2.3 单摆 第一课时（举一反三·讲义）物理沪科版选择性必修第一册

本讲义聚焦单摆这一核心知识点，系统梳理单摆的理想化模型条件、回复力来源及特点、周期公式，以及等效摆长与等效重力加速度等内容，通过知识框架图搭建从模型建构到规律应用的学习支架。 该资料以摆钟走慢问题情景导入激发科学探究兴趣，例题设计从基础模型判断到综合应用，培养科学思维中的模型建构与科学推理能力。课后作业题型多样，课中辅助教师引导学生深化理解，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

· 2.3 单 摆 · 【高中物理沪科版(2019)选择性必修一】 模块一 知识框架 模块二 知识精讲 情景导入 在精密的机械摆钟里，一根看似简单的细线和一个重锤，就能精准地切割时间。但如果你发现家里的老摆钟最近总是‘走慢了’，作为物理小达人的你，是该给它换一个更重的摆锤，还是想办法缩短这根摆线呢？接下来就请你在单摆的规律中寻找答案。” 如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后静止释放，小球在A、A′间来回摆动，不计空气的阻力。 (1)小球的平衡位置在哪里？ (2)小球摆动过程中受到哪些力的作用？什么力提供向心力？什么力提供回复力？ (3)小球经过平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？ 知识点一、单摆的回复力 1．单摆 (1)实际摆看成单摆的条件 ①细线的 与小球相比可以忽略。 ②小球的 与线的长度相比可以忽略。 ③摆线的 与摆线长度相比可以忽略。 ④ 与摆球的重力及细线的拉力相比可以忽略。 (2)单摆是实际摆的理想化模型。 2．单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球的重力沿 方向的分力，即F＝ (2)回复力的特点：在摆角很 的条件下，sin θ≈θ≈(其中x为偏离平衡位置的位移)，单摆的回复力F＝－x，令k＝，则F＝ 。 3．单摆的运动规律：在摆角 时，单摆做 运动。 例题1.判断下列5幅图中的摆动模型能否看成单摆？若不能，请说明原因。 例题2.如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（     ） A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B．摆球在B点时，动能最大，回复力最大 C．摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 D．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 例题3.(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　　) A．t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零 B．t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小 C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大 D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 变式1.如图所示为小球在做单摆运动，平衡位置为点，、为最大位移处，、点关于点对称。小球运动到点时，小球受到重力和拉力，这两力的合力图示可能正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点二、单摆的周期 1、提出：周期公式是荷兰物理学家 首先提出的。 2、公式：T＝2π，即周期T与 成正比，与重力加速度g的二次方根成 ，而与振幅、摆球质量 。 说明：①单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立。 ②公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋，d为摆球的直径。 ③公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。 例题4.．在同一地点做简谐运动的甲、乙两个单摆，其摆长相同，甲单摆的质量是乙单摆质量的，甲摆球经过平衡位置的速度是乙摆球经过平衡位置的速度的，则以下说法正确的是（　　） A．甲、乙做简谐运动的周期之比为3：2 B．甲、乙做简谐运动的周期之比为1：1 C．甲、乙做简谐运动的振幅之比为1：1 D．甲、乙做简谐运动的振幅之比为3：2 例题5（多选）如图甲所示，传感器固定在天花板上，将单摆一端固定在传感器上的O点。t=0时刻，将摆球拉到A点由静止释放，让其在A、C之间来回摆动（摆角小于5°），其中C点为最低点。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是（     ） A．单摆的周期为0.4πs B．根据所给数据能求出摆球的质量 C．摆球所受合力提供摆球振动的回复力 D．单摆的摆长为1.6 m 知识点三、等效单摆 1、 等效摆长： (1)图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来，甲摆的等效摆长 乙摆的摆长，用图中信息表示甲摆的等效摆长： 。 (2)图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长 甲摆的摆长，用图中信息表示乙摆的等效摆长： ；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长 丙摆的摆长，用图中信息表示乙摆的等效摆长： 。 2、类单摆模型 除了前面学习的单摆模型，有些物体的运动规律与单摆的运动类似，该类物体的运动即为类单摆模型。如在光滑圆弧面上来回滚动的小球，在圆弧半径R远大于运动弧长的情况下，小球的运动可以看成简谐运动，T＝2π。 3、不同系统中的等效重力加速度 在不同的运动系统中，单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度，其大小等于单摆相对系统“静止”在平衡位置时的摆线拉力与摆球质量的比值。 情景 等效重力加速度 超失重系统 g等效＝g－a g等效＝g＋a 电场中 g等效＝ g等效＝ g等效＝g 例题6.如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上与O相距为l的两点上，使三角形AOB成直角三角形，，已知OC线长为l，下端C点系着一个小球。下列说法正确的是（以下振动皆指小角度摆动）（　　） A．让小球在纸面内振动，周期 B．让小球垂直于纸面振动，周期 C．让小球在纸面内振动，周期 D．让小球垂直于纸面振动，周期 例题7.如图所示，AO'段为半径为R的光滑圆弧面，BO'段为光滑斜面，相交处平滑过渡，已知圆弧弧长≪R，且A、B等高，现有四个小球，a球从A点由静止释放沿圆弧下滑，b球从B点由静止释放沿斜面下滑，c球从圆心O点由静止释放，d球从中点P处静止释放沿圆弧下滑，若四个小球（均可看成质点）同时释放，各自第一次到达圆弧最低点的时间分别为ta、tb、tc、td，则下列判断正确的是（　　） A．ta>tb>tc> td B．ta=tb=td>tc C．ta>tb>td>tc D．tb>ta=td>tc 例题8.如图，倾角的光滑斜面固定在地面上，现将一长度为的轻绳一端固定在 点，另一端系一小球（可视为质点），小球静止在斜面上的Ｏ点，现将小球拉开一很小角度后由静止释放运动到最低点时的速度为。已知小球质量，重力加速度，不计空气阻力，则小球从最高点第一次运动到最低点的过程中（　　） A．运动时间为 B．运动时间为 C．运动时间为 D．运动时间为 模块三 课后作业 1.(多选)下列有关单摆的说法，正确的是(　　) A．一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球，可以构成一个单摆 B．单摆的摆动一定是简谐运动 C．若单摆在同一平面内摆动，且偏角很小时，可以认为该单摆的运动是简谐运动 D．单摆做简谐运动时，摆长越长(其他条件不变)，其运动周期越大 2.关于简谐运动和单摆，下列说法正确的是（　　） A．平衡位置就是回复力为零的位置 B．物体到达平衡位置时，合力一定为零 C．单摆细线拉力与重力的合力提供回复力 D．单摆摆动到最低点时摆球合力为零。 3.．如图甲所示，单摆固定悬点为，将摆球拉至点（摆球可看成质点），然后由静止释放，摆球在竖直平面内的、之间来回摆动，摆角，点为运动中的最低位置。从点刚释放开始计时，摆球相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度，。下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长为 B．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 C．点处于摆球运动的平衡位置，回复力最大 D．在的时间内，摆球从点向点运动 4．一个单摆做简谐运动，周期为T。若将摆长缩短为原来的，其他条件不变，则新的周期为（　　） A． B． C．2T D．4T 5.图甲中摆球表面包有一小块橡皮泥，在竖直平面内其振动图像如图乙所示，某时刻橡皮泥瞬间自然脱落，不考虑单摆摆长的变化，则下列说法错误的是（　　） A．时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期 B．时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期 C．时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅 D．时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅 6．（多选）如图甲所示，一个单摆的小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，振动图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10 m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是（　　） A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin（πt） cm B．单摆的摆长约为1 m C．从t＝2.5 s到t＝3.0 s的过程中，摆球由左向右接近平衡位置 D．从t＝2.5 s到t＝3.0 s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大 7．甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，由图可知（     ） A．时，甲的回复力为0，乙的速度为0 B．时，甲、乙的速度方向相同 C．甲、乙两个摆的振幅之比是4：1 D．甲、乙两个摆的摆长之比是1：2 8.如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（　　） A．t=2s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零 B．甲、乙两摆的周期之比为2∶1 C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1 D．t=4s时，甲、乙两摆球到达最低点且加速度都为零 9.（多选）如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧曲面AOB上做简谐运动，圆弧轨道对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示，图中t=0时刻小球从A点开始运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．该圆弧轨道的半径为 B．小球的质量为 C．小球在A点所受的回复力为零 D．t0时刻小球的动能为零 10.如图所示，细长轻线下端拴一小球构成单摆，悬点正下方有一个能挡住摆线的钉子O，现将摆球向左侧拉开一个小角度到A点，然后无初速度释放，摆球经最低点B到右侧最高点C，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．右侧最高点C低于左侧释放点A B．摆球经B点时回复力为零，合力为零 C．摆球从A点到B点时间大于从B点到C点时间 D．摆线与钉子接触前后的瞬间摆线的拉力大小不变 11.（多选）如图所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，轻质摆绳一端固定在斜面上O点，另一端系一质量为m的小球，构成摆长为L的单摆。现将小球拉至偏离平衡位置摆角为α（）处由静止释放，小球将在斜面上做简谐运动，运动过程中摆绳始终平行于斜面。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．该单摆振动的周期 B．小球运动至平衡位置时，摆绳拉力大小 C．小球在最大偏角位置时，回复力大小 D．其他条件不变，若把斜面倾角θ缓慢增大至，则该单摆的周期会变大 12.如图所示，三根长度均为l0的绳a、b、c组合系住一质量分布均匀的小球，球的直径为d，绳a、b与天花板的夹角均为α=30°，重力加速度为g。则： (1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？ (2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？ 13.如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10m/s2。 (1)求单摆的振动周期。 (2)求单摆的摆长。 (3)求摆球的质量。 14．如图所示，一根长为的绝缘细绳穿过质量为、电荷量为的光滑小球（小球可视为质点），细绳两端悬挂在间距为的两根竖直杆上的、两点，已知、两点等高，忽略空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．此时细绳拉力为 B．略微减小的高度，细绳拉力减小 C．若小球仅做垂直于纸面的小角度摆动，其摆动周期为 D．若另加一水平向右的匀强磁场，小球仍仅做垂直于纸面的小角度摆动，则摆动周期变大 15.如图所示为相同的小球（可看作质点）构成的单摆，所有的绳子长度都相同，在不同的条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4（其中（3）图两小球均带负电荷，（4）图中振动系统处于匀加速下降的电梯内），关于周期大小关系的判断，正确的是（     ） A．T1>T2>T3>T4 B．T4<T1＝T3<T2 C．T4>T1＝T3>T2 D．T1<T2<T3<T4 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 2.3 单 摆 · 【高中物理沪科版(2019)选择性必修一】 模块一 知识框架 模块二 知识精讲 情景导入 在精密的机械摆钟里，一根看似简单的细线和一个重锤，就能精准地切割时间。但如果你发现家里的老摆钟最近总是‘走慢了’，作为物理小达人的你，是该给它换一个更重的摆锤，还是想办法缩短这根摆线呢？接下来就请你在单摆的规律中寻找答案。” 如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后静止释放，小球在A、A′间来回摆动，不计空气的阻力。 (1)小球的平衡位置在哪里？ (2)小球摆动过程中受到哪些力的作用？什么力提供向心力？什么力提供回复力？ (3)小球经过平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？ 答案　(1)小球静止时的位置O点为平衡位置。 (2)小球受重力和细线的拉力作用。细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供向心力。重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力。 (3)小球经过平衡位置时，做圆周运动，其合外力不为零。 知识点一、单摆的回复力 1．单摆 (1)实际摆看成单摆的条件 ①细线的质量与小球相比可以忽略。 ②小球的直径与线的长度相比可以忽略。 ③摆线的形变量与摆线长度相比可以忽略。 ④空气阻力与摆球的重力及细线的拉力相比可以忽略。 (2)单摆是实际摆的理想化模型。 2．单摆的回复力 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mgsin θ。 (2)回复力的特点：在摆角很小的条件下，sin θ≈θ≈(其中x为偏离平衡位置的位移)，单摆的回复力F＝－x，令k＝，则F＝－kx。 3．单摆的运动规律：在摆角很小时，单摆做简谐运动。 例题1.判断下列5幅图中的摆动模型能否看成单摆？若不能，请说明原因。 答案　均不能看成单摆。图(a)(d)摆动过程中摆长会发生变化，图(b)空气阻力不能忽略，图(c)球的直径与绳的长度相比不能忽略，图(e)绳的质量与小球相比不能忽略。 例题2.如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（     ） A．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B．摆球在B点时，动能最大，回复力最大 C．摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 D．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 【详解】A．摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，故A错误； B．单摆做简谐运动，在最低点B处，即平衡位置处时，速度最大，动能最大，回复力为零，故B错误； C．摆球在A点和C点时，即最大位移处时，速度为零，故细线拉力最小，回复力最大，故C正确； D．摆球由A点向B点摆动过程中，速度增大，细线拉力增大，回复力减小，故D错误。 故选C。 例题3.(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　　) A．t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零 B．t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小 C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大 D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 答案　CD 解析　由题图可知t1时刻摆球在正向最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故A错误；t2、t4时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错误，D正确；t3时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，回复力最大，故C正确。 变式1.如图所示为小球在做单摆运动，平衡位置为点，、为最大位移处，、点关于点对称。小球运动到点时，小球受到重力和拉力，这两力的合力图示可能正确的是（　　） A． B． C． D． 答案．A 【详解】小球受到拉力T，重力G作用，这两个力的合力为F，如图所示 把重力正交分解为、，沿半径方向的合力指向圆心，所以 所以合力F的方向如右图所示 故选A 知识点二、单摆的周期 1、提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 2、公式：T＝2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 说明：①单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立。 ②公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋，d为摆球的直径。 ③公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。 例题4.．在同一地点做简谐运动的甲、乙两个单摆，其摆长相同，甲单摆的质量是乙单摆质量的，甲摆球经过平衡位置的速度是乙摆球经过平衡位置的速度的，则以下说法正确的是（　　） A．甲、乙做简谐运动的周期之比为3：2 B．甲、乙做简谐运动的周期之比为1：1 C．甲、乙做简谐运动的振幅之比为1：1 D．甲、乙做简谐运动的振幅之比为3：2 答案．B 【详解】AB．根据单摆的周期公式，由题干可知，甲、乙两单摆的摆长相同，且在同一地点相同，因此周期相同，故周期之比为，故A错误，B正确； CD．简谐振动的能量为，其中 则根据能量关系得 可得 给出甲摆球在平衡位置的速度是乙的，即 所以振幅之比，故CD错误。 故选B。 例题5（多选）如图甲所示，传感器固定在天花板上，将单摆一端固定在传感器上的O点。t=0时刻，将摆球拉到A点由静止释放，让其在A、C之间来回摆动（摆角小于5°），其中C点为最低点。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是（     ） A．单摆的周期为0.4πs B．根据所给数据能求出摆球的质量 C．摆球所受合力提供摆球振动的回复力 D．单摆的摆长为1.6 m 答案．BD 【详解】A．由图乙可知，时刻小球处于A点，，小球处于C点，，小球第一次回到A点，则单摆的周期为T=，故A错误； D．根据单摆周期公式 可得单摆的摆长为，故D正确； C．摆球所受重力沿切线方向的分力提供其回复力，故C错误； B．设小球在最高点时，细线与竖直方向的夹角为，此时有 小球在最低点时，根据牛顿第二定律可得 其中；小球从最高点到最低点过程，根据动能定理可得 联立以上式子可得小球的质量为，故B正确。 故选BD。 知识点三、等效单摆 1、 等效摆长： (1)图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来，甲摆的等效摆长等于乙摆的摆长，用图中信息表示甲摆的等效摆长：lsin α。 (2)图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长，用图中信息表示乙摆的等效摆长：l1＋l2sin θ；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长，用图中信息表示乙摆的等效摆长：l1。 2、类单摆模型 除了前面学习的单摆模型，有些物体的运动规律与单摆的运动类似，该类物体的运动即为类单摆模型。如在光滑圆弧面上来回滚动的小球，在圆弧半径R远大于运动弧长的情况下，小球的运动可以看成简谐运动，T＝2π。 3、不同系统中的等效重力加速度 在不同的运动系统中，单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度，其大小等于单摆相对系统“静止”在平衡位置时的摆线拉力与摆球质量的比值。 情景 等效重力加速度 超失重系统 g等效＝g－a g等效＝g＋a 电场中 g等效＝ g等效＝ g等效＝g 例题6.如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上与O相距为l的两点上，使三角形AOB成直角三角形，，已知OC线长为l，下端C点系着一个小球。下列说法正确的是（以下振动皆指小角度摆动）（　　） A．让小球在纸面内振动，周期 B．让小球垂直于纸面振动，周期 C．让小球在纸面内振动，周期 D．让小球垂直于纸面振动，周期 答案A 【详解】AC．让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期为，故A正确，C错误； BD．让小球垂直于纸面振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为 所以周期为，故BD错误。 例题7.如图所示，AO'段为半径为R的光滑圆弧面，BO'段为光滑斜面，相交处平滑过渡，已知圆弧弧长≪R，且A、B等高，现有四个小球，a球从A点由静止释放沿圆弧下滑，b球从B点由静止释放沿斜面下滑，c球从圆心O点由静止释放，d球从中点P处静止释放沿圆弧下滑，若四个小球（均可看成质点）同时释放，各自第一次到达圆弧最低点的时间分别为ta、tb、tc、td，则下列判断正确的是（　　） A．ta>tb>tc> td B．ta=tb=td>tc C．ta>tb>td>tc D．tb>ta=td>tc 答案D 【详解】已知圆弧弧长≪R，可知a球距球面最低点的距离远远小于R，因此a球的运动可视为单摆，由单摆的周期公式可得a球运动到点的时间为 做c球与b球的连线，其连线与竖直方向的夹角为θ，则有b球运动到点的距离满足 b球沿斜面下滑的加速度为 由位移时间公式 可得b球运动到点的时间为 c球做自由落体运动，c球到达点的时间为 d球从中点P处静止释放沿圆弧下滑，根据单摆周期可知d球和a球的周期相同，可知d球的时间 可知，，， 可得 例题8.如图，倾角的光滑斜面固定在地面上，现将一长度为的轻绳一端固定在 点，另一端系一小球（可视为质点），小球静止在斜面上的Ｏ点，现将小球拉开一很小角度后由静止释放运动到最低点时的速度为。已知小球质量，重力加速度，不计空气阻力，则小球从最高点第一次运动到最低点的过程中（　　） A．运动时间为 B．运动时间为 C．运动时间为 D．运动时间为 答案A 【详解】把重力加速度沿斜面向下和垂直斜面方向分解，沿斜面向下的分加速度为 摆球在斜面内做单摆运动，所以运动的周期为 则小球从最高点第一次运动到最低点的时间为 故选A。 模块三 课后作业 1.(多选)下列有关单摆的说法，正确的是(　　) A．一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球，可以构成一个单摆 B．单摆的摆动一定是简谐运动 C．若单摆在同一平面内摆动，且偏角很小时，可以认为该单摆的运动是简谐运动 D．单摆做简谐运动时，摆长越长(其他条件不变)，其运动周期越大 答案　CD 解析　一根不可伸长的细线一端系在悬点，另一端连接一个质量较大且可以看成质点的小球可以构成一个单摆，橡皮筋受到拉力时形变量较大，连接小球构成的装置不可看成单摆，A错误；若单摆在同一平面内摆动，且偏角很小时，可以认为该单摆的运动是简谐运动，B错误，C正确；根据单摆的周期公式T＝2π可知，单摆做简谐运动时，摆长越长(其他条件不变)，其运动周期越大，D正确。 2.关于简谐运动和单摆，下列说法正确的是（　　） A．平衡位置就是回复力为零的位置 B．物体到达平衡位置时，合力一定为零 C．单摆细线拉力与重力的合力提供回复力 D．单摆摆动到最低点时摆球合力为零 答案 A 【详解】A．根据简谐运动平衡位置的定义，平衡位置就是回复力为零的位置，故A正确； B．物体到达平衡位置时合力不一定为零，例如单摆的平衡位置（最低点），合力需要提供圆周运动的向心力，不为零，故B错误； C．单摆的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，细线拉力与重力的合力同时提供向心力和切向回复力，并非全部用来提供回复力，故C错误； D．单摆摆动到最低点时，摆球做圆周运动，向心力由拉力和重力的合力提供，满足，合力不为零，故D错误。 3.．如图甲所示，单摆固定悬点为，将摆球拉至点（摆球可看成质点），然后由静止释放，摆球在竖直平面内的、之间来回摆动，摆角，点为运动中的最低位置。从点刚释放开始计时，摆球相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度，。下列说法正确的是（　　） A．单摆的摆长为 B．摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 C．点处于摆球运动的平衡位置，回复力最大 D．在的时间内，摆球从点向点运动 答案A 【详解】A．由图乙可知周期，由，代入得，故A正确； B．回复力是重力的切向分力，故B错误； C．平衡位置回复力为零，故C错误； D．内位移从零向正方向最大变化，对应从向运动，故D错误。 故选A。 4．一个单摆做简谐运动，周期为T。若将摆长缩短为原来的，其他条件不变，则新的周期为（　　） A． B． C．2T D．4T 答案．B 【详解】单摆做简谐运动的周期公式为，其中l为摆长，g为当地重力加速度，5.若将摆长缩短为原来的，则周期应变为原来的，即新的周期为 5.图甲中摆球表面包有一小块橡皮泥，在竖直平面内其振动图像如图乙所示，某时刻橡皮泥瞬间自然脱落，不考虑单摆摆长的变化，则下列说法错误的是（　　） A．时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期 B．时刻橡皮泥脱落，此后单摆周期 C．时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅 D．时刻橡皮泥脱落，此后单摆振幅 答案A 【详解】AB．因为是自然脱落，橡皮泥与摆球之间无相互作用且摆长不变，根据单摆周期公式 可知单摆的周期与摆球质量无关，所以橡皮泥脱落，此后单摆周期仍为4s，故A错误，B正确。 CD．因为是自然脱落，橡皮泥与摆球之间无相互作用，所以摆球机械能并未增大，单摆的振幅仍为10cm，故CD正确。 本题选择不正确的，故选A。 6．（多选）如图甲所示，一个单摆的小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，振动图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10 m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是（　　） A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin（πt） cm B．单摆的摆长约为1 m C．从t＝2.5 s到t＝3.0 s的过程中，摆球由左向右接近平衡位置 D．从t＝2.5 s到t＝3.0 s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大 答案．AB 【详解】A．由振动图像读出周期，振幅，则 单摆的位移x随时间t变化的关系式为，故A正确； B．根据摆长与周期关系 解得，故B正确； C．从t＝2.5 s到t＝3.0 s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，由右向左接近平衡位置，故C错误； D．从t＝2.5 s到t＝3.0 s的过程中，摆球的位移减小，回复力减小，故D错误。 故选AB。 7．甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，由图可知（     ） A．时，甲的回复力为0，乙的速度为0 B．时，甲、乙的速度方向相同 C．甲、乙两个摆的振幅之比是4：1 D．甲、乙两个摆的摆长之比是1：2 答案A 【详解】A．由图可知，时甲摆经过平衡位置，位移为，根据回复力与位移的关系有 此时乙摆处于正向最大位移处，因此，故A正确； B．由图可知，时甲、乙均经过平衡位置，甲的位移由负变正，速度方向为正方向；乙的位移由正变负，速度方向为负方向，所以二者速度方向相反，故B错误； C．由图可知，甲、乙两摆的振幅分别为、，因此振幅之比为，故C错误； D．由图可知，甲、乙两摆的周期分别为、，根据单摆周期公式有 因此摆长之比为，故D错误。 8.如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（　　） A．t=2s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零 B．甲、乙两摆的周期之比为2∶1 C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1 D．t=4s时，甲、乙两摆球到达最低点且加速度都为零 答案A 【详解】A．时，甲单摆摆球在平衡位置处，重力势能最小，乙单摆摆球在振动的正方向最大位移处，动能为零，故A正确； B．由题图知，甲、乙两单摆的周期分别为4s、8s，甲、乙两摆的周期之比为1∶2，故B错误； C．由单摆的周期公式可得，甲、乙两单摆的摆长之比，故C错误； D．摆球实际在做竖直面的圆周运动，在最低点时有向心加速度，加速度不为0，故D错误。 故选A。 9.（多选）如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧曲面AOB上做简谐运动，圆弧轨道对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示，图中t=0时刻小球从A点开始运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．该圆弧轨道的半径为 B．小球的质量为 C．小球在A点所受的回复力为零 D．t0时刻小球的动能为零 答案AD 【详解】A．小球运动的周期为 根据单摆周期公式可得 所以，故A正确： B．小球在A点，有 在O点时，根据牛顿第二定律可得 小球从A点运动到O点，根据机械能守恒定律可得 联立解得小球的质量为，故B错误； C．小球在A点回复力最大，所受的合力不为零，故C错误； D．t0时刻小球到达B点，则此时的动能最小，故D正确。 故选AD。 10.如图所示，细长轻线下端拴一小球构成单摆，悬点正下方有一个能挡住摆线的钉子O，现将摆球向左侧拉开一个小角度到A点，然后无初速度释放，摆球经最低点B到右侧最高点C，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．右侧最高点C低于左侧释放点A B．摆球经B点时回复力为零，合力为零 C．摆球从A点到B点时间大于从B点到C点时间 D．摆线与钉子接触前后的瞬间摆线的拉力大小不变 答案．C 【详解】A．摆球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，因此摆球在右侧上升的高度与左侧开始下落的高度相同，故A错误； B．摆球经过最低点B时虽然回复力（沿摆动方向的分力）为零，但此时小球具有向心加速度，需要向心力，合力不为零，故B错误； C．结合题意可知，摆球从A点到B点时间和从B点到C点时间都是对应周期的，根据单摆得出周期公式可知，摆球从A点到B点的周期大于从B点到C点的周期，因此摆球从A点到B点时间大于从B点到C点时间，故C正确； D．摆球经过最低点时，摆线与钉子接触前后的瞬时速度相等，根据牛顿第二定律，则有 接触钉子后，摆线长（圆周运动的半径）变小，绳子的拉力变大，故D错误。 故选C。 11.（多选）如图所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，轻质摆绳一端固定在斜面上O点，另一端系一质量为m的小球，构成摆长为L的单摆。现将小球拉至偏离平衡位置摆角为α（）处由静止释放，小球将在斜面上做简谐运动，运动过程中摆绳始终平行于斜面。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．该单摆振动的周期 B．小球运动至平衡位置时，摆绳拉力大小 C．小球在最大偏角位置时，回复力大小 D．其他条件不变，若把斜面倾角θ缓慢增大至，则该单摆的周期会变大 答案BC 【详解】A．小球在斜面上的等效重力加速度为，单摆周期，故A错误； B．设小球运动至平衡位置时速度为。由机械能守恒（以平衡位置为零势能面） 在平衡位置，由牛顿第二定律（沿绳方向） 代入 得，故B正确； C．小球在最大偏角位置时，重力沿斜面向下的分力为，其垂直于摆绳方向的分量提供回复力，故C正确； D．周期，当增大至时，增大，周期减小，故D错误。 故选BC。 12.如图所示，三根长度均为l0的绳a、b、c组合系住一质量分布均匀的小球，球的直径为d，绳a、b与天花板的夹角均为α=30°，重力加速度为g。则： (1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？ (2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？ 答案(1) (2) 【详解】（1）根据题意可知，若小球以为圆心做简谐运动，所以摆长为 振动的周期为 （2）根据题意可知，若小球以为圆心做简谐运动，摆长 振动周期为 13.如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10m/s2。 (1)求单摆的振动周期。 (2)求单摆的摆长。 (3)求摆球的质量。 答案(1) (2)0.4m (3)0.05kg 【详解】（1）由图可知，单摆的振动周期 （2）根据单摆周期公式 可知摆长 （3）在A点细线拉力最小，有Fmin=mgcosθ 在B点细线拉力最大，有 从A到B由机械能守恒定律 联立可得 14．如图所示，一根长为的绝缘细绳穿过质量为、电荷量为的光滑小球（小球可视为质点），细绳两端悬挂在间距为的两根竖直杆上的、两点，已知、两点等高，忽略空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．此时细绳拉力为 B．略微减小的高度，细绳拉力减小 C．若小球仅做垂直于纸面的小角度摆动，其摆动周期为 D．若另加一水平向右的匀强磁场，小球仍仅做垂直于纸面的小角度摆动，则摆动周期变大 答案C 【详解】A．两侧绳与竖直方向夹角均为，拉力均为 水平方向，竖直方向 几何关系 解得，，，故A错误； B．若A点降低，但水平距离和绳总长不变。由水平方向平衡仍要求两侧绳与竖直方向夹角相等，设为，且水平距离 仍有 因此不变，拉力也不变，故B错误； C．平衡时，小球到A、B连线的垂直距离即为等效摆长。由对称性，，故摆长 小球在垂直于纸面方向摆动时，重力沿圆弧切向的分力提供回复力，等效为摆长的单摆。周期，故C正确； D．小球带正电，摆动时受洛伦兹力。洛伦兹力始终垂直于速度方向，不改变切向加速度，只影响径向力（绳拉力），不改变回复力（重力切向分力）和等效摆长，因此摆动周期不变，故D错误。 故选C。 15.如图所示为相同的小球（可看作质点）构成的单摆，所有的绳子长度都相同，在不同的条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4（其中（3）图两小球均带负电荷，（4）图中振动系统处于匀加速下降的电梯内），关于周期大小关系的判断，正确的是（     ） A．T1>T2>T3>T4 B．T4<T1＝T3<T2 C．T4>T1＝T3>T2 D．T1<T2<T3<T4 答案C 【详解】对于（1）图中的常规单摆，根据单摆周期公式有 对于（2）图中的双线摆，小球只能在垂直于纸面方向做简谐运动，等效摆长为，根据单摆周期公式有 对于（3）图中的单摆，由于悬点处与小球均带有负电荷，两者相互排斥，库仑力始终沿着绳子方向，不改变单摆垂直于绳子方向的切向回复力，系统等效重力加速度不变，根据单摆周期公式有 对于（4）图中的单摆，振动系统处于匀加速下降的电梯内，小球处于部分失重状态，系统等效重力加速度为，根据单摆周期公式有 联立上述公式比较解得 故选C。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $