第2章 锐角的正弦、余弦、正切（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学锐角三角函数单元提升卷，覆盖正弦、余弦、正切的概念应用、解直角三角形及综合拓展，通过生活情境与创新题型，适配单元复习中基础巩固与能力提升需求，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角函数值计算、三角形性质判断|结合滑雪斜坡等生活场景，考查几何直观| |填空题|6/18|旗杆高度测量、动态几何问题|融入建筑测量实例，培养空间观念| |解答题|8/72|风电基地测算、空调遮风板设计、三角函数定义拓展|以科技前沿与生活热点为情境，通过分层设问（基础计算到创新探究），发展推理能力与模型意识|

第2章 锐角的正弦、余弦、正切（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 2．在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理可得，再由余弦的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 3．在中，锐角，满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．先由非负数的性质得出，，根据三角函数求得，，然后根据三角形内角和定理，求得的度数，从而确定三角形的形状． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 则是直角三角形． 故选：D． 4．如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据正弦定义可知，两边同时乘以可得米，所以小旺下降的高度为米． 【详解】解：如下图所示， 在中，，，米， ， ， 米， 小旺下降的高度为米． 5．如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质，得到，利用正切函数的定义，求解即可． 【详解】解：，，得， ， ， 中，， 点D为中点， 故． 6．下列说法中，正确的是（） A．在中，锐角A的两边都扩大3倍，则也扩大3倍 B．若为锐角，，则 C． D．三角形的三边长为，则 【答案】B 【分析】本题考查三角函数的定义和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角函数的定义和性质逐项判断正误． 【详解】解：A∶在中，锐角A的两边都扩大3倍，但是邻边与斜边的比值，∴比值不变，故A错误． B∶， 设对边，邻边， 则斜边， ∴，故B正确． C∶，两者不相等，C错误． D∶不一定是直角三角形，不一定等于，D错误． 故选： 7．在矩形中，，，垂足为，设，且，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，利用矩形的性质可得，，进而由余角性质可得，再根据余弦的定义求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，在正方形网格中，点O，A，B，C均在格点上．若射线过点A，射线过点B或点C中的一点，设，则或的值不可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据正弦及正切的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 当射线过点B时，过点B作的垂线，垂足为M， 令正方形网格的边长为1， 在中，， 所以， 则，； 当射线过点C时，过点C作的垂线，垂足为N， 在中，，， 所以， 则，， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 9．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于O，则的值等于（ ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，能根据题意构造出合适的直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键． 根据题意，利用平行线的性质将进行转化，再结合正切的定义进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示， 由网格可知，，， 则， 不妨令小正方形网格的边长为1， 则由勾股定理得， ， ， 在中， ， 所以． 故选：C． 10．如图，，，，，，点G在上，点D在上，，则最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，根据等边对等角得到，证明，求出，可知当最小时有最小值，由“垂线段最短”可知当时最小，证明，得到，求出，根据勾股定理得到，求出，进而得到，求出，即可求出最小值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时有最小值， 由“垂线段最短”可知当时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知为锐角，若，则________． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了根据特殊角的三角函数求角的度数．根据是锐角，，可以得到，由此求解即可． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则旗杆的高度是________． （参考数据：．） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．在中求出的长，在中，求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：由题意，得：，， 在中，， 在中，， ∴； 答：旗杆的高度为． 故答案为：． 13．如图，在中，，D为边上的一点，，，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据已知条件利用解直角三角形得出，通过勾股定理求得的长，再由求得的长，最后利用勾股定理求得的长． 【详解】解：∵，，， ∴中，， 即，解得， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故答案为：． 14．如图①是一款家用电动跑步机，图②是其侧面结构示意图，已知跑步机扶手和踏板所在直线平行，操作面板与机架之间的夹角为，与扶手之间的夹角为，机架的长为米，踏板的厚度为米，则扶手与踏板上部之间的距离为_______米．（精确到米，参考数据：；；） 【答案】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形． 根据题意求出，根据平行线的性质求得，过点A作于点F，解直角三角形求得，再根据计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， ， 如图，过点A作于点F， 在中，（米）， 踏板的厚度为米， 扶手与踏板之间的距离为（米）． 故答案为：． 15．在中，若两直角边a，b满足，则三角形中最小的角的正切值是________． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质及正切的定义．根据非负数的性质求出的值，根据根据大角对大边，小角对小边，得到最小的角，利用正切的定义解答即可． 【详解】解：∵两直角边a，b满足， ∴，即， ∴， ∵， ∴三角形中最小的角为， ∴， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，…在x轴的正半轴上，点，，，…在射线上，直线的表达式为．若点的坐标为，且，，，…均为等边三角形，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，先求出，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后解直角三角形可得的长，总结规律得到的边长和高，然后求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴交直线于点，过点作轴于点， ， ， ∵， 当时，，即，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴中边上的高为， ∴的面积为． 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，然后再进行二次根式的混合运算即可． （2）代入特殊角的三角函数值，然后再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．如图，在中，，为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）根据正切的定义解即可得到答案； （2）根据（1）所求可得的长，进而可得的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据正弦的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 19．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，在上找一点E，连接，使得； (3)在图③中，在上找一点P，连接，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）构造矩形，利用矩形性质即可求解； （2）由图知，由平行线分线段成比例定理可知，所以； （3）构造平行四边形，对角线交点即为中点，则，因为，勾股定理可得，则． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 20．玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 【答案】(1)塔架的长为75米； (2)风叶的长为49米． 【分析】（1）解直角三角形即可求解； （2）过点A作于点H，过点O作于点G，分别解直角三角形和直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可知，，， ， 米． 答：塔架的长为75米． （2）解：如图，过点A作于点H，过点O作于点G， 设风叶的长度为， ， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 解得， 米． 答：风叶的长为49米． 21．随着生活水平的提高，人们越来越注重生活品质．在炎炎夏日，为了减少空调冷风直吹的不适，很多家庭给空调装上了防直吹遮风板，如图（1）所示．图（2）是其截面抽象示意图．挂钩紧贴墙面，且上端与空调底部连接，下端与挂杆连接，空调下方和挂杆垂直于墙面，导风口可以绕点B旋转，可将三角杆绕点E旋转调节遮风板的角度，经测量，，． (1)安装防直吹遮风板时，为了保证导风板能完全打开，求挂钩的最小长度． (2)在（1）的条件下，若挂钩的长度最小，，当时，点B，C，M恰好在同一条直线上，求挂杆的长度．（参考数据：，，，．结果保留一位小数） 【答案】(1)挂钩的最小长度约为 (2)挂杆的长度约为 【分析】（1）先确定最小的临界条件：当且点C落在上时，最短．过点B作，由矩形得，在中，利用计算即可； （2）通过作、构造直角三角形，利用矩形性质得、，结合角度关系得，用三角函数求、、，再通过线段和差求解． 【详解】（1）解：如图，当导风板刚好完全打开，即，且点落在上时，过点作交于点， 则， ， 在中，， ． 答：挂钩的最小长度约为； （2）解：连接，交于点． 点，，共线， 经过点， 过点作于点，过点作，垂足为点，如图， 由（1）可得，四边形为矩形， ∴，， ， ， 在中， ． 在中，， ， 在中，， ， ， ． 答：挂杆的长度约为． 22．【知识再现】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c． ∵，， ∴，． ∴． (1)【拓展探究】如图2，在锐角中，的对边分别为a，b，c．请探究，之间的关系，并写出探究过程． (2)【解决问题】如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 【答案】(1)，证明： 如图，作于点E． 在中，， 在中，． ， ， ． (2) 【分析】（1）仿照图1的证明方法，首先构造直角三角形，即作于点E，在和中根据正弦的定义得到 ，，然后利用建立等量关系即可得解； （2）利用第（1）问探究的结论可知然后代入相关数据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ，即， 解得． 答：点A到点B的距离为． 23．阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 【答案】(1)α (2)A (3)或 (4)的值为；α的值为 【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断； （2）根据三角函数的定义分析求解即可； （3）分两种情形讨论即可解决问题； （4）根据α是锐角，终边上一点在第一象限，，进而得，进而得解得或（舍去），从而即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴点在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴取取正值的是， 故答案为：； （2）解：α是钝角，则α的终边在第二象限， ∴，， 而， ∴，故正确； ∵，， ∴，故不正确； ∵，，， ∴，故不正确； ，故不正确； 故答案为：； （3）解：由角α的终边与直线重合，设角α终边上一点为， ∴， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴； 故答案为：或； （4）解：∵角α是锐角， ∴终边上一点在第一象限，， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 经检验，是原方程的解， ∴的值为； ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． 24．在学习了相似三角形后，某数学兴趣小组对四边形中的一类旋转型全等和相似进行了层层深入的探究． 在中，点E为边上的一点，连接，以为边作，边交的延长线于点F． (1)【初步感知】如图1，当是正方形时，求证：． (2)【深入探究】如图2，当是矩形时，，，连接，分别交和于点M、N，若点E为的中点，求的值． (3)【拓展探究】如图3，在中，，当时，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）由正方形的性质可证明，，再证明，得到，则可证明； （2）由矩形的性质可得，，，，由线段中点的定义可得；证明， 推出，；延长交的延长线于点T，证明，得到，，则；证明，推出，则可得到，即可得到； （3）由平行四边形的性质可得，；可证明；解直角三角形得到，设，则；过点E作交的延长线于点D，设交于点P，则，解直角三角形得到，设，则，，证明，解直角三角形得到，则；证明， 得到，则，可推出，则． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴； ∵点E为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 如图所示，延长交的延长线于点T， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，； ∵， ∴，即； ∵， ∴， 设，则； 如图所示，过点E作交的延长线于点Q，设交于点P，则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 锐角的正弦、余弦、正切（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的值等于（     ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 3．在中，锐角，满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 4．如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，在中，，，中点为D，上点E满足，若，则的长为（     ） A． B．12 C． D．4 6．下列说法中，正确的是（） A．在中，锐角A的两边都扩大3倍，则也扩大3倍 B．若为锐角，，则 C． D．三角形的三边长为，则 7．在矩形中，，，垂足为，设，且，则的长度为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形网格中，点O，A，B，C均在格点上．若射线过点A，射线过点B或点C中的一点，设，则或的值不可能为（   ） A． B． C．1 D．2 9．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于O，则的值等于（ ） A． B． C．3 D．2 10．如图，，，，，，点G在上，点D在上，，则最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．已知为锐角，若，则________． 12．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则旗杆的高度是________． （参考数据：．） 13．如图，在中，，D为边上的一点，，，，则__________． 14．如图①是一款家用电动跑步机，图②是其侧面结构示意图，已知跑步机扶手和踏板所在直线平行，操作面板与机架之间的夹角为，与扶手之间的夹角为，机架的长为米，踏板的厚度为米，则扶手与踏板上部之间的距离为_______米．（精确到米，参考数据：；；） 15．在中，若两直角边a，b满足，则三角形中最小的角的正切值是________． 16．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，…在x轴的正半轴上，点，，，…在射线上，直线的表达式为．若点的坐标为，且，，，…均为等边三角形，则的面积为______． 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1)； (2)． 18．如图，在中，，为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 19．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线； (2)在图②中，在上找一点E，连接，使得； (3)在图③中，在上找一点P，连接，使． 20．玉华山风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能（如图1）．玉华山用转动告诉世界：不竭的新能源，正在青绿画卷上撰写永恒诗篇．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动，已知三片风叶、、两两所成的角为，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶与塔架叠合时（即O、C、D在同一直线上），在与塔底D水平距离为100米的E处，测得塔架顶部O的仰角为，风叶的端点A的仰角为，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内．（参考数据：，，．） (1)求塔架的长度； (2)求风叶的长度．（精确到1米） 21．随着生活水平的提高，人们越来越注重生活品质．在炎炎夏日，为了减少空调冷风直吹的不适，很多家庭给空调装上了防直吹遮风板，如图（1）所示．图（2）是其截面抽象示意图．挂钩紧贴墙面，且上端与空调底部连接，下端与挂杆连接，空调下方和挂杆垂直于墙面，导风口可以绕点B旋转，可将三角杆绕点E旋转调节遮风板的角度，经测量，，． (1)安装防直吹遮风板时，为了保证导风板能完全打开，求挂钩的最小长度． (2)在（1）的条件下，若挂钩的长度最小，，当时，点B，C，M恰好在同一条直线上，求挂杆的长度．（参考数据：，，，．结果保留一位小数） 22．【知识再现】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c． ∵，， ∴，． ∴． (1)【拓展探究】如图2，在锐角中，的对边分别为a，b，c．请探究，之间的关系，并写出探究过程． (2)【解决问题】如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离． 23．阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 24．在学习了相似三角形后，某数学兴趣小组对四边形中的一类旋转型全等和相似进行了层层深入的探究． 在中，点E为边上的一点，连接，以为边作，边交的延长线于点F． (1)【初步感知】如图1，当是正方形时，求证：． (2)【深入探究】如图2，当是矩形时，，，连接，分别交和于点M、N，若点E为的中点，求的值． (3)【拓展探究】如图3，在中，，当时，，求的值． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章锐角的正弦、余弦、正切（高效培优单元自测·提升卷) (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ⊙ C D A B B B B C B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 19,6 12.7.68 13.√4 14.1.2 5. 16 24048V3 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 5 17.(1)2 √2-1 (2)2 【详解】(1)解：tan30°sin60°+cos30°-sin30°tan45° =5x55 ×1 3222 1,51 = Γ222 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. -3分 cos45°-sin30° （2)解：os60+2am45 21 22 22 √2-1 2 1 =2-1 2.…6分 18.(1)DC=2 213 (2)13 【详解】(1)解：：∠C=90°，AC=4,tan∠ADC=2, AC :DC =2 .DC=2;--3分 (2)解：BD-CD=2,DC=2, BD=4, ∴，BC=BD+CD=6」 在Rt△ABC中，AB=VBC2+AC=V6+4=23 :imB=4C-、4=2g AB2V1313.---6分 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(1) -2分 B (2) -5分 A M B (3) 8分 A H B 20.(1)塔架OD的长为75米； (2)风叶0A的长为49米。 【详解】(1)解：根据题意，可知∠ODE=90°，ED=100m,∠OED=37°， ~tan∠OED=OD-OD =0.75 ED100 .0D=100×0.75=75米. 答：塔架OD的长为75米.-4分 (2)解：如图，过点A作AH⊥ED于点H,过点O作OG⊥AH于点G, A B Gb- 0 C E H D 设风叶OA的长度为2xm, :∠OGH=∠GHD=∠ODH=90°， ∴.四边形ODHG为矩形， .∠GOD=90°，OD=GH=75m, 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A0C=120°， .∠AOG=30°， ∴4G=)0M=x,OG=HD=0Axc0s30°=V5x, 2 .AH=AG+GH=(x+75)m EH=ED-HD=(100-3x)m :∠AED=60° tan∠ABD=4g-5】 EH .:x+75 =5 100-V3x .x+75≈100V3-3x 解得x≈24.5， 0A=2x=49米. 答：风叶0A的长为49米.---8分 21.(1)挂钩AD的最小长度约为4.9Cm (2)挂杆DE的长度约为29.3cm 【详解】(1)解：如图，当导风板刚好完全打开，即∠ABC=135°，且点C落在DE上时，过点B作 BF⊥DE交DE于点F, A B M 则∠ABF=∠BFD=90°， ∴.∠CBF=∠ABC-∠ABF=135°-90°=45°， 在Rt△BFC中，BC=7cm, ∴.BF=BC.cos∠FBC =BC.c0s450 7x2 2 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ≈4.9(cm) 答：挂钩AD的最小长度约为4.9Cm;---5分 (2)解：连接CM,交DE于点P. 点B,C,M共线， ·BM经过点C, 过点B作BF⊥DE于点F,过点M作MQ⊥DE,垂足为点O,如图， A 由(1)可得，四边形ADFB为矩形， .BF=AD=4.9cm,∠ABF=90°， ∴.∠CBF=∠ABC-∠ABF =154°-90° =64°， .∠BPF=90°-∠FBC =90°-64° =26°， BF 在Rt△BFP中，PF= an26° ≈4.9÷0.49 =10(cm) 在Rt△EM0中，∠ME0=180°-∠DEM=45°， ..MO=EO =ME·sin∠MEQ =ME.sin 45 =9xv 2 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ≈6.35(cm) 在RtPM0中，∠MPe=∠BPF=26°， …PQ= MO tan26° ≈6.35÷0.49 =12.96(cm) .DF AB=12.7cm, ∴.DE=DF+FP+PQ-EQ =12.7+10+12.96-6.35 ≈29.3(cm) 答：挂杆DE的长度约为29.3cm.---10分 22.(1)sin BsinC,证明： 如图，作AE⊥BC于点E. B 在RIAABE中，sinB=4E-AE AB c' 在RtACE中，sinC=4E-AE ACb· ∴.AE=csin B,AE=bsinC ∴csin B=bsinC, b sin B sin C· 5分 2,30v6m 【详解】(1)略 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：在△ABC中，∠B=180°-∠A-∠C=180°-75°-60°=45°， .4B 。AC sin C sin B AB 60 AB 60, 即万2， sin60°sin45° 2 解得1B=30v6 0√6m 答：点A到点B的距离为 -10分 23.(1)cosa (2A 1+√51+V5 (3)2或2 5 (4)y的值为5：tana的值为12 【详解】(1)解：270°<a<360°， ·点P(x川在第四象限， .x>0y<0 :sina-',cosa=￥，tana x’r>0: ..sina<o,cosa >0,tana<0,. ∴.取取正值的是cosa, 故答案为：C0S0;-3分 (2)解：∠a是钝角，则∠a的终边在第二象限， .x<0,y>0 而r=+y>0. 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin'a+cos'a 2 1,故A正确： :sina.tana=上x'=y cosa==2 r Ix .sina:tana≠cosc,故B不正确； x<0,y>0,r>0, :sina=>0,故c不正确： ana=兰<0，故D不正确： 故答案为：A；……6分 (3)解：由角a的终边与直线y=V5x重合，设角a终边上一点为m,V3m）, r=Vm2+(N3m)=2m, sina=13m3 当m>0时，r=2m, 2m2, cosa=m、1 2m2, sina +cos=I =1+√3 2； 当m<0时，r=-2m, sina=-V3m 2m2, sina+cosa = -1+5 2 1+V31+V5 故答案为：2或2；…9分 (4)解：，角a是锐角， 终边上一点P2,川在第象限，>0， :.r=V22+y=V144+y 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ...sina 13少， y 1 ·V44+产13y 解得y=5或y=5(舍去)： 经检验，y=5是原方程的解， ,y的值为5： :tana=上=5 x12, 5 ·tana的值为12.12分 24.(1) 证明：，四边形ABCD是正方形， .∠A=∠BCD=90,AD=CD. .∠DCF=180°-∠BCD=90°， ∴.∠DCF=∠A; ,∠EDF=∠ADC, .∠EDF-∠CDE=∠ADC-∠CDE, ∠ADE=∠CDF, 片△1DE2aCDF(4S4) .DE=DF;-3分 27 229 18-3V26 (3)5 【详解】(1)略 (2)解：，四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠BCD=90°，CD=AB=4,AD‖BC,AD=BC=6, .∠DCF=180°-∠BCD=90°， 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠DCF=∠DAE; ,点E为AB的中点， AE-BE-348-2, 2 :∠EDF=∠ADC, .∠EDF-∠CDE=∠ADC-∠CDE, .∠ADE=∠CDF, .△ADE∽△CDF. DF CF CD 4 2 小DEAE=AD63, :r号E,cr-号4- 3: 如图所示，延长DE交CB的延长线于点T, E M B AD‖BC, .∠EAD=∠EBT,∠EDA=∠ETB, △BET≌△AED(AAS) .'BT=AD=6,ET=ED, FT=BC+BT+CF=40 3； .AD lI BC. ∴.△AMD∽△FMT, DM AD 6 9 :7MF74020 3 w-品w, :DE-BM=品F+a)=8 (DE+EM), 10112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EM-31 DE 29 DM-18 DE 29 18 DE DM_29 27 .DF E 29;-7分 3 (3)解：，四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AD∥BC,∠ADC=LB: AF⊥CD .AF⊥AB,即∠BAF=90°： 4 ..tanB= 3 AF 4 AB3’ 设-248=18则4E=名B=5x: 如图所示，过点E作EO1DA交DA的延长线于点O,设AF,CD交于点P,则∠DQE=∠DPA=90°， E B ∠ADC=∠B, :tan∠ADC=tan∠B=4 , AP 4 ·DP3' 设AP=4a,DP=3a,则PF=AF-AP=24x-4a, AD=AP+DP2=5a AD5cos∠ADP=DP3 :sin∠ADp=AP_4 AD 5: 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD lI BC, .∠BAQ=∠ADP n∠BA0=m∠40P-cw∠B4Q=6s∠4ADP Γ5 .QE=AE·sin∠BAQ=4x,AQ=AE·cos∠BAQ=3x, .DO=AD+AO=5a+3x: .∠EDF=∠ADC, ∴.∠EDF-∠CDE=∠ADC-∠CDE. .∠QDE=∠PDF, △ODE∽△PDF, DF PF DP ·DE OE DO' 24x-4a3a .4x5a+3x’ .18x2+24ax-5a2=0, :水4+6 6欧=4 ”(舍去)， :D0=5a+3x=5a+-4+v26a=6+V26 -a= 2 DF_DP_3a_18-3V26 .DED06+V26 -a 5 2 .-12分 12112