2.3 二次函数的图象与性质 第3课时 (课件) 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+k的图象与性质，通过复习y=ax²的性质表格，结合列表计算、图象绘制对比y=2x²与y=2x²+1，搭建从已知到未知的学习支架，梳理平移规律及性质关联。 其亮点是以操作探究为主线，通过动手列表画图培养几何直观（数学眼光），对比分析归纳“上加下减”规律发展推理意识（数学思维），典例练习融入方程思想、分割法等，提升应用意识（数学语言）。学生能主动建构知识，教师可高效实施分层教学。

第二章 二次函数 2.3 二次函数的图象与性质 鲁教版（五四制）九年级上册 第3课时 二次函数 的图象与性质 y＝ax2 a＞0 a＜0 图象 开口 对称性 顶点 增减性 开口向上 开口向下 |a|越大，开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点（0，0） 顶点是最低点 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 O O 二次函数y=ax2的性质 复习导入 y=2x2 x y o -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 画出二次函数y=2x2的图象. x y ﹣1.5 4.5 ﹣1 2 ﹣0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 1 2 1.5 4.5 3 画出二次函数y=2x2+1的图象。 操作·思考 （1）完成下表，你能发现2x²与2x²+1的值有什么关系? x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=2x² 18 8 2 0 2 8 18 y=2x²+1 19 9 3 1 3 9 19 4 （2）在下图中画出函数y=2x²+1的图象。你是怎么画的?与同伴进行交流。 5 （4）当x取哪些值时，y的值随着x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随着x值的增大而减小? 当x＞0时，y的值随着x值的增大而增大； 当x＜0时，y的值随着x值的增大而减小。 6 二次项系数为2,开口向上； 开口大小相同；对称轴都是 y轴；增减性也相同. 顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1). （3）二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 位置不同； 最小值不同: 分别是1和0. 二次函数y=2x2+1的 图象形状与y=2x2 一样,仍是抛物线. 二次函数y=2x²-2的图象是什么形状？它与二次函数y=2x²的图象有什么关系?画出它的图象。它的图象有什么特点？ y=2x2 y=2x2-2 二次函数y=2x2-2的图象可以由y=2x2 的图象向_____平移_____个单位长度得到. 尝试·思考 下 2 1 2 3 -1 -2 -3 O 1 2 3 4 -1 x y -2 二次函数y=2x²，y=2x²+1与y=2x²-2的图象都是抛物线，它们与抛物线y=2x²的形状相同，只是位置不同。将函数y=2x²的图象向上平移1个单位长度，就得到函数y=2x²+1的图象；将函数y=2x²的图象向下平移2个单位长度，就得到函数y=2x²-2的图象。 9 二次函数y=ax²+k的图象是什么形状?其中的k对图象有什么影响?与 同伴进行交流。 思考·交流 二次函数y=ax²+k的图象是抛物线，它与二次函数y=ax²的图象形状相同，只是位置不同。将二次函数y=ax²的图象上下平移，就可以得到二次函数y=ax²+k的图象。 当k>0时，将二次函数y=ax²的图象向上平移k个单位长度，就得到二次 函数y=ax²+k的图象;当k<0时，将二次函数y=ax²的图象向下平移-k个单位长度，就得到二次函数y=ax²+k的图象。抛物线y=ax²+k的对称轴为y轴 顶点坐标为(0，k)。 10 归纳总结 抛物线y=ax2与y=ax2+k之间的关系是： 形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同， 而顶点位置和抛物线的位置不同． 抛物线之间的平移规律： 抛物线y=ax2 抛物线 y=ax2+k 向上平移 k个单位 抛物线y=ax2 向下平移 -k个单位 抛物线 y=ax2+k 上加下减 k>0时 k<0时 函数 y=ax2+k y=ax2 开口方向 a>0时,向上 a<0时,向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0,0） （0,k） a>0时,向上 a<0时,向下 归纳总结 典例精析 例 1.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向平 ___ 移 　个单位. 2.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图 象的函数解析式为 . 3.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，（- m,n ） （在，不在）y=ax2+a的图象上. 4. 若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则 k . 下 1 y=-3x2-2 在 ＞0.5 例 例 例 课堂小结 y=ax2+k (a≠0) a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 极值 向上 向下 (0,k) (0 ,k) y轴 y轴 当x<0时， y随着x的增大而减小； 当x>0时， y随着x的增大而增大 当x<0时, y随着x的增大而增大； 当x>0时， y随着x的增大而减小 x=0时,y最小=k x=0时,y最大=k 抛物线y=ax2 +k (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到 1. 如图，二次函数 的图象是( ) C A. B. C. D. 课堂练习 15 2. 关于二次函数 ，下列说法中不正确的是( ) B A. 图象的开口向上 B. 当时，随 的增大而增大 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时， 有最小值，最小值是5 3. 已知，点 ，， 都在函 数 的图象上，则( ) D A. B. C. D. 16 4. 抛物线与 的形状相同，开口方向相 反，且其顶点坐标是 ，则该抛物线的表达式是________ ______. 【点拨】 抛物线与 的形状相同，开 口方向相反， 其顶点坐标是，， 该 抛物线的表达式为 . 17 5. [北京市昌平区模拟] 下列对于抛物线 和 的判断：①开口方向不同；②形状完全相同；③对 称轴相同;④当时，都随 的增大而增大.其中正确的有 ( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 18 6. 将抛物线 向上平移2个单位长度，所得抛物线的 表达式为_____________. 7. 将二次函数的图象向下平移 个单位长度后， 得到的二次函数图象经过点，则 的值为___. 5 8. 已知抛物线与抛物线 的形状相同， 则 的值为____. 对于抛物线, 的大小决定抛物线的开口 程度， 相等说明抛物线的开口大小相同，即抛物线的形状 相同.本题易忽略 而出错. . . . . 20 9. 如图，两条抛物线 , 与分别经过 点,且平行于 轴的两条平行线 围成的阴影部分的面积为( ) A A. 8 B. 6 C. 10 D. 4 【点拨】阴影部分分割后可以拼为一个长为4，宽为2的矩形， 其面积为 ，故选A. 21 求关于抛物线的不规则图形的面 积，一般是用分割法 把它拼为特殊三角 形或特殊四边形来解决. 22 10. [淄博市张店区模拟] 若二次函数 的图象经过 ,两点，则代数式 的最小值 为( ) A A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 23 【点拨】 二次函数的图象经过点 ， ，， 二次函数的表达式为 二次函数的图象经过点， ,即 ， ， 的最小值为1，故选A. 24 11. [山东省临沂市模拟] 在抛物线 上有两点 ,，若 ，则下列结论正确的是( ) D A. B. C. 或 D. 以上都不对 25 【点拨】 在抛物线上有两点 ， ，且，， 或 或或 . 26 12. 已知二次函数，当 时，，当时，，则当 时， 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 27 【点拨】由当时，得， , 由当时，得， , 当时，令 , 则解得易得 ， ， 当时, . 28 13. 如图，抛物线 经过正方形 的三个顶点 ,,，点在轴上，则 的值为( ) B A. B. C. D. 29 【点拨】连接，交轴于点 ，如图. 当时，， ， 四边形 是正方形， ， ，，., . 点在抛物线上， ， 易得. 30 14. 若抛物线与 轴交于点 ，，与轴交于点，则称 为“抛物 三角形”，特别地，当时，称 为“正抛物三角 形”；当时，称 为“倒抛物三角形”，那么，当 为“倒抛物三角形”时，， 分别满足的条件为_______ _____. , 31 【点拨】 抛物线的对称轴是轴， 点 ，关于轴对称. . 又 当为“倒抛物三角形”时，， ,即抛 物线与轴的负半轴相交.又 抛物线与 轴交于 点，， 该抛物线的开口向上. . 32 $