培优专题01 解直角三角形及其应用题型归纳（专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 聚焦解直角三角形的概念应用与实际建模，通过分级题型构建从基础计算到复杂情境的逻辑链条，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解直角三角形（3题型）|约15题|含直接计算、构造直角三角形、不规则图形计算，涉及菱形、矩形等图形|从锐角三角函数直接应用，到非直角三角形作高转化，再到组合图形分割，形成转化思想链| |实际测量模型（4题型）|约20题|涵盖仰角俯角、坡度坡比、方向角、双直角叠加，结合卫星、建筑等真实情境|从单一模型到复合模型，通过抽象实际问题为直角三角形模型，发展应用意识与推理能力|

培优专题01 解直角三角形及其应用 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形 题型1 直接解直角三角形 题型2 非直角三角形，作高构造直角三角形（难） 题型3 求不规则图形的边长或面积 考点二 解直角三角形实际测量模型 题型 1：仰角、俯角模型测高度（高频） 题型 2：坡度、坡比模型求长度高度（重） 题型 3：方向角（方位角）解距离问题 题型 4：双直角三角形叠加模型（（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形 ◆题型1直接解直角三角形 1．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 2．如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，点E在上，F为延长线上一点，将沿翻折，点A恰好与点C重合，则的余弦值为_____． 4．如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 5．已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． (1)求线段的长； (2)计算的值． ◆题型2 非直角三角形，作高构造直角三角形 1．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 3．如图，在中，，则的长为___________． 4．如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 5．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． ◆题型3 求不规则图形的边长或面积 1．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为______． 4．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为__________． 5．如图，中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 考点二 解直角三角形实际测量模型 ◆题型1 仰角、俯角模型测高度 1．“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 2．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（     ） A． B． C． D． 3．如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 4．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 5．康济寺塔始建于西夏，坐落在大罗山东麓的宁夏同心县韦州镇，它是一座平地而起的八角形密檐式十三层空心砖塔，由塔身、塔座、相轮宝顶三部分组成．某同学为了测量相轮宝顶的高度，如图，在地面的D处测得宝顶下端B的仰角为，同时测得米，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的C处，又测得塔的顶端A的仰角为，于点E，E、C、D在一条直线上，求宝顶的高度？（结果精确到，） ◆题型2 坡度、坡比模型求长度高度 1．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 2．如图，一人乘雪橇沿坡度为的斜坡笔直滑下，滑下的距离)与时间)之间的关系为，若滑到坡底的时间为，则此人下降的高度为(     ) A． B． C． D． 3．如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道，的坡角均为，则点的高是_____米． 4．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长度为_____米． 5．如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） ◆题型3方向角（方位角）解距离问题 1．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 4．如图，港口A在观测站O的正东方向，海里，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）是______海里． 5．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） ◆题型4双直角三角形叠加模型 1．如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？（     ） A． B． C．12 D． 2．某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，一架梯子斜靠在墙上，墙与地面的夹角，当时，端点A离地面的高度为，将梯子底部端点B水平向左移动到点，端点A沿墙竖直向上移动到点，此时，则的长可以表示为_________． 4．斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁．如图是一座斜拉桥的部分示意图，其中拉索与水平桥面的夹角，拉索与水平桥面的夹角，两条拉索顶端之间的距离，底端之间的距离，则桥塔的长为________________（结果精确到，参考数据，，） 5．新情境消防云梯某种型号的消防车（如图1）车尾处的云梯长度伸缩范围为5~45米，最大张角为70°．在一次出警任务中，由于消防车前方有障碍物，车头只能停在楼前20米的B处（如图2），已知车长米，车高米．起初火势较小，当云梯与水平线夹角为时，正好到达起火楼层E点．小明家所在楼层比起火楼层高15米，由于火势没有完全控制，消防车及时向前挪动，沿方向前进10米，车头停在楼前的D处，并将云梯与水平线夹角调至最大，即．请你通过计算说明此时云梯能否到达小明家所在楼层（图2中所有点均在同一竖直平面内，．参考数据：，，）． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在中，，，为的中点，连接，过点作的垂线交于点，则的长为（     ）． A． B． C．4 D．5 2．如图，在中，是上的高．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图所示，“五一”期间小苏在瓯江口放风筝，已知风筝线长固定为24米，当风筝到达A点时，测得此时仰角为，n秒后，风筝到达B点，测得此时仰角为“”，测得风筝在这n秒内上升的高度为（     ）米 A． B． C． D． 5．如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面平行地面，椅脚，，，则到地面的距离为（     ） A． B． C． D． 6．如图，矩形中，，，将矩形绕点A旋转得到矩形，点C的运动路径为，当点落在上时，图中阴影部分的面积为_________． 7．如图所示，点，，对应的刻度分别为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为__________． 8．三叶风力发电机主要由叶片、塔筒、齿轮箱和发电机等组成，三个相同的叶片均匀分布，塔筒垂直于水平地面．如图是某一时刻太阳光线恰好垂直照射叶片的示意图．此时，叶片，的影子在水平地面同一条直线上，影长，太阳光线与地面所夹锐角为．若，则叶片的长度为__________． 9．如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长，支撑板长，水平托板离地面的高度为，，，已知摄像头在点A处，支撑点B是的中点，如图2，则摄像头（点A）离地面的高度h是______（精确到，参考数据：，） 10．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于_____米． 11．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 材料：构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，，延长至点D，使得，连接，易知，，所以． 任务：类比这种方法，画出图形，并计算的值． 12．如图，小亮想要测量建筑物的高度，他利用测倾器在点测得，然后他继续向前走了米，到达点，此时测得．已知测倾器的高米，请根据小亮测得的数据，计算该建筑物的高． （结果精确到米，） 13．如图，山坡上有一棵竖直的树，坡面上点处放置高度为的测倾器，测倾器的顶部与树底部恰好在同一水平线上（即，此时测得树顶部的仰角为．已知山坡的坡度（即坡面上点处的铅直高度与水平宽度的比），求树的高度（结果精确到．参考数据：，， 14．某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，） (1)求线段的长度；（结果精确到） (2)已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 15．为了测量学校旗杆（垂直于水平地面）的高度，班里三个兴趣小组设计了三种不同的测量方案，如下表所示． 课题 测量校园旗杆的高度 测量工具 测角仪（测量角度的仪器），卷尺，平面镜等 测量小组 A组 B组 C组 测量方案示意图 (1)上述A，B，C三个小组中，_______组不能测出旗杆的真实高度； (2)在A组测量中，线段表示旗杆的高度，线段，表示测角仪的高度，点A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内，表示两次测角仪摆放位置之间的距离，测角仪测得旗杆顶端A的仰角，，，，请你结合所学知识，利用A组测量的数据计算出旗杆的高度．（参考数据：） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优专题01解直角三角形及其应用 常考题型精准突破 ●考点一解直角三角形●十 ◆题型1直接解直角三角形 1.D 2.A 336 5 4.5 5. 【详解】(1)解：：AD是BC边上的高， :.△ABD和△ACD是直角三角形， 在RtsABD中，sinB=D-4 AB5’AD=8' .AB=10 ..BD=AB2-AD2=6. 又：BC=21, ..CD=BC-BD=15: (2)解：在RtAACD中，E为斜边AC的中点， ED=EC=AC .∠C=∠EDC, tan∠EDC=tan∠C=4D-8 DC15· ◆题型2非直角三角形，作高构造直角三角形 1.c 2.D 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.9+3V3 1 4.5 5. 【详解】解：(1)不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③： (2)如图1，过点C作CD⊥AB于点D, △ABC中，∠A=30°，∠B=45°， ∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-45°=105°，CD=BD,AC=2CD, 设CD=BD=x,则AC=2x,AD=AB-BD=5+5N3-x, 在 在A4CD中，tam∠AB=3,即5H5B-x2, 解得：x=5, ∴.CD=BD=5,AC=2x=10, .BC=2CD=52, .∠ACB=105°，AC=10,BC=5N2: C 45 D B 图1 (3)过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E, 1C=25,c0sA= 2 ∴.∠A=30°， 当BC=CE=m或BC之AC时，BC有唯一解， 当CE<BC<AC,即V3<m<2V3时，BC有两个解， 故答案为：V5<m<2V3. 2/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B 图2 ◆题型3求不规则图形的边长或面积 1.A 2.C 3.V5+1 4.2√万 5. 【详解】(1)解：：EF⊥AB, :.∠F=90°（垂直的定义）， ,∠AEF=50°， ∴.∠BAE=∠F+∠AEF=90°+50°=140° .∠BAE=∠BAD+∠CAD,∠BAD=100°， .∠CAD=∠BAE-∠BAD=140°-100°=40°， 则∠CAD的度数为40°： (2证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G,EH⊥BC交BC于点H, G B D H ∠AEF=50° ∴.由(1)可知，∠EAF=∠CAD=90°-50°=40°， ∴.AE平分∠FAD, EF⊥AF,EG⊥AD, ∴.EF=EG, :BE平分∠ABC,EF⊥BF,EH⊥BC, 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF=EH, “EG=EH(等量代换)， :EG⊥AD,EH⊥BC, .DE平分∠ADC: (3)解：Sa4cD=18, S.ADE+S.CDE =18. 小54D-BG+D-H=8, .AD=8,CD=10,EG=EH, ∴2×8×EBH+2×10xBEH=18, ∴.EH=2, .EF=2, ,AB=9, SA元AB:BF=x9x2=9 2 所以△ABE的面积为9. 一●考点二解直角三角形实际测量模型。—一 ◆题型1仰角、俯角模型测高度 1.A 2.C 3.221 4.2005 5. 【详解】解：根据题意可知，∠E=90°，CD=18米，∠D=30°，∠ACE=45°， DE=60米， .EC=DE-CD=42(米)· 在RtAAEC中，∠E=90°，∠ACE=45°， 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AE=EC=42米， 在Rt△BED中，∠E=90°，∠D=30°， :tm∠D=D BE BE=DE,tan∠D=60 3 =205(米) .AB=AE-BE=42-20N3≈7.4（米） 答：宝顶AB的高度约为7.4米. ◆题型2坡度、坡比模型求长度高度 1.D 2.c 3.(a-b)tan0 4.4 5. 【详解】解：如图，过A作AD⊥P吧，垂足为D,延长BC交PO于点E. B 斜坡 的坡度 ED AP i=5:12 ∴AD:DP=5:12 设AD=5k,DP=12k, .AP=V(5)}+(12k)}=13k, 又AP=26, .k=2, .AD=10 由题意得∠BAC=76°，BC⊥AC,AC∥PQ ∴tan76°=BC-B AC 5 ≈4，解得BC≈20 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD⊥P2,BC⊥AC, .∠ADE=∠ACE=90°， AC∥PQ ∴.∠ACE+∠CED=180°， 又：∠ACE=90°， ∴.∠CED=90°， ∴四边形ADEC为矩形， ∴.AD=CE=10 ∴.BE=BC+CE=20+10=30 ∴建筑物顶部B到PQ的距离为30.0m. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角、矩形的判定及性质， 解题的关键在于根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解 ◆题型3方向角（方位角）解距离问题 1.A 2.D 3.68.3 4.20W2 5. 【详解】解：由题意，得AB=20×3=60海里，∠CAB=90°-60°=30°，∠ABC=90°-45°=45°， 过点C作CD⊥AB于点D, 北 111111, 60 45 B .∠ADC=∠BDC=90° 在Rt4CD中，AD=CD =3CD tan30° 在RtACDB中，：∠ABC=45°， .BD=CD :AB=60海里， 6112 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.V3CD+CD=60, 解得CD≈22海里. 答：该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离约为22海里， ◆题型4双直角三角形叠加模型 1.A 2.B 3.（V2sina-l 4.34.0m 5. 【详解】解：延长AB交PE于点G,如图， F AB.C D.G M N 由题意，得AG=AB+BG=5+20=25, 在Rt△AGE中，∠EAG=45°， ∴.EG=AG=25, 由题意，得AC=10, .CG=AG-AC=25-10=15, 在Rt△CGF中，∠FCG=70°， CF=CG15 c0s70°0.34 ≈44.1（米）， FG=CG·tan70°≈15×2.75=41.25（米）， EF=FG-EG=41.25-25=16.25>15,44.1<45, ∴云梯能够到达小明家所在楼层。 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚知能拔高 1.B 2.D 3.C 4.D 5.A 69 1. 8.72 9.139.5cm 10.2003 11. 【详解】解：如图，在RtaA'C"B中，∠C'=90°，∠AB'C'=45°，延长CB至点D,使B'D'=AB',连接 A'D', 450 22.5 B' D B'D'=A'B', ·∠D'=∠BA'D', :∠D'+∠B'A'D'=∠A'B'C'=45°， ∠D=)∠ABC=22.50, 2 在RtAACB中，∠C'=90°，∠AB'C'=45°， .∠CAB=∠AB'C'=45°， .A'C'=B'C', 设A'C'=B'C'=x(x>0),则BD'=A'B=VA'C+BC=√R+x=V2x, 在Rt△A'C"D'中，∠C=90°，∠D'=22.5°， 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 tan22.5°=tan∠D'=4rC' A'C x CD-CB+BD -=V2-1 12. 【详解】解：延长EF交AB于点G F B:CE⊥CBDF⊥CB :.CE∥DF,∠ECD=90° CE=DF=l米， ∴四边形CDFE是平行四边形， :.EF=CD=60米， ∠ECD=90°， ∴四边形CDFE是矩形. ∴.∠GEC=∠ECB=90°， ,AB⊥CB ∴四边形CEGB是矩形 ∴BG=CE=1米，∠EGB=90°，EG=BC, .∠AGF=180°-90°=90°， 设AG=x米. .∠AFG=45° ∴△AFG是等腰直角三角形， .FG=AG=x米， .EG=EF+FG=60+x(米)， :∠AEG=30,an∠AEG=4G EG .tan30°= +60即 3-x 3x+60' 解得x=30V3+30(米)， .AB=AG+BG=30+30W3+1=31+30W3≈83（米）. 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：建筑物AB的高度约为83米. 13 【详解】解：~山坡BM的坡度i=1:3, ∴.i=l:3=tanM, BCIlMN. .∠CBD=∠M, tan∠CBD=CD =tan M =1:3. BC BC=3CD=4.8(m), :在RtABC中，tan∠ACB= BC =tan50°≈1.19. ∴AB≈1.19BC=1.19×4.8≈5.7(m) 答：树AB的高度约为5.7m 14 【详解】(1)解：根据题意，得LGAB=∠BAF=45°，BC∥AD,BA=4km,BC=2km,∠ECD=30° A,F,E,D四点共线，BF⊥AD,CE⊥AD,垂足分别为点F,点E, .BF∥CE, 根据平行线间的距离处处相等，得BF=CE, 四边形BCEF是平行四边形， BF⊥AD ∴.四边形BCEF是矩形， ∴.EF=BC=2km, 片AF=F=ABsm45°=4x2=22km), 2 ∴.CE=AF=BF=2N2(km). B G 30 459 D:.CD=CE 2V2×25_464×2493.2653.27km） c0s30° 333 (2)解：送货员按既定路线A-B-C-D进行运送能按时送达，理由如下： 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据题意，得D=CEtan3:0°=2V2×V5_26 3=3 、4+2+46=6+4v6 +3≈6+3×2.49≈9.265(m)。 .4 3 .9.265km=9265m, 9265=926.5)=926.5÷60≈15.4(mim）, 故需要时间为10 小于16分钟， 故送货员按既定路线A-B-C-D进行运送能按时送达： 15. 【详解】(1)解：因为C小组测量的BC和PM不是同一时刻的两物体的影长， 所以C小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度： (2)解：连接FD交AB于点H,如图， B FE⊥EC,DC⊥EC, ÷FE DC, ..FE=DC. ∴四边形ECDF为矩形， ..DF=EC,DFI EC. .DF⊥AB, 设AH=x, 在RIAHD中，B=45°. ∴.AHD为等腰直角三角形， .AH =HD=x, 在RI AHF中，a=53°， 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.tana=tan53°= AH x4 FH FH3' m房 3 六FH+HD=CE即4x+x=14, 解得x=8, AH=8米， ∴AB=AH+HB=8+1.5=9.5米 答：旗杆AB的高度为9.5米 12/12 培优专题01 解直角三角形及其应用 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形 题型1 直接解直角三角形 题型2 非直角三角形，作高构造直角三角形（难） 题型3 求不规则图形的边长或面积 考点二 解直角三角形实际测量模型 题型 1：仰角、俯角模型测高度（高频） 题型 2：坡度、坡比模型求长度高度（重） 题型 3：方向角（方位角）解距离问题 题型 4：双直角三角形叠加模型（（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形 ◆题型1直接解直角三角形 1．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，再利用勾股定理求出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 2．如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中利用正切函数求出，再在中利用勾股定理求出． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴． 3．如图，在矩形中，，，点E在上，F为延长线上一点，将沿翻折，点A恰好与点C重合，则的余弦值为_____． 【答案】 【分析】利用翻折性质得，，先后在和中用勾股定理列方程求出和，进而求出和，最后由余弦定义求． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 沿翻折，点与点重合， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， ， 在中，， ， ． 4．如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，根据可求得，进而可求得，根据勾股定理即可求得． 【详解】解：在正方形中，， ，， ，即， ， ， 中，． 5．已知：如图，在中，是边上的高，E为边的中点，，，． (1)求线段的长； (2)计算的值． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可得，从而求出的正切值即求出了的值． 【详解】（1）解：是边上的高， 和是直角三角形， 在中，，， ， ． 又， ； （2）解：在中，为斜边的中点， ， ， ． ◆题型2 非直角三角形，作高构造直角三角形 1．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 2．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 3．如图，在中，，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 4．如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 5．（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为：． ◆题型3 求不规则图形的边长或面积 1．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 3．如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为______． 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，进行计算即可． 【详解】解：如图，延长、相交于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，是等腰直角三角形， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形．正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是解题的关键． 4．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为__________． 【答案】 【分析】如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长BC，AD交于E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴BC=BE-CE=， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 5．如图，中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵， ∴由（1）可知，， ∴平分， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∵， ∴平分； (3)9 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，垂直的定义，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴（垂直的定义）， ∵， ∴， ∵， ∴， 则的度数为； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以的面积为9． 考点二 解直角三角形实际测量模型 ◆题型1 仰角、俯角模型测高度 1．“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（     ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】根据锐角的正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，千米， ∴． 2．为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量灵霄塔的高度．如图，嘉嘉在与塔相距的楼顶A处测得灵霄塔塔顶B的仰角为，已知楼高，那么，灵霄塔的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过A作于E，根据矩形的判定与性质得出，，在中，根据正切的定义求出，即可求解. 【详解】解：如图，过A作于E， 根据题意，得，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即灵霄塔的高度是. 3．如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， 龟山电视塔的高度约为． 4．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】在中，求出，在中，求出，根据即可求出楼的高度． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， 米． 5．康济寺塔始建于西夏，坐落在大罗山东麓的宁夏同心县韦州镇，它是一座平地而起的八角形密檐式十三层空心砖塔，由塔身、塔座、相轮宝顶三部分组成．某同学为了测量相轮宝顶的高度，如图，在地面的D处测得宝顶下端B的仰角为，同时测得米，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的C处，又测得塔的顶端A的仰角为，于点E，E、C、D在一条直线上，求宝顶的高度？（结果精确到，） 【答案】米 【分析】分别在和中，利用三角函数求出，的长即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，米，，， 米， （米）． 在中，，， 米， 在中，，， ， （米） （米） 答：宝顶的高度约为米． ◆题型2 坡度、坡比模型求长度高度 1．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过B、C作于点E，于点F，证明四边形为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理求得，再利用坡比概念求得，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． ∴四边形为矩形，则， ∵斜坡的坡比， ∴设，则， 在中，根据勾股定理，得， ，解得或（不合题意，舍去）， 则， 又∵背水坡的坡比， ， ，则． 2．如图，一人乘雪橇沿坡度为的斜坡笔直滑下，滑下的距离)与时间)之间的关系为，若滑到坡底的时间为，则此人下降的高度为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵滑下的距离)与时间)之间的关系为，滑到坡底的时间为， ∴， 设坡角为， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∴此人下降的高度， 故选：C． 3．如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道，的坡角均为，则点的高是_____米． 【答案】 【分析】延长交于F，得到平行四边形，得到，，，通过解直角三角形得出结果． 【详解】解：如图，延长交于F， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在直角中， ∵， ∴． 4．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为米，则滑梯的长度为_____米． 【答案】4 【分析】根据题意得，，，，，因此，，通过解直角三角形求出，即可． 【详解】解∶由题意得：，，，，， ∴， ∴在中，（米）， ∴米， ∴在中，（米）． 答：滑梯的长度为4米． 5．如图，在坡顶的处的同一水平面上有一座垂直于水平面的建筑物，某同学沿着坡度为的斜坡攀行米到达了点，点距建筑物底端为米，在坡顶处又测得该建筑物的顶端的仰角为，求建筑物顶部到的距离（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过作于，过作于，根据斜坡的坡度，得出，设，，由勾股定理可求得，值即可求解，从而得到的长；由题意得，在中，即可求解的长，再根据三个角是直角的四边形是矩形，得到四边形为矩形，从而有，由此可以得到的长． 【详解】解：如图，过作，垂足为,延长交于点． 斜坡的坡度， ． 设，， ， 又， ， ． 由题意得，， ，解得． ，， ， ， , 又， ， 四边形为矩形， , ． 建筑物顶部到的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角、矩形的判定及性质，解题的关键在于根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解． ◆题型3方向角（方位角）解距离问题 1．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 2．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】在中，利用的长，以及的度数，根据三角函数即可求得的长． 【详解】解：根据题意得：在中，， ∴， ∴米． 即河宽为米． 3．如图，某海警船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西方向，海警船航行到B处时望见渔船D在南偏东方向，又航行了一小时到达C处，望见渔船D在南偏东方向，若海警船的速度为25海里/时，则A，B之间的距离为________海里．（，结果精确到0.1海里） 【答案】68.3 【分析】过点D作垂直于H，因为D处在A处南偏西、在B处南偏东，所以和都是等腰直角三角形，得，因为海警船速度为25海里/时，航行1小时从B到C，所以海里，那么．因为D处在C处南偏东，所以，在中，结合正切函数的定义，建立与的关系式，求解， 由即可得解． 【详解】过点D作于H，则， 由题意可知A、B、C三点在同一条东西向直线上． 在A处望见D在南偏西， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在B处望见D在南偏东， 同理，也是等腰直角三角形，． ∴， ∴． 已知海警船速度为25海里/时，从B航行1小时到C， ∴海里． ∵在C处望见D在南偏东， ∴， 在中，， 即． 又∵， ∴ ， 整理得， 解得． ， 代入， 得（海里）． 4．如图，港口A在观测站O的正东方向，海里，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）是______海里． 【答案】 【分析】作，再根据题意可知,，然后根据直角三角形的性质得海里，接下来根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：过点A作，于点D， 根据题意可知, ∴， ∴． 在中，海里， ∴海里． 在中，， ∴， ∴海里， 根据勾股定理，得海里． 5．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时20海里的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，3小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．（结果精确到整数，参考数据：，） 【答案】该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里 【分析】过点作于点，在中，利用三角函数求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后根据即可求解． 【详解】解：由题意，得海里，，， 过点作于点， ， 在中，， 在中，， ． 海里， ， 解得海里． 答：该渔船在航行过程中与小岛的最近距离约为22海里． ◆题型4双直角三角形叠加模型 1．如图，某旗杆高为12米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长多少米？（     ） A． B． C．12 D． 【答案】A 【分析】如图，由题意可得米，解直角三角形求出米，米，由即可解答． 【详解】解：如图， 由题意可得米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米，即第二次观察到的影子比第一次的长米． 2．某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据题意可知，在和 中，分别利用正弦函数求出和的长，最后根据 即可求解． 【详解】解：由题意可知，光伏板长度不变，即米，且． 在 中，， ， ． 在中， ， ∵， ． ∴米． 3．如图，一架梯子斜靠在墙上，墙与地面的夹角，当时，端点A离地面的高度为，将梯子底部端点B水平向左移动到点，端点A沿墙竖直向上移动到点，此时，则的长可以表示为_________． 【答案】/ 【分析】根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长. 【详解】解：由题意得：，， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， 的长可以表示为. 4．斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁．如图是一座斜拉桥的部分示意图，其中拉索与水平桥面的夹角，拉索与水平桥面的夹角，两条拉索顶端之间的距离，底端之间的距离，则桥塔的长为________________（结果精确到，参考数据，，） 【答案】/米 【分析】根据，则为等腰直角三角形，可得，设，表示出，再由的正切值求解即可． 【详解】解：∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， 则桥塔的长为． 5．新情境消防云梯某种型号的消防车（如图1）车尾处的云梯长度伸缩范围为5~45米，最大张角为70°．在一次出警任务中，由于消防车前方有障碍物，车头只能停在楼前20米的B处（如图2），已知车长米，车高米．起初火势较小，当云梯与水平线夹角为时，正好到达起火楼层E点．小明家所在楼层比起火楼层高15米，由于火势没有完全控制，消防车及时向前挪动，沿方向前进10米，车头停在楼前的D处，并将云梯与水平线夹角调至最大，即．请你通过计算说明此时云梯能否到达小明家所在楼层（图2中所有点均在同一竖直平面内，．参考数据：，，）． 【答案】云梯能够到达小明家所在楼层． 【分析】根据解三角形将的长度求出来，比较与米和与米的大小，从而确定云梯是否能够到达小明家所在楼层． 【详解】解：延长交于点G，如图， 由题意，得， 在中，， ， 由题意，得， ， 在中，， （米）， （米）， ，， ∴云梯能够到达小明家所在楼层． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在中，，，为的中点，连接，过点作的垂线交于点，则的长为（     ）． A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】过点作于点，根据三角函数可得，，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点作于点， ，， ， 为的中点， ， ， ，， 为的中点， ， ， ， ， 在中，． 2．如图，在中，是上的高．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出的长，在中利用求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是上的高， ∴， 在中，， ∴， 在中， 由勾股定理得． 3．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】在中，，在中，，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴米． 4．如图所示，“五一”期间小苏在瓯江口放风筝，已知风筝线长固定为24米，当风筝到达A点时，测得此时仰角为，n秒后，风筝到达B点，测得此时仰角为“”，测得风筝在这n秒内上升的高度为（     ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过作水平线的垂线，垂足为，过作于，过作于，证明四边形为矩形，可得，再分别求解，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作水平线的垂线，垂足为，过作于，过作于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 5．如图是一款折叠椅打开时侧面示意图，椅面平行地面，椅脚，，，则到地面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ． 6．如图，矩形中，，，将矩形绕点A旋转得到矩形，点C的运动路径为，当点落在上时，图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】如图，连接，，过作于E，于是得到，根据旋转的性质得到， ，根据勾股定理得到，，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】如图，连接，，过作于E， ∵将矩形绕点A旋转得到矩形， ∴， ， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积. 7．如图所示，点，，对应的刻度分别为，，，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为__________． 【答案】 【分析】由题意可知，线段扫过的图形为一个扇形，半径为，先根据三角函数的定义求出，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 由旋转的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴线段扫过的图形的面积为． 8．三叶风力发电机主要由叶片、塔筒、齿轮箱和发电机等组成，三个相同的叶片均匀分布，塔筒垂直于水平地面．如图是某一时刻太阳光线恰好垂直照射叶片的示意图．此时，叶片，的影子在水平地面同一条直线上，影长，太阳光线与地面所夹锐角为．若，则叶片的长度为__________． 【答案】72 【分析】过点E作于点G，则，在中，根据，设，，根据勾股定理构造方程，可求出．延长交于点H，证明四边形是矩形，得到，．根据三个相同的叶片均匀分布，得到，，从而根据“三线合一”得到，因此通过解直角三角形得到，结合可求出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点G，则， ∵在中，， ∴设，， ∵， ∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴． 延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵三个相同的叶片均匀分布， ∴，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴叶片的长度为． 9．如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长，支撑板长，水平托板离地面的高度为，，，已知摄像头在点A处，支撑点B是的中点，如图2，则摄像头（点A）离地面的高度h是______（精确到，参考数据：，） 【答案】 【分析】过点A、B分别作的垂线，垂足分别为F、G，过点B作于点H，则可求得的长，再证明四边形是矩形，得，，则可求得及，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点A、B分别作的垂线，垂足分别为F、G，过点B作于点H， 在中，， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，点B是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 即摄像头（点A）离地面的高度h是． 10．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于_____米． 【答案】 【分析】过作于，根据等腰三角形的判定得出，在中解直角三角形即可解答； 【详解】解：如图，过作于，则就是灯塔到环海路的距离， 依题意，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴灯塔到环海路的距离为米． 11．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 材料：构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，，延长至点D，使得，连接，易知，，所以． 任务：类比这种方法，画出图形，并计算的值． 【答案】， 【分析】在中，，，延长至点，使，连接，得，设，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图，在中，，，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，， ∴． 12．如图，小亮想要测量建筑物的高度，他利用测倾器在点测得，然后他继续向前走了米，到达点，此时测得．已知测倾器的高米，请根据小亮测得的数据，计算该建筑物的高． （结果精确到米，） 【答案】建筑物的高度约为米 【分析】延长交于点，先证四边形、四边形为矩形，得到线段等量关系；设，利用直角三角形性质得，再根据角的正切建立方程求出，最后加上的长度得到建筑物高度． 【详解】解：延长交于点． ，， ∴，， ∵米， ∴四边形是平行四边形， ∴米， ∵， 四边形是矩形． ∴， ∵， 四边形是矩形． 米，，， ∴， 设米． ， 是等腰直角三角形， ∴米， （米）， ，， 即， 解得（米）， （米）． 答：建筑物的高度约为米． 13．如图，山坡上有一棵竖直的树，坡面上点处放置高度为的测倾器，测倾器的顶部与树底部恰好在同一水平线上（即，此时测得树顶部的仰角为．已知山坡的坡度（即坡面上点处的铅直高度与水平宽度的比），求树的高度（结果精确到．参考数据：，， 【答案】树的高度约为 【分析】根据山坡的坡度以及平行线的性质得到，进而得到，根据，得到的长度． 【详解】解：山坡的坡度， ， ， ， ， ， 在中，， . 答：树的高度约为． 14．某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，） (1)求线段的长度；（结果精确到） (2)已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 【答案】(1) (2)解：送货员按既定路线进行运送能按时送达，理由如下： 根据题意，得， ， ， 故需要时间为， 小于16分钟， 故送货员按既定路线进行运送能按时送达； 【分析】（1）根据，计算即可； （2）根据时间，计算比较解答即可，注意单位的统一； 【详解】（1）解：根据题意，得，，，，，四点共线，，垂足分别为点F，点E， ， 根据平行线间的距离处处相等，得， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2）略 15．为了测量学校旗杆（垂直于水平地面）的高度，班里三个兴趣小组设计了三种不同的测量方案，如下表所示． 课题 测量校园旗杆的高度 测量工具 测角仪（测量角度的仪器），卷尺，平面镜等 测量小组 A组 B组 C组 测量方案示意图 (1)上述A，B，C三个小组中，_______组不能测出旗杆的真实高度； (2)在A组测量中，线段表示旗杆的高度，线段，表示测角仪的高度，点A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内，表示两次测角仪摆放位置之间的距离，测角仪测得旗杆顶端A的仰角，，，，请你结合所学知识，利用A组测量的数据计算出旗杆的高度．（参考数据：） 【答案】(1)C (2)9.5米 【分析】（1）根据C组测量时间不同判断即可； （2）连接交于点H，得到四边形为矩形，得到，，解直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：因为C小组测量的和不是同一时刻的两物体的影长， 所以C小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度； （2）解：连接交于点H，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴米， ∴米． 答：旗杆的高度为9.5米． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $