了36个，比豆沙粽多包了20%，豆沙粽包了多少个？（先画线段图分析，再列式解答） 【跟踪训练2】甲骨文，是我国一种古老文字，又称“契文”或“龟甲兽骨文”，是我们能见到的最早的成熟汉字。2017年已成功申报并入选联合国教科文组织的《世界记忆名录》。此次申报的9.6万片甲骨文比至今发现的甲骨文总数少40%，至今发现的甲骨文总数是多少万片？ 题型五、求一个数比另一个数多/少百分之几 【典型例题】某校六年级学生在“非遗进校园”活动中学习刻制“龙船花”。一班学生刻制了75幅作品，二班学生刻制了80幅作品，一班的作品比二班少百分之几？ 【跟踪训练1】学校准备在六一儿童节上办一场美术展览，其中水彩画有50幅，铅笔画有40幅，那么水彩画比铅笔画多了百分之几？ 【跟踪训练2】某商场举行羽绒服促销活动，李阿姨花900元买了一件羽绒服，比促销前便宜了300元，便宜了百分之几？ 题型六、两人合作的工程问题 【典型例题】修一条长4千米的公路，甲队单独修10天完成，乙队单独修8天完成。如果两队合修几天能修完？ 【跟踪训练1】修一条乡村公路，甲队单独修要12天完成，乙队单独修要15天完成。两队合修4天，能完成这条公路的几分之几？ 【跟踪训练2】甲乙两车共同运一批货物，合运18天后余下一些货物。余下甲车单独运10天运完，乙车单独运15天运完。两车一开始全程合作，运完所有货物一共要几天？ 题型七、利率问题 【典型例题】小华将5000元存入银行，定期3年，如果年利率为1.5%。到期后可取回多少钱？ 【跟踪训练1】小红把自己的压岁钱5000元零花钱存入银行，准备作为初中入学的启动资金。她存了定期三年，年利率为1.55%。到期后，她想用这笔利息买一套价值200元的名著送给好朋友做毕业礼物，钱够吗？ 【跟踪训练2】李大爷把10000元按整存整取存入某银行，存三年定期。到期时连本带息取出，李大爷可以取出多少钱？ 类型 活期 整存整取 存期 — 三个月 六个月 一年 二年 三年 年利率/% 0.05 0.65 0.85 0.95 1.05 1.25 题型八、税率问题 【典型例题】小可的爸爸工资收入是5500元，根据国家规定，个人工资收入超过5000元的部分要缴纳3%的个人所得税。小可的爸爸纳税后，实际工资收入是多少元？ 【跟踪训练1】某饭店按4月份营业额的缴纳了1.6万元营业税，5月份的营业额比4月份增长。这家饭店5月份的营业额是多少万元？ 【跟踪训练2】小红的妈妈每月工资扣除“五险一金”后是9200元。根据国家规定，个人每月应纳税所得额与对应税率如下表所示。小红的妈妈每月应缴纳个人所得税多少元？ 每月应纳税所得额 税率 不超过5000元的部分 0 超过5000元、不超过8000元的部分 3% 超过8000元至170000元的部分 10% 1．六（1）班有男生20人，女生人数比男生多，男生人数比女生少（    ）。 A．25% B．20% C．75% D．80% 2．某特产店包一批肉包，已经包好了240个，________，原计划包多少个？若列式为，横线上应补充的条件是（    ）。 A．比原计划少包 B．原计划比已经包好的少 C．是原计划的 D．比原计划多包 3．根据下边线段图中的信息及问题，下面列式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．刘阿姨把60000元存入银行，存期为三年定期，年利率为1.6%。到期时刘阿姨可获得利息（    ）元。 A．2880 B．2780 C．1980 D．960 5．一件商品先提价20%，再降价20%。这件商品相比原价的变化幅度（    ）。 A．涨了20% B．降了4% C．降了5% D．没有变化 6．甲数是80，乙数是50，甲数比乙数多( )%，乙数比甲数少( )%。 7．文具店一套精装绘本原价80元，六一促销降价20%售卖，现价( )元。 8．80升的30%是( )升；比12米短是( )米；9公顷比8公顷多( )%。 9．自2019年4月起，我国制造企业的税率由原来的16%降为13%。我市一家微型机械制造厂全年的总营业额为200万元，如果按照新税法计算，可以减少纳税( )万元。如果该厂将减少的税额存入银行，定期两年，年利率是2.5%，到期时一共可以取回( )元。 10．一辆货车从仓库开往卖场，原定行驶时长6小时，实际只用了5小时。行驶速度提高了( )%。 11．学校“智慧农场”要维修，甲队单独完成需要4天，乙队单独完成需要6天。如果两队合作( )天就能完成。 12．2025年桃花节肥城桃花源景区接待游客约16万人次，2026年桃花节接待游客约23万人次。2026年比2025年增加( )万人次，游客量增长了( )%。 13．看图列式计算。 14．看图列式计算。 15．诚信公司销售部有员工28人，策划部比销售部少，策划部有员工多少人？ 16．近年来陈皮价格飞涨，丽宫股份的陈皮单价2020年为471元/斤，到2023年上半年涨幅高达42%，2023年上半年单价是多少钱？（保留整十数） 17．甲乙两队合修一条路，甲队完成全长的62%，比乙队多修360米，这条路全长多少米？ 18．王大伯将5万元存入银行，定期3年，年利率是1.5%，到期后他可以取出本金和利息共多少万元？ 19．王叔叔在某短视频平台发布了一条视频，收到了750条评论，评论数量是点赞数量的，转发数量比点赞数量少，转发数量有多少条？ 20．参观完华清宫后，小华全家去了华清宫文创店，文创店卖出一批长恨歌主题盲盒，卖出总数的后，还剩36个。这批盲盒原来有多少个？ 21．某超市2024年10月份销售水果450千克，比9月份的销售量增加了，该超市2024年9月份销售水果多少千克？ 22．你听说过“三百星”的故事吗？从“东方红一号”到“嫦娥五号”，中国空间技术研究院研制并成功发射了300个航天器，统称“三百星”。自1970年以来，达成第一个“百星”用了41年，达成第二个“百星”用了6年，达成第三个“百星”只用了3年时间。达成第三个“百星”的时间比完成第一个“百星”的时间缩短了百分之几？（除不尽的百分号前保留一位小数） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 常见数量关系的应用（三） 知识清单 知识点一、求比一个数多/少几分之几的数是多少 1. 核心逻辑 此类问题中，“一个数”通常为单位“1”（标准量），且单位“1”是已知的。解题关键在于确定分率对应的具体数值或直接利用乘法关系求解。 2. 解题公式 设单位“1”的量为 ，分率为 。 (1) 比 多 的数：或者： (2) 比 少 的数：或者： 知识点二、比一个数多/少百分之几的数是多少 1. 核心逻辑 逻辑与分数应用完全一致，只是将分率替换为百分数。单位“1”依然已知，用乘法计算。 2. 解题公式 设单位“1”的量为 ，百分率为 。 (1) 比 多 的数： (2) 比 少 的数： 3. 注意事项 (1) 计算时可将百分数化为小数或分数进行运算，以提高准确率。 (2) 例如： 。 知识点三、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 1. 核心逻辑 此类问题中，要求解的“这个数”是单位“1”，且单位“1”是未知的。 (1) 方法一（方程法）：设单位“1”为 ，根据等量关系列方程。这是最推荐的方法，逻辑清晰，不易出错。 (2) 方法二（除法/算术法）：已知量 已知量对应的分率 = 单位“1”。 2. 解题公式 设已知量为 ，分率为 。 (1) 已知比 多 的数是 ： 1　 方程： 2　 算术： (2) 已知比 少 的数是 ： 1　 方程： 2　 算术： 知识点四、已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 1. 核心逻辑 同第三部分，单位“1”未知，已知量与百分率对应。优先使用方程法。 2. 解题公式 设已知量为 ，百分率为 。 (1) 已知比 多 的数是 ： (2) 已知比 少 的数是 ： 3. 易错点提示 (1) 找准“对应分率”：如果题目说“增加了 20%”，那么已知量对应的分率不是 20%，而是 。 知识点五、求一个数比另一个数多/少百分之几 1. 核心逻辑 这是求差值占单位“1”的百分比。 (1) 第一步：确定单位“1”（“比”字后面的那个数）。 (2) 第二步：计算两个数的差（大数 - 小数）。 (3) 第三步：差 单位“1” 。 2. 解题公式 设甲数为 ，乙数为 。 (1) 甲比乙多百分之几（乙是单位“1”）： (2) 甲比乙少百分之几（乙是单位“1”）： 知识点六、两人合作的工程问题 1. 核心概念 (1) 工作总量：通常看作单位“1”。 (2) 工作效率：单位时间内完成的工作量。若单独做需 天，则效率为 。 (3) 合作效率：甲效率 + 乙效率。 2. 基本数量关系 3. 常见题型与解法 (1) 求合作时间： (2) 中途加入/离开：分段计算。先算独做部分，再算合作部分，或者利用总工作量减去已完成部分。 知识点七、利率问题 1. 核心术语 (1) 本金：存入银行的钱。 (2) 利息：取款时银行多支付的钱。 (3) 利率：利息与本金的比值（通常指年利率）。 (4) 存期：存款的时间。 2. 计算公式 3. 注意事项 (1) 注意利率的时间单位（年利率、月利率）与存期单位必须一致。 (2) 目前中国大陆储蓄存款暂免征收利息税（除非题目特殊说明，否则不考虑扣税）。 知识点八、税率问题 1. 核心术语 (1) 应纳税额：需要缴纳的税款。 (2) 税率：应纳税额与各种收入（销售额、营业额、应纳税所得额等）的比率。 2. 计算公式 3. 常见场景 (1) 增值税/营业税：基于营业额或销售额计算。 (2) 个人所得税：基于应纳税所得额计算（六年级通常考查简单层级，即：应纳税所得额 = 总收入 - 起征点 - 专项扣除，然后乘以对应税率）。 题型一、求比一个数多/少几分之几的数是多少 【典型例题】某品牌新能源汽车2025年的年销售量为50000辆，2024年比2025年少。2024年该品牌新能源汽车的年销售量为多少辆？ 【答案】40000辆 【分析】将2025年的年销售量看作单位“1”，2024年比2025年少，即2024年的销售量是2025年的。已知单位“1"的具体数量，求它的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】 （辆） 答：2024年该品牌新能源汽车的年销售量为辆。 【跟踪训练1】晨光小学开展“六一义卖”活动，六（1）班收入义卖款2400元，六（2）班的义卖款比六（1）班多，六（2）班的义卖款是多少元？ (1)根据题意，把线段图补充完整。 (2)列式解答。 【答案】(1) (2) 3360元 【分析】（1）在六（）班线段的下方画六（）班的线段。六（）班的线段先画一段与六（）班等长的部分，然后再向右延伸，画出多出来的部分，多出来的部分长度应该是六（）班线段长度的，也就是份的长度。 （2）将六（）班收入的义卖款看作单位“”，六（）班收入的义卖款就是六（）班的。求一个数的几分之几是多少用乘法。 【详解】（1）略 （2） （元） 答：六（）班的义卖款是元。 【跟踪训练2】一台电脑原价4000元，现在的价格比原来降低了，现价多少元？ 【答案】2400元 【分析】把电脑原价看作单位“1”，现价是原价的（1－），求现价，单位“1”已知，用乘法，用电脑原价×（1－），据此解答。 【详解】4000×（1－） ＝4000× ＝2400（元） 答：现价是2400元。 题型二、比一个数多/少百分之几的数是多少 【典型例题】新中国成立以来，我国粮食产量稳步增长。2024年我国粮食总产量约为6.9亿吨，2025年比2024年增长了2%，2025年我国粮食总产量约是多少亿吨？ 【答案】7.038亿吨 【分析】把2024年我国粮食总产量看作单位“1”已知单位“1”的量，根据求比一个数多（少）百分之几的数是多少，用乘法计算，即可解答。 【详解】 （亿吨） 答：2025年我国粮食总产量约是亿吨。 【跟踪训练1】阳光小学食堂原来每天产生的厨余垃圾约120千克。实行“光盘行动”后，厨余垃圾减少了30%。现在食堂每天的厨余垃圾大约是多少千克？ 【答案】84千克 【分析】把原来每天产生的厨余垃圾质量看作单位"1"，已知厨余垃圾减少了，则现在每天产生的厨余垃圾质量是原来的。根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，即原来每天产生的厨余垃圾质量乘现在占原来的百分率。 【详解】根据分析，解答如下： （千克） 答：现在食堂每天的厨余垃圾大约是84千克。 【跟踪训练2】学校开展垃圾分类志愿活动，六年级参与志愿者160人，五年级参与人数比六年级多20%。五年级有多少人参与志愿活动？ 【答案】192人 【分析】根据题意，把六年级参与人数看作单位“1”，则五年级参与人数相当于六年级的（1＋20%）。已知单位“1”的具体数量，求比较量，用乘法计算。 【详解】160×（1＋20%） ＝160×1.2 ＝192（人） 答：五年级有192人参与志愿活动。 题型三、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【典型例题】被誉为河北“生态纽带”的滹沱河，河道两岸将建设若干座主题公园，共打造水域面积1800亩，比绿化面积少。建成后滹沱河河道两岸的绿化面积是多少亩？ 【答案】亩 【分析】根据题干“比绿化面积少”，可知绿化面积是单位“1”，水域面积相当于绿化面积的。已知水域面积是1800亩，求单位“1”的量，用除法计算。 【详解】1800÷（1－） ＝1800÷ ＝1800× ＝3200（亩） 答：建成后滹沱河河道两岸的绿化面积是3200亩。 【跟踪训练1】某汽车公司今年5月份生产新能源汽车5500辆，比4月份增长了。4月份生产了多少辆？（先画线段图分析，再列式解答） 【答案】；4400 辆 【分析】根据题意可知，4月份的生产量是单位“1”。 5月份的生产量比4月份增长了，那么5月份的生产量相当于4月份的。画线段图时：将4月份的生产量看作单位“1”，平均分成4份，5月份比4月份多1份，即5月份的生产量相当于5份。根据“已知比一个数多几分之几是多少，求这个数”，用除法计算，用5月份的生产量除以，即可求出4月份的生产量。 【详解】如图： 5500÷ ＝5500÷ ＝5500× ＝4400（辆） 答：4 月份生产了4400辆。 【跟踪训练2】光明小学组织五、六年级学生参加运动会，其中五年级学生有210人，五年级学生人数比六年级多，六年级参加的学生有多少人？ 【答案】180人 【分析】已知五年级学生人数比六年级多，把六年级的学生人数看作单位“1”，则五年级学生人数是六年级的（1＋），单位“1”未知，用五年级学生人数除以（1＋），求出六年级的学生人数。 【详解】210÷（1＋） ＝210÷ ＝210× ＝180（人） 答：六年级参加的学生有180人。 题型四、已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 【典型例题】某电商平台引进了AI智能客服。据统计，AI客服每小时能处理480个简单咨询，比人工客服工作效率提高了20%。人工客服每小时能处理多少个咨询？ 【答案】400个 【分析】根据题意，将人工客服每小时处理的咨询数量看作单位“1”。AI客服每小时处理的数量相当于人工客服的，已知对应的量是480个，求单位“1”的量，用除法计算。 【详解】把人工客服每小时处理的咨询数量看作单位"1"。 （个） 答：人工客服每小时能处理400个咨询。 【跟踪训练1】端午节是中国的传统节日，主要风俗之一就是吃粽子。六年级一班同学包了豆沙和红枣两种粽子，红枣粽包了36个，比豆沙粽多包了20%，豆沙粽包了多少个？（先画线段图分析，再列式解答） 【答案】 30个 【分析】红枣粽包了36个，比豆沙粽多包了20%，可知把豆沙粽的数量看作单位“1”，红枣粽的数量相当于豆沙粽的（1＋20%）。已知红枣粽有36个，求单位“1”，根据对应量÷对应分率＝单位“1”的量进行计算。画线段图时，先画一条线段表示豆沙粽（单位“1”），再画一条比它长的线段表示红枣粽，多出的部分占豆沙粽的20%，红枣粽总长对应36个。 【详解】线段图略 36÷（1＋20%） ＝36÷（1＋0.2） ＝36÷1.2 ＝30（个） 答：豆沙粽包了30个。 【跟踪训练2】甲骨文，是我国一种古老文字，又称“契文”或“龟甲兽骨文”，是我们能见到的最早的成熟汉字。2017年已成功申报并入选联合国教科文组织的《世界记忆名录》。此次申报的9.6万片甲骨文比至今发现的甲骨文总数少40%，至今发现的甲骨文总数是多少万片？ 【答案】16万片 【分析】把至今发现的甲骨文总数看作单位“1”，此次申报的甲骨文片数是总数的（1－40%），对应的是此次申报万片，求单位“1”的量，用此次申报的甲骨文片数÷（1－40%）解答。 【详解】9.6÷（1－40%） ＝9.6÷0.6 ＝16（万片） 答：至今发现的甲骨文总数是16万片。 题型五、求一个数比另一个数多/少百分之几 【典型例题】某校六年级学生在“非遗进校园”活动中学习刻制“龙船花”。一班学生刻制了75幅作品，二班学生刻制了80幅作品，一班的作品比二班少百分之几？ 【答案】6.25% 【分析】求一班的作品比二班少百分之几，先用减法求出少的数量，再除以二班作品的数量即可。 【详解】（80－75）÷80×100% ＝5÷80×100% ＝0.0625×100% ＝6.25% 答：一班的作品比二班少6.25%。 【跟踪训练1】学校准备在六一儿童节上办一场美术展览，其中水彩画有50幅，铅笔画有40幅，那么水彩画比铅笔画多了百分之几？ 【答案】25% 【分析】把铅笔画的数量看作单位“1”，水彩画有50幅，铅笔画有40幅，求水彩画比铅笔画多了百分之几，就是求水彩画比铅笔画多的部分占铅笔画的百分之几，用水彩画比铅笔画多的幅数除以铅笔画幅数。 【详解】（50－40）÷40 ＝10÷40 ＝0.25 ＝25% 答：水彩画比铅笔画多了25%。 【跟踪训练2】某商场举行羽绒服促销活动，李阿姨花900元买了一件羽绒服，比促销前便宜了300元，便宜了百分之几？ 【答案】 【分析】根据题意“比促销前便宜了”，可知促销前的价格是单位“1”。已知现价900元和便宜的钱数300元，首先需要根据现价和便宜的钱数求出促销前的价格，然后用便宜的钱数除以促销前的价格，最后将结果化成百分数即可。 【详解】（元） 答：便宜了。 题型六、两人合作的工程问题 【典型例题】修一条长4千米的公路，甲队单独修10天完成，乙队单独修8天完成。如果两队合修几天能修完？ 【答案】天 【分析】本题中的工作总量为4千米，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出甲、乙两队每天修路的长度（工作效率），相加即为两队合作每天修路的长度和（工作效率和），最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率和”列式计算即可。 【详解】甲队每天修的长度：（千米） 乙队每天修的长度：（千米） 两队合修需要的天数： ＝ （天） 答：两队合修天能修完。 【跟踪训练1】修一条乡村公路，甲队单独修要12天完成，乙队单独修要15天完成。两队合修4天，能完成这条公路的几分之几？ 【答案】 【分析】把修这条公路的工作总量看作“1”，先根据“工作效率＝工作量÷工作时间”，分别求出甲队和乙队的工作效率。 已知两队合修4天，根据“合作工作量＝合作工效×合作工时”，求出两队合修4天完成这条公路的几分之几。 【详解】甲队的工作效率： 乙队的工作效率： 两队合修4天完成的工作量： 答：能完成这条公路的。 【跟踪训练2】甲乙两车共同运一批货物，合运18天后余下一些货物。余下甲车单独运10天运完，乙车单独运15天运完。两车一开始全程合作，运完所有货物一共要几天？ 【答案】24天 【分析】将余下的货物量看作单位“1”，利用余下货物甲、乙单独运完的时间表示出两车的工作效率。进而求出两车合作的工作效率以及前18天完成的工作量相当于余下货物的倍数，从而确定总工作量相当于余下货物的几倍。最后利用“工作总量工作效率工作时间”求出全程合作所需的天数。 【详解】把余下的货物看作单位“1”。 甲车的工作效率：1÷10＝ 乙车的工作效率：1÷15＝ 两车合作的工作效率：＋ ＝＋ ＝ ＝ 前18天完成的工作量：18×＝3 总工作量：3＋1＝4 全程合作所需时间：4÷ ＝4×6 ＝24（天） 答：运完所有货物一共要24天。 题型七、利率问题 【典型例题】小华将5000元存入银行，定期3年，如果年利率为1.5%。到期后可取回多少钱？ 【答案】 5225元 【分析】根据公式利息＝本金×利率×存期，先求出到期后的利息，再将利息与本金相加，即可得到到期后可取回的总金额。 【详解】 （元） 答：到期后可取回5225元。 【跟踪训练1】小红把自己的压岁钱5000元零花钱存入银行，准备作为初中入学的启动资金。她存了定期三年，年利率为1.55%。到期后，她想用这笔利息买一套价值200元的名著送给好朋友做毕业礼物，钱够吗？ 【答案】够 【分析】利息本金利率存期。 先根据公式求出到期后的利息，再将所得利息与名著的价格进行比较，若利息大于或等于价格，则钱够，否则不够。 【详解】 （元） 答：钱够。 【跟踪训练2】李大爷把10000元按整存整取存入某银行，存三年定期。到期时连本带息取出，李大爷可以取出多少钱？ 类型 活期 整存整取 存期 — 三个月 六个月 一年 二年 三年 年利率/% 0.05 0.65 0.85 0.95 1.05 1.25 【答案】10375元 【分析】，首先从表格中确定三年定期的年利率是，然后计算出利息，最后用本金加上利息求出到期可取出的总钱数。 【详解】 （元） 答：李大爷可以取出10375元。 题型八、税率问题 【典型例题】小可的爸爸工资收入是5500元，根据国家规定，个人工资收入超过5000元的部分要缴纳3%的个人所得税。小可的爸爸纳税后，实际工资收入是多少元？ 【答案】5485元 【分析】个人所得税仅对超过5000元的部分征收，所以用总工资减去5000元得到应纳税所得额。因为税率是3%，所以用应纳税所得额乘3%即可得到纳税额。税后实际收入用总工资减去缴纳的个人所得税，就能得到最终的实际工资收入。 【详解】（元） （元） （元） 答：小可的爸爸纳税后，实际工资收入是5485元。 【跟踪训练1】某饭店按4月份营业额的缴纳了1.6万元营业税，5月份的营业额比4月份增长。这家饭店5月份的营业额是多少万元？ 【答案】38.4万元 【分析】根据营业额×税率＝营业税，可知，营业额＝营业税÷税率，已知税率和4月份缴纳的营业税，代入数据，即可求出4月份的营业额；把4月份的营业额看作单位“1”，5月份的营业是4月份营业额的（1＋20%），用4月份的营业额乘（1＋20%），即可求出这家饭店5月份的营业额是多少万元。 【详解】1.6÷5％＝32（万元） （万元） 答：这家饭店5月份的营业额是38.4万元。 【跟踪训练2】小红的妈妈每月工资扣除“五险一金”后是9200元。根据国家规定，个人每月应纳税所得额与对应税率如下表所示。小红的妈妈每月应缴纳个人所得税多少元？ 每月应纳税所得额 税率 不超过5000元的部分 0 超过5000元、不超过8000元的部分 3% 超过8000元至170000元的部分 10% 【答案】210元 【分析】根据表格可知，个人所得税需要采用分段计算的方法。首先将9200元按照表格中的临界值分成三部分：不超过5000元的部分、超过5000元不超过8000元的部分、超过8000元的部分。分别确定各部分对应的税率，计算各部分的税额，最后将各部分税额相加即可得到总税额。 【详解】第一部分：不超过5000元的部分，税率为 0%。 第二部分：超过5000元不超过8000元的部分，金额为：（元） 这部分应缴税额为：（元） 第三部分：超过8000元的部分，金额为：（元） 这部分应缴税额为：（元） 每月应缴纳个人所得税总额为：（元） 答：小红的妈妈每月应缴纳个人所得税210元。 1．六（1）班有男生20人，女生人数比男生多，男生人数比女生少（    ）。 A．25% B．20% C．75% D．80% 【答案】B 【分析】“女生人数比男生多”，单位“1”是男生人数；把男生看作4份，女生比男生多1份，女生有这样的5份，求“男生人数比女生少百分之几”，单位“1”是女生人数，男生比女生少的份数÷女生份数×100%即可 【详解】男生看作4份，女生比男生多1份； 1÷（1＋4）×100% ＝1÷5×100% ＝0.2×100% ＝20% 2．某特产店包一批肉包，已经包好了240个，________，原计划包多少个？若列式为，横线上应补充的条件是（    ）。 A．比原计划少包 B．原计划比已经包好的少 C．是原计划的 D．比原计划多包 【答案】A 【分析】根据分数除法的意义，已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数，用除法计算。在此算式中，240是已经包好的数量，它是部分量；是部分量对应的分率；除号后面的单位“1”是原计划包的数量。算式中的减号表示已经包好的数量比单位“1”少。因此，需要寻找表示“已经包好的数量比原计划少”的条件。 【详解】A．把原计划包的数量看作单位“1”，已经包好的数量比原计划少，则已经包好的数量是原计划的（）。求单位“1”，用除法，列式为。此选项正确。 B．把已经包好的数量看作单位“1”，原计划包的数量是已经包好的（）。求原计划包的数量，用乘法，列式为。此选项错误。 C．把原计划包的数量看作单位“1”，已经包好的数量是原计划的。求单位“1”，用除法，列式为。此选项错误。 D．把原计划包的数量看作单位“1”，已经包好的数量比原计划多，则已经包好的数量是原计划的（）。求单位“1”，用除法，列式为。此选项错误。 3．根据下边线段图中的信息及问题，下面列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把男生人数看作单位1，女生比男生少，女生人数对应的分率是，女生有12人，已知部分量和对应分率，求单位1用除法。 【详解】列式： 4．刘阿姨把60000元存入银行，存期为三年定期，年利率为1.6%。到期时刘阿姨可获得利息（    ）元。 A．2880 B．2780 C．1980 D．960 【答案】A 【分析】根据利息的计算公式：利息＝本金×利率×存期。题目中给出了本金元、年利率和存期年，直接代入公式计算出总利息，再对照选项选出正确答案。 【详解】 （元） 到期时可获得利息元。 5．一件商品先提价20%，再降价20%。这件商品相比原价的变化幅度（    ）。 A．涨了20% B．降了4% C．降了5% D．没有变化 【答案】B 【分析】把原价看作单位“1”。先提20%，提价后的价格是原价的（1＋20%），后来又降价20%，是在（1＋20%）的基础上降的价，降价后的价格就是（1＋20%）的（1－20%），再比较作差即可求解。 【详解】1×（1＋20%）×（1－20%） ＝1×1.2×0.8 ＝0.96 ＝96% 1－96%＝4% 现价比原价降低4%。 6．甲数是80，乙数是50，甲数比乙数多( )%，乙数比甲数少( )%。 【答案】 60 37.5 【分析】求一个数比另一个数多/少百分之几：先求两数之差，再用差除以比字后面的数，结果用百分数表示。 【详解】甲数比乙数多： ＝ ＝ ＝ 乙数比甲数少： ＝ ＝ ＝ 7．文具店一套精装绘本原价80元，六一促销降价20%售卖，现价( )元。 【答案】64 【分析】降价是在原价的基础上降20%，所以需要先计算出现价占原价的比例。因为现价对应原价的(1－20%)，然后再乘原价即可得到现价，用到百分数乘法的计算方法。 【详解】现价是原价的 现价为（元） 8．80升的30%是( )升；比12米短是( )米；9公顷比8公顷多( )%。 【答案】 24 4 12.5 【分析】把80升看作单位“1”，求一个数的百分之几是多少，用乘法； 把12米看作单位“1”，比12米短，即长度是12米的，用乘法； 把8公顷看作单位“1”，求一个数比另一个数多百分之几，用除法。 【详解】80×30%＝24（升） 12×（1−） ＝12× ＝4（米） 9．自2019年4月起，我国制造企业的税率由原来的16%降为13%。我市一家微型机械制造厂全年的总营业额为200万元，如果按照新税法计算，可以减少纳税( )万元。如果该厂将减少的税额存入银行，定期两年，年利率是2.5%，到期时一共可以取回( )元。 【答案】 6 63000 【分析】把总营业额200万元看作单位“1”，先用原税率减去新税率求出税率降低了多少，再用总营业额乘降低的税率，求出减少的纳税额。 把减少的纳税额换算成元作为本金，用本金×年利率×存期求出利息，再用本金加利息，求出到期可取回的总钱数。 【详解】200×（16%－13%） ＝200×3% ＝6（万元） 6万元＝60000元 60000＋60000×2.5%×2 ＝60000＋1500×2 ＝60000＋3000 ＝63000（元） 10．一辆货车从仓库开往卖场，原定行驶时长6小时，实际只用了5小时。行驶速度提高了( )%。 【答案】20 【分析】把仓库到卖场的路程看作单位“1”，根据分数的意义，将原定行驶的速度和实际行驶的速度用分数表示出来。求一个数比另一个数多百分之几，用除法计算。 【详解】原定速度：1÷6＝ 实际速度：1÷5＝ （）÷×100% ＝÷×100% ＝×6×100% ＝×100% ＝20% 11．学校“智慧农场”要维修，甲队单独完成需要4天，乙队单独完成需要6天。如果两队合作( )天就能完成。 【答案】//2.4 【分析】工作总量是单位“1”据此用“工作总量÷工作时间＝工作效率”分别算出甲队、乙队的工作效率，再用“工作总量÷工作效率和＝合作工作时间”。 【详解】， （天） 12．2025年桃花节肥城桃花源景区接待游客约16万人次，2026年桃花节接待游客约23万人次。2026年比2025年增加( )万人次，游客量增长了( )%。 【答案】 【分析】求2026年比2025年增加多少万人次，用2026年桃花节接待游客的人数减去2025年桃花节肥城桃花源景区接待游客的人数解答；把2025年桃花节肥城桃花源景区接待游客人数看作单位“1”，用2026年比2025年增加的人数除以2025年桃花节肥城桃花源景区接待游客人数，再乘100%。 【详解】23－16＝7（万人次） 7÷16×100% ＝0.4375×100% ＝43.75% 2026年比2025年增加7万人次，游客量增长了43.75%。 13．看图列式计算。 【答案】（面） 【分析】把红旗数量看作单位“1”，那么绿旗数量是红旗数量的，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，绿旗的数量＝红旗的数量×对应分率。 【详解】 （面） 14．看图列式计算。 【答案】20人 【分析】观察可知，把男生人数看作单位“1”，女生人数是男生人数的，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算，据此解答。 【详解】 （人） 15．诚信公司销售部有员工28人，策划部比销售部少，策划部有员工多少人？ 【答案】24人 【分析】根据题意“策划部比销售部少”，可知销售部人数是单位“1”，策划部人数是销售部人数的。根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，即用销售部人数乘策划部对应的分率即可求出策划部的人数。 【详解】 （人） 答：策划部有员工24人。 16．近年来陈皮价格飞涨，丽宫股份的陈皮单价2020年为471元/斤，到2023年上半年涨幅高达42%，2023年上半年单价是多少钱？（保留整十数） 【答案】670元 【分析】把2020年的单价看作单位“1”，2023年上半年单价是2020年的（1＋42%），求2023年上半年单价，单位“1”已知，用乘法，用2020年的单价×（1＋42%）解答；结果用“四舍五入”法解答。 【详解】471×（1＋42%） ＝471×1.42 ＝668.82 ≈670（元/斤） 答：2023年上半年单价是670元/斤。 17．甲乙两队合修一条路，甲队完成全长的62%，比乙队多修360米，这条路全长多少米？ 【答案】1500米 【分析】把这条路的全长看作单位“1”，甲队完成全长的，则乙队完成全长的。甲队比乙队多修的长度占全长的百分率是，对应的具体长度是米。根据“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”，用除法计算全长。 【详解】 （米） 答：这条路全长米。 18．王大伯将5万元存入银行，定期3年，年利率是1.5%，到期后他可以取出本金和利息共多少万元？ 【答案】5.225万元 【分析】根据利息公式“利息 ＝ 本金×年利率×存款年限”，先算出利息，再加上本金得到本金和利息总和。 【详解】5×1.5%×3＋5 ＝5×0.015×3＋5 ＝0.225＋5 ＝5.225（万元） 答：到期后他可以取出本金和利息共5.225万元。 19．王叔叔在某短视频平台发布了一条视频，收到了750条评论，评论数量是点赞数量的，转发数量比点赞数量少，转发数量有多少条？ 【答案】700条 【分析】本题解题的关键是找准单位“1”。首先根据“评论数量是点赞数量的”，可知点赞数量是单位“1”，且未知，已知量是评论数量，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，用除法计算求出点赞数量；然后根据“转发数量比点赞数量少”，可知点赞数量是单位“1”，且已求出，根据“已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数”，用乘法计算求出转发数量。 【详解】 （条） （条） 答：转发数量有700条。 20．参观完华清宫后，小华全家去了华清宫文创店，文创店卖出一批长恨歌主题盲盒，卖出总数的后，还剩36个。这批盲盒原来有多少个？ 【答案】60个 【分析】把这批盲盒的总数看作单位“1”，卖出，则剩下总数的。已知剩下的数量是个，根据分数除法的意义，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 【详解】 （个） 答：这批盲盒原来有60个。 21．某超市2024年10月份销售水果450千克，比9月份的销售量增加了，该超市2024年9月份销售水果多少千克？ 【答案】 375千克 【分析】根据题意，将9月份的销售量看作单位“1”，10月份的销售量比9月份增加了，即10月份的销售量是9月份的（1＋）。已知10月份的销售量为450千克，求单位“1”的量，用除法计算，即对应量除以对应分率。 【详解】 （千克） 答：该超市 2024年9月份销售水果375千克。 22．你听说过“三百星”的故事吗？从“东方红一号”到“嫦娥五号”，中国空间技术研究院研制并成功发射了300个航天器，统称“三百星”。自1970年以来，达成第一个“百星”用了41年，达成第二个“百星”用了6年，达成第三个“百星”只用了3年时间。达成第三个“百星”的时间比完成第一个“百星”的时间缩短了百分之几？（除不尽的百分号前保留一位小数） 【答案】92.7% 【分析】求达成第三个“百星”的时间比完成第一个“百星”的时间缩短了百分之几，将第一个“百星”的用时看作单位“1”，用第一个“百星”的用时减去第三个“百星”的用时得到缩短的时间，求缩短的时间占单位“1”的百分之几，用缩短的时间除以单位“1”，结果按要求保留百分号前一位小数即可求解。 【详解】（41－3）÷41×100% ＝38÷41×100% ≈92.7% 答：达成第三个“百星”的时间比完成第一个“百星”的时间缩短了92.7%。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $