专题02 解直角三角形及其实际应用（专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 以“基础计算-模型构造-实际应用”为逻辑主线，通过12类细分题型（4类基础+8类应用）实现解直角三角形从概念到实践的系统突破，突出情境化问题的数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解直角三角形|4题型（含典例+变式）|覆盖直角、非直角、构造辅助线、四边形背景，强调转化思想|从三角函数定义直接应用到通过作高/补形构造直角三角形，形成问题转化链| |解直角三角形的应用|8题型（含典例+变式）|包含仰角俯角、方位角等8类情境，融合生活、文化、测量场景|实际问题抽象为直角三角形模型，运用三角函数解决高度、距离等度量问题，体现数学应用意识|

学科网（北京）股份有限公司 专题02 解直角三角形及其实际应用 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形（重） 题型1 解直角三角形 题型2 解非直角三角形 题型3 构造直角三角形解答问题 题型4 四边形背景下的解直角三角形应用 考点二 解直角三角形的应用 题型5 解直角三角形应用-仰角、俯角问题 题型6 解直角三角形应用-方位角问题 题型7 解直角三角形应用-坡角问题 题型8 解直角三角形的其它实际应用问题 题型9 光影测量问题 题型10 古代文化问题 题型11 实物测量问题 综合攻坚·知能拔高（难） 综合攻坚·知能拔高 考点一 解直角三角形 ◆题型1 解直角三角形 【典例1】在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）在中，为钝角，若，，，则的面积等于________． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，点B在第一象限，，．   (1)求点B的坐标； (2)求的值． ◆题型2 解非直角三角形 【典例2】如图，在中， ，，，求、的长． 【变式2-1】中，，，，求边的长度． 【变式2-2】如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． ◆题型3 构造直角三角形解答问题 【典例3】如图是一块四边形空地，该空地面积为_____________． 【变式3-1】（2025·山东聊城·一模）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， (1)根据测量数据，求步道的长度； (2)为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 【变式3-2】某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． ◆题型4 四边形背景下的解直角三角形应用 【典例4】如图，在正方形中，点E、F分别为边上的点，，，交于点H． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式4-1】如图1，在矩形中，点为的中点，连接，点为上一点，连交于点．交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的值：（用含的式子表示） (3)如图2，连接，在（2）的条件下，直接写出的值．（用含的式子表示） 【变式4-2】如图1，在菱形中，点是对角线上一点，点与点关于对称，射线分别与直线、分别交于点、． (1)如图2，已知，点恰好落在对角线上时， ①__________； ②若，则___________； (2)试猜想图1中与有怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图3，已知，若点恰好落在菱形的某条边所在的直线上（不与顶点重合），请直接写出此时的值． 考点二 解直角三角形的应用 ◆题型5 解直角三角形应用-仰角、俯角问题 【典例5】觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度（结果精确到，参考数据：，） 【变式5-1】小明为了测量楼房的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走，到达坡顶D处，小明的身高是．已知斜坡的坡角为，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为，求楼房AB的高度．（，，）（以下计算结果精确到） 【变式5-2】根据以下素材，探索完成任务． 为保障“乡村振兴”战略中农田灌溉需求，某数学研究性学习小组计划测量山坡上一棵防护树的高度（该树可防止水土流失）．在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算一座山坡一棵防护树的高度 测量工具 无人机、卷尺、秒表、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 是山坡上的一棵防护树，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①用无人机测得树底部B点到山脚C点的距离为米，山坡的坡角为． ②小马在山脚的平地F处测量这棵树的高度，点C到测角仪的水平距离米，从E处测得树顶部A的仰角为，树底部B的仰角为．（参考数值：，，） 请根据上面提供的信息，解决下列问题（结果精确到0.1米）： (1)求的长度． (2)求树的高度． ◆题型6 解直角三角形应用-方位角问题 【典例6】如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点O，景点A，B分别在道路a，b上，为了方便游客，景区管委会在道路b上修建了一个休息区C，经测得景点A位于休息区C的西偏南方向上，景点B位于景点A北偏东方向上，已知． (1)的度数为 ； (2)求景点B到休息区C之间的距离（结果保留根号）． 【变式6-1】凤凰古城是湖南十大文化遗产之一，沱江作为古城的母亲河，不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客．为了促进古城旅游业发展，古城文旅局计划在端午节期间举办“端午探宝”定向寻宝赛，以古城街巷为场地还原古驿道寻宝路线．如图，已知打卡点C位于打卡点A正东方向2000米，打卡点D在打卡点A的东北方向，打卡点B在打卡点A的南偏东方向，打卡点C在打卡点B的北偏西方向，打卡点C在打卡点D的东南方向． (1)求打卡点B与打卡点C之间的距离； (2)比赛中，小衡从打卡点A出发，沿向B点匀速奔跑；小阳从打卡点D出发，沿向B点匀速奔跑，且两人经过A，C两点均不停留．若两人同时出发，速度相同，谁先到达B点？请通过计算说明． 【变式6-2】如图，一货船从A处前往北偏东方向相距的B处．在A处北偏东方向，B处北偏西方向有一个小岛P，小岛周围有暗礁．请回答下列问题： (1) ， ； (2)如果货船沿着原来的方向行驶，是否有触礁的危险？（参考数据：，） ◆题型7 解直角三角形应用-坡角问题 【典例7】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为12米，那么这个斜坡的长度为_____米． 【变式7-1】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若四边形是正方形，扶梯长为米，则滑梯底部的长为（    ） A．27米 B．25米 C．24米 D．22米 【变式7-2】人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技馆的人形机器人正在进行货物运输测试．机器人需要将一批货物从地面运送到高度为3米的展示台上，为此设计了可调节斜坡装置．当斜坡的坡度时（的坡度 ），运输速度快但能耗很大，为减少能耗，将斜坡加长，此时斜坡与地面夹角为，机器人刚好能稳定行走且耗能低． (1)求证：为等腰三角形 (2)请计算加长后的斜坡比原斜坡长了多少米？（结果保留根号） ◆题型8 解直角三角形的其它实际应用问题 【典例8】门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中记载了利用“重差术”测量物体高度的方法．某高铁路段隧道施工中，工程人员利用该原理测量接触网支架高度，其纵截面的示意图如下：四边形为接触网支架的主体，四边形为接触网支架的底座．连接，已知，测得，，，，底座高．（参考数据：，，，，） (1)求的长（结果精确到）； (2)求点到地面的距离（结果精确到）． 【变式8-2】醒狮是国家级非物质文化遗产，某“高桩醒狮”表演中，三根梅花桩，，垂直于水平地面，点M，P，N在同一水平地面上，表演者从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C．已知，，，．（参考数据：，，） (1)求点A与点C之间的竖直高度差； (2)若表演者从A直接跳跃到C完成“采青”动作，求跳跃路径的长度． ◆题型9 光影测量问题 【典例9】数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 某景点游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图①，现在要计算所需前挡板的宽度．    测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图②，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图③．    任务1 (1)求遮阳棚前端B到墙面的距离． 任务2 (2)当时，求挡板的宽度． （结果精确到，参考数据：，，，） 【变式9-1】综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． (1)【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【变式9-2】（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时， (1)求点与的水平距离的长； (2)求阴影的长．（结果都精确到米；参考数据：，，） ◆题型10 古代文化问题 【典例10】（25-26九年级下·湖南湘西·期中）耧（lóu）车（如图1）的起源可以追溯到西汉时期，由耧斗、耧腿、耧杆、播种架等部分组成．图2为示意图，已知耧腿，耧辕为，点B固定在上，且，耧把在点A的位置．当耧车不工作时，耧辕顶点D在地面上，此时．（结果精确到，参考数据：，，，） (1)当耧车不工作时，求的度数． (2)当耧车不工作时，求点A到地面的距离. (3)如图3，当耧车工作时，点D被抬起，，求耧把从不工作到工作时端点A下降的高度． 【变式10-1】为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板长为，踏板与地面的坡比，支架长为，跑步机手柄为，且，到地面的高度为．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． (1)求到地面距离（结果精确到）； (2)该人身高为1.8米，通过尝试：当是身高0.8倍时，运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 【变式10-2】图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） ◆题型11 实物测量问题 【典例11】小明的书桌上有个书架，如图1，使用时可以通过调整书架和桌面的夹角大小使阅读时的感受更加舒适．小明使用时发现，如图2，当书架与桌面的夹角时，看书最为舒适．小明的眼睛位于C处，旋转点P到点B的距离为．（以下结果均保留整数，参考数据：，，） (1)求此时点B到桌面的距离； (2)如果小明的眼睛在点C处看B处的俯角为，眼睛到桌面的垂直高度为，点P到点D的距离为，求此时眼睛到B点的距离（即的长度）． 【变式11-1】（2025·湖南娄底·二模）几位同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 篮球架的结构 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下：立柱垂直地面，横梁平行地面，篮筐与横梁在同一直线上，点、、在同一条垂直于地面的直线上． 测绘过程与数据信息 ①用测角仪在处测得后拉杆与水平面的夹角，在处测得伸臂与水平面的夹角； ②用皮尺测得后拉杆的长为，伸臂的长为，箱体的高度为； ③用计算器计算得到：，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到） (1)求立柱的高度； (2)已知墩墩站立时手臂举至最高处，手掌距地面最大高度为，若墩墩站在地面上想摸到篮筐，则墩墩至少跳多高才能摸到篮筐？ 【变式11-2】（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图1所示，在户外活动时，为了遮阳和防雨常常会用到天幕帐篷，其截面示意图是轴对称图形（如图2所示），对称轴是垂直于地面的支撑杆，已知幕布，支撑杆，于点．、为防风绳，通过调节防风绳在地面的固定点与支撑杆的距离可控制天幕的开合（、、三点共线，、、三点共线）． (1)当时，求的长（结果保留根号）； (2)当由调节至时，左侧防风绳在地面的固定点需向右平移多少米？（结果保留根号） 综合攻坚·知能拔高 34．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系中，正方形按如图所示的方式放置，其中点在轴上，点在轴上，已知正方形的边长为1，，则正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 35．锄头是我国传统农耕社会中最常用的手工农具，由铁质锄刃与木质长柄组成，锄刃平薄且横装于柄端．其核心功能包括除草、松土、浅层翻地等田间管理作业，覆盖农业生产全流程作业需求．图1是农民伯伯利用锄头正在挖地的图片，图2是某次挖地时锄头的平面示意图．为地面，挖地时露在土地外的锄刃长，锄刃与地面所成的夹角，锄头木柄与锄刃互相垂直，木柄长为，则木柄端到地面的距离为________．（结果保留根号） 36．（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行10千米到达点C处，此时点C位于点B的北偏东． (1)求此时渔船距离直线的距离（结果保留根号）． (2)渔船到达点C后，按原航向继续航行一段时间后，到达点D等待补给，此时渔船在点B的南偏东的方向．在渔船到达点D的同时，一艘补给船从点B出发前往D处，请问补给船行驶的距离的长度．（参考数据：） 37．为测量某风景区山腰上一山洞的高度，某数学小组设计了两个测量方案． 活动课题 测量某风景区山腰上的一山洞的高度 测量方案 方案一 方案二 背景示意图及抽象图         测量过程与测量数据 在点A处测得该山洞顶部点C的仰角为，测得上山斜坡的长度为150米，上山斜坡的坡度．已知点A，B，C，M都在同一平面上． 用无人机在与该山洞底部B水平距离米的空中P点位置，测得点B的俯角为，测得该山洞顶部C的仰角为．点P，D，B，C在同一平面上． 参考数据 ， ， ． ，， ，． 说明 线段代表上山斜坡，线段代表该山洞，直线表示水平线，． 请选择其中一种方案计算：求该山洞的高度．（结果精确到0.1米） 38．近年来，国产人形机器人技术飞速发展，多款机器人登上2026年春晚舞台，引来无数观众的赞叹．某数学实践小组根据某个机器人的动作示意图，开展数学探究活动． (1)图1为机器人的某一姿势示意图，其下肢伸展结构可近似抽象为等腰三角形，如图2．已知机器人的大腿上端点到地面水平线的距离约为厘米，机器人的两脚着地点，之间的距离约为厘米，请估计机器人的腿长． (2)图3为机器人的另一姿势示意图，其右侧伸展结构可近似抽象为，如图4．已知点为机器人的右脚着地点，点为机器人的头顶最高点，点为机器人的机身连接点，直线为地面水平线．若，，请估计此时机器人的头顶点到地面水平线的距离（结果保留整数，参考数据：，）． 39．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：利用激光笔在出发射一束光线，入射光线与水槽（水平放置）内壁的夹角为；容器中不装水时，光斑恰好落在处，第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】如图，点在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)______；______； (2)求之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 40．西安曲江池遗址公园的阅江楼，是彰显唐文化的仿古建筑，楼阁错落有致、飞檐映水，承载着西安的盛唐底蕴．某数学活动小组开展测量阅江楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量阅江楼的高度 测量工具 皮尺、自制直角三角纸板、平面镜等 测量过程 1．小明手持自制直角三角纸板（，使长直角边与水平地面平行），调整自己站的位置，当在D处时其眼睛在C处看到C，F及阅江楼顶端A在一条直线上； 2．小华在B，D之间平放一块平面镜，通过调整平面镜的位置，当平面镜在点G处，小明在D处恰好能从平面镜中看到阅江楼顶端A的像 测量示意图 测量说明 ，，，均与水平地面垂直，图中所有的点都在同一平面内，点B，D，G在同一水平线上，忽略平面镜的厚度及大小 测量结果 米，米，米，米 请你根据活动报告中的信息，计算阅江楼的高度． 41．如图1，某仓库有一传送带运输货柜，为水平地面，为斜坡上的传送带，．在距离（长为4米）的正上方米处，有一限高装置．棱长为2米的正方体货柜（其侧面是正方形）的底面在传送带上，从起点A出发，传送到地面点B处． (1)判断正方体货柜能否通过限高装置，并说明理由． (2)如图2，因特殊要求，需在货物底端放置一块如图3所示的直三棱柱式楔子，使得正方体货柜在传送带的运输过程中与水平地面保持平行．已知直三棱柱式楔子的一个底面为，且．楔子的侧面与正方体货物的底面全等重合，侧面与传送带重合．判断此时正方体货柜能否通过限高装置，并求直三棱柱式楔子的侧面积（不包含前、后两个底面，结果保留两小数）． （参考数据：，，） 42．（24-25九年级下·全国·单元测试）图①是一台实物投影仪，图②是其侧面的抽象示意图，是支架的一部分，垂直于水平地面，投影仪可绕点A转动．投影光线与投影仪近似在同一直线上，且光斑E位于屏幕的正中心．经测量，，点F到水平地面的距离为． (1)若点D，F在同一水平线上，且两点之间的距离为，，求： ①与水平地面的夹角； ②光斑E到水平地面的距离． (2)在（1）的状态下，将投影仪后移，转动，使得投影光线的光斑仍在点E处．请判断投影仪与水平地面的夹角如何改变． （参考数据：） 43．如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔，游轮以海里时的速度向正东方向航行小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上．    (1) ； (2)过作于点，求到直线的距离； (3)求处与灯塔相距多少海里？（结果精确到海里，参考数据：，） 44．【问题背景】 一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算． 【问题探究】 如图2，在坡角点处测得旗杆顶点的仰角的正切值为3，山坡上点处测得顶点的仰角的正切值为．斜坡的坡比为，两观测点的距离为． 学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务． 任务1：计算，两点的垂直高度差． 任务2：求顶点到水平地面的垂直高度． 【问题解决】 为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案： 小组一：在坡角点处测得旗杆底部点的仰角的正切值为； 小组二：在山坡上点处测得旗杆底部点的俯角的正切值为． 任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度． 45．某校数学第二课堂学习小组组织了一次户外学习活动，对校外公园一个创意型多边形大门进行了测量与计算，下表是他们的活动过程与测量结果的活动报告单． 活动主题：测量公园多边形大门数据 活动成员：数学第二课堂学习小组组员 测量工具：皮尺、测角仪、计算器等 实拍图与几何示意图： 测绘步骤：①门框垂直于地面，抽象出的几何图形是五边形（各顶点在同一平面，在水平地面上）． ②门框外观是轴对称图形（点C对应点E）． 测量数据：①用皮尺测得：． ②用测角仪测得：，． ③用计算器计算得：，． 问题解决： (1)求门框的宽度； (2)求门框最高点D到水平地面的距离．（结果保留一位小数） 46．根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷． 素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）． 素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）． 素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变． 【任务1】如图2，求，的长． 【任务2】如图3，求劣弧的弓高． 【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）． 47．如图，在中，，，，点是边一动点，沿过点的直线将折叠，的对应线段平行于，折痕与边交于点． (1)证明：四边形是菱形； (2)如图（1），若点恰好落在对角线上，连接，求的长； (3)连接，，如图（2），问能否为直角三角形？如果不能，请说明理由；如果能，请求出的长． 48．如图，菱形与菱形的顶点C重合，，已知菱形绕点C旋转的角度为α． (1)如图①，当点G在对角线上时，求的值； (2)如图②，当菱形按顺时针方向旋转的角度为，线段与之间的数量关系为_________，并证明你的结论； 49．如图1，在正方形中，将边绕点顺时针旋转得到，连接．射线交边于点，交的延长线于点． (1)填空：________度，并说明理由； (2)如图2，点在射线上，连接．若，求证：； (3)如图3，若边绕点顺时针旋转得到，使得时，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形及其实际应用 常考题型·精准突破 考点一 解直角三角形（重） 题型1 解直角三角形 题型2 解非直角三角形 题型3 构造直角三角形解答问题 题型4 四边形背景下的解直角三角形应用 考点二 解直角三角形的应用 题型5 解直角三角形应用-仰角、俯角问题 题型6 解直角三角形应用-方位角问题 题型7 解直角三角形应用-坡角问题 题型8 解直角三角形的其它实际应用问题 题型9 光影测量问题 题型10 古代文化问题 题型11 实物测量问题 综合攻坚·知能拔高（难） 综合攻坚·知能拔高 考点一 解直角三角形 ◆题型1 解直角三角形 【典例1】在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形中锐角余弦的定义求出斜边的长度，再结合勾股定理计算的长度，即可得到答案. 【详解】解：∵ 如图：在中，， 根据锐角余弦定义得， 又，， ，解得， 由勾股定理得，代入，得：. 【变式1-1】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）在中，为钝角，若，，，则的面积等于________． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查解直角三角形、勾股定理、含30度直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角函数并运用分类讨论思想是解题的关键． 如图：作交（或延长线）于点D，分位于异侧和同侧两种情况，先在中求得的值，再在中利用勾股定理求得的长，继而就两种情况分别求出的长，再根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】解：作交（或延长线）于点D， ①如图1，当位于异侧时， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当位于的同侧时， 由①知，，，， ∴， ∴． 综上，的面积是或． 故答案为或． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，点B在第一象限，，．   (1)求点B的坐标； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点B作轴，垂足为C，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用勾股定理求出的长，即可解答； （2）根据已知可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点B作轴，垂足为C， 在中，，， ∴ ∴， ∴点B的坐标为； （2）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． ◆题型2 解非直角三角形 【典例2】如图，在中， ，，，求、的长． 【答案】 【分析】过作，交于点，利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：过作，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 【变式2-1】中，，，，求边的长度． 【答案】 【分析】过点作，利用三角形的内角和定理先求出、，再利用直角三角形的边角间关系求出、的长，最后利用等腰三角形的性质、线段的和差关系得结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点． ，，， ，． 在中， ， ，， ，． 在中， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键． 【变式2-2】如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． ◆题型3 构造直角三角形解答问题 【典例3】如图是一块四边形空地，该空地面积为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形面积公式、含角的直角三角形的边角关系（三角函数的简单应用），熟练掌握“将四边形分割为三角形，利用特殊角求三角形的高”是解题的关键．通过连接对角线将四边形分成两个三角形，分别求出两个三角形的高（利用含角的直角三角形的边角关系），再根据三角形面积公式计算两个三角形的面积，最后求和得到四边形的面积． 【详解】解：如图，连接，作于点，作于点， 在中，∵， 在中，∵， . 则该空地的面积 故答案为：． 【变式3-1】（2025·山东聊城·一模）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量步道的长度，如图三角形花园边上修建了一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人工步道． 课题 测量步道的长度 成员 组长：×××    组员：××× 测量工具 测角仪，皮尺 测量示意图 测量数据 点C在点A的正东方向，点E在点A的正北方向，点B，D都在点C的正北方向，测得：米，米，点B在点A的北偏东方向上，点D在点E的北偏东方向上． 参考数据 ，，， (1)根据测量数据，求步道的长度； (2)为了安全，市政府准备在人工湖周围安装围栏，求安装围栏的长度？（结果保留一位小数） 【答案】(1)210米 (2)865.6米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用． （1）过点D作交的延长线于点F，由正弦的定义求解即可得出答案． （2）解直角三角形算出，，，进而求出，再根据围栏长度为代入计算即可． 【详解】（1）解：过点D作交的延长线于点F， 由题意可知：，， 在中， ， ， 步道的长度为210米． （2）解：在中，，， ，． 在中，， 围栏长度为： （米） 【变式3-2】某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 【答案】(1)141米； (2)不够，见解析． 【分析】（１）如图，过点D作，垂足为点F，则，解，得（米）； （2）解，，，，从而，，计算（米），总造价，得出结论． 【详解】（1）如图，过点D作，垂足为点F，则 中， ∴（米）； （2）中，， ∴， 而 ∴ ∴ ∴（米） ∴总造价； ∴预算不满足需求． 【点睛】本题考查解直角三角形的运用，添加辅助线构造特殊角直角三角形是解题的关键． ◆题型4 四边形背景下的解直角三角形应用 【典例4】如图，在正方形中，点E、F分别为边上的点，，，交于点H． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ (2) 【分析】（1）证明，利用垂直的定义证明即可； （2）根据勾股定理，得，继而求得，故解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】如图1，在矩形中，点为的中点，连接，点为上一点，连交于点．交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的值：（用含的式子表示） (3)如图2，连接，在（2）的条件下，直接写出的值．（用含的式子表示） 【答案】(1)证明：在矩形中，， ， ， ， ， ， ， 则 ． (2) (3) 【分析】（1）由可推出，然后推出互余，继而推出； （2）结合（1）的结论证，得，根据，点为的中点，化简即可； （3）设，则，，,以为原点，为轴，为轴，求出和所在直线解析式，然后求出坐标，计算即可． 【详解】（1）略 （2）由第一小问可得， ， ， ， 又是的中点， ， ， ， ， （3）设，则，，, 以为原点，为轴，为轴， 则，,，如图： 设所在直线的解析式为，且经过，， 则，解得， 所在直线的解析式为， 设所在直线解析式为，且经过，， 则， 解得， 所在直线解析式为， 当时，，，即， ． 【变式4-2】如图1，在菱形中，点是对角线上一点，点与点关于对称，射线分别与直线、分别交于点、． (1)如图2，已知，点恰好落在对角线上时， ①__________； ②若，则___________； (2)试猜想图1中与有怎样的数量关系，并说明理由； (3)如图3，已知，若点恰好落在菱形的某条边所在的直线上（不与顶点重合），请直接写出此时的值． 【答案】(1)①；②16 (2)，理由见解析 (3)，， 【分析】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识，解题的关键是利用轴对称和菱形的性质构造全等或相似三角形，建立线段与角的关系求解． （1）①利用正方形的性质、轴对称性质，推导角的关系，得； ②构造相似三角形，利用相似三角形的性质得． （2）通过轴对称和菱形的性质，证明，结合等腰三角形性质和四边形内角和，推导 ． （3）分点落在边和边所在直线上两种情况，利用三角函数、相似三角形性质，分别求出的值． 【详解】（1）解：① 四边形是菱形，， 四边形是正方形， ，，． 点与点关于对称， ，， ， ， 点在上，， ， ， ， ，， ． ②连接，由①知，， ， 又， ， ， ． ， ． （2）解：猜想： ． 证明 四边形是菱形， ，，， 点与点关于对称， ，， ， ． 设，则， ， ， 在中， ，且 ， ， 整理得： ． （3）解：分三种情况如下： 情况1：点落在直线上（对应）， 四边形是菱形，设，， 由轴对称性质，， 在中，作于，则 ，， ，， ， ， ， 由相似比可得：，， 结合 ，，解得； 情况2：点落在直线上（对应） 由轴对称性质，设， 作于，则，， ，， ∵ ∴ ， ， ， ，， ， ， ， , ， 又， ， ， 解得； 情况3：点落在直线上 由轴对称性质，设，，在延长线上，， 结合菱形边长，可得在点上方，，， 延长交于， ， ，，， ， ， ，， ， 解得， 综上，的值为、或． 考点二 解直角三角形的应用 ◆题型5 解直角三角形应用-仰角、俯角问题 【典例5】觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1) (2)塔的高度约为． 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）在中，根据勾股定理求得，设．得出，过点作，垂足为．，．在中，，得出，进而建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，． 在中，，， ． 答：的长为． （2）由题意， 在中，，， ． 在中，设． ， ． ． 过点作，垂足为． 由题意，得，． ， ． 在中，， ． ，解得． ． 答：塔的高度约为． 【变式5-1】小明为了测量楼房的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走，到达坡顶D处，小明的身高是．已知斜坡的坡角为，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为，求楼房AB的高度．（，，）（以下计算结果精确到） 【答案】楼房的高度是 【分析】由图可知：，利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义，求得，即可． 【详解】解：作于点F， 则由题意得：四边形是矩形， 在中，∵，， ∴，； 在中，∵， ∴， ∴． 答：楼房的高度是． 【变式5-2】根据以下素材，探索完成任务． 为保障“乡村振兴”战略中农田灌溉需求，某数学研究性学习小组计划测量山坡上一棵防护树的高度（该树可防止水土流失）．在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算一座山坡一棵防护树的高度 测量工具 无人机、卷尺、秒表、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 是山坡上的一棵防护树，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①用无人机测得树底部B点到山脚C点的距离为米，山坡的坡角为． ②小马在山脚的平地F处测量这棵树的高度，点C到测角仪的水平距离米，从E处测得树顶部A的仰角为，树底部B的仰角为．（参考数值：，，） 请根据上面提供的信息，解决下列问题（结果精确到0.1米）： (1)求的长度． (2)求树的高度． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】（1）根据三角函数求出米，即可得到的长度； （2）根据三角函数求出、的值，即可求出树的高度． 【详解】（1）解：由题意可知，，米， ∴米， ∴米； （2）解：由题意可知， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵， ∴米，米， ∴米． ◆题型6 解直角三角形应用-方位角问题 【典例6】如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点O，景点A，B分别在道路a，b上，为了方便游客，景区管委会在道路b上修建了一个休息区C，经测得景点A位于休息区C的西偏南方向上，景点B位于景点A北偏东方向上，已知． (1)的度数为 ； (2)求景点B到休息区C之间的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，这两角的差即为所求角； （2）利用解直角三角形的知识分别求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵景点B位于景点A北偏东方向上，景点A位于休息区C的西偏南方向上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：景点B到休息区C之间的距离为． 【变式6-1】凤凰古城是湖南十大文化遗产之一，沱江作为古城的母亲河，不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客．为了促进古城旅游业发展，古城文旅局计划在端午节期间举办“端午探宝”定向寻宝赛，以古城街巷为场地还原古驿道寻宝路线．如图，已知打卡点C位于打卡点A正东方向2000米，打卡点D在打卡点A的东北方向，打卡点B在打卡点A的南偏东方向，打卡点C在打卡点B的北偏西方向，打卡点C在打卡点D的东南方向． (1)求打卡点B与打卡点C之间的距离； (2)比赛中，小衡从打卡点A出发，沿向B点匀速奔跑；小阳从打卡点D出发，沿向B点匀速奔跑，且两人经过A，C两点均不停留．若两人同时出发，速度相同，谁先到达B点？请通过计算说明． 【答案】(1)打卡点B与打卡点C之间的距离为米 (2)小衡先到达B点 【分析】（1）过点C作，在中利用三角函数求解； （2）过点D作，可证为等腰直角三角形，利用三角函数求出的值，再在利用三角函数求解． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点E．               在中，米，， ∴米．   在中，， ∴（米）． 答：打卡点B与打卡点C之间的距离为米．   （2）解：小衡先到达B点，理由如下：                                             由（1）知，小衡的路程为米． 如图，过点D作于点F． 由题意可知， ∴为等腰直角三角形． 在中，米，， ∴（米）                 在中，米，， ∴（米）．                   在中，，， ∴米，． ∴小阳的路程为米．     ∵， ∴小衡先到达B点． 【变式6-2】如图，一货船从A处前往北偏东方向相距的B处．在A处北偏东方向，B处北偏西方向有一个小岛P，小岛周围有暗礁．请回答下列问题： (1) ， ； (2)如果货船沿着原来的方向行驶，是否有触礁的危险？（参考数据：，） 【答案】(1)， (2)没有触礁的危险 【分析】（1）如图（见解析），先根据题意可得，，，，再根据平行线的性质和角的和差求解即可； （2）过点作于点，解直角三角形求出的长，再与进行大小比较即可． 【详解】（1）解：如图，由题意得：，，，， ∴，， ∴． （2）解：如图，过点作于点， 设， 由题意和（1）得：，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即在点与上所有点的连线得到的线段中，长度最小的是， ∴如果货船沿着原来的方向行驶，没有触礁的危险． ◆题型7 解直角三角形应用-坡角问题 【典例7】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为12米，那么这个斜坡的长度为_____米． 【答案】 【分析】本题主要考查了对坡度的理解及勾股定理，坡度通常定义为垂直高度与水平距离的比值．根据坡度定义，垂直高度与水平距离的比为12:5，已知垂直高度为12米，可求水平距离，再利用勾股定理求斜坡长度． 【详解】解：设水平距离为米， 根据坡度定义，得， 解得：， ∴斜坡长度（米）． 故答案为： 【变式7-1】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若四边形是正方形，扶梯长为米，则滑梯底部的长为（    ） A．27米 B．25米 C．24米 D．22米 【答案】D 【分析】本题考查坡比的定义，勾股定理，正方形的性质；坡比是指坡面的垂直距离和水平距离的比，据此即可求解. 【详解】解：坡比是指坡面的垂直距离和水平距离的比， ∵扶梯的坡比为，滑梯的坡比为， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∵米， ∴米， ∵四边形是正方形， ∴米， ∴米. 故选：D. 【变式7-2】人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技馆的人形机器人正在进行货物运输测试．机器人需要将一批货物从地面运送到高度为3米的展示台上，为此设计了可调节斜坡装置．当斜坡的坡度时（的坡度 ），运输速度快但能耗很大，为减少能耗，将斜坡加长，此时斜坡与地面夹角为，机器人刚好能稳定行走且耗能低． (1)求证：为等腰三角形 (2)请计算加长后的斜坡比原斜坡长了多少米？（结果保留根号） 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， 为等腰三角形． (2) 【分析】（1）利用正切函数，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； （2）根据正切函数计算即可； 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，得， ； ， ； 故斜坡比原斜坡长了米． ◆题型8 解直角三角形的其它实际应用问题 【典例8】门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点G，证明四边形是矩形，得到则根据得到，即可求出． 【详解】解：过点作于点G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式8-1】我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中记载了利用“重差术”测量物体高度的方法．某高铁路段隧道施工中，工程人员利用该原理测量接触网支架高度，其纵截面的示意图如下：四边形为接触网支架的主体，四边形为接触网支架的底座．连接，已知，测得，，，，底座高．（参考数据：，，，，） (1)求的长（结果精确到）； (2)求点到地面的距离（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形，能够构造合适的直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，构造，，利用锐角三角函数求解即可； （2）过点作交于点，交于点，交于点，则四边形是矩形，根据（1）可知，利用锐角三角函数即可求得，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，则，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，则， ∴， ∴； （2）解：过点作交于点，交于点，交于点，则， 由（1）可知， ，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式8-2】醒狮是国家级非物质文化遗产，某“高桩醒狮”表演中，三根梅花桩，，垂直于水平地面，点M，P，N在同一水平地面上，表演者从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C．已知，，，．（参考数据：，，） (1)求点A与点C之间的竖直高度差； (2)若表演者从A直接跳跃到C完成“采青”动作，求跳跃路径的长度． 【答案】(1)1.2m (2)2m 【分析】（1）过点B作于点E，作于点F，过点A作于点D，连接AC，由题意可得四边形，，均为矩形，根据题意分别求出将转化为即可； （2）在中求出，再由勾股定理求即可． 【详解】（1）如图，过点B作于点E， 作于点F，过点A作于点D，连接， 由题意，，，， ∴四边形，，均为矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 答：点A与点C之间的竖直高度差约为1.2m． （2）解：在中，， 由（1）知，由勾股定理得． 答：跳跃路径的长约为． ◆题型9 光影测量问题 【典例9】数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 某景点游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图①，现在要计算所需前挡板的宽度．    测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图②，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图③．    任务1 (1)求遮阳棚前端B到墙面的距离． 任务2 (2)当时，求挡板的宽度． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)遮阳棚前端到墙面的距离约为 (2)线段的长度约为 ． 【分析】（1）过点作，垂足为，在中，，由此即可求解； （2）延长交于点，则，在中，，，，，由此即可求解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，， ， 遮阳棚前端到墙面的距离约为； （2）解：延长交于点，则， 由题意得：， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 线段的长度约为 ． 【变式9-1】综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． (1)【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)小明会被照射到． 理由如下：如图，过点作交于点， 由条件可知， 是等边三角形，， 米， ．米，米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到． 【分析】（1）①过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案； ②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； （2）过点作交于点，在中，米米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【详解】（1）解：①如图，过作于，而， ， ， ， 故答案为：； ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， ， ， ， ， ， 由条件可知米， 在中，， 又， ， 解得：米， 此时影子的长度为米； （2）略 【变式9-2】（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时， (1)求点与的水平距离的长； (2)求阴影的长．（结果都精确到米；参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，等腰三角形的判定，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）根据余弦的定义求解即可； （2）过A作于K，根据正弦的定义求出，再证明是矩形，可得，再证明是等腰三角形，可得，进而可求． 【详解】（1）解：由题意知：，， ， 在中，米， 点与的水平距离的长为米； （2）解：过A作于K，则， 在中，米， 米， ， 四边形是矩形， 米，米， 由题意知：， ， 米， 米， 阴影的长为米． ◆题型10 古代文化问题 【典例10】（25-26九年级下·湖南湘西·期中）耧（lóu）车（如图1）的起源可以追溯到西汉时期，由耧斗、耧腿、耧杆、播种架等部分组成．图2为示意图，已知耧腿，耧辕为，点B固定在上，且，耧把在点A的位置．当耧车不工作时，耧辕顶点D在地面上，此时．（结果精确到，参考数据：，，，） (1)当耧车不工作时，求的度数． (2)当耧车不工作时，求点A到地面的距离. (3)如图3，当耧车工作时，点D被抬起，，求耧把从不工作到工作时端点A下降的高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由求出的度数，再利用三角形的外角和定理即可得； （2）过点 作 ，由即可求得； （3）利用工作时的正弦值求出耧把工作时到地面的高度，用不工作时的高度减去工作时的高度即端点A下降的高度． 【详解】（1）解：， ， ； （2）如图 1，过点 作 ， 在 中，， ， 点A到地面的距离； （3）如图 2，过点 作 ， 在 中，， ， ， 答：耧把从不工作到工作时端点 A 下降的高度约为． 【变式10-1】为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板长为，踏板与地面的坡比，支架长为，跑步机手柄为，且，到地面的高度为．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． (1)求到地面距离（结果精确到）； (2)该人身高为1.8米，通过尝试：当是身高0.8倍时，运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 【答案】(1)到地面距离为； (2)此时支架与踏板之间夹角的度数为． 【分析】（1）过C作于G，由坡度坡角的关系求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）延长交于F，则，求出，由（1）得，然后求出的长即可；由锐角三角函数定义求出，再由（1）得，然后求出的度数即可． 【详解】（1）解：过作于， 踏板与地面的坡比，， ， ， ， 即到地面距离为； （2）解：延长交于， 则， 该人身高为1.8米，通过尝试是身高0.8倍运动起来更加舒服， ， 由（1）得：， ， 在中，， ， 由（1）得：， ． 此时支架与踏板之间夹角的度数为． 【变式10-2】图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 【答案】(1)1.7米 (2)0.6米 【分析】（1）作于点，则，由题意得：，，求得，米，根据，即可求解； （2）由（1）知，，，可求得米，作于点，则，同理可得，，，根据，可求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，米， ∴米， 在中，， ，， ∴支点到小竹竿的距离（米）； （2）解：由（1）知，，， ∴米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴米， ∴水桶在竖直方向上升的距离约为0.6米． ◆题型11 实物测量问题 【典例11】小明的书桌上有个书架，如图1，使用时可以通过调整书架和桌面的夹角大小使阅读时的感受更加舒适．小明使用时发现，如图2，当书架与桌面的夹角时，看书最为舒适．小明的眼睛位于C处，旋转点P到点B的距离为．（以下结果均保留整数，参考数据：，，） (1)求此时点B到桌面的距离； (2)如果小明的眼睛在点C处看B处的俯角为，眼睛到桌面的垂直高度为，点P到点D的距离为，求此时眼睛到B点的距离（即的长度）． 【答案】(1)B点到桌面的距离为 (2)眼睛到B点的距离约为 【分析】（1）过点B作于点E，求出，利用正弦函数定义，结合已知，计算的长度，即点B到桌面的距离． （2）过点B作于点E，，于F，令过点C的水平线为，先由矩形性质得到，，在中用余弦函数求出，结合算出，即；再在中利用余弦函数定义求出即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：B点到桌面的距离为； （2）解：如图，过点B作于点E，，于F，令过点C的水平线为，由题意得，，， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：眼睛到B点的距离约为． 【变式11-1】（2025·湖南娄底·二模）几位同学在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 篮球架的结构 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下：立柱垂直地面，横梁平行地面，篮筐与横梁在同一直线上，点、、在同一条垂直于地面的直线上． 测绘过程与数据信息 ①用测角仪在处测得后拉杆与水平面的夹角，在处测得伸臂与水平面的夹角； ②用皮尺测得后拉杆的长为，伸臂的长为，箱体的高度为； ③用计算器计算得到：，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到） (1)求立柱的高度； (2)已知墩墩站立时手臂举至最高处，手掌距地面最大高度为，若墩墩站在地面上想摸到篮筐，则墩墩至少跳多高才能摸到篮筐？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角函数的实际应用，矩形的判定与性质，熟练根据题意正确构造直角三角形，并熟练掌握解三角形是解题的关键． （1）在中，利用求解即可； （2）过点作延长线于点，过点作于点，延长交于点，确定四边形和四边形是矩形，利用求出，在中利用三角函数求出，则可求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵，的长为， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作延长线于点，过点作于点，延长交于点， ∵是水平线，立柱垂直地面， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵平行地面，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵手掌距地面最大高度为， ∴ ∴墩墩至少跳才能摸到篮筐． 【变式11-2】（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图1所示，在户外活动时，为了遮阳和防雨常常会用到天幕帐篷，其截面示意图是轴对称图形（如图2所示），对称轴是垂直于地面的支撑杆，已知幕布，支撑杆，于点．、为防风绳，通过调节防风绳在地面的固定点与支撑杆的距离可控制天幕的开合（、、三点共线，、、三点共线）． (1)当时，求的长（结果保留根号）； (2)当由调节至时，左侧防风绳在地面的固定点需向右平移多少米？（结果保留根号） 【答案】(1)当时，长为 (2)当由调节至时，点向右平移的距离为 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角形的值的计算方法是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得出，，在中，解直角三角形求出，即可得． （2）如图，作，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，再求出，即可解答． 【详解】（1）解：，， ，， 在中，， ， 答：当时，长为． （2）解：如图，作， 在中，， 在中，， ， 答：当由调节至时，点向右平移的距离为． 综合攻坚·知能拔高 34．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）在平面直角坐标系中，正方形按如图所示的方式放置，其中点在轴上，点在轴上，已知正方形的边长为1，，则正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正方形的性质和锐角三角函数，得出规律正方形的边长为，即可得到答案． 【详解】解：图中四边形均为正方形，且正方形的边长为1，，， ，，， ， ， 同理可得：， …… 观察发现，正方形的边长为， 的边长． 35．锄头是我国传统农耕社会中最常用的手工农具，由铁质锄刃与木质长柄组成，锄刃平薄且横装于柄端．其核心功能包括除草、松土、浅层翻地等田间管理作业，覆盖农业生产全流程作业需求．图1是农民伯伯利用锄头正在挖地的图片，图2是某次挖地时锄头的平面示意图．为地面，挖地时露在土地外的锄刃长，锄刃与地面所成的夹角，锄头木柄与锄刃互相垂直，木柄长为，则木柄端到地面的距离为________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质、解直角三角形等知识点，过点C作于点G，过点A作于点D，过点C作于点H，则四边形为矩形，得到和，进一步求得和，在中，利用解直角三角形求得，在中，利用解直角三角形求得，结合即可． 【详解】解：过点C作于点G，过点A作于点D，过点C作于点H，如图， ∵，， ， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 36．（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东方向的点A处，它沿着点A的南偏东的方向航行10千米到达点C处，此时点C位于点B的北偏东． (1)求此时渔船距离直线的距离（结果保留根号）． (2)渔船到达点C后，按原航向继续航行一段时间后，到达点D等待补给，此时渔船在点B的南偏东的方向．在渔船到达点D的同时，一艘补给船从点B出发前往D处，请问补给船行驶的距离的长度．（参考数据：） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）过点作于，由锐角三角函数可求的长，即可求解； （2）过点作于，解直角三角形求出的长，进而求出的长，进而可求出的长． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 由题意可得：（千米）， ， （千米）， 答：此时渔船距离直线的距离为千米； （2）解：如图，过点作于， 由题意可得：， ，， （千米），（千米）， 千米， ， 千米， ， （千米）， 答：补给船行驶的距离的长度约为千米． 37．为测量某风景区山腰上一山洞的高度，某数学小组设计了两个测量方案． 活动课题 测量某风景区山腰上的一山洞的高度 测量方案 方案一 方案二 背景示意图及抽象图         测量过程与测量数据 在点A处测得该山洞顶部点C的仰角为，测得上山斜坡的长度为150米，上山斜坡的坡度．已知点A，B，C，M都在同一平面上． 用无人机在与该山洞底部B水平距离米的空中P点位置，测得点B的俯角为，测得该山洞顶部C的仰角为．点P，D，B，C在同一平面上． 参考数据 ， ， ． ，， ，． 说明 线段代表上山斜坡，线段代表该山洞，直线表示水平线，． 请选择其中一种方案计算：求该山洞的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】方案一：该山洞的高度约为米．方案二：该山洞的高度约为米． 【分析】方案一：根据坡度可设米，米，由勾股定理得米，米，再解得米，依据可得结论； 方案二：过点作于点，得四边形是矩形，可得米，再解得米，依据可得结论． 【详解】解：方案一：延长交于点，如图， ∵上山斜坡的坡度， ∴， ∴设米，米， ∴，即， 解得， ∴米，米， 在中，， ∴（米） ∴（米）， 答：该山洞的高度约为米． 方案二：过点作于点，如图， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，，， ∴， ∴， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米） 答：该山洞的高度约为米． 38．近年来，国产人形机器人技术飞速发展，多款机器人登上2026年春晚舞台，引来无数观众的赞叹．某数学实践小组根据某个机器人的动作示意图，开展数学探究活动． (1)图1为机器人的某一姿势示意图，其下肢伸展结构可近似抽象为等腰三角形，如图2．已知机器人的大腿上端点到地面水平线的距离约为厘米，机器人的两脚着地点，之间的距离约为厘米，请估计机器人的腿长． (2)图3为机器人的另一姿势示意图，其右侧伸展结构可近似抽象为，如图4．已知点为机器人的右脚着地点，点为机器人的头顶最高点，点为机器人的机身连接点，直线为地面水平线．若，，请估计此时机器人的头顶点到地面水平线的距离（结果保留整数，参考数据：，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，过点作，垂足为点．根据等腰三角形的定义可得，在中，，根据勾股定理即可求解． （2）过点作，垂足为点．过点作，垂足为点，在中，求得，进而在，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点． 因为为等腰三角形，，所以， 在中，， ． 答：机器人的腿的长度约为． （2）如图，过点作，垂足为点．过点作，垂足为点．在中，， ． 在中，，则． 所以， 在中，， ． 答：此时机器人的头顶点到地面水平线的距离约为． 39．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：利用激光笔在出发射一束光线，入射光线与水槽（水平放置）内壁的夹角为；容器中不装水时，光斑恰好落在处，第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】如图，点在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)______；______； (2)求之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1)10，45 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由是的中点，即可求出，再根据直角三角形的性质即可求出； （2）根据等腰三角形的性质和判定求出，利用锐角三角函数求出长，根据即可得解． 【详解】（1）解：由题意知，，，， 是的中点， ， ， ； （2）解：， ， ， 在中， ， ， ， 之间的距离为． 40．西安曲江池遗址公园的阅江楼，是彰显唐文化的仿古建筑，楼阁错落有致、飞檐映水，承载着西安的盛唐底蕴．某数学活动小组开展测量阅江楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量阅江楼的高度 测量工具 皮尺、自制直角三角纸板、平面镜等 测量过程 1．小明手持自制直角三角纸板（，使长直角边与水平地面平行），调整自己站的位置，当在D处时其眼睛在C处看到C，F及阅江楼顶端A在一条直线上； 2．小华在B，D之间平放一块平面镜，通过调整平面镜的位置，当平面镜在点G处，小明在D处恰好能从平面镜中看到阅江楼顶端A的像 测量示意图 测量说明 ，，，均与水平地面垂直，图中所有的点都在同一平面内，点B，D，G在同一水平线上，忽略平面镜的厚度及大小 测量结果 米，米，米，米 请你根据活动报告中的信息，计算阅江楼的高度． 【答案】阅江楼的高度为米 【分析】过点作，得到矩形，由，则进而得到，即，根据镜面反射的等角性质，证得，结合建立方程，解得． 【详解】解：过点作于，如下图： ，，， 四边形是矩形， 又∵，， ∴点E在上， ，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， 又， ， 解得， ，，， ∴ ∴ 解得， 答：阅江楼的高度为米． 41．如图1，某仓库有一传送带运输货柜，为水平地面，为斜坡上的传送带，．在距离（长为4米）的正上方米处，有一限高装置．棱长为2米的正方体货柜（其侧面是正方形）的底面在传送带上，从起点A出发，传送到地面点B处． (1)判断正方体货柜能否通过限高装置，并说明理由． (2)如图2，因特殊要求，需在货物底端放置一块如图3所示的直三棱柱式楔子，使得正方体货柜在传送带的运输过程中与水平地面保持平行．已知直三棱柱式楔子的一个底面为，且．楔子的侧面与正方体货物的底面全等重合，侧面与传送带重合．判断此时正方体货柜能否通过限高装置，并求直三棱柱式楔子的侧面积（不包含前、后两个底面，结果保留两小数）． （参考数据：，，） 【答案】(1)解：可以通过限高装置，理由如下： 如图，过点P作，垂足为点G，设与相交于点K． 在中，米，， （米）． 米， （米）． 在中，， ， ， （米）米， 正方体货柜能通过限高装置； (2)正方体货柜不能通过限高装置；平方米 【分析】（1）如图，过点P作，垂足为点G，设与相交于点K，解直角三角形求出，得到米，然后解直角三角形求出判断即可； （2）解直角三角形求出，，然后求出判断即可；然后根据直三棱柱式楔子的侧面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：楔子的侧面与正方体货物的底面全等重合， 米． ， ∴在中，（米）， （米）， （米）． 由（1）得米， （米）米， 此时正方体货柜不能通过限高装置． 直三棱柱式楔子的侧面展开图是三个矩形， 且米，米，米，米， 直三棱柱式楔子的侧面积（平方米）． 42．（24-25九年级下·全国·单元测试）图①是一台实物投影仪，图②是其侧面的抽象示意图，是支架的一部分，垂直于水平地面，投影仪可绕点A转动．投影光线与投影仪近似在同一直线上，且光斑E位于屏幕的正中心．经测量，，点F到水平地面的距离为． (1)若点D，F在同一水平线上，且两点之间的距离为，，求： ①与水平地面的夹角； ②光斑E到水平地面的距离． (2)在（1）的状态下，将投影仪后移，转动，使得投影光线的光斑仍在点E处．请判断投影仪与水平地面的夹角如何改变． （参考数据：） 【答案】(1)①；②光斑E到水平地面的距离为． (2)投影仪与水平地面的夹角减小了约． 【分析】（1）①如图①，延长交水平地面于点K，则，通过三角函数即可得到与水平地面的夹角约为；②如图①，连接并延长交于点，先证明四边形是矩形，可求出、的长度，然后证明，通过相似三角形的性质可求出的长度，最后根据线段的和差关系即可求出光斑到水平地面的距离； （2）平移、调整投影仪前，平移、调整投影仪后，过点A作于点M，过点F作于点N，根据的正切值可求出其度数，即可判断投影仪与水平地面的夹角的改变． 【详解】（1）解：①如图①，延长交水平地面于点K，则， ， ， 与水平地面的夹角约为． ②如图①，连接并延长交于点． 由题意可知，， ，四边形是矩形， ， ． 由题意可知，， ， ，即， ． ， 光斑E到水平地面的距离为． （2）解：平移、调整投影仪前，如图①． 在中，， ． 平移、调整投影仪后，如图②，过点作于点，过点作于点，则． 易知四边形是矩形，． ， ， ． ， 投影仪与水平地面的夹角减小了约． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，矩形的判定与性质，解答本题的关键是添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 43．如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔，游轮以海里时的速度向正东方向航行小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上．    (1) ； (2)过作于点，求到直线的距离； (3)求处与灯塔相距多少海里？（结果精确到海里，参考数据：，） 【答案】(1)， (2)海里 (3)海里 【分析】此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由题意可得的度数，结合三角形内角和可得的度数； （2）由题可得的长度，再结合三角函数可求得，即可求解； （3）根据题意可得等腰直角三角形，即（海里），结合三角函数可得，再根据，即可求出处与灯塔相距多少海里． 【详解】（1）解：∵灯塔在处北偏东的方向上， ∴， 又∵一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔， ∴， ∴， 故答案为，． （2）解：由题可得（海里）， ∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（海里）， ∴到直线的距离海里． （3）解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴（海里）， 在中，， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴， 即（海里）， ∴处与灯塔相距海里． 44．【问题背景】 一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算． 【问题探究】 如图2，在坡角点处测得旗杆顶点的仰角的正切值为3，山坡上点处测得顶点的仰角的正切值为．斜坡的坡比为，两观测点的距离为． 学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务． 任务1：计算，两点的垂直高度差． 任务2：求顶点到水平地面的垂直高度． 【问题解决】 为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案： 小组一：在坡角点处测得旗杆底部点的仰角的正切值为； 小组二：在山坡上点处测得旗杆底部点的俯角的正切值为． 任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度． 【答案】任务1：10米；任务2：38.7米；任务3：小组一：30.1米；小组二：31.16米 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，解直角三角形的应用坡度坡角，正确记忆相关知识点是解题关键． 任务一，过点作，垂足为，利用勾股定理求出，再求出的长即可； 任务二，延长交的延长线于点，延长交于点，米，则米，利用三角函数求出和，即可求出； 任务三，选择任意一个方案，利用三角函数进行求解即可． 【详解】解：任务1：过点作，垂足为， 斜坡的坡比为， 设米，则米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， ，两点的垂直高度差为10米； 任务 延长交的延长线于点，延长交于点， 由题意得：米，， 设米， 米， 米， 在中，， （米， 在中，， 米， ， ， 解得：， ．（米， 顶点到水平地面的垂直高度为38.7米； 任务 若选择小组一的方案： 在中，，米， （米， （米， 旗杆的高度为30.1米； 若选择小组二的方案： 在中，，（米， （米， 在中，， （米， （米， 旗杆的高度为31.16米． 45．某校数学第二课堂学习小组组织了一次户外学习活动，对校外公园一个创意型多边形大门进行了测量与计算，下表是他们的活动过程与测量结果的活动报告单． 活动主题：测量公园多边形大门数据 活动成员：数学第二课堂学习小组组员 测量工具：皮尺、测角仪、计算器等 实拍图与几何示意图： 测绘步骤：①门框垂直于地面，抽象出的几何图形是五边形（各顶点在同一平面，在水平地面上）． ②门框外观是轴对称图形（点C对应点E）． 测量数据：①用皮尺测得：． ②用测角仪测得：，． ③用计算器计算得：，． 问题解决： (1)求门框的宽度； (2)求门框最高点D到水平地面的距离．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点C作，交的延长线于点H，过点D作于点M，连接交于点G，根据解直角三角形的计算得到，证明四边形为矩形，结合矩形的性质得到，再根据轴对称的性质得到即可求解； （2）根据矩形的性质得到，由角的和差计算得到，根据解直角三角形的计算得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点C作，交的延长线于点H，过点D作于点M，连接交于点G， ∵五边形是轴对称图形， ∴M为的中点，，， ∴，则， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴， 答：门框的宽度约为． （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ， ∴， 答：门框最高点D到水平地面的距离约为． 46．根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷． 素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）． 素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）． 素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变． 【任务1】如图2，求，的长． 【任务2】如图3，求劣弧的弓高． 【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）． 【答案】任务1： ，；任务2：劣弧的弓高为米；任务3：遮阳篷点上升高度的最小值为米． 【分析】任务1：由题意得：，，，得到，，进而推出，在中，，得到，在中，，得到，结合，，即可求得，的长； 任务2：已知，得到是直径，取的中点，过点作交于点，即点是圆心，已知，，求得，根据是的中点，求得，已知，得到，结合，得到，进而得到，求得，，得到，结合是直径，点是圆心，得到，结合，，即可得到即为劣弧的弓高，根据，即可求得劣弧的弓高； 任务3：过点作，作使得，交于点，连接，过点作，与相交于点，与相交于点， 根据，得到，在中，结合，得到 ，进而得到，结合，可知点与点重合，连接，过点作，得到 ，在中，得到，设，则，根据，，得到，同理得到，，， 即可证明四边形是矩形，进一步得到，，， ，，结合是半径，得到， 在中，根据勾股定理求出的值，即可求得遮阳篷点上升高度的最小值． 【详解】任务1： 如图所示： 由题意得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 又∵，，则， ∴， ∴， 即，； 任务2： 如图所示： ∵， ∴是直径， 取的中点，过点作交于点，即点是圆心， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由题意可知：是直径，点是圆心， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴即为劣弧的弓高， ∴， ∴劣弧的弓高为米； 任务3： 如图所示： 过点作，作使得，交于点，连接，过点作，与相交于点，与相交于点， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴点与点重合， 连接，过点作， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， 又∵是半径， ∴， 在中， ∵，，， 则， ∴， 解得：（舍），， ∴， ∴遮阳篷点上升高度的最小值为米． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 47．如图，在中，，，，点是边一动点，沿过点的直线将折叠，的对应线段平行于，折痕与边交于点． (1)证明：四边形是菱形； (2)如图（1），若点恰好落在对角线上，连接，求的长； (3)连接，，如图（2），问能否为直角三角形？如果不能，请说明理由；如果能，请求出的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2)； (3)能，的长为或或． 【分析】（1）根据折叠和平行的性质证明为等边三角形，再根据四边相等的四边形为菱形进行证明； （2）过点作交于点，由（1）得到菱形，运用性质证明，求出的值，再利用解直角三角形求解的值，最后运用勾股定理即可求出的长； （3）分类讨论：①当，②当，③当， ①根据平行四边形的性质结合平行的性质分别求出，，推出，再结合菱形的性质，推出，即可求解； ②点在的延长线上，过点作交于点，先证明四边形为矩形，再结合菱形的性质，设，并求出，推出，最后根据，即可求解； ③延长交于点，过点作交于点，延长交于点，先证明四边形和四边形、四边形为平行四边形，再结合菱形的性质，设，运用解直角三角形求解的值，推出的值，最后证明，代入求解即可． 【详解】（1）略； （2）如图，过点作交于点， ∵由（1）得四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，； （3）能， 分类讨论： ①当，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴，解得：， ∴； ②当， 如图，点在的延长线上，过点作交于点， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）得四边形是菱形， ∴， ∵设，则， ∴，解得： ∴； ③当， 如图，延长交于点，过点作交于点，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形和四边形为平行四边形， ∴，，， ∵由（1）得四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵设，则， ， ∵， ∴，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得：（舍），， ∴， 综上，的长为或或． 48．如图，菱形与菱形的顶点C重合，，已知菱形绕点C旋转的角度为α． (1)如图①，当点G在对角线上时，求的值； (2)如图②，当菱形按顺时针方向旋转的角度为，线段与之间的数量关系为_________，并证明你的结论； 【答案】(1) (2)．理由如下： 如图，连接． ∵四边形、四边形都是菱形，， ∴， ∴，， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ． 【分析】（1）如图1中，过点E作于点H．证明，推出，即可求解； （2）连接，证明，可得． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点H． ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵菱形与菱形中，， ∴， ∴． ． （2）略 49．如图1，在正方形中，将边绕点顺时针旋转得到，连接．射线交边于点，交的延长线于点． (1)填空：________度，并说明理由； (2)如图2，点在射线上，连接．若，求证：； (3)如图3，若边绕点顺时针旋转得到，使得时，求的值． 【答案】(1)45，理由见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，进而可得，再证明，进而可得，然后由求解即可； （2）过点作，交于点，连接，证明为等腰直角三角形，易得，再证明，由全等三角形的性质可得，，进一步证明，在中，利用勾股定理即可证明结论； （3）过点作于点，连接，结合，可设，则，利用三角函数解得，的长度，进而可知，；设，则，利用勾股定理可得，证明，结合相似三角形的性质解得的值，即可确定，的长度，然后计算的值即可． 【详解】（1）解：45，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵将边绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：如下图，过点作，交于点，连接， 则， ∴，即， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴在中，可得； （3）解：如下图，过点作于点，连接， ∵， ∴可设，则， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， ∵， ∴， ∴，即， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴，， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $