2.3 单摆（讲义）物理沪科版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中物理“单摆”核心知识点，从理想化模型（细线质量与摆球大小可忽略）出发，推导小角度下回复力F=-(mg/L)x，得出周期公式T=2π√(L/g)，进而学习用单摆测量重力加速度的实验原理与操作，构建从模型到规律再到应用的学习支架。 资料通过“知识点-随学随练-题型讲解-分层练习”设计，强化科学思维（模型建构、小角度近似推理）和科学探究（实验操作、误差分析）。例如实验强调摆长为悬点到球心距离，周期测多次全振动时间，课中助教师教学，课后助学生巩固，提升物理观念与实验能力。

第二章 机械振动 第三节 单摆 课标要点 1. 知道单摆模型，理解单摆做简谐运动的条件。 2. 掌握单摆的周期公式，会用单摆测量重力加速度。 学习重难点 重点：单摆的回复力F = -(mg/L)x；周期公式T = 2π√(L/g)；用单摆测重力加速度。 难点：回复力的推导与小角度近似；实验中摆长的测量与误差分析。 知识点 单摆模型 1. 如果细线的质量与小球质量相比可以忽略，小球的大小与细线长度相比也可以忽略，这样的装置称为单摆。 2. 单摆是一种理想化物理模型，实际摆可近似看作单摆的条件是：摆线质量远小于摆球质量，摆球直径远小于摆线长度。 3. 通过沙摆实验获得单摆的振动图像，其x-t图像与余弦函数的图像非常相似，由此可初步猜想单摆的摆动是简谐运动。 知识点 单摆的回复力 1. 摆球在重力沿圆弧切线方向的分力作用下在竖直平面内往复运动，该分力即为单摆的回复力。 2. 当摆角很小时，回复力大小F = mgsinθ，且sinθ 近似等于位移x与摆长l的比值，回复力可写成F = -mg(x/l) = -kx。 3. 在摆角很小的情况下，单摆的回复力与位移大小成正比，方向始终指向平衡位置，因此单摆的运动可近似看作简谐运动。 4. 摆角 θ 很小且用弧度制表示时，θ 与sinθ 近似相等，对应的弧长与弦长也近似相等，可认为摆球沿直线在平衡位置两侧振动。 特别提醒 (1)单摆是理想模型：细线不可伸长且质量不计，摆球直径远小于摆线长度。 (2)单摆做简谐运动的条件是摆角很小（一般小于 5°），此时才有sinθ ≈ x/L。 (3)回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是合外力——最低点处回复力为零，但合力提供向心力不为零。 随学随练 1.关于简谐运动的单摆，在摆球通过最低点时，下列说法正确的是（　　） A．回复力为零，合外力也为零 B．回复力不为零，但合外力为零 C．回复力不为零，合外力指向悬点 D．回复力为零，合外力提供向心力 【答案】D 【解析】单摆的回复力是重力沿运动轨迹切线方向的分力；摆球做圆周运动，需要指向圆心（悬点）的向心力。摆球在最低点时，重力的切线分力为零，因此回复力为零；但摆球速度不为零，合外力提供向心力。 故选D。 2.简谐运动既是最基本也是最简单的一种机械振动。关于简谐运动的表达式、回复力和能量，下列说法正确的是（     ） A．单摆做简谐运动过程中的回复力是单摆受到重力沿圆弧切线方向的分力 B．水平弹簧振子做简谐运动时系统的能量做周期性变化 C．简谐运动位移x的一般函数表达式中，表示频率，表示相位 D．简谐运动的回复力可以是方向不变而大小变化的力，也可以是大小不变而方向改变的力 【答案】A 【解析】A．单摆做简谐运动时，径向的合力提供圆周运动的向心力，重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力，故A正确； B．水平弹簧振子做简谐运动时，只有动能和弹性势能相互转化，系统的总机械能保持不变，不会发生周期性变化，故B错误； C．简谐运动位移表达式中，表示圆频率（角频率），表示初相位，才是相位，频率，故C错误； D．简谐运动的回复力满足，回复力大小与位移大小成正比，方向始终与位移方向相反、指向平衡位置，因此回复力的大小和方向都随位移变化，故D错误。 故选A。 3.在探究单摆运动的实验中，图甲是用力传感器对单摆小角度（小于5°）振动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的绳子拉力大小与时间F-t图像。下列说法正确的是（     ） A．t=0.1 s时刻摆球运动到最低点 B．单摆振动周期T=0.8 s C．若仅将摆球质量变小，单摆周期不变 D．摆球摆动过程合力方向始终沿绳指向悬挂点 【答案】C 【解析】A．单摆振动过程中，在最低点时绳子拉力最大，在最高点时绳子拉力最小，由图像可知，在时拉力最小，说明摆球此时运动到最高点，故A错误； B．摆球在一个周期内两次经过最低点（即两次拉力达到最大值），从最低点到相邻的最高点，再到最低点，为半个周期，由图乙可知，相邻两个拉力最小值之间的时间间隔为 因此单摆的振动周期为，故B错误； C．根据单摆周期公式，单摆的周期仅由摆长和当地重力加速度决定，与摆球质量无关，因此，若仅将摆球质量变小，单摆周期不变，故C正确； D．摆球摆动过程中做圆周运动，其合力可分解为切向合力与径向合力，由于摆球在运动，其合力方向并不是始终沿绳指向悬挂点，故D错误。 故选C。 21．若将地球与火星视为质地均匀的圆球体，其密度与半径的资料如表所示。 (1)在地表周期为T的单摆，移至火星表面时的周期为多少？（　　） A． B． C． D． E． (2)若忽略一切阻力与行星自转现象，已知地球表面的物体要脱离地球引力并到达无穷远处所需最小速率为v。若要使火星表面的物体脱离火星引力并到达无穷远处，则物体在火星表面所需的最小速率为多少？（　　） A． B． C． D． E． 【答案】(1)C (2)A 【解析】（1）由单摆周期公式可知周期与成正比。星球表面忽略自转时，万有引力等于重力 行星质量 联立得 即g与成正比。因此 故选C。 （2）物体脱离星球引力的最小速率（逃逸速度）满足能量关系： 解得 代入 得 即与成正比。因此 故选A。 知识点 单摆的周期 1. 伽利略发现单摆的周期与振幅无关，这就是摆的等时性。 2. 实验表明，单摆的周期与摆球的质量无关，与摆长的二次方根成正比。 3. 惠更斯确定了单摆的周期公式T = 2π√(l/g)，周期与重力加速度的二次方根成反比。 4. 单摆的周期仅由摆长和当地的重力加速度决定，称为单摆的固有周期，相应的频率称为固有频率。 5. 将回复力F = -(mg/l)x与简谐运动回复力公式对比，可得k = mg/l，代入弹簧振子周期公式也可得到单摆周期公式。 知识点 用单摆测重力加速度 1. 实验原理：由单摆周期公式T = 2π√(l/g)可得重力加速度的表达式为g = 4π²L/T²。 2. 摆长l为悬挂状态下细线长度l0 与小球半径之和，即l = l0 + d/2，需用游标卡尺测量小球直径d。 3. 实验时摆角应小于5°，以保证单摆做简谐运动；用停表测量n次全振动的时间t，则周期T = t/n。 4. 为减小计时误差，应以摆球经过平衡位置的时刻作为计时起点，并测量多次全振动的总时间。 5. 数据处理可采用图像法，作出T² - l图像，图线的斜率k = 4π²/g，由此可求得重力加速度g = 4π²/k。 特别提醒 1. 单摆周期只由摆长L和当地重力加速度g决定，与摆球质量、振幅（小角度下）均无关。 2. 摆长L是悬点到摆球球心的距离 = 摆线长 + 摆球半径，实验中容易漏掉球半径。 随学随练 1.如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（　　） A．t=2s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零 B．甲、乙两摆的周期之比为2∶1 C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1 D．t=4s时，甲、乙两摆球到达最低点且加速度都为零 【答案】A 【解析】A．时，甲单摆摆球在平衡位置处，重力势能最小，乙单摆摆球在振动的正方向最大位移处，动能为零，故A正确； B．由题图知，甲、乙两单摆的周期分别为4s、8s，甲、乙两摆的周期之比为1∶2，故B错误； C．由单摆的周期公式可得，甲、乙两单摆的摆长之比，故C错误； D．摆球实际在做竖直面的圆周运动，在最低点时有向心加速度，加速度不为0，故D错误。 故选A。 2.如图甲所示是用沙摆演示简谐运动图像的装置，当沙漏做单摆运动时，沙漏中的细沙均匀流出，漏出的细沙在下方匀速运动的木板上形成一条曲线。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线（图中的虚线），已知P、Q分别是木板1上的两点，忽略沙漏重心的变化，沙摆的摆长保持不变，则下列说法中正确的是（　　 ） A．第一次实验时沙漏的频率较大 B．木板1移动的速度比木板2的速度大 C．从P到Q经过了该沙摆的一半周期 D．位置P处的沙层比Q处的沙层厚一些 【答案】D 【解析】A．因为是同一个沙摆，摆长L和重力加速度不变，根据单摆周期公式可知，两次实验沙漏振动周期不变，则频率不变，故A错误； B．木板做匀速运动，由图乙可知，运动相同的路程，木板1用了2T，木板2用了1.5T，因此木板1移动的速度比木板2的速度小，故B错误； C．从P到Q经过了该沙摆的四分之一个周期，故C错误； D．沙摆摆动时在最大位移处速度为零，在平衡位置处速度最大，所以P处附近相同位移内的时间较大，流出的细沙更多，即位置P处的沙层比Q处的沙层厚一些，故D正确。 故选D。 3.用单摆测定某地的重力加速度，装置如图甲所示。对单摆小角度（小于5°）振动过程进行测量，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的绳子拉力大小与时间F-t图像。 (1)t时刻小球处于最______（填“低”或“高”）点，由此可得此单摆的振动周期_______； (2)若测出悬点到小球球心的距离（摆长）为L，则当地的重力加速度________。（用L、t和必要的数学常量表示） 【答案】(1) 高 8t (2) 【解析】（1）[1] 小球在最低点时速度最大，绳子拉力最大；在最高点时速度为零，绳子拉力最小，故时刻小球处于最高点。 [2] 相邻两个拉力极小值对应小球先后到达两侧最高点，时间间隔为半个周期。由图可知相邻两个拉力极小值的时间间隔为 又有=，解得 （2）[3] 由单摆周期公式 整理得 代入，整理得= 题型 单摆模型与回复力 判断是否为单摆：细线质量不计且不可伸长、摆球可视为质点、摆角小于 5°。回复力为重力沿切线方向的分力F = -(mg/L)x，与位移成正比、方向指向平衡位置。 活学活用 1.某实验小组利用图示装置进行“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)图中两种悬挂方式，正确的是__________（填“甲”或“乙”）。 (2)释放摆球，从摆球经过__________开始计时。 (3)某同学根据测量的数据，得到了如图所示的图像，其中表示单摆的周期，表示单摆的摆长。由图像可计算出当地的重力加速度__________（取3.14，计算结果保留三位有效数字）。 (4)某同学在实验中操作不当，使得摆球做圆锥摆运动，则该同学计算出的重力加速度与真实值相比__________（选填“偏大”或“偏小”或“不变”）。 【答案】(1)甲 (2)平衡位置 (3)9.86 (4)偏大 【解析】（1）单摆实验要求摆动过程中摆长保持不变，甲的悬挂点固定，摆长不变；乙摆动时悬点移动，摆长会变化，因此正确的是甲。 （2） 摆球经过平衡位置最低点时速度最大，计时的位置误差最小，因此应从摆球经过平衡位置最低点开始计时。 （3）根据单摆周期公式 可得 由图像可知图像的斜率 解得 （4）在实验中操作不当，使得摆球在运动过程中变成圆锥摆，设摆线与竖直方向的夹角为，根据牛顿第二定律有 其中 解得摆球做圆锥摆的周期 可知比相同摆长单摆的周期小，计算重力加速度时，我们仍将悬线长作为摆长代入公式 因此计算出的重力加速度比真实值偏大。 2.某实验小组利用单摆测量当地重力加速度，实验装置如图甲所示，金属摆球质量为，直径为，轻质细线长度为。在摆球摆动的平衡位置处固定一个光电门，光电门与计数器相连，可以记录小球通过光电门的次数，将摆球拉离平衡位置一个较小角度（小于）后由静止释放，使摆球在竖直平面内摆动。实验中，摆球第一次通过平衡位置时计数器显示次数计为“0”，并开始计时，至计数器显示次数为“”，所用的总时间为。 (1)该小组同学用游标卡尺测量摆球直径时的示数如图乙所示，示数为____________cm。 (2)该实验中重力加速度的表达式为____________（选用题目中所给字母、、、、表示）。 (3)实验结束后，小组同学发现实验过程中误将悬摆线长度当成了摆长，那么实验测量的重力加速度与真实值相比，____________（填“大于”“小于”或“等于”）。 【答案】(1)1.225 (2) (3)小于 【解析】（1）20分度游标卡尺的精确值为，由图乙可知摆球直径为 （2）摆球第一次通过平衡位置时计数器显示次数计为“0”，并开始计时，至计数器显示次数为“”，所用的总时间为，则单摆的周期为 根据单摆周期公式可得 联立解得 （3）将摆线长度当成摆长后，则有， 可知小于。 84．用如图1所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。 (1)组装单摆时，应该选用__________。（用器材前的字母表示） A．长度为1 m左右的细线 B．长度为30 cm左右的细线 C．直径约为1.8 cm的塑料球 D．直径约为1.8 cm的钢球 (2)如图2所示，用游标卡尺测量摆球直径。摆球直径__________mm。 (3)甲同学测量了6组数据，在坐标纸上描点作图得到了如图3所示的图像，其中表示单摆的周期，表示单摆的摆长，请计算该图线的斜率的大小为__________（保留三位有效数字）；那么当地重力加速度与的函数关系为__________（写表达式） (4)接（3），若甲同学测量摆长时，仅测量了摆线的长度，若他依然采用图像法获取当地的重力加速度，则重力加速度的测量结果会__________（填“偏大”、“偏小”、“不变”）。 (5)乙同学未用图像法处理数据，而是根据单摆的周期公式，计算出了当地的重力加速度大小，发现结果比当地重力加速度的真实值偏小，可能的原因是__________。 A．测量悬线长度作为摆长，没有加上摆球的半径 B．选用摆球的质量偏大 C．把在时间内的次全振动误记为次 D．把在时间内的次全振动误记为次 E．开始摆动时振幅较小 F．开始计时时，过早按下秒表 【答案】(1)AD (2)18.5 (3) 4.00 (4)不变 (5)ADF 【解析】（1）单摆实验要求摆长约1m，减小测量误差；摆球需选用密度大的钢球，减小空气阻力的影响. 故选AD。 （2）这是10分度游标卡尺，精度为：主尺读数为，游标尺第5格与主尺对齐，游标尺读数为，总读数为。 （3）[1][2]由单摆周期公式，变形得 因此图像的斜率 由图3可知，时， 可得，整理得重力加速度 （4）仅测摆线长度未加摆球半径时，，图像斜率不变，重力加速度由斜率计算，因此测量结果不变。 （5）由，偏小说明测量偏小，或测量偏大： A．摆长未加摆球半径，偏小，偏小，故A正确； B．摆球质量不影响测量结果，故B错误； C．次误记为次，偏小，偏大，故C错误； D．次误记为次，偏大，偏小，故D正确； E．小振幅不影响单摆周期，不影响结果，故E错误； F．过早按下秒表，测量时间大，大，小，故F正确。 故选ADF。 【点睛】 85．某同学遇到一个还未安装的超大排水管，管内壁光滑且为正圆形.他想通过实验间接测量管道的内径。实验器材有：铁架台、细线、摆球、秒表、刻度尺等。 (1)先在实验室测量当地的重力加速度g。 ①如图1所示，将细线的一端连接摆球，另一端固定在铁架台上的O点，然后将摆球拉离平衡位置，释放摆球，让其摆动，并用秒表记录时间。下列做法有助于减小实验误差的有( ) A、摆球选择半径较小、密度较大的                B、使摆角大一些，方便观察 C、让摆球尽量在同一竖直面内摆动                D、在摆球摆至最高点时开始计时 ②测得摆线长度为l条件下，摆球摆动30个完整周期的时间t，计算出单摆周期T。改变摆线长度重复实验，记录相关数据，在坐标纸上作出的图线为一条直线，如图2所示，可求得当地的重力加速度大小为______（取9.86，结果保留3位有效数字）。 ③本实验没有测量摆球直径，对测量结果______（选填“有”或“无”）影响。 (2)再测量排水管道的内径。排水管道水平放置，截面为圆形，内壁较光滑。先让小钢球停在管底，标记管底位置。再让小钢球从一个较小高度释放，开始滚动，小钢球第1次通过管底开始计时，小球第n次通过该点停止计时，记录的时间为t，可算出管道内径（直径）为______（用符号t、n、g表示）。 【答案】(1) AC/CA （9.50到9.80均可） 无 (2) 【解析】（1）[1] A．摆球选半径小、密度大的，可减小空气阻力的影响，故A正确； B．单摆测重力加速度的实验中，单摆只有摆角小于时才近似做简谐运动，摆角过大会偏离简谐运动，增大误差，故B错误； C．摆球需在同一竖直面内摆动，若变成圆锥摆会导致周期测量错误，故C正确； D．应在摆球经过最低点（速度最大，位置易判断）时计时，最高点速度小，计时误差大，故D错误。 故选AC。 [2]设小球半径为，根据单摆周期公式 整理得 因此图线的斜率 可得 [3]根据上述推导可知重力加速度只由图线的斜率决定，摆球半径只影响图线截距，不影响斜率，因此不测量摆球直径对结果无影响。 （2）小钢球在管道内做小角度摆动，等效为单摆，设管道内径为D，忽略钢球半径，等效摆长为 由题意得摆动周期 代入单摆周期公式 整理得 86．某同学在用单摆测量重力加速度的实验中，利用智能手机和一个磁性小球进行了如下实验。 （1）将摆线上端固定在铁架台上，下端系在小球上，做成如图甲所示的单摆。 （2）用刻度尺测量悬线的长度，用游标卡尺测得磁性小球的直径，算出摆长l。 （3）将智能手机置于磁性小球平衡位置正下方，打开智能手机的磁传感器软件，测量磁感应强度的变化情况。 （4）将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录磁感应强度的变化曲线如图乙所示。试回答下列问题： ①由图乙可知，单摆的周期为___________。 ②改变摆线长度，重复实验操作，得到多组数据，画出对应的图像如图丙所示。已知该图像的斜率为k，则重力加速度g的表达式为g=__________ 。（用字母表示） ③图丙中图像不过原点的原因以及对g的测量结果的影响下列说法正确的是( ) A．计算摆长时未加上磁性小球半径，对g的测量结果无影响 B．计算摆长时未加上磁性小球半径，对g的测量结果有影响 C．用摆线长加上磁性小球直径作为摆长，对g的测量结果无影响 D．用摆线长加上磁性小球直径作为摆长，对g的测量结果有影响 【答案】2t0 A 【解析】[1]磁性小球经过最低点时测得的磁感应强度B最大，根据题图可得 所以周期为 [2]摆长等于摆线长与小球半径之和，则有 根据单摆周期公式可得 所以 所以 则 [3]根据上述分析可知，图像不过原点的原因是没有考虑磁性小球的半径，而重力加速度求解的依据是T2-l图像的斜率，实验中，虽然没有考虑磁性小球的半径，但对该图像的斜率没有影响，即对g的测量结果无影响。 故选A。 87．某学习小组设计了如图甲所示的实验装置，利用单摆测量当地的重力加速度。 (1)关于单摆装置的选择，下列最合理的是_________。 A． B． C． D． (2)测量摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长度（从悬点到摆球最上端）为L，再用游标卡尺测量摆球直径d，其读数如图乙所示，则d=_________cm。 (3)多次改变摆线长度，在小摆角条件下测得不同摆长l对应的小球摆动周期T，作出l-T2图像如图丙。根据图线斜率可计算重力加速度g=_________m/s2（保留3位有效数字，π2取9.87）。 (4)若误将摆线长度当作摆长，仍采用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将_________（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。 【答案】(1)C (2)2.150 (3)9.87 (4)不变 【解析】（1）为防止摆球摇摆及实验过程摆长变化，应该用夹子固定摆线悬点；为了减小实验误差，摆线应选细一些、长度适当、伸缩性小的细线，弹性棉绳会造成摆长变化，故选C。 （2）游标卡尺的读数为主尺读数与游标读数之和，所以 所以答案是2.150 （3）根据单摆的周期公式 可得 结合图像斜率可知 解得 （4）将摆线长度L误认为摆长l，则有 整理得 仍用上述图像法处理数据，图线斜率不变，故得到的重力加速度值不变。 88．某次实验课中，同学们用单摆测量当地的重力加速度，实验装置如图1所示。 (1)实验中，甲同学用20分度的游标卡尺测量金属球直径，结果如图2所示，读出小球的直径为_______； (2)实验中，乙同学测量5种不同摆长与对应的单摆振动周期，并将记录的结果描绘在如图3所示的坐标系中，图中各坐标点分别对应实验中5种不同摆长的情况。由图像可知重力加速度_______（用含的结果表示即可）； (3)实验中，有三位同学作出图线分别如图4中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的值最接近当地重力加速度的值。则相对于图线a和c，下列分析正确的是______（填选项前的字母） A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长 B．出现图线c的原因可能是每次测量时均误将49次全振动记为50次 C．图线c对应的值小于图线b对应的值 【答案】(1)2.240 (2) (3)AB 【解析】（1）游标卡尺读数等于主尺读数加游标读数。 由题图，主尺读数 游标为分度，游标精度，游标第8格对齐，游标读数为 游标卡尺读数即为小球直径，故 （2）由单摆周期公式，变形可得 故图线斜率 由题图，图线斜率可由坐标点求出 由 解得 （3）A．若误将悬点到小球上端的距离，即摆线长记为摆长，则真实摆长 则 因此图线出现纵截距，且为正，与图线a的特征一致，故A正确； B．每次测量时误将49次全振动记为50次，测得周期偏小，偏小，同一摆长下测量值偏小，导致图线斜率偏小，但仍过原点，与图线c的特征一致，故B正确； C．图线c斜率小于b，由可知，斜率越小越大，故图线c对应的值大于b，故C错误。 故选AB。 89．某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。回答下列问题： (1)关于该实验的要求，下列选项正确的是___________（双选）。 A．小球应选择质量较大，体积较小的小钢球 B．小球的摆角可以较大，方便观察 C．摆绳可以使用具有伸缩性的弹性绳 D．应从小球经过最低点时开始计时 (2)小球从最高点向最低点摆动过程中，其回复力___________（填“增大”或“减小”）。 (3)改变摆线长度，重复实验，记录下多组周期T对应的摆线长L，作出的图像应为图乙中的___________（填“a”“b”或“c”）。若图像的斜率为k，则当地的重力加速度测量值为___________。 【答案】(1)AD (2)减小 (3) a 【解析】（1）A．为减小空气阻力的影响，应选择质量大、体积小的小钢球，故A正确； B．单摆只有摆角小于5°时才近似为简谐运动，摆角过大不符合实验要求，故B错误； C．弹性绳会发生伸缩，导致摆长不稳定，因此不能用弹性绳做摆绳，故C错误； D．小球经过最低点时速度最大，计时误差更小，因此应从最低点开始计时，故D正确。 故选AD。 （2）单摆的回复力是重力沿运动切线方向的分力，大小为 小球从最高点向最低点摆动过程中，摆角逐渐减小，因此回复力减小。 （3）[1][2]设摆球的半径为，根据单摆周期公式可得 整理可得 可知的图像具有正的纵轴截距，所以作出的图像应为图乙中的a； 若图像的斜率为k，则有 解得当地的重力加速度为 90．某同学利用图1所示装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。 (1)关于本实验，下列说法不正确的是________。 A．需要用天平测量小钢球的质量 B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度 C．应无初速度、小摆角释放小钢球 D．应保证小钢球在同一竖直平面内摆动 (2)组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度l，用螺旋测微器测量小钢球直径d。螺旋测微器示数如图2所示，小钢球直径d=________mm，记摆长。 (3)多次改变摆线长度l并测得不同摆长对应小钢球的摆动周期T，并作出图像，如图3所示。根据图线斜率可计算重力加速度g=________（保留3位有效数字，取9.87）。 (4)该同学发现上述处理数据时将摆线长度误认为摆长，他修正后，作出图像，得到的重力加速度值与原来相比（不考虑偶然误差）________（选填“变大”“变小”或“不变”）。 (5)如果物体所受的力具有的形式，物体就做简谐运动。设摆球的质量为m，摆长为L，重力加速度为g，单摆做简谐运动时，其k值为________。 【答案】(1)A (2)20.034/20.035/20.036 (3)9.87 (4)不变 (5) 【解析】（1）A．实验原理为与质量无关，因此不需要测量小钢球的质量，故A错误； B．测量摆线长度时，要保证绳子处于伸直状态，故B正确； CD．应无初速度、小摆角释放小钢球目的是保证摆球在竖直平面内运动，不形成圆锥摆，且单摆只有在摆角很小的情况下才可视为简谐运动，故CD正确。 本题选不正确的，故选A。 （2），故均正确。 （3）由得，则图像斜率 由图像得 解得 （4）仍用上述图像处理数据，图线斜率不变，仍为，故得到的重力加速度值不变。 （5）设单摆小角度摆动，偏离平衡位置的弧位移为x，摆角很小，则有 回复力为重力切向分力： 即 题型 单摆周期的计算 由T = 2π√(L/g)分析：周期只与摆长和重力加速度有关。摆长变为n倍则周期变为 √n倍；在不同星球上g不同，周期随g增大而减小。注意等效摆长与等效重力加速度。 活学活用 1.如图所示，细线上端固定于O点，下端系质量为m的小球构成单摆。小球在竖直平面内做小角度摆动（θm<5°）时动能Ek随时间t的变化关系如图所示，图中坐标为已知量，重力加速度为g，求： (1)单摆的摆长L； (2)小球最大向心加速度am。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由图像可知，时小球位于最大位移处，时小球第一次通过平衡位置，因此单摆周期 根据单摆周期公式 解得 （2）小球通过平衡位置时动能最大，速度也最大，由 整理得 此时向心加速度最大，由 2.某同学用单摆测定重力加速度，实验时发现测得的重力加速度偏大，其原因可能是（     ） A．摆球质量过大 B．摆线长度测量值偏小 C．摆角偏大 D．计时开始时，秒表按下滞后 【答案】D 【解析】A．单摆在摆角较小时，周期与摆长、重力加速度的关系为 由此可得重力加速度的测量值为 在忽略空气阻力的情况下，单摆周期与摆球质量无关，摆球质量过大不会使重力加速度的测量值偏大，故A错误； B．摆线长度测量值偏小，会使摆长的测量值偏小，由可知，测得的重力加速度偏小，故B错误； C．摆角偏大时，单摆的实际周期比小角度条件下的理论周期大，由可知，测得的重力加速度偏小，故C错误； D．计时开始时秒表按下滞后，会使测得的总时间偏小，从而使周期的测量值偏小，由可知，测得的重力加速度偏大，故D正确。 故选D。 活学活用 题型 用单摆测重力加速度 原理g = 4π²L/T²。要点：摆长L = 摆线长 + 球半径；测n次全振动总时间t求T = t/n；用T²-L图像法处理数据，斜率k = 4π²/g，则g = 4π²/k。 活学活用 1.某实验小组利用两根等长的轻细线将小物块P悬挂在铁架台的水平横杆上，制成一个双线摆，如图所示。 （1）已知悬线长度为L，两悬点间距为d，则双线摆的等效摆线长度L1=___________（用L、d表示）；用双线摆代替单线摆测重力加速度的优点之一是_________________________________。 （2）P在垂直横杆的竖直面内做小角度摆动，改变悬线长度L，结合小物块P的高度计算出摆长L0，用秒表测量对应的周期T，获得多组数据。 （3）为了直观地验证T与摆长L0的关系并求重力加速度，应以T2为纵轴、L0为横轴作出T2-L0图像，求出图线的斜率为k，则当地重力加速度的表达式为g=___________。 （4）另一同学在实验后发现铁架台上方为空调出风口，即实验装置一直受到向下的风力作用，只考虑该风力的影响，测得的重力加速度值与实际值相比___________（选填“偏大”“偏小”或“相等”）。 【答案】 可以比较稳定地控制摆球在同一竖直面内摆动（答案合理即可） 偏大 【解析】[1]等效单摆的摆长是等效摆动悬点O到小物块的距离，如图所示，摆长为O点到小物块的距离L1 （小物块可看做质点，大小不计） 由勾股定理可得图中虚线长度为  故摆长为 [2]普通单摆摆动时容易偏出竖直平面，形成圆锥摆带来误差，双线摆可以约束摆球，保证摆球始终在要求的竖直平面内摆动，避免圆锥摆误差，摆动更稳定。因此该双线摆的一个优点：可以比较稳定地控制摆球在同一竖直面内摆动（答案合理即可）。 [3]根据单摆周期公式 可得，图像的斜率 则有 [4]利用等效重力加速度法：受到恒定向下的风力作用相当于小物块受到的重力变大，即重力加速度变大。测得的重力加速度为等效重力加速度，实际加速度为当地重力加速度。故测量值偏大。 【点睛】 58．用单摆测定当地的重力加速度，实验装置如图甲所示： (1)下列说法正确的是________。 A．细线应选用轻且不易伸长的 B．摆球要选择质量大些、体积小些的 C．测量单摆周期时，应在小球摆到最高点时开始计时 D．摆球摆动过程中，若悬点处的夹子出现松动，不影响测量结果 (2)第一组同学已知悬线长为，摆球直径为，在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且计数为1，到第次经过最低点所用的时间为。则当地的重力加速度大小的测量值________（用，，，表示） (3)第二组同学经改变摆线长度，测量得到多组摆长和对应的周期，画出图像如图乙所示，并测得此图像的斜率为，则当地重力加速度的表达式为________。图像不过坐标原点的原因可能是________。 (4)第三小组同学由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，如图丙所示，由此测得的重力加速度________当地重力加速度（填“大于”、“小于”或“等于”）。 【答案】(1)AB (2) (3) 测量摆长时误将悬线长和摆球直径之和作为摆长或摆长测量值偏大 (4)大于 【解析】（1）A．细线应选用轻且不易伸长的，以减小线的质量和形变对摆长的影响，故A正确； B．摆球选质量大、体积小的，可减小空气阻力，且能看作质点，故B正确； C．测量周期应在摆球经过平衡位置（最低点）时开始计时，此处速度最大，计时误差小；在最高点计时误差大，故C错误； D．悬点夹子松动会导致摆长变化，影响测量结果，故D错误。 故选AB。 （2）计时从最低点开始，一个周期内经过2次最低点，即每半个周期经过最低点一次。从第1次到第次经过，共经历了个半周期，即 因此周期，又摆长，由单摆周期公式 解得 （3）[1]由单摆周期公式 变形可得 因此图像理论上是过原点的直线，斜率 故 [2]若测量摆长时误将悬线长和摆球直径之和作为摆长，则摆长测量值偏大，实际摆长应为 则原式变为 此时图像不过原点，横轴截距为正，即时，，与图乙相符。 因此，导致图像不过原点的原因测量摆长时误将悬线长和摆球直径之和作为摆长或其他原因导致摆长测量值偏大。 （4）由图丙，摆球在水平面内做圆周运动（圆锥摆），设摆线与竖直方向夹角为，则向心力由重力和拉力合力提供，水平方向，；竖直方向 解得 因此圆锥摆周期 与单摆周期相比，因，圆锥摆周期偏小。若仍按单摆处理，由计算，偏小会导致测量值偏大。 59．某小组用单摆测定当地重力加速度。实验装置设计如图所示：摆线上端固定于O点，下端悬挂一个质量分布均匀的小球，光电门传感器固定在O点正下方。 (1)该小组组装单摆时，设计了4种方案，其中最合理的装置是______。 A． B． C． D． (2)正确悬挂后，下列有关实验说法正确的是______（多选）。 A．测出线长作为单摆的摆长 B．多次改变摆长后重复实验，可减小实验的偶然误差 C．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动 D．如用秒表代替光电门计时，则需在摆球到达最高点时开始计时以方便观察 (3)启动光电门传感器，得到光照强度随时间变化的图像如图所示。结合摆长和周期公式可进一步得到当地重力加速度。假如某次自然悬挂时，光电门的光线实际对准小球球心偏下的位置，其他操作均正确，则重力加速度的测量值将______（选填“偏大”、“偏小”或“无影响”）。 【答案】(1)D (2)BC (3)无影响 【解析】（1）AC．为了确保摆长不变，实验中应选择形变小的细丝线，不能够选择弹性棉线，故AC错误； BD．为了减小空气阻力的影响，实验中应选择质量大体积小的铁球，不能够选择塑料球，故B错误，D正确。 故选D。 （2）A．实验中，应测出线长与摆球的直径，以线长与摆球的半径之和作为单摆的摆长，故A错误； B．实验中，多次改变摆长后重复实验，可减小实验的偶然误差，故B正确； C．为了使得摆球近似做简谐运动，实验中应把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，摆角，故C正确； D．用秒表代替光电门计时，为了减小计时误差，需在摆球到达最低点时开始计时以方便观察，故D错误。 故选BC。 （3）光电门的光线实际对准小球球心偏下的位置，光电门挡光时间减小，根据图示有 解得 可知，单摆的周期大小与光电门的挡光时间无关，即与光电门对准小球的位置无关，只要测量的是半个周期的时间，周期测量值不变，由于摆长测量正确，故重力加速度测量值无影响。 2.摆球质量为m的单摆悬挂在O点如图所示，其振动图像如图甲所示，今将此单摆移至某一行星上，其简谐运动图像如图乙所示．求：（g取，取） (1)求单摆摆动任一角度时的回复力大小P； (2)此单摆的摆长； (3)该行星表面的重力加速度为地球表面重力加速度的多少倍。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）摆球偏离平衡位置的角度为时，重力沿圆弧切线方向的分力指向平衡位置，该分力即回复力，因此回复力大小为 （2）由图甲可知，摆球从正向最大位移运动至负向最大位移所用时间为，该时间等于半个周期，因此单摆在地球上的周期为，根据单摆周期公式有 解得 （3）由图乙可知，摆球从平衡位置沿正方向运动，经过再次以相同方向通过平衡位置，因此单摆在该行星表面的周期为，设该行星表面的重力加速度为，同一单摆的摆长不变，根据单摆周期公式分别有， 联立解得 基础通关 1.小明学习“用单摆测量重力加速度”实验后，利用图甲装置做了该实验。 (1)在安装装置时，摆线上端有三种系挂方式，下列方式哪种是正确的______________。 A． B． C． (2)测量摆长时，先用游标卡尺测得摆球的直径d，读数如乙图所示，则______________，再让毫米刻度尺零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图丙所示，测得从悬点到摆球的最下端的距离，则______________m，摆长的表达式为______________（用符号、d表示）。测量周期数据时，可以在摆球经过最低点时从1开始计数，记下摆球第N次经过最低点所用的时间t，则单摆周期______________ (3)假如把该装置搬到月球上进行实验，改变单摆的摆长L，多次测量单摆在不同摆长下所对应的周期T，并描绘出图像如图丁所示，则可得知月球重力加速度大小为______________。（保留3位有效数字） 【答案】(1)C (2) (3) 【解析】（1）单摆要求摆动过程中悬点固定、摆长不能随摆动发生变化。A、B的系法会让摆线在摆动时松动、滑动，改变摆长；C用夹子夹紧摆线上端，能保证悬点固定。 故选C。 （2）[1]由图乙可知，游标卡尺为10分度，精度0.1mm，则 [2]毫米刻度尺精度为1mm，因此 [3]摆长是悬点到摆球球心的距离，悬点到摆球最下端的距离为，摆球半径为，因此摆长 [4]从第1次经过最低点开始计数，第次经过最低点时，摆球完成的全振动次数为，总时间为，因此周期 （3）由单摆周期公式 变形可得 因此图像的斜率 从图像可知，当时， 代入可得 解得 38．某同学在实验室研究“单摆测量重力加速度”的实验中 (1)下列四张图片是四次操作中摆角最大的情景，其中装置最合理的是______； A． B． C． D． (2)该同学用10分度的游标卡尺测小球的直径，读数前应锁定图1中的部件________（选填“A”、“B”或“C”），游标卡尺读数部分放大图如图2所示，摆球的直径d为________mm； (3)该同学又多次改变摆长L，测量6组对应的单摆周期T，相关测量数据如表所示，该同学在图3中已标出第1、2、3、4次实验数据对应的坐标，请你在图3中用符号“•”标出与第5次和第6次实验数据对应的坐标点，并画出关系图线________； (4)若绘制关系图线的斜率为k，计算得到当地的重力加速度________（用k及相关字符表示）； (5)小明同学作出的图线如图4，图线未经过原点，经检查发现，所用小球的重心偏离了其几何中心一定距离，其它操作均无误，小明认为必须更换小球重新实验才行，你是否同意他的观点？________（选填“同意”或“不同意”），并简要说明理由：________。 【答案】(1)C (2) A 25.7 (3) (4) (5) 不同意 小球重心偏离几何中心只改变图线的纵截距，不改变图线斜率，仍可由斜率测得重力加速度 【解析】（1）AB．单摆在摆角很小时才可近似看作简谐运动，两图中摆角均过大，不满足实验条件，故AB错误。 C．小球选用密度较大的钢球可减小空气阻力的相对影响，摆角较小，且装置位置使小球摆动不受桌面阻碍，故C正确； D．塑料球密度较小，空气阻力的相对影响较大，故D错误。 故选C。 （2）[1]读数前应旋紧固定螺钉，防止游标卡尺在读数过程中滑动。 [2]10分度游标卡尺的分度值为，主尺读数为，游标尺第7条刻线与主尺刻线对齐，由游标卡尺的读数规则得 （3）在图中补画数据点和，其中点偏离其他数据点的变化趋势较大，应舍去，再作一条过原点且使其余数据点尽量均匀分布在直线两侧的直线。 （4）在摆角很小时，由单摆周期公式得 两边平方得 因此图线斜率 解得 （5）[1]小球重心偏离几何中心不影响由图线斜率求得的重力加速度，不必更换小球重新实验，故不同意。 [2]设实际摆长与按几何中心测得的摆长之差为，在小角度摆动条件下，由单摆周期公式得 两边平方得 图线斜率仍为，只改变纵截距，故仍可由斜率测得重力加速度。 39．某同学用单摆测定重力加速度，测得摆线长为l0，摆球直径为d，完成n次全振动所用时间为t。 (1)摆长L=______； (2)重力加速度g=______（用题中所给字母表示）； (3)若测量值g偏大，可能的原因是______（填字母）。 A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．开始计时时，秒表过早按下 C．摆线上端未牢固系于悬点，振动中出现松动 D．测n次全振动时间时，误将n+1次全振动计为n次 【答案】(1) (2) (3)A 【解析】（1）摆长 （2）周期为 根据 可得 （3）根据 A．测摆线长时摆线拉得过紧，则L偏大，g偏大，A正确； B．开始计时时，秒表过早按下，则T偏大，g偏小，B错误； C．摆线上端未牢固系于悬点，振动中出现松动，则摆长L变大，而计算时仍用原来的值计算，则g偏小，C错误； D．测n次全振动时间时，误将n+1次全振动计为n次，则T偏大，g偏小，D错误。 故选A。 2.某小组利用如图甲所示的实验装置，测量当地的重力加速度。长度为L的细线将一金属小球悬挂于O点，悬点O处有一个拉力传感器，能测出细线的拉力大小。将小球由平衡位置拉开一个较小角度，然后由静止释放小球，根据拉力传感器的数据描绘出细线拉力F随时间t变化的图像，如图乙所示。 (1)根据图乙可知，单摆的周期T=___________s； (2)改变摆线的长度，测出多组细线的长度L和对应的振动周期T，作出图像如图丙所示，已知=3.14，由图丙可知，当地的重力加速度大小g___________m/s2（结果保留3位有效数字）。 (3)若给金属小球带正电，在O点处也放置一带正电的小球，使二者间有库仑力作用，再次完成该实验，则单摆周期相比之前___________（选填“变大”“变小”或“不变”），其原因是___________。 【答案】(1)2 (2)9.86 (3) 不变 库仑力始终沿半径方向，不产生回复力的切向分量，也不改变重力的切向效应。因此单摆的回复力特性不变，周期不变 【解析】（1）由图乙可见，细线拉力相邻两次达到最大值的时刻分别为和。单摆经过最低点时速度最大，细线拉力最大，而单摆在一个周期内两次经过最低点，所以相邻两次拉力最大值的时间间隔为半个周期，有 解得单摆周期为 （2）由单摆周期公式有 整理得 所以图丙中图像的斜率为 依据图丙中可见数据，斜率为 因此当地重力加速度大小为 （3）[1] 在悬点处放置带正电小球，金属小球也带正电，两者间库仑力沿两球连线方向，即沿细线方向，属于径向力，不提供沿摆动切线方向的回复力分量。单摆小角度摆动的回复力仍由重力沿切线方向的分力提供，所以周期不变。 [2] 原因是库仑力始终沿半径方向，不产生回复力的切向分量，也不改变重力沿切线方向的分力，因此单摆的回复力特性不变，周期不变。 3.某同学用图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度的大小”实验，忽略空气阻力的影响。 (1)组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度，用螺旋测微器测量小钢球直径，示数如图乙所示，小钢球直径___________ ，记摆长。 (2)拉开小钢球，使摆线偏离平衡位置的角度不大于，由静止释放小钢球，当其振动稳定时，从经过最低点开始计时，记下次全振动的时间，计算出周期___________ 。 (3)多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，根据测量数据作出如图丙所示的图像，但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量。你认为横坐标所代表的物理量是___________（填“”“”或“”），若图线斜率为，则重力加速度 ___________ 。 【答案】(1)20.125/20.124/20.126 (2) (3) 【解析】（1）螺旋测微器的精确值为，由图乙可知小钢球直径 （2）记下次全振动的时间，则周期为 （3）[1][2]根据单摆周期公式可得 可知横坐标所代表的物理量是； 图像的斜率为 解得重力加速度 4.某同学用单摆测当地的重力加速度。由于实验室提供的刻度尺能测量的最大长度明显小于悬线的长度，因此该同学设计了如图甲所示的装置。悬线（长度一定）穿过薄木板上的小孔，一端悬于点，另一端系着小球，将薄木板水平固定，并保持悬线竖直。 (1)使小球在竖直面内做小角度的摆动，从小球经过最低点时开始计时，并记为1，此后小球依次经过最低点时分别记为2，3，…，记为时，小球运动的总时间为，则小球摆动的周期__________。（用、表示） (2)改变薄木板的高度重复实验，每次测量点到小孔的距离，测得对应每次小球摆动的周期。得到多组数据后，为更直观地得出结论，应绘制以为纵轴、__________（填“”“”或“”）为横轴的图像。 (3)若获得的图像如图乙所示，该图线斜率的绝对值为，则当地的重力加速度大小为__________。（用、表示） 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）从第1次经过最低点开始计时，到第次经过最低点的过程中，小球经过最低点的间隔数为次，每经过一次全振动小球会2次经过最低点， 因此总全振动次数为。已知总计时时长为，可得周期 （2）设悬线的总固定长度为，当点到小孔的距离为，则此时单摆的实际摆长为时，有 整理得 为更直观地得出结论，应绘制以为纵轴、为横轴的图像。 （3）由上述推导的线性关系可知该图像的斜率绝对值 整理得当地的重力加速度大小 34．某同学在学习完单摆的相关知识后，想要在家利用手边的物品测量本地的重力加速度，用不规则的钥匙扣代替小球做成简单单摆装置，手机上的计时功能代替秒表，实验过程如下： （1）拉开较小角度后将钥匙扣由静止释放，并在钥匙扣第1次通过最低点按下计时“开始”按钮，第次通过最低点停止计时，记录手机上的时间为，则单摆的周期为___________； （2）用家中软尺测得悬挂点到钥匙扣连接处的长度为； （3）若该同学多次改变细线长度得到多组数据，描点作出得到图像，得到的图像可能是___________； （4）若该同学改变细线长度后只做两次实验，得到两组长度和周期的数据：、、 、，利用数据测得重力加速度为___________； （5）钥匙扣的形状不规则，对上述实验测得的重力加速度___________（填“有”或者“无”）影响。 【答案】 B 无 【解析】（1）[1]钥匙扣第1次通过最低点按下计时“开始”按钮，第N次通过最低点停止计时，记录手机上的时间为，则单摆的周期为。 （3）[2]设摆线末端与钥匙扣重心间的距离为r，根据单摆周期公式有 可得 故选B。 （4）[3]由 ，可得， 解得 （5）[4]由（3）（4）数据处理分析可知，钥匙扣的形状不规则虽导致重心位置无法测量，但对重力加速度的测量无影响。 5.开开同学在学习了用单摆测重力加速度实验后，利用如图1所示的装置测量当地的重力加速度。除了如图1中的实验器材，实验室还提供了10分度的游标卡尺、米尺和秒表。 (1)组装实验器材前，开开同学用游标卡尺测量了摆球的直径，其读数如图2所示，则摆球的直径________cm。 (2)实验时，开开同学测得摆线的长度为55.37 cm，并测量了摆球做50次全振动的时间t，该时间t如图3所示，则单摆的周期________s。由此可知，当地的重力加速度大小g=________（取9.86，结果保留三位有效数字）。 (3)开开同学更换不同的小钢球测出对应的直径d，重新进行实验，根据实验记录的数据，绘制如图所示的图像。已知该图线的斜率为k，纵轴截距为b，则摆线的长度________（用b、k表示）。 (4)开开同学在进行实验操作时，发现秒表走时偏快，则通过计算得出的重力加速度与真实的重力加速度相比，________（选填“<”“>”或“=”）。 【答案】(1)1.76 (2) 1.50 9.86 (3) (4)< 【解析】（1）游标卡尺主尺读数为，游标卡尺第6条刻度线与主尺刻度线重合，游标卡尺的分度值为，因此摆球直径为 （2）[1]由图3可读出摆球50次全振动的时间为 单摆的周期为 [2]摆球的等效摆长为 单摆周期公式为 解得 代入数据得 （3）由单摆周期公式可得 整理得 图像斜率为，纵轴截距为 解得 （4）秒表走时偏快时，测得的周期大于真实周期，由可知，计算得到的重力加速度偏小，因此 63．图甲为某兴趣小组设计的实验装置，在单摆悬点处安装力传感器，可采集摆线的拉力；在小球的平衡位置正下方处安装光电门，可采集小球底部的轻质遮光片遮住光的时间。利用本装置可以完成测量当地重力加速度大小、验证机械能守恒定律等实验。 (1)小江同学用该装置测量当地重力加速度大小，他用游标卡尺测量小球直径，如图乙所示，则______________；用螺旋测微器测量遮光片的宽度，如图（10）丙所示，则___________。 (2)小明同学用该装置验证机械能守恒定律，实验步骤如下： ①用刻度尺测量绳长； ②将小球拉至与竖直方向成较大角度，并由静止释放； ③记录小球经过平衡位置时遮光片的遮光时间为。则此时遮光片的速度大小为并将此速度视为小球经过平衡位置时的速度； ④改变，重复②和③。 根据所测数据，小球由静止运动到平衡位置的过程中，在误差允许的范围内，若满足______________的关系式（用“”“”“”“”表示），则小球在上述过程中机械能守恒。 根据多次测量结果发现：小球由静止运动到平衡位置的过程中，重力势能减少量总是小于动能增加量，可能的原因是_____________________________________________________________。（写出一条即可） 【答案】(1) 20.6 1.200 (2) 遮光片宽度 的测量值偏大 【解析】（1）[1]游标卡尺主尺读数为，游标卡尺第6条刻度线与主尺刻度线对齐，游标卡尺的分度值为，因此小球直径为 [2]螺旋测微器固定刻度读数为，可动刻度第20.0条刻度线与基准线对齐，因此遮光片宽度为 （2）[1]小球球心到悬点的距离为 小球由偏角为的位置运动到最低点时，球心下降的高度为 小球重力势能的减少量为 小球动能的增加量为 若机械能守恒，则有 约去质量，解得 [2]光电门测得的速度为 若遮光片宽度的测量值偏大，则计算得到的速度偏大，进而使动能增加量偏大，因此会出现重力势能减少量总是小于动能增加量的现象。 64．某小组用单摆测量当地重力加速度。 (1)关于单摆装置，下列最合理的是________； A． B． C． D． (2)用游标卡尺测量摆球直径d的结果如图甲所示，则摆球直径d=________cm； (3)实验时，该小组同学测量了摆球做n=50次全振动的时间t，该时间如图乙所示，则单摆的周期T=________s（结果保留两位有效数字）； (4)若摆线的长度用L表示，则当地的重力加速度g的表达式为________（用字母d、L、n、t表示）。 【答案】(1)C (2)1.240 (3)2.0 (4) 【解析】（1）A．单摆实验要求摆线不可伸长、悬点固定、摆球为密度大的小实心球，摆线缠绕在固定杆上，摆动时悬点会移动，摆长发生变化，故A不合理； BD．使用弹性棉绳，摆动过程中摆长会随拉力变化，故BD不合理； C．铁夹固定悬点，摆线为不可伸长的细丝线，摆球为小铁球，符合要求，故C合理。 故选C。 （2）游标尺0刻度对齐主尺后，主尺读数为 游标尺第8根刻度线与主尺对齐，游标尺读数为 总读数 （3）指针在~之间，内圈读数为 外圈读数为 总时间 周期 （4）单摆摆长为摆线长加摆球半径 周期 由单摆周期公式 整理得重力加速度 【点睛】 素养提升 6.(多选)如图所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，轻质摆绳一端固定在斜面上O点，另一端系一质量为m的小球，构成摆长为L的单摆。现将小球拉至偏离平衡位置摆角为α（）处由静止释放，小球将在斜面上做简谐运动，运动过程中摆绳始终平行于斜面。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．该单摆振动的周期 B．小球运动至平衡位置时，摆绳拉力大小 C．小球在最大偏角位置时，回复力大小 D．其他条件不变，若把斜面倾角θ缓慢增大至，则该单摆的周期会变大 【答案】BC 【解析】A．小球在斜面上的等效重力加速度为，单摆周期，故A错误； B．设小球运动至平衡位置时速度为。由机械能守恒（以平衡位置为零势能面） 在平衡位置，由牛顿第二定律（沿绳方向） 代入 得，故B正确； C．小球在最大偏角位置时，重力沿斜面向下的分力为，其垂直于摆绳方向的分量提供回复力，故C正确； D．周期，当增大至时，增大，周期减小，故D错误。 故选BC。 7.(多选)如图所示，单摆摆球的质量为m，做简谐运动的周期为T，摆球从最大位移A处由静止释放，运动到最低点B时的速度大小为v，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列正确的是（     ） A．摆球从A运动到B的过程中，重力做的功为 B．摆球运动到B时重力的瞬时功率为0 C．摆球从A运动到B的过程中拉力的冲量不为零 D．摆球从A运动到B的过程中拉力的冲量大小为 【答案】ABCD 【解析】A．摆球从A运动到B的过程中，只有重力做功，则由动能定理可知，重力做的功为，故A正确； B．摆球运动到B时重力与速度方向垂直，可知重力的瞬时功率为零，故B正确； CD．由动量定理可知，合外力的冲量等于物体动量的改变量。所以摆球从A运动到B的过程中合力的冲量为，方向水平向右；而重力的冲量 由矢量合成可知，摆球从A运动到B的过程中，轻绳拉力的冲量大小为，故CD正确。 故选ABCD。 8.图（a）是某兴趣小组基于手机磁力传感器，利用Phyphox应用软件完成单摆测量重力加速度的示意图，手机中的磁力传感器能够实时测量并记录外部磁场的磁感应强度大小。在磁性小球摆动过程中，当磁性小球摆动到最右端时，记录的磁感应强度最大。实验时，通过磁力传感器记录磁感应强度发生的周期性变化，间接测得小球运动的周期。部分实验操作如下： (1)用游标卡尺测量小球直径，结果如图（b）所示， 则小球的直径为__________mm。 (2)保证细线与竖直方向的夹角小于5°并释放小球，打开Phyphox应用软件采集数据，图（c）为实验过程中磁感应强度随时间发生周期性变化的图像。则小球运动的周期为__________（用、表示）。 (3)某次实验中，由于操作不当，导致小球不在同一竖直面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，测量周期后，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则重力加速度的测量值__________实际值（填“小于”、“大于”或“等于”）。 (4)此小组又改进了实验装置，决定采用杆线摆测量重力加速度。如图（d）所示，杆线摆可以绕着悬挂轴来回摆动，直径为的摆球其运动轨迹被约束在一个倾斜平面内，这相当于单摆在斜面上来回摆动。如图（e）所示，在铁架台上装一根铅垂线，在铁架台的立柱跟铅垂线平行的情况下把杆线摆装在立柱上，调节细线的长度，使摆杆与立柱垂直，保持摆杆长度不变。如图（f）所示，把铁架台底座一侧垫高，立柱倾斜，测出静止时摆杆与铅垂线的夹角为，并测量该倾角下单摆的周期。改变铁架台的倾斜程度，测出多组夹角和单摆周期，若作出的图像是一条过原点的直线，其斜率为，则可以求得重力加速度为__________（结果用、、表示）。 【答案】(1)22.50 (2) (3)大于 (4) 【解析】（1）[1] 游标卡尺的游标为20分度，分度值为，游标零刻度线左侧的主尺读数为，游标尺第10条刻度线与主尺刻度线对齐，故小球直径为 （2）[2] 磁感应强度最大时小球位于最右端，从到包含10个完整运动周期，故小球运动周期 （3）[3] 设细线长为，小球做水平圆周运动时细线与竖直方向的夹角为，细线拉力大小为，实际重力加速度为，小球做圆周运动的半径为 沿竖直方向和水平方向分别列式，有 由关系式 联立得 若仍按单摆周期公式计算，则 故测量值大于实际值。 （4）[4] 摆球球心到悬挂轴的距离为，重力加速度在摆动平面内的有效值为 根据单摆周期公式有 以为纵坐标、为横坐标，图像斜率 整理得 9.如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上与O相距为l的两点上，使三角形AOB成直角三角形，，已知OC线长为l，下端C点系着一个小球。下列说法正确的是（以下振动皆指小角度摆动）（　　） A．让小球在纸面内振动，周期 B．让小球垂直于纸面振动，周期 C．让小球在纸面内振动，周期 D．让小球垂直于纸面振动，周期 【答案】A 【解析】AC．让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期为，故A正确，C错误； BD．让小球垂直于纸面振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为 所以周期为，故BD错误。 故选A。 迁移创新 10.如图所示，单摆摆长为l，摆球质量为m，将摆球拉离平衡位置，此时，摆线与竖直方向的夹角为（很小）。已知重力加速度大小为g。释放摆球后，下列说法正确的是（　　） A．摆球在运动过程中受到重力、拉力的作用 B．摆球经过最低点时，受到的合外力为零 C．摆球连续两次运动到最低点的时间间隔是 D．摆球从释放到第一次运动到最低点的过程中，重力的冲量大小为 【答案】A 【解析】A．小球在运动过程中受到重力和拉力，选项A正确； B．小球在最低点回复力为零，但是向心力不为零，所以合外力不为零，选项B错误； C．小球连续两次到达最低点的时间间隔是，选项C错误； D．小球从释放到第一次运动到最低点所用的时间为，故重力的冲量为，选项D错误。 故选A。 11.如图所示，水平地面上静置一个半径为6.4 m的圆轨道，圆轨道上表面光滑，将一质量为0.1 kg、可视为质点的小球从A由静止释放，一段时间后小球第一次运动到轨道最低点C点，已知该过程圆轨道保持静止，A点与C点间的竖直高度差为0.05 m，重力加速度g取10 m/s2，则小球从A运动到C的这段时间中，圆轨道受到地面的摩擦力的平均值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】小球从到过程中，轨道光滑且静止，机械能守恒，有 整理得，因 小球在最低点附近做小幅圆弧运动，可等效为摆长的小幅摆动，从端点到平衡位置的时间为== 对小球沿水平方向应用动量定理，轨道对小球的水平冲量等于小球水平动量的增加；轨道保持静止，地面对轨道的摩擦力平均值大小等于轨道对小球水平作用力的平均值，故== 故选B。 12.(多选)如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧面上做简谐运动，圆弧轨道对小球的支持力大小随时间变化的曲线如图乙所示，图中时刻小球从点开始运动，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．时刻小球的动能最小 B．该圆弧轨道的半径为 C．小球在A点所受的合力为零 D．小球的质量为 【答案】AB 【解析】A．由图可知，支持力在和时均取最小值，在两时刻之间取最大值，说明小球在时位于左侧最大位移处，经过平衡位置后，在时到达右侧最大位移处，此时小球速度为零，动能为 因此时刻小球的动能最小，故A正确； B．设小球做简谐运动的周期为，圆弧轨道的半径为，根据单摆的周期公式有 小球从运动到所用时间为半个周期，由图可知 联立解得，故B正确； C．设小球在点相对最低点的圆心角为，小球在点速度为零，沿半径方向的加速度为零，因此支持力与重力沿半径方向的分力平衡，有 但重力沿圆弧切线方向的分力为，该分力不为零，因此小球在点所受合力不为零，故C错误； D．小球在点速度为零，由上述分析可知 小球从点运动到最低点，根据机械能守恒定律有 解得 在最低点，根据牛顿第二定律有 联立解得 因此小球质量为 题中所给质量表达式错误，故D错误。 故选AB。 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 机械振动 第三节 单摆 课标要点 1. 知道单摆模型，理解单摆做简谐运动的条件。 2. 掌握单摆的周期公式，会用单摆测量重力加速度。 学习重难点 重点：单摆的回复力F = -(mg/L)x；周期公式T = 2π√(L/g)；用单摆测重力加速度。 难点：回复力的推导与小角度近似；实验中摆长的测量与误差分析。 知识点 单摆模型 1. 如果细线的质量与小球质量相比可以忽略，小球的大小与细线长度相比也可以忽略，这样的装置称为__________。 2. 单摆是一种理想化物理模型，实际摆可近似看作单摆的条件是：摆线质量__________摆球质量，摆球直径__________摆线长度。 3. 通过沙摆实验获得单摆的振动图像，其x-t图像与__________的图像非常相似，由此可初步猜想单摆的摆动是__________。 知识点 单摆的回复力 1. 摆球在重力沿__________的分力作用下在竖直平面内往复运动，该分力即为单摆的__________。 2. 当摆角很小时，回复力大小F = mgsinθ，且sinθ 近似等于__________，回复力可写成F = -mg(x/l) = -kx。 3. 在摆角很小的情况下，单摆的回复力与位移大小成__________，方向始终指向__________，因此单摆的运动可近似看作__________。 4. 摆角 θ 很小且用弧度制表示时，θ 与sinθ 近似相等，对应的弧长与弦长也近似相等，可认为摆球沿__________在平衡位置两侧振动。 特别提醒 (1)单摆是理想模型：细线不可伸长且质量不计，摆球直径远小于摆线长度。 (2)单摆做简谐运动的条件是摆角很小（一般小于 5°），此时才有sinθ ≈ x/L。 (3)回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是合外力——最低点处回复力为零，但合力提供向心力不为零。 随学随练 1.关于简谐运动的单摆，在摆球通过最低点时，下列说法正确的是（　　） A．回复力为零，合外力也为零 B．回复力不为零，但合外力为零 C．回复力不为零，合外力指向悬点 D．回复力为零，合外力提供向心力 2.简谐运动既是最基本也是最简单的一种机械振动。关于简谐运动的表达式、回复力和能量，下列说法正确的是（     ） A．单摆做简谐运动过程中的回复力是单摆受到重力沿圆弧切线方向的分力 B．水平弹簧振子做简谐运动时系统的能量做周期性变化 C．简谐运动位移x的一般函数表达式中，表示频率，表示相位 D．简谐运动的回复力可以是方向不变而大小变化的力，也可以是大小不变而方向改变的力 3.在探究单摆运动的实验中，图甲是用力传感器对单摆小角度（小于5°）振动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的绳子拉力大小与时间F-t图像。下列说法正确的是（     ） A．t=0.1 s时刻摆球运动到最低点 B．单摆振动周期T=0.8 s C．若仅将摆球质量变小，单摆周期不变 D．摆球摆动过程合力方向始终沿绳指向悬挂点 知识点 单摆的周期 1. 伽利略发现单摆的周期与__________无关，这就是摆的__________。 2. 实验表明，单摆的周期与摆球的质量__________，与摆长的二次方根成__________。 3. 惠更斯确定了单摆的周期公式T = 2π√(l/g)，周期与重力加速度的二次方根成__________。 4. 单摆的周期仅由__________和__________决定，称为单摆的固有周期，相应的频率称为__________。 5. 将回复力F = -(mg/l)x与简谐运动回复力公式对比，可得k = __________，代入弹簧振子周期公式也可得到单摆周期公式。 知识点 用单摆测重力加速度 1. 实验原理：由单摆周期公式T = 2π√(l/g)可得重力加速度的表达式为g = __________。 2. 摆长l为悬挂状态下细线长度l0 与小球__________之和，即l = l0 + d/2，需用__________测量小球直径d。 3. 实验时摆角应小于__________，以保证单摆做简谐运动；用停表测量n次全振动的时间t，则周期T = __________。 4. 为减小计时误差，应以摆球经过__________的时刻作为计时起点，并测量多次全振动的总时间。 5. 数据处理可采用图像法，作出T² - l图像，图线的斜率k = __________，由此可求得重力加速度g = 4π²/k。 特别提醒 1. 单摆周期只由摆长L和当地重力加速度g决定，与摆球质量、振幅（小角度下）均无关。 2. 摆长L是悬点到摆球球心的距离 = 摆线长 + 摆球半径，实验中容易漏掉球半径。 随学随练 1.如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（　　） A．t=2s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零 B．甲、乙两摆的周期之比为2∶1 C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1 D．t=4s时，甲、乙两摆球到达最低点且加速度都为零 2.如图甲所示是用沙摆演示简谐运动图像的装置，当沙漏做单摆运动时，沙漏中的细沙均匀流出，漏出的细沙在下方匀速运动的木板上形成一条曲线。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线（图中的虚线），已知P、Q分别是木板1上的两点，忽略沙漏重心的变化，沙摆的摆长保持不变，则下列说法中正确的是（　　 ） A．第一次实验时沙漏的频率较大 B．木板1移动的速度比木板2的速度大 C．从P到Q经过了该沙摆的一半周期 D．位置P处的沙层比Q处的沙层厚一些 3.用单摆测定某地的重力加速度，装置如图甲所示。对单摆小角度（小于5°）振动过程进行测量，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的绳子拉力大小与时间F-t图像。 (1)t时刻小球处于最______（填“低”或“高”）点，由此可得此单摆的振动周期_______； (2)若测出悬点到小球球心的距离（摆长）为L，则当地的重力加速度________。（用L、t和必要的数学常量表示） 题型 单摆模型与回复力 判断是否为单摆：细线质量不计且不可伸长、摆球可视为质点、摆角小于 5°。回复力为重力沿切线方向的分力F = -(mg/L)x，与位移成正比、方向指向平衡位置。 活学活用 1.某实验小组利用图示装置进行“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)图中两种悬挂方式，正确的是__________（填“甲”或“乙”）。 (2)释放摆球，从摆球经过__________开始计时。 (3)某同学根据测量的数据，得到了如图所示的图像，其中表示单摆的周期，表示单摆的摆长。由图像可计算出当地的重力加速度__________（取3.14，计算结果保留三位有效数字）。 (4)某同学在实验中操作不当，使得摆球做圆锥摆运动，则该同学计算出的重力加速度与真实值相比__________（选填“偏大”或“偏小”或“不变”）。 2.某实验小组利用单摆测量当地重力加速度，实验装置如图甲所示，金属摆球质量为，直径为，轻质细线长度为。在摆球摆动的平衡位置处固定一个光电门，光电门与计数器相连，可以记录小球通过光电门的次数，将摆球拉离平衡位置一个较小角度（小于）后由静止释放，使摆球在竖直平面内摆动。实验中，摆球第一次通过平衡位置时计数器显示次数计为“0”，并开始计时，至计数器显示次数为“”，所用的总时间为。 (1)该小组同学用游标卡尺测量摆球直径时的示数如图乙所示，示数为____________cm。 (2)该实验中重力加速度的表达式为____________（选用题目中所给字母、、、、表示）。 (3)实验结束后，小组同学发现实验过程中误将悬摆线长度当成了摆长，那么实验测量的重力加速度与真实值相比，____________（填“大于”“小于”或“等于”）。 题型 单摆周期的计算 由T = 2π√(L/g)分析：周期只与摆长和重力加速度有关。摆长变为n倍则周期变为 √n倍；在不同星球上g不同，周期随g增大而减小。注意等效摆长与等效重力加速度。 活学活用 1.如图所示，细线上端固定于O点，下端系质量为m的小球构成单摆。小球在竖直平面内做小角度摆动（θm<5°）时动能Ek随时间t的变化关系如图所示，图中坐标为已知量，重力加速度为g，求： (1)单摆的摆长L； (2)小球最大向心加速度am。 2.某同学用单摆测定重力加速度，实验时发现测得的重力加速度偏大，其原因可能是（     ） A．摆球质量过大 B．摆线长度测量值偏小 C．摆角偏大 D．计时开始时，秒表按下滞后 活学活用 题型 用单摆测重力加速度 原理g = 4π²L/T²。要点：摆长L = 摆线长 + 球半径；测n次全振动总时间t求T = t/n；用T²-L图像法处理数据，斜率k = 4π²/g，则g = 4π²/k。 活学活用 1.某实验小组利用两根等长的轻细线将小物块P悬挂在铁架台的水平横杆上，制成一个双线摆，如图所示。 （1）已知悬线长度为L，两悬点间距为d，则双线摆的等效摆线长度L1=___________（用L、d表示）；用双线摆代替单线摆测重力加速度的优点之一是_________________________________。 （2）P在垂直横杆的竖直面内做小角度摆动，改变悬线长度L，结合小物块P的高度计算出摆长L0，用秒表测量对应的周期T，获得多组数据。 （3）为了直观地验证T与摆长L0的关系并求重力加速度，应以T2为纵轴、L0为横轴作出T2-L0图像，求出图线的斜率为k，则当地重力加速度的表达式为g=___________。 （4）另一同学在实验后发现铁架台上方为空调出风口，即实验装置一直受到向下的风力作用，只考虑该风力的影响，测得的重力加速度值与实际值相比___________（选填“偏大”“偏小”或“相等”）。 2.摆球质量为m的单摆悬挂在O点如图所示，其振动图像如图甲所示，今将此单摆移至某一行星上，其简谐运动图像如图乙所示．求：（g取，取） (1)求单摆摆动任一角度时的回复力大小P； (2)此单摆的摆长； (3)该行星表面的重力加速度为地球表面重力加速度的多少倍。 基础通关 1.小明学习“用单摆测量重力加速度”实验后，利用图甲装置做了该实验。 (1)在安装装置时，摆线上端有三种系挂方式，下列方式哪种是正确的______________。 A． B． C． (2)测量摆长时，先用游标卡尺测得摆球的直径d，读数如乙图所示，则______________，再让毫米刻度尺零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图丙所示，测得从悬点到摆球的最下端的距离，则______________m，摆长的表达式为______________（用符号、d表示）。测量周期数据时，可以在摆球经过最低点时从1开始计数，记下摆球第N次经过最低点所用的时间t，则单摆周期______________ (3)假如把该装置搬到月球上进行实验，改变单摆的摆长L，多次测量单摆在不同摆长下所对应的周期T，并描绘出图像如图丁所示，则可得知月球重力加速度大小为______________。（保留3位有效数字） 2.某小组利用如图甲所示的实验装置，测量当地的重力加速度。长度为L的细线将一金属小球悬挂于O点，悬点O处有一个拉力传感器，能测出细线的拉力大小。将小球由平衡位置拉开一个较小角度，然后由静止释放小球，根据拉力传感器的数据描绘出细线拉力F随时间t变化的图像，如图乙所示。 (1)根据图乙可知，单摆的周期T=___________s； (2)改变摆线的长度，测出多组细线的长度L和对应的振动周期T，作出图像如图丙所示，已知=3.14，由图丙可知，当地的重力加速度大小g___________m/s2（结果保留3位有效数字）。 (3)若给金属小球带正电，在O点处也放置一带正电的小球，使二者间有库仑力作用，再次完成该实验，则单摆周期相比之前___________（选填“变大”“变小”或“不变”），其原因是___________。 3.某同学用图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度的大小”实验，忽略空气阻力的影响。 (1)组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度，用螺旋测微器测量小钢球直径，示数如图乙所示，小钢球直径___________ ，记摆长。 (2)拉开小钢球，使摆线偏离平衡位置的角度不大于，由静止释放小钢球，当其振动稳定时，从经过最低点开始计时，记下次全振动的时间，计算出周期___________ 。 (3)多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，根据测量数据作出如图丙所示的图像，但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量。你认为横坐标所代表的物理量是___________（填“”“”或“”），若图线斜率为，则重力加速度 ___________ 。 4.某同学用单摆测当地的重力加速度。由于实验室提供的刻度尺能测量的最大长度明显小于悬线的长度，因此该同学设计了如图甲所示的装置。悬线（长度一定）穿过薄木板上的小孔，一端悬于点，另一端系着小球，将薄木板水平固定，并保持悬线竖直。 (1)使小球在竖直面内做小角度的摆动，从小球经过最低点时开始计时，并记为1，此后小球依次经过最低点时分别记为2，3，…，记为时，小球运动的总时间为，则小球摆动的周期__________。（用、表示） (2)改变薄木板的高度重复实验，每次测量点到小孔的距离，测得对应每次小球摆动的周期。得到多组数据后，为更直观地得出结论，应绘制以为纵轴、__________（填“”“”或“”）为横轴的图像。 (3)若获得的图像如图乙所示，该图线斜率的绝对值为，则当地的重力加速度大小为__________。（用、表示） 5.开开同学在学习了用单摆测重力加速度实验后，利用如图1所示的装置测量当地的重力加速度。除了如图1中的实验器材，实验室还提供了10分度的游标卡尺、米尺和秒表。 (1)组装实验器材前，开开同学用游标卡尺测量了摆球的直径，其读数如图2所示，则摆球的直径________cm。 (2)实验时，开开同学测得摆线的长度为55.37 cm，并测量了摆球做50次全振动的时间t，该时间t如图3所示，则单摆的周期________s。由此可知，当地的重力加速度大小g=________（取9.86，结果保留三位有效数字）。 (3)开开同学更换不同的小钢球测出对应的直径d，重新进行实验，根据实验记录的数据，绘制如图所示的图像。已知该图线的斜率为k，纵轴截距为b，则摆线的长度________（用b、k表示）。 (4)开开同学在进行实验操作时，发现秒表走时偏快，则通过计算得出的重力加速度与真实的重力加速度相比，________（选填“<”“>”或“=”）。 素养提升 6.(多选)如图所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，轻质摆绳一端固定在斜面上O点，另一端系一质量为m的小球，构成摆长为L的单摆。现将小球拉至偏离平衡位置摆角为α（）处由静止释放，小球将在斜面上做简谐运动，运动过程中摆绳始终平行于斜面。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．该单摆振动的周期 B．小球运动至平衡位置时，摆绳拉力大小 C．小球在最大偏角位置时，回复力大小 D．其他条件不变，若把斜面倾角θ缓慢增大至，则该单摆的周期会变大 7.(多选)如图所示，单摆摆球的质量为m，做简谐运动的周期为T，摆球从最大位移A处由静止释放，运动到最低点B时的速度大小为v，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列正确的是（     ） A．摆球从A运动到B的过程中，重力做的功为 B．摆球运动到B时重力的瞬时功率为0 C．摆球从A运动到B的过程中拉力的冲量不为零 D．摆球从A运动到B的过程中拉力的冲量大小为 8.图（a）是某兴趣小组基于手机磁力传感器，利用Phyphox应用软件完成单摆测量重力加速度的示意图，手机中的磁力传感器能够实时测量并记录外部磁场的磁感应强度大小。在磁性小球摆动过程中，当磁性小球摆动到最右端时，记录的磁感应强度最大。实验时，通过磁力传感器记录磁感应强度发生的周期性变化，间接测得小球运动的周期。部分实验操作如下： (1)用游标卡尺测量小球直径，结果如图（b）所示， 则小球的直径为__________mm。 (2)保证细线与竖直方向的夹角小于5°并释放小球，打开Phyphox应用软件采集数据，图（c）为实验过程中磁感应强度随时间发生周期性变化的图像。则小球运动的周期为__________（用、表示）。 (3)某次实验中，由于操作不当，导致小球不在同一竖直面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，测量周期后，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则重力加速度的测量值__________实际值（填“小于”、“大于”或“等于”）。 (4)此小组又改进了实验装置，决定采用杆线摆测量重力加速度。如图（d）所示，杆线摆可以绕着悬挂轴来回摆动，直径为的摆球其运动轨迹被约束在一个倾斜平面内，这相当于单摆在斜面上来回摆动。如图（e）所示，在铁架台上装一根铅垂线，在铁架台的立柱跟铅垂线平行的情况下把杆线摆装在立柱上，调节细线的长度，使摆杆与立柱垂直，保持摆杆长度不变。如图（f）所示，把铁架台底座一侧垫高，立柱倾斜，测出静止时摆杆与铅垂线的夹角为，并测量该倾角下单摆的周期。改变铁架台的倾斜程度，测出多组夹角和单摆周期，若作出的图像是一条过原点的直线，其斜率为，则可以求得重力加速度为__________（结果用、、表示）。 9.如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上与O相距为l的两点上，使三角形AOB成直角三角形，，已知OC线长为l，下端C点系着一个小球。下列说法正确的是（以下振动皆指小角度摆动）（　　） A．让小球在纸面内振动，周期 B．让小球垂直于纸面振动，周期 C．让小球在纸面内振动，周期 D．让小球垂直于纸面振动，周期 迁移创新 10.如图所示，单摆摆长为l，摆球质量为m，将摆球拉离平衡位置，此时，摆线与竖直方向的夹角为（很小）。已知重力加速度大小为g。释放摆球后，下列说法正确的是（　　） A．摆球在运动过程中受到重力、拉力的作用 B．摆球经过最低点时，受到的合外力为零 C．摆球连续两次运动到最低点的时间间隔是 D．摆球从释放到第一次运动到最低点的过程中，重力的冲量大小为 11.如图所示，水平地面上静置一个半径为6.4 m的圆轨道，圆轨道上表面光滑，将一质量为0.1 kg、可视为质点的小球从A由静止释放，一段时间后小球第一次运动到轨道最低点C点，已知该过程圆轨道保持静止，A点与C点间的竖直高度差为0.05 m，重力加速度g取10 m/s2，则小球从A运动到C的这段时间中，圆轨道受到地面的摩擦力的平均值为（     ） A． B． C． D． 12.(多选)如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧面上做简谐运动，圆弧轨道对小球的支持力大小随时间变化的曲线如图乙所示，图中时刻小球从点开始运动，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．时刻小球的动能最小 B．该圆弧轨道的半径为 C．小球在A点所受的合力为零 D．小球的质量为 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $