10.3 电势差与电场强度的关系 第2课时 电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题 等分法的应用（重难点专练）人教版物理必修三

**基本信息** 聚焦电场线、等势面与粒子运动轨迹分析及等分法应用，构建四步分析法与电势计算模型，强化运动和相互作用观念与科学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型01|1例题+6变式|四步分析法（速度方向→静电力方向→做功与电势能→动能变化）|从电场线、等势面概念到粒子轨迹分析，形成受力-运动-能量的逻辑链条| |题型02|1例题+6变式|匀强电场中点电势公式φ_B=(φ_A+φ_C)/2|从电势差与场强关系到几何图形中等势面确定，强化模型建构与科学推理|

10.3 电势差与电场强度的关系（题型突破） 第2课时 电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题 等分法的应用 题型01 电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题 题型02 等分法确定等势面和电场线 ▌题型01 电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题 带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法： 1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向。 2．判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断该点处电场强度的方向。 3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。 4．判断粒子动能的增减：可以根据动能定理判断动能的变化情况。 例题1、（多选）如图所示，三条虚线表示某点电荷形成的电场中的等势面，一带电粒子仅受电场力作用，沿实线路径运动，A、B、C、D、G是该带电粒子运动轨迹与等势面的交点，下列说法正确的是（     ） A．场源电荷带正电 B．该带电粒子带负电 C．该带电粒子在B、G两点处的动能相同 D．带电粒子在D点的加速度小于在G点的加速度 【答案】BC 【详解】AB．根据电场线与等势面垂直且指向电势降低的方向可知，产生电场的点电荷带负电，由图可知，轨迹向下弯曲，则带电粒子所受的电场力方向向下，即带电粒子受到排斥力的作用，同种电荷相互排斥，故带电粒子带负电，故A错误，B正确； C．图中虚线为等势面，粒子从B到G，因，故电场力做功为0，则动能不变，即B、G两点带电粒子动能相同，故C正确； D．由 可知，电场强度越大该带电粒子的加速度越大，由 可知带电粒子在D点的电场强度大于在G点的电场强度，则带电粒子在D点的加速度大于在G点的加速度，故D错误。 故选BC。 变式1-1、（多选）两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是 A．粒子带负电 B．b点和d点的电场强度相同 C．粒子的动能先减小后增大 D．粒子在a点的电势能大于在c点的电势能 【答案】AC 【详解】A．根据两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面的特点可得，该图中的等势面中，正电荷在上方，负电荷在下方；从粒子运动轨迹看出，轨迹向上弯曲，可知带电粒子受到了向上的力的作用，所以粒子带负电，故A正确； B．根据等势面的疏密程度表示电场强度的大小，可知b、d两点的电场强度大小相等；根据在电场中等势面与电场线垂直，由图可知，b、d两点弯曲的方向不同，则过b、d两点，与-5V的等势面垂直的电场线的方向不相同，即b、d两点电场强度方向不相同，故B错误； C．粒子从a→b→c过程中，电场力做负功，c→d→e过程中，电场力做正功。粒子在静电场中电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，动能先减小后增大，故C正确； D．a点电势大于c点电势，负电荷在电势高的点电势能小，所以粒子在a点的电势能小于在c点的电势能，故D错误。 故选AC。 变式1-2、（多选）如图甲所示，A，B是某电场中一条电场线上的两点，一个负电荷从A点由静止释放，仅在静电力作用下从A点运动到B点，其运动的v-t图像如图乙所示，则（　　） A．图甲中电场线的方向由B指向A B．A点的电场强度小于B点的电场强度 C．A点的电势低于B点的电势 D．该负电荷在A点的电势能小于其在B点的电势能 【答案】AC 【详解】A． 负电荷从由静止释放后向运动，说明电场力方向由A指向B；负电荷的受力方向与电场线方向相反，因此电场线方向由B指向A，故A正确； B．图像的斜率表示加速度，由图乙可知，从到加速度逐渐减小；根据 ​，加速度减小说明电场强度逐渐减小，因此点电场强度大于点，故B错误； C．沿电场线方向电势逐渐降低，电场线方向由B指向A，因此电势 ​，即点电势低于点电势，故C正确； D．负电荷从到过程中，电场力做正功，电势能减小，因此负电荷在点的电势能大于在点的电势能，故D错误。 故选AC。 变式1-3（多选）电子透镜两极间的电场线分布如图，中间的一条电场线为直线，其他电场线对称分布，a、b、c、d为电场中的四个点，其中b、d点和b、c点分别关于x、y轴对称。一离子仅在电场力作用下从a运动到b，轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的是（　　） A．离子在a、b两点的动能满足 B．该离子带正电 C．四点电势大小关系为 D．若把该离子从c点由静止释放，那离子会沿着c点所在的电场线到达b点 【答案】AC 【详解】AB．由图中轨迹的弯曲方向可知，离子电场力方向应沿电场线切线指向轨迹曲线凹侧，则电场力方向与电场线方向相反，离子带负电，又因为离子速度方向与电场力方向夹角大于，电场力做负功，故离子速度越来越小，则动能减小，即，故B错误、A正确； C．由对称性可知b、d两点电势相等，沿着电场线电势降低，可知a点电势大于b点电势，b点电势大于c点电势，则四点电势大小关系为，故C正确； D．带电粒子轨迹要沿电场线重合必须满足电场线为直线且速度方向和电场线共线，c点所在的电场线是一条曲线，速度不沿电场线方向由力与运动可知，离子不会沿着c点所在的电场线到达b点，故D错误； 故选AC。 变式1-4、（多选）如图所示，水平放置的平行金属板上、下板分别带正电、负电，金属板间可视为匀强电场。带电粒子（不计重力）从点射入金属板间，恰从下板边缘点射出，粒子的运动轨迹如图中实线所示，点为轨迹的最高点。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．点的电势比点的电势高 C．粒子在点的动能小于在点的动能 D．粒子在点的加速度大于在点的加速度 【答案】AC 【详解】A．金属板间电场的电场强度竖直向下，粒子受到的电场力指向轨迹凹侧，电场力方向竖直向下，因此粒子带正电，故A正确； B．B点离带正电的上板更近，电势更高，故B错误； C．粒子从点运动到点，电场力做正功，动能增大，故C正确； D．粒子在金属板间运动时受到的电场力大小不变，加速度大小不变，故D错误。 故选AC。 变式1-5、（多选）细胞电转染是一种基因操纵手段，其原理如图所示。图中实线为电场线，关于y轴对称分布，虚线为带电的DNA分子进入细胞膜的轨迹。已知M、N为轨迹上的两点，P点与N点关于y轴对称，则（     ） A．DNA分子带负电 B．DNA分子的速度vM＜vN C．DNA分子的加速度aM＞aN D．N、P两点的电场强度相同 【答案】AB 【详解】A．由图可知，下极板带正电，上极板带负电，电场线方向向上，由带电的DNA分子的运动轨迹弯曲方向可知，其所受静电力方向向下，与电场强度方向相反，所以DNA分子带负电，故A正确； B．DNA分子带负电，从点运动到点的过程中，静电力方向与运动方向夹角为锐角，静电力做正功，动能增大，则速度增大，即，故B正确； C．电场线的疏密表示电场强度的大小，由图可知，点处的电场线比点处更密，则点的电场强度大于点的电场强度，根据牛顿第二定律可知，DNA分子在点的加速度小于在点的加速度，即，故C错误； D．由于电场线关于轴对称分布，点与点关于轴对称，则、两点的电场强度大小相等，但方向不同，所以电场强度不同，故D错误。 故选AB。 变式1-6、（多选）真空中存在点电荷和产生的静电场，两电荷间的一条电场线如图中实线所示。一个带电粒子仅在电场力作用下沿虚线轨迹从运动至两点关于和连线对称，下列说法正确的是（    ） A．、带同种电荷 B．带电粒子与带异种电荷 C．电荷量大于电荷量 D．、两点电场强度相同 【答案】BC 【详解】A．根据点电荷周围的电场分布规律可知，、带异种电荷，故A错误； B．带电粒子所受电场力指向如图所示 可知带电粒子与带同种电荷，与带异种电荷，故B正确； C．根据异种点电荷电场线分布规律，补上一条电场线，如图所示 根据电场线疏密程度可判断，附近电场强度大于附近电场强度，则电荷量大于电荷量，故C正确； D．根据对称性可知，、两点电场强度大小相等，方向不同，故D错误。 故选BC。 ▌题型02 等分法确定等势面和电场线 匀强电场中任一线段AC的中点B的电势φB＝ 例题2、如图，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F位于边长为＝2cm的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面．已知A、B、D、E的电势分别为-2V、0V、6V、4V．则下列说法正确的是(    ) A．C点的电势＝ B．A、F间的电势差＝ C．C、F间的电势差＝ D．该匀强电场的场强大小＝ 【答案】D 【详解】A.连接、、，与、的交点为、；设六边形的中心点为，如图所示： 由图可知，与、都垂直，由六边形的特点可知，则有： 因为在匀强电场中将某一线段等分同时就将该两线段的电势差等分，可知、、的电势分别是0V、2V、4V，又E点电势为4V，则点的电势一定与点相等，为4V，故A错误； B.M点电势为0，B点电势为零，则点的电势也是0V，所以有： 故B错误； C.点、之间的电势差为： 故C错误； D.由几何关系可知： 所以电场强度的大小为： 故D正确． 变式2-1、如图A，B，C三点都在匀强电场中，已知，，，把一个电荷量的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为，则该匀强电场的场强大小和方向是（）（　　） A．865V/m，垂直AC向左 B．865V/m，垂直AB斜向下 C．1000V/m，垂直AB斜向下 D．1000V/m，垂直AB斜向上 【答案】C 【详解】把一个正电荷从A移到B，电场力做功为零，可知AB为等势面，从B移到C，电场力做功为，则BC间的电势差为 根据沿电场线电势降低，可知匀强电场的场强方向垂直AB斜向下，该匀强电场的场强大小为 故选C。 变式2-2、（多选）一空间存在匀强电场，电场中、、、四个点恰构成正四面体，如图所示，已知电场强度大小为，方向平行于正四面体的底面，正四面体棱长为cm。已知V、V，则可判断（  ） A．V B．V C．V/m D． V/m 【答案】AC 【详解】CD．如图所示，，则AB在同一条等势线上，从C点向AB作垂线，垂足为M，则MC为电场线且电场方向由M指向C，由几何关系可得，则 C正确，D错误； AB．从D点向MC作垂线，垂足为O，则 A正确，B错误。 故选AC。 变式2-3、如图所示，平行直线AA′、BB′、CC′、DD′、EE′，分别表示电势-4V，-2V，0，2V，4V的等势线，若AB=BC=CD=DE=2cm，且与直线MN成30°角，下面说法正确的是（　　） A．该电场是匀强电场，场强方向垂直于AA′，且指向右下 B．该电场是匀强电场，场强大小可能小于2V/m C．该电场是匀强电场，在纸面内距C点距离为2cm的所有点中，最高电势为2V，最低电势为-2V D．该电场是匀强电场，在纸面内距C点距离为2cm的所有点中，最高电势为4V，最低电势为-4V 【答案】D 【详解】A．从图中可以看出，等差等势面平行且间距相等，一定是匀强电场；由于电场线与等势面垂直，且从电势高的等势面指向电势低的等势面，故场强方向与AA′垂直，且指向左上方，A错误； B．根据场强与电势差关系公式U=Ed得 B错误； CD．匀强电场的等势面是一些平行的等间距的直线，故该电场是匀强电场；由于匀强电场中沿着电场线，电势降低的最快，且每前进相同距离，电势降低相等的值，故距C点距离为2cm的所有点中，最高电势为4V，最低电势为−4V，C错误，D正确。 故选D。 变式2-4、（多选）如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点．一电荷量为q（q>0）的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1：若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2，下列说法正确的是（   ） A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行 B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为 C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为 D．若W1=W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差 【答案】BD 【详解】A．选项根据题意无法判断，故A项错误； B．由于电场为匀强磁场，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点，所以 若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为 故B正确； C．因为不知道匀强电场方向，所以场强大小不一定是，故C错误； D．若W1=W2，说明 又因为 解得 D正确。 故选BD。 点睛： 对匀强电场的电场特征要了解，利用电场力做功与电势差之间的关系求解。 变式2-5、如图所示，等边△ABC所在平面与匀强电场平行，其中电势，，（），保持该电场的大小和方向不变，让等边三角形以A点为轴在纸面内顺时针转过30°，到△AB′C′位置，则此时的C′点电势为（　　） A． B．2 C． D．（1＋） 【答案】D 【详解】利用等分法确定匀强电场方向从C指向A，设AC长度为L，则 由几何知识得，沿电场线方向的距离为 由电势差与电场强度的关系 解得 故D正确，ABC错误。 故选D。 变式2-6、（多选）如图所示，在匀强电场中有A、B、C三点，恰好处于以AB为直径的圆周上，圆周所在平面与电场方向平行。已知A、B、C三点的电势分别为、0、0，AC的长度为，与AB夹角为。则下列说法正确的是（　　） A．圆周上A点电势最高 B．圆周上BC弧的中点电势最低 C．点的电势为 D．该电场的电场强度大小为 【答案】BC 【详解】C．在匀强电场中，B、C两点电势相同，说明BC是等势线，根据几何关系可知AC与BC垂直，所以AC方向就是电场线的方向。因为匀强电场中沿任何一条电场线，电势都是均匀降低的，所以 UAO=UOB 显然O点电势为V，选项C正确； AB．过O点作AC的平行线，如图所示，交圆周于D、P两点，P为圆周上电势最高点，D为电势最低点，根据几何关系可知D点即为圆周上BC弧的中点，选项A错误，B正确； D．该电场的电场强度为 选项D错误； 故选BC。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3 电势差与电场强度的关系（题型突破） 第2课时 电场线、等势面与带电粒子运动轨迹问题 等分法的应用 题型01 电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题 题型02 等分法确定等势面和电场线 ▌题型01 电场线、等势面与带电粒子运动轨迹的综合问题 带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法： 1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为粒子在该点处的速度方向。 2．判断静电力(或电场强度)的方向：仅受静电力作用时，带电粒子所受静电力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断该点处电场强度的方向。 3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力与速度方向成锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力与速度方向成钝角，则静电力做负功，电势能增加。 4．判断粒子动能的增减：可以根据动能定理判断动能的变化情况。 例题1、（多选）如图所示，三条虚线表示某点电荷形成的电场中的等势面，一带电粒子仅受电场力作用，沿实线路径运动，A、B、C、D、G是该带电粒子运动轨迹与等势面的交点，下列说法正确的是（     ） A．场源电荷带正电 B．该带电粒子带负电 C．该带电粒子在B、G两点处的动能相同 D．带电粒子在D点的加速度小于在G点的加速度 变式1-1、（多选）两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图中虚线所示，一带电粒子以某一速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是 A．粒子带负电 B．b点和d点的电场强度相同 C．粒子的动能先减小后增大 D．粒子在a点的电势能大于在c点的电势能 变式1-2、（多选）如图甲所示，A，B是某电场中一条电场线上的两点，一个负电荷从A点由静止释放，仅在静电力作用下从A点运动到B点，其运动的v-t图像如图乙所示，则（　　） A．图甲中电场线的方向由B指向A B．A点的电场强度小于B点的电场强度 C．A点的电势低于B点的电势 D．该负电荷在A点的电势能小于其在B点的电势能 变式1-3（多选）电子透镜两极间的电场线分布如图，中间的一条电场线为直线，其他电场线对称分布，a、b、c、d为电场中的四个点，其中b、d点和b、c点分别关于x、y轴对称。一离子仅在电场力作用下从a运动到b，轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的是（　　） A．离子在a、b两点的动能满足 B．该离子带正电 C．四点电势大小关系为 D．若把该离子从c点由静止释放，那离子会沿着c点所在的电场线到达b点 变式1-4、（多选）如图所示，水平放置的平行金属板上、下板分别带正电、负电，金属板间可视为匀强电场。带电粒子（不计重力）从点射入金属板间，恰从下板边缘点射出，粒子的运动轨迹如图中实线所示，点为轨迹的最高点。下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．点的电势比点的电势高 C．粒子在点的动能小于在点的动能 D．粒子在点的加速度大于在点的加速度 变式1-5、（多选）细胞电转染是一种基因操纵手段，其原理如图所示。图中实线为电场线，关于y轴对称分布，虚线为带电的DNA分子进入细胞膜的轨迹。已知M、N为轨迹上的两点，P点与N点关于y轴对称，则（     ） A．DNA分子带负电 B．DNA分子的速度vM＜vN C．DNA分子的加速度aM＞aN D．N、P两点的电场强度相同 变式1-6、（多选）真空中存在点电荷和产生的静电场，两电荷间的一条电场线如图中实线所示。一个带电粒子仅在电场力作用下沿虚线轨迹从运动至两点关于和连线对称，下列说法正确的是（    ） A．、带同种电荷 B．带电粒子与带异种电荷 C．电荷量大于电荷量 D．、两点电场强度相同 ▌题型02 等分法确定等势面和电场线 匀强电场中任一线段AC的中点B的电势φB＝ 例题2、如图，在匀强电场中，A、B、C、D、E、F位于边长为＝2cm的正六边形的顶点上，匀强电场的方向平行于正六边形所在的平面．已知A、B、D、E的电势分别为-2V、0V、6V、4V．则下列说法正确的是(    ) A．C点的电势＝ B．A、F间的电势差＝ C．C、F间的电势差＝ D．该匀强电场的场强大小＝ 变式2-1、如图A，B，C三点都在匀强电场中，已知，，，把一个电荷量的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为，则该匀强电场的场强大小和方向是（）（　　） A．865V/m，垂直AC向左 B．865V/m，垂直AB斜向下 C．1000V/m，垂直AB斜向下 D．1000V/m，垂直AB斜向上 变式2-2、（多选）一空间存在匀强电场，电场中、、、四个点恰构成正四面体，如图所示，已知电场强度大小为，方向平行于正四面体的底面，正四面体棱长为cm。已知V、V，则可判断（  ） A．V B．V C．V/m D． V/m 变式2-3、如图所示，平行直线AA′、BB′、CC′、DD′、EE′，分别表示电势-4V，-2V，0，2V，4V的等势线，若AB=BC=CD=DE=2cm，且与直线MN成30°角，下面说法正确的是（　　） A．该电场是匀强电场，场强方向垂直于AA′，且指向右下 B．该电场是匀强电场，场强大小可能小于2V/m C．该电场是匀强电场，在纸面内距C点距离为2cm的所有点中，最高电势为2V，最低电势为-2V D．该电场是匀强电场，在纸面内距C点距离为2cm的所有点中，最高电势为4V，最低电势为-4V 变式2-4、（多选）如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点．一电荷量为q（q>0）的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1：若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2，下列说法正确的是（   ） A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行 B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为 C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为 D．若W1=W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差 变式2-5、如图所示，等边△ABC所在平面与匀强电场平行，其中电势，，（），保持该电场的大小和方向不变，让等边三角形以A点为轴在纸面内顺时针转过30°，到△AB′C′位置，则此时的C′点电势为（　　） A． B．2 C． D．（1＋） 变式2-6、（多选）如图所示，在匀强电场中有A、B、C三点，恰好处于以AB为直径的圆周上，圆周所在平面与电场方向平行。已知A、B、C三点的电势分别为、0、0，AC的长度为，与AB夹角为。则下列说法正确的是（　　） A．圆周上A点电势最高 B．圆周上BC弧的中点电势最低 C．点的电势为 D．该电场的电场强度大小为 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $