3.2因式分解法解一元二次方程同步练习题 2026-2027学年湘教版数学九年级上册
2026-07-23
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摘要：
**基本信息**
聚焦因式分解法解一元二次方程，分层覆盖基础运算到综合应用，通过选择、填空、解答题梯度设计，巩固知识并培养运算能力与应用意识。
**分层设计**
|层次|知识覆盖|设计特色|
|----|----------|----------|
|基础层|单一方程直接求解|选择题1-10、填空14-16、解答19-20，考查提公因式、平方差等基本因式分解步骤|
|提升层|几何与方程结合|选择11-13（直角三角形面积、三角形周长）、填空17-18（等腰三角形、代数式求值）、解答21（多解法对比），体现应用意识|
|综合层|换元法与问题探究|解答22（换元法解方程、连续整数积问题），培养转化思想与推理意识|
内容正文：
2026-2027湘教版数学九年级上册第三章3.2因式分解法解一元二次方程同步练习题答案
1． 选择题。
1.方程的解为（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】B
解：将原方程移项整理得 ，
提取公因式得 ，
或 ，
解得 ，．
2．方程的根为（ ）
A． B．
C．， D．
解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
3．下列各选项是方程的解的是（ ）
A．1 B． C．2 D．-2
解：
故选B．
4．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：∵是一元二次方程的根，
∴，
解得，
∴原方程为 ，
解得，
∴方程的另一个根为．
5.一元二次方程的两个根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：或，
故方程的两个根为，．
故选：A．
6.关于的一元二次方程的解为（ ）
A．， B．
C． D．，
【答案】B
解：，
移项得：，
提取公因式得：，
化简得：，
∴ ．
7.用因式分解法解下列方程，正确的是( )
A. ，
B. ，或
C. ，或
D. ，或
【答案】D
【解析】解：
得或，所以A错误；
，即，不能利用因式分解法求解，故B错误；
，整理可得，则，或，所以C错误；
，或，故D选项正确．
8.解方程的适当方法是( )
A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法
【答案】D
9.一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
解：，
整理得：，
移项得：，
提公因式得：，
即：，
解得：，
故选：C．
10.若，则 的值为( )
A. 或 B. C. D.
解：设，
可变形为：
，
整理得：
，
，
解得：或不合题意，舍去，
则．
故选B．
11．已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
解：∵，
∴，
∴两根分别为和，
即两直角边长为2和3，
∴面积，
故选：D
12．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
解：解方程，
因式分解得，
解得，，
∵三角形边长为正数，
∴舍去负根，得第三边长为，
∵，符合三角形三边关系，
∴三角形周长为．
13．已知一元二次方程的两根分别是某菱形两条对角线的长，则该菱形的周长为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
解：，
，
解得或，
则菱形的两条对角线的长为6和8，
菱形的边长为，
菱形的周长为．
故选：C
二．填空题。
14.一元二次方程的解为_________．
解：，
因式分解得：，
可得或，
解得：，．
15.方程的根是______．
解：，
，
直接开平方得，
解得．
16.一元二次方程的解为____．
解：∵，
∴展开得，
∴移项得，
∴因式分解得，
∴或，
故答案为，
17．方程的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形的周长为________．
解：，
解得，，
若腰为3、底为9，则三边长为3、3、9，但，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不成立；
若腰为9、底为3，则三边长为9、9、3，满足三角形三边关系，周长为，
故答案为：21．
18.若，，则________．
解：设，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理，得，
解得，，
∴或．
3． 解答题。
19.解下列方程：
(1)
(2)．
(3)．
【答案】(1)，
(2)，
（1）解：
方程化为：，，
∴，
∴或；
∴，．
（2）解：
∴，
∴或，
∴，．
(3)解：
，
∴或，
∴，
20.用因式分解法解下列方程：
(1)；
(2)．
(3)．
(4)．
(5)．
(6)．
（1）解：把方程左边分解因式，得．
因此，有或．
解方程，得；
（2）解：原方程化为一般形式，得．
把方程左边分解因式，得．
因此，有或．
解方程，得．
（3）解：
移项得，，
，
或，
．
（4）解：
移项，得．
因式分解，得，
即，
解得．
（5）解：
整理，得．
因式分解，得，
解得．
（6）解：
整理，得．
因式分解，得，
解得．
21.解方程：
(1)．（直接开平方法）
(2)（配方法）
(3)（因式分解法）
(4)（公式法）
（1）解：，
两边除以4得：，
两边开平方得：，
∴；
（2）解：，
∴，
∴，
即，
∴
所以；
（3）解：
∴，
∴或，
所以．
（4）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
22.阅读材料：
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，①
解得，．
当时，，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，体现了转化的思想．
请仿照材料解决问题：
(1)解方程：．
(2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数．
（1）解：原方程整理得，
设，
则原方程可化为，
因式分解得，
解得，，
当时，，配方，得，
解得，，
当时，，配方，得，
解得，
原方程的解为，，．
（2）解：设最小数为，
由题意得，
即，
设，
则，即，
因式分解得，
，，
为正整数，，即，
因式分解得，
解得，舍去．
这四个整数为．
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2026-2027湘教版数学九年级上册第三章3.2因式分解法解一元二次方程同步练习题
1． 选择题。
1.方程的解为（ ）
A． B．，
C．， D．，
2．方程的根为（ ）
A． B．
C．， D．
3．下列各选项是方程的解的是（ ）
A．1 B． C．2 D．-2
4．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
5.一元二次方程的两个根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6.关于的一元二次方程的解为（ ）
A．， B．
C． D．，
7.用因式分解法解下列方程，正确的是( )
A. ，
B. ，或
C. ，或
D. ，或
8.解方程的适当方法是( )
A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法
9.一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
10.若，则 的值为( )
A. 或 B. C. D.
11．已知关于的一元二次方程的两根分别是直角三角形的两直角边，则这个直角三角形的面积为（）
12．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
13．已知一元二次方程的两根分别是某菱形两条对角线的长，则该菱形的周长为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
二．填空题。
14.一元二次方程的解为_________．
15.方程的根是______．
16.一元二次方程的解为____．
17．方程的两个根是等腰三角形的腰和底，则该三角形的周长为________．
18.若，，则________．
3． 解答题。
19.解下列方程：
(1)
(2)．
(3)．
20.用因式分解法解下列方程：
(1)；
(2)．
(3)．
(4)．
(5)．
(6)．
21.解方程：
(1)．（直接开平方法）
(2)（配方法）
(3)（因式分解法）
(4)（公式法）
22.阅读材料：
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，①
解得，．
当时，，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，体现了转化的思想．
请仿照材料解决问题：
(1)解方程：．
(2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数．
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