2.3 二次函数的图象与性质 第2课时 (课件) 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，通过复习y=x²和y=-x²的对称轴、顶点等性质，结合汽车刹车距离问题引出具体函数，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以实际情境引导学生用数学眼光抽象函数模型，通过动手画图、观察比较培养几何直观与推理意识，课堂小结用表格系统梳理性质，结合地方模拟题强化应用，助力学生发展探究能力，也为教师提供结构化教学资源。

第二章 二次函数 2.3 二次函数的图象与性质 鲁教版（五四制）九年级上册 第2课时 二次函数 的图象与性质 抛物线 y=x2 y=-x2 图象 对称轴 顶点 开口方向 增减性 最值 y x o y x o 在对称轴左侧,y随x的增大而增大；在对称轴右侧,y随着x的增大而减小 y轴 开口向上 开口向下 y轴 原点（最低点） 当x=0时,最大值为0 在对称轴左侧,y随x的增 大而减小；在对称轴右 侧,y随着x的增大而增大 当x=0时,最小值为0 原点（最高点） 复习导入 　　你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因素有关？ 　　影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数. 导入新知 3 雨天行驶时,v与s之间的函数表达式为 　　有研究表明,某种型号的汽车晴天在某段公路上行驶时,速度v(单位：km／h)与刹车距离s(单位：m)之间的函数表达式为 ｓ＝ v２, ｓ＝　 v２. 4 操作·思考 右图是二次函数 的图象，请在同一平面直角坐标系中作出二次函数 的图象。 ｓ＝　 v２ ｓ＝ v２ v/(km/h) 0 20 40 60 80 100 120 s/m （1）完成下表： 0 32 72 128 200 288 8 128 288 200 （2）根据上表描点、连线，画出二次 函数 的图象. S＝　v２ ｓ＝ v２ 72 8 (1)在上述函数 和 中，自变量V可以取任何值吗？为什么？ 答：不可以 因为速度v不可以为负值. ｓ＝　v２ ｓ＝ v２ (2)它们的图象有什么相同和不同？ 答：相同点： ①它们都是抛物线的一部分， ②二者都位于s轴的右侧， ③函数值都随v值的增大而增大. 不同点： ｓ＝　v２ 的图象在 的图象的内侧， 说明前者函数值的增长速度较快. ｓ＝ v２ 观察·思考 (3)如果该汽车行驶的速度是60km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？ ｓ＝ v２ 答：36m. × 602 － × 602 =36（m） 36 也可以由观察图象得. 72 　x y=2x2 画出二次函数y=2x2的图象. (1)完成下表： 3　 2　 1　 0　 -1　 -2　 　-3 … … 18 8 2 0 2 8 18 … … 我们已经认识了特殊的二次函数y=x²和y=-x²，那么y=ax²(a≠0)的图象有什么特征呢? 尝试·思考 (2)在下图中画出二次函数y= 2x2 的图象. x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 (3)二次函数y=2x2 的图象是什么形状? 它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? y=2x2 二次函数y=2x2 的图象是抛物 线，它的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，0). 二次函数y=2x2的图象与y=x2的图象的相同点： 开口向上；对称轴是 y 轴；顶点坐标是原点. x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 y=2x2 二次函数y=2x2的图象在y=x2的图象的内侧，说明函数值的增长速度较快，即开口程度不同，x2的系数越大，抛物线的开口越小。 不同点： （1）在右图中画出二次函数 y=x2的图象，它与y=x2 ，y=2x2的图象有什么相同和不同？ （2）在右图中画出二次函数y=-2x2 和y=-x2的图象。 不同点:开口程度不同，x2的系数越大，抛物线的开口越小. 相同点:开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是原点； 操作·思考 归纳总结 抛物线y=ax2的对称轴是y轴，它的顶点是原点。当a>0时，它的开口向上，顶点是它的最低点；当a<0时，它的开口向下，顶点是它的最高点. 函数y=ax2(a≠0)的图象和性质 典例精析 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y= x2 在同一直角坐标系中画出函数y= x2和y=2x2的图象 解: (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 1 2 8 … 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 4.5 1 2 x y=2x2 8 … … … … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 例 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y o -1 -2 -3 -4 -5 函数y= x2,y=2x2的图象与函数y=x2(图中虚线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点? 1 2 共同点: 不同点: 开口都向上； 顶点是原点而且是抛物线的最低点， 对称轴是 y 轴， 开口大小不同. 当a＞0时， a越大， 在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大. 抛物线的开口越小. 发现： 课堂小结 y＝ax2 a＞0 a＜0 图象 开口 对称性 顶点 增减性 开口向上 开口向下 |a|越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 O O （最值） 1. 抛物线 一定经过( ) D A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 2. [济南市市中区模拟] 若二次函数 的图象经过点 ，则该图象必经过点( ) A A. B. C. D. 课堂练习 17 3. 如图，函数, , , 的图象分别对应的抛物线是( ) B A. ①②④③ B. ②①④③ C. ①②③④ D. ②①③④ 对于抛物线, 的符号决定其开口的方向， 的大小决定其开口的大小， 越大，抛物线的开口越小， 越小，抛物线的开口越大. . . . . 18 4. 在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数 的大致图象可以是( ) B A. B. C. D. 19 【点拨】当时，函数 的图象开口向上，函数 的图象经过第一、第二、第三象限， ,D错误， B正确；当时，函数 的图象开口向下，函数 的图象经过第二、第三、第四象限， 错误. 20 5. 已知二次函数的图象开口向下，则 的 值是_____. 21 6. 对于二次函数 ,下列结论正确的是( ) B A. 随 的增大而增大 B. 图象关于直线 对称 C. 图象开口向上 D. 无论取何值. 的值总是负数 7. 已知二次函数，当时，随 的增大而 增大，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 22 8. [山东省济宁市模拟] 二次函数 的图象经过点 ，，，则，， 的大小关系是 ( ) C A. B. C. D. 【点拨】， 抛物线的开口向上，对称轴为直线 点离对称轴的水平距离越近，函数值越小. 点 ， ，与对称轴的距离分别为3,1,4， .故选C. 23 9. 已知抛物线 . （1）若点,都在此抛物线上，求, 的值; 【解】 点在此抛物线上， . 点在此抛物线上，,解得 . 24 （2）若点, 都在此抛物线上，且 ,试比较与 的大小. , 抛物线的开口向下，对称轴为 轴. 当时，随的增大而减小., . 25 10. 已知二次函数 的图象与直线 交于点 . （1）求和 的值. 【解】把代入,得 , .把代入,得 . 26 （2）当取何值时，二次函数的函数值随 值的增 大而增大? , 二次函数的表达式为 ,它的图象开口向下， 对称轴是轴. 当时，函数值随 值的增大而增大. 27 （3）求抛物线与直线的另一个交点 的坐标. 由题得,解得, . 当时， ; 当时， . 点的坐标为, 点的坐标为 . 返回 28 $