第21章 一元二次方程（单元分层自测·培优冲刺卷）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 九年级上册第21章一元二次方程培优冲刺单元卷，通过新定义、几何与实际情境融合，提升运算推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|根与系数关系、新定义运算|结合动点几何（第3题）考查抽象能力| |填空题|5/15|几何面积、参数范围|设置多解问题（第11题石板小径）培养几何直观| |解答题|8/75|实际应用、新定义证明、文化背景|融入赵爽解题（第23题）与农场规划（第20题），发展模型意识与推理能力|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章 一元二次方程·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．设，为实数，且满足，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设，，得，由①②得，再运用立方和公式进行因式分解，对每个分解的式子进行判断，即可推出，即可求解． 【详解】设，，得， 由①②得：， ， ， ∵， ∴， ∴，即． 2．已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值． 【详解】∵a与b是方程的两根 ∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0 ∴a2=a+1，b2=b+1 ∵，同理： ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键． 3．如图，在中，，，，于点D，动点P从点A出发以每秒的速度在线段上向终点D运动．设动点运动的时间为t秒，动点M从点C出发以每秒的速度在射线上运动．若点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t，使得，则t的值为（   ） A．2或 B．2或 C．2或 D．2或12.5 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，分两种情况：当点M在点D左侧时，当点M在点D右侧时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点M在点D左侧时，， 解得：或（舍去）； 当点M在点D右侧时，， 解得：； 综上，t的值为2或． 4．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，如：．若关于x的方程是一元二次方程，则该方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】先根据新定义得出方程，然后根据根的判别式进行求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，即， ∵， ∴有两个不相等的实数根． 5．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件，利用根与系数的关系列方程求出和的值，再计算所求方程两根的和与积，构造出一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得， ∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴，， ∴，， 将代入得：， 整理得． 将代入得：， 化简得 把代入， 解得 ∵， ， ∴所求一元二次方程为． 6．小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+ ， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】类比一元二次方程根与系数的探究方法，将三次方程因式分解为含根的乘积形式，对比常数项系数求解． 【详解】解：∵，，是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得． ∵等式为恒等式，两边常数项对应相等， ∴， 整理得． 7．已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的判别式判断根的情况，结合根与系数的关系逐个验证结论即可，用到完全平方公式变形等初中知识点． 【详解】解：①∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，即，①正确； ②∵关于的方程，，是此方程的两个实数根， ∴ ∵， ∴，②正确； ③∵，且 ，， ∴ ∵， ∴，③错误； ④原方程变形为， 由，可得， ∴，， ∴，④正确； 综上，正确结论是①②④． 8．设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根的判别式得到p和q的关系，结合p、q均为素数的性质，推导得到根的属性． 【详解】∵一元二次方程有实数根， ∴，即， ， ∵均为素数，素数中唯一的偶数是2，其余均为奇数， 当均为奇素数时， 为奇数，且不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当，为奇素数时，即， ， 不存在这相的奇素数， 当，为奇素数时，即， ， 设（k为非负整数），即， 均为非负整数， 或， 解得或，均不符， 不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当且仅当时，， 综上所述，原方程的根一定是无理数． 9．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 【答案】B 【分析】解方程求出或，根据方程根的定义得出，，则整体代入可求出，然后把m、n的值分别代入求解即可. 【详解】解：解方程得，， ∵m，n是方程的两根， ∴或， ∵m，n是方程的两根， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ ， 当时， 原式 ， 当时， 原式 ， 综上，代数式的值为58. 10．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【答案】 【分析】将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，由题意得到空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的， 空白部分的总面积占矩形地块面积的， 设石板小径（阴影部分）的宽度为，则 ， ， 则， 解得或（，舍去）， 石板小径的宽度为． 12．已知关于的一元二次方程有两个实数根，且均在区间内，的取值范围是_______； 【答案】 【分析】设方程的两个根，利用根与系数的关系将转化为关于两根的代数式，再根据两根的取值范围计算的取值范围即可． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，满足， ， ， ， ， ， ， ，即的取值范围是． 13．已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 【答案】 【分析】将原方程分解为两个一元二次方程，原方程有三个不同实根，说明一个方程有重根、另一个方程有两个不等实根，计算判别式即可得到、的关系式． 【详解】解：利用平方差公式分解得， 因此原方程等价于两个一元二次方程，， 分别计算两个方程的判别式 ，， ∵原方程有且仅有三个不同实数根，说明两个方程中一个有两个不等实根，一个有两个相等实根， ， ∴若，则，此时只有2个实根，不符合要求， 只能，此时，符合要求， 整理得， 假设两个方程有公共根，两式相减得，矛盾，因此三个根互不相同，满足条件， 故所求关系式为． 14．关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【答案】59 【分析】根据根的判别式并结合，可求出，设方程的两个整数根为，根据根与系数的关系得，则，不妨设，利用、为正整数，可得出或，或，，从而得到对应的的值，即可求解． 【详解】解：设方程的两个整数根为， 根据题意得， ∵， ∴， ， 根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数， ∴， 不妨设， ∴或，或，， 解得或或， ∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 15．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据“同族二次方程”的定义得到，进而可得方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， 解得， ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）已知实数a、b、c满足，，求a、b、c的值． 【答案】， 【分析】先对进行变形得：①，由已知得：②，将②代入①，整理得③．根据一元二次方程根与系数的关系，由②、③可知a、b是关于t的方程④的两个实数根，即，整理得到，结合，求出，将代入④得：，解方程即可求出． 【详解】解：∵， ∴①， 由已知得， ∴②， 将②代入①，整理得③． 由②、③可知a、b是关于t的方程④的两个实数根， ∴，（3分） 整理得：， ∵， ∴， 即， ∴．（5分） 将代入④得：， ∴， 即．（7分） ∴，．（8分） 17．（8分）已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 【答案】证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根， ，（3分） ，（4分） ，（5分） ， ∴是非负数．（8分） 【分析】首先根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，然后代入得，即可得出结论． 【详解】略 18．（8分）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？ 【答案】预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为1米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设预留的上、下通道的宽度为米，则矩形冰场的宽为米，矩形冰场的长为米，根据冰场的面积是原空地面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出预留的上、下通道的宽度，再将其代入中即可求出预留的左、中、右通道的宽度． 【详解】解：设预留的上、下通道的宽度为米，则矩形冰场的宽为米，矩形冰场的长为米， 依题意得：，（3分） 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去），（5分） ． 答：预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为1米．（8分） 19．（9分）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③．（2分） （2）解：解方程得：，，（3分） 该方程是“邻根方程”， 或，（4分） 解得：或．（5分） （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，，（6分） ∴，（7分） ∴，（8分） ∴．（9分） 20．（9分）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；②米； (2)解：不能，理由如下： 当饲养场面积为170平方米时，， 整理得， 判别式， 方程无实数根， 因此饲养场面积不能达到170平方米. 【分析】（1）①用总长加上两个门宽再减去2个的长，列出代数式即可；②根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程，利用判别式判断方程的根的情况，即可. 【详解】（1）解：①由题意，（米）；（2分） ②由题意，得， 解得，，（3分） 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故米；（5分） (2)解：不能，（6分）理由如下： 当饲养场面积为170平方米时，， 整理得，（7分） 判别式，（8分） 方程无实数根， 因此饲养场面积不能达到170平方米.（9分） 21．（10分）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】(1) (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知可得或，解一元二次方程，即可求解． （2）①由，是方程的根得到，，结合的定义进行证明； ②根据根与系数的关系写出、的值，运用完全平方公式变形求得的值，利用①中的结论求得的值． 【详解】（1）解：．（2分） 原方程有两个不相等的实数根， ，解得，（3分） 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或，（4分） 又， ；（5分） （2）①证明：，是方程的根， ∴，，（6分） ∴， 因为，， 所以原式（7分） ②，是方程的两根， ，，（8分） ； 由①知： ．（10分） 22．（12分）若实数a，b，c满足：，． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不能，理由如下： 把代入，得， 与奇偶性不同，b与奇偶性不同， 与必定同为偶数， 必定为偶数，即m必定为偶数． 【分析】（1）先求得，则，利用配方法和平方数的非负性求解即可； （2）先求得，且b，c是方程的两根，利用一元二次方程的判别式与根的关系得到，进而求得或1即可求解； （3）由已知得到，根据奇数与偶数的积是偶数，偶数与偶数的和为偶数可得结论． 【详解】（1）解：，， ∴，（1分） ．（2分） ∴当时，m的最小值为；（3分） （2）解：，， ．（4分） ∴b，c是方程的两根， ，则，（5分） ，则， ，（6分） ∵a为整数， 或1，（7分） ∴无论哪种情况都有， 或；（8分） (3)不能（9分），理由如下： 把代入，得，（10分） 与奇偶性不同，b与奇偶性不同， 与必定同为偶数，（11分） 必定为偶数，即m必定为偶数．（12分） 23．（11分）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 【答案】(1)；； (2)1或3 (3)6 【分析】（1）与题干思路一致，画出图形更容易得解； （2）先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，进而分类讨论求解即可； （3）先画出图形，根据小正方形的面积为4，得到①，根据大正方形的面积可得新的方程：，则②，解方程即可． 【详解】（1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为；（3分） （2）解：∵， ∴，（4分） ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，（5分） ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，，（6分） 解得：，，（7分） 当时，， ∴， 解得，（8分） ∴方程的一个正根为1； 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3；（9分） （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得．（12分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章 一元二次方程·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．设，为实数，且满足，则（     ）． A． B． C． D． 2．已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，于点D，动点P从点A出发以每秒的速度在线段上向终点D运动．设动点运动的时间为t秒，动点M从点C出发以每秒的速度在射线上运动．若点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t，使得，则t的值为（   ） A．2或 B．2或 C．2或 D．2或12.5 4．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，如：．若关于x的方程是一元二次方程，则该方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 5．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 6．小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示．如果，，是一元三次方程的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程根与系数的关系． 一元二次方程根与系数的探究 因为，是方程的根，根据方程根的定义 得到 展开右边得到 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得 整理后得到+ ， 则用系数可以表示为（     ） A． B． C． D． 7．已知关于的方程，，是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③；④若且，则，则正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 8．设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 9．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 10．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 12．已知关于的一元二次方程有两个实数根，且均在区间内，的取值范围是_______； 13．已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 14．关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 15．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式的值是________________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）已知实数a、b、c满足，，求a、b、c的值． 17．（8分）已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 18．（8分）某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场，如图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？ 19．（9分）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 20．（9分）某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 21．（10分）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 22．（12分）若实数a，b，c满足：，． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 23．（11分）阅读材料，并解决问题． 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法．以解方程为例：将原方程整理可得：，可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示的图形，此时大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．所以，由此得原方程的一个正根为． 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程 ，解得原方程的一个正根为 ； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如（，）的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根． 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于的方程，其中，他以和作为矩形的两邻边构造出如图2同样的图形，已知小正方形的面积为4，则的值为_________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章一元二次方程·培优冲刺 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.设xy为实数，且满足x-1+2025x-11则x+y-（）. (y-1)3+2025y-1=1 A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.已知a,b是方程x2-x-1=0的两根，则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是() A.19 B.20 C.14 D.15 3.如图，在△ABC中，AB=AC=13Cm,BC=10cm,AD=12cm,AD⊥BC于点D,动点P从点 A出发以每秒ICm的速度在线段AD上向终点D运动.设动点运动的时间为t秒，动点M从点C出发以每 秒2Cm的速度在射线CB上运动.若点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动， 存在t,使得SAn)SA,则1的值为（） C 4.2或29+287 4 B.2或29-281 4 C.2或29±281 D.2或12.5 4 4.定义新运算“※”：对于实数m,,p,q,有m,p※q,n=mn-pq,如： 1,2)※3,4=1×4-2×3=-2.若关于x的方程x,6x※1，x=-8是一元二次方程，则该方程根的情 况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.只有一个实数根 1/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.已知关于x的一元二次方程x+bx+c=0的两个不相等的实数根分别为Q,阝；关于x的一元二次方程 X+Qx+b=0的两个实数根分别为。-1，B-1则下列方程中，其两实数根分别为+1，B+1的是（） A.x2-5x-3=0 B.x2-5x+3=0 C.x+5x-3=0 D.x2+3X-5=0 6.小若在学完2.3《一元二次方程根与系数的关系》后对一元二次方程进行了新的探究，如图所示.如果 x'X'x是一元三次方程aX+bX+cX+d=0a≠0的三个根，请你类比小若的方法探究一元三次方程 根与系数的关系. 一元二次方程根与系数的探究 因为X1,X2是方程的根，根据方程根的定义 得到aX+bx+c=a(x-x)(x-x】 展开右边得到 ax2+bx+c=ax--a(x+xz)x+ax X2 因为原式为恒等式，所以等式左右两边完全相同 对比后得bx=-a(x1+x,)x,C=aX1x2 整理后得到x+X,=-b, B,X1 X2= Q 则xX2x 用系数可以表示为() A.6 B.-b D.-d a c.d a a 7.已知关于x的方程x-a+bx+ab-1=0'X'x,是此方程的两个实数根，给出四个结论：①x,产x ②xx2<ab:③x+x<a2+b2:④若x,<x,且a<b则x,-ax,-b0则正确结论的序号是（） A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 8.设二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中P、q都是素数，那么它的根一定是() A.奇数 B.偶数 C.分数 D.无理数 216 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.已知m,n是方程X-4x+2=0的两根，则代数式2m2+5n2-16+4的值是（) A.57 B.58 C.59 D.60 10.已知关于x的一元二次方程X-2(k-1)x+kK+2=0的两个实数根为X1和X2,设t=戈 ,则t的最 k 大值为() A.-4 B.4 C.-6 D.6 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，一块长16m、宽10m的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草 坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的0，则石板小径的宽度为m. 16m 12.已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有两个实数根，且均在区间0,2内，2a+b的取值范围是 13.已知、b为实数，关于x的方程X+ax+b?-16=0有且仅有三个不同的实数根.实数，b满足的 关系式为 14.关于x的方程x2-ax+4a=0只有整数根，则满足条件的所有正实数a的和为 15.新定义：关于x的一元二次方程a,x-h?+k=0与a,x-hP+k=0称为“同族二次方程”.如 2x-3+2=0与3x-3+2=0是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程2X-1+1=0与 (a+2×+b-4x+8=0是“同族二次方程”，那么代数式。-b的值是 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)已知实数a、人、c满足a+b+2c=,a+b'+6c+号=0，求a、b、c的值， 17.(8分)已知关于x的一元二次方程mx2+2x+1=0(m≠0)有两个相等的实数根.求证： 3/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m-n+ 是非负数 18.(8分)某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩 形冰场，如图所示，已知空地长27m,宽12m,矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原 空地面积的， 并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道 的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？ 通 道 通 通 通 道 冰场 道 冰场 道 通 道 19.(9分)定义：如果关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a,b,c均为常数，a≠0)有两个实数根， 且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”· (1)下列方程中，按上述定义（填序号）是“邻根方程”. ①x+X=0:②x-2x+1=0;③x2+3x+2=0. (2)若(x-2)(x+n)=0是“邻根方程”，求n的值， (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c均为常数，a≠0)为“邻根方程”，求出a,b,c应满足的 数量关系 20.(9分)某农场要建一个大饲养场（矩形ABCD),两面靠墙，AD位置的墙最大可用长度为17米， AB位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木 栏).建成后木栏总长34米.设木栏CD的长为X米. (1)①BC= 米（用含X的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求CD的长： (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出CD的长，若不能，请说明理由 416 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.C10分)若X,X是元次方程0X2+bx+c=0a≠0的两根，则有x+x,三名，XX。田 上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根 与系数的关系。 ()已知关于x的一元二次方程X-2k-1X+k2-1=0的两个不相等的实数根分别为x,'X,'且满足： x+为=x1X2'求k的值： 2)若aB是方程x2-X-1=0的两根，记S,=a+BS2=a2+B2,…,S,=a+B ①当n为不小于3的整数时，证明：Sn-2+Sn-1=Sn: ②计算S2,S7的值 22.(12分)若实数，b,c满足：a2-a-bc=m,b+c=5, (1)若b=1,求的最小值： (2)若m=- ，且a为整数，求bc. 25 (3)若a,b,c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由. 23.(11分)阅读材料，并解决问题. 【文化欣赏】 三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法.以解方程 x+2x-35=0为例：将原方程整理可得：xx+2=35,可视为一个矩形的面积为35，构造如图1所示 的图形，此时大正方形的面积是(x+x+2P,同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和。 所以(x+x+2}P=4x(x+2)+2=4×35+4=14:由此得原方程的一个正根为x=5 x+2 20 r+2 x+2 r+2 图1 516 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【类比迁移】 (1)小颖根据以上解法解方程2x+3x-2=0,请将其解答过程补充完整： 第步：将限方程变形为X+受x~1=0,即K)=1: 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形： 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程_，解得原方程的一个正根为_； 【拓展应用】 (2)一般地，对于形如x+ax=b(a>0,b>0)的一元二次方程可以构造图2来解.己知图2是由四个面 积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，请用上面的方法求此方程的正根， 图2 【思维提升】 (3)小明用此方法解关于X的方程x3x-n=24,其中3x-n>x,他以3x-n和x作为矩形的两邻边构造出 如图2同样的图形，己知小正方形的面积为4，则n的值为 616 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第21章 一元二次方程·培优冲刺（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C A B D B D B D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 12． 13． 14．59 15．15 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分） 解：∵， ∴①， 由已知得， ∴②， 将②代入①，整理得③． 由②、③可知a、b是关于t的方程④的两个实数根， ∴，（3分） 整理得：， ∵， ∴， 即， ∴．（5分） 将代入④得：， ∴， 即．（7分） ∴，．（8分） 17．（8分） 证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根， ，（3分） ，（4分） ，（5分） ， ∴是非负数．（8分） 18．（8分） 解：设预留的上、下通道的宽度为米，则矩形冰场的宽为米，矩形冰场的长为米， 依题意得：，（3分） 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去），（5分） ． 答：预留的上、下通道的宽度为米，左、中、右通道的宽度为1米．（8分） 19．（9分） （1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③．（2分） （2）解：解方程得：，，（3分） 该方程是“邻根方程”， 或，（4分） 解得：或．（5分） （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，，（6分） ∴，（7分） ∴，（8分） ∴．（9分） 20．（9分） （1）解：①由题意，（米）；（2分） ②由题意，得， 解得，，（3分） 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故米；（5分） (2)解：不能，（6分）理由如下： 当饲养场面积为170平方米时，， 整理得，（7分） 判别式，（8分） 方程无实数根， 因此饲养场面积不能达到170平方米.（9分） 21．（10分） （1）解：．（2分） 原方程有两个不相等的实数根， ，解得，（3分） 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或，（4分） 又， ；（5分） （2）①证明：，是方程的根， ∴，，（6分） ∴， 因为，， 所以原式（7分） ②，是方程的两根， ，，（8分） ； 由①知： ．（10分） 22．（12分） （1）解：，， ∴，（1分） ．（2分） ∴当时，m的最小值为；（3分） （2）解：，， ．（4分） ∴b，c是方程的两根， ，则，（5分） ，则， ，（6分） ∵a为整数， 或1，（7分） ∴无论哪种情况都有， 或；（8分） (3)不能（9分），理由如下： 把代入，得，（10分） 与奇偶性不同，b与奇偶性不同， 与必定同为偶数，（11分） 必定为偶数，即m必定为偶数．（12分） 23．（11分） （1）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：； 解得原方程的一个正根为；（3分） （2）解：∵， ∴，（4分） ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，（5分） ∵图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ∴，，（6分） 解得：，，（7分） 当时，， ∴， 解得，（8分） ∴方程的一个正根为1； 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3；（9分） （3）解：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， ∵小正方形的面积为4，， ∴，①， ∵， ∴根据大正方形的面积可得新的方程：， ∴②， ②①得， 解得， 将代入①得， 解得．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $