第二章 有理数的乘除、乘方及混合运算 应用练习 2026--2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦有理数概念与运算，通过概念辨析、数轴应用及实际问题，构建“概念-运算-应用”逻辑链，培养抽象能力与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|多题|概念判断与性质辨析|从定义到性质的概念生成| |数轴应用|3题|数轴上数的关系推理|数形结合的原理推导| |运算能力|计算题+程序题|符号运算与代数式化简|运算规则的应用拓展| |实际应用|1题|生活情境中的数据处理|实际问题的数学建模|

1. 在下列各数 ， ， ， ， 中，负数有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 B ， ， · ， ． ∴负数有 个． 【知识点】有理数乘方运算 2. 请回答下列问题： 4 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ） · 世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有位老妇人，每人赶着头毛驴，每头驴驮着只口袋，每只口袋里装着个面包，每个面包附有把餐刀，每把餐刀有只刀鞘”，则刀鞘数为（ ）． A. B. C. D. （ 2 ）下列各式：① ；② ；③ ；④ ，计算结果为负数的个数有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 （ 3 ）若是有理数，则下列各式一定成立的有（ ）． ① ；② ；③ ；④ ． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 （ 1 ）C （ 2 ）B （ 3 ）A （ 1 ）毛驴数量为 ，口袋数量为 ，以此类推可得刀鞘数量为： ．故选 ． （ 2 ）①结果为 ；②结果为 故选 ． ；③结果为 ；④结果为 ，②③④结果为负数． （ 3 ）① ；② ；③ ；④ ． 故只有①正确．故选 ． 【能力】运算能力 【知识点】有理数乘方运算 3. 下列说法中，正确的是（ ）． A. 一个数的平方一定大于这个数 B. 一个数的平方一定是正数 C. 一个数的平方一定小于这个数 D. 一个数的平方不可能是负数 D 略 【知识点】有理数乘方运算 【能力】运算能力 4. 有理数、在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（ ）． A. B. C. D. A 由数轴可知： ，正确； ，错误； ，故 错误； ，故 错误； ． ， ： ： ： ： 故选 【知识点】根据数轴上点的位置判断符号大小 5. 已知有理数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的个数为（ ）． ①．② ．③．④ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 C ∵ 在 的左侧，故 ，故①正确． ∵ 而 ，∴ 在 的右侧，∴ ，∴ ∵ 与 异号，∴ ∵ ， ，且 ，∴②正确． ，故③正确． ，∴ ，故④错误． 【知识点】有理数的乘法法则 6. 如图，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. B 由数轴可知： ∴ 故选： ． ， ， ， ， ， 【知识点】有理数比较大小-利用数轴 7. 有理数，在数轴上的对应位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. B 依题可知， ， ， ， ， ， ． 【知识点】有理数的除法法则 8. 数轴上点， ，分别表示数，，，那么下列运算结果一定是正数的是（ ）． A. B. C. D. A 根据数轴上表示的点可得： ， ． ， ． ．由数轴上的三点位置可知： ， ∵ ∴ ∵ ∴ ，即 ，故 正确，符合题意； ．∵ ， ．∵ ， ．∵ ， ，∴ ，∴ ， ，故 不符合题意； ，故 不符合题意； ，∴ ， ，∴ ，故 不符合题意． 【知识点】根据数轴上点的位置判断符号大小 9. 已知 ， ，且，则 ． ∴ ∴ ∵ ， ， ，或 ，且 ， ， ， ． 【知识点】绝对值综合 10. 若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，是有理数且既不是正数也不是负数，则 的值为（ ）． A. B. C. D. D ∵ ， 互为相反数， ， 互为倒数， 的绝对值是 ， 是有理数且既不是正数也不是负 数， ∴ ∴ ， ， ， ． ． 【能力】运算能力 【知识点】相反数的定义 【知识点】绝对值的定义 【知识点】有理数乘方运算 【知识点】倒数的定义 11. 如果、互为相反数，、互为倒数，那么 ． ∵ 、 互为相反数， 、 互为倒数， ∴ ∴ 故答案为： ， ， ． ． 【知识点】整式乘除化简求值-条件化简求值 12. 计算： ． 原式 ． 【知识点】有理数四则混合运算 13. 计算： ． 原式 ． 【知识点】有理数四则混合运算 14. 计算： ． ． 【知识点】含乘方的有理数混合运算 15. 计算： ． ．原式 ． 【知识点】有理数四则混合运算 16. 一架直升飞机从高度为米的位置开始，先以米/秒的速度上升秒，后以米/秒的速度下降 秒，这时的直升飞机所在的高度是多少？ 米． （米）． 所以这时的直升飞机所在的高度是 米． 【知识点】有理数乘除法与实际问题 17. 有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任意取个之间的自然数，将这个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于．比如，自然数，，，，可以这样运算得到： 等等． （ 1 ）有个有理数分别为，，， ，根据上述规则，请你写出种不同的方法，使其结果等于 ． （ 2 ）如果换成另外的个有理数，，， ，请你写出种运算的式子，使其结果等于． （ 1 ）答案见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）三种不同的方法如下： 方法一： ． （ 2 ）结果等于 的式子为： ；方法二： ；方法三： ． 【知识点】有理数四则混合运算 18. 某仓库某一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（吨） 进出次数 （ 1 ）这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由． （ 2 ）根据实际情况，现有两种方案． 方案一：运进每吨原料费用元，运出每吨原料费用元．方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料元． 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． （ 3 ）在（）的条件下，若该仓库某个月运进原料共吨，运出原料共吨，当、之间满足怎样的关系时两种方案吨运费相同． （ 1 ）仓库原料比原来减少 吨． （ 2 ）方案二合适 （ 3 ）当满足 时两种方案运费相同． （ 1 ） ∴仓库原料比原来减少 吨． （ 2 ）方案一： 方案二： ， 所以方案二合适． ， （元）， （元）， （ 3 ） ， 整理得： ， 当满足 时两种方案运费相同． 【知识点】有理数四则混合运算 $ 1. 在， ， ， ， ，中，负数共有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列说法：①相反数等于它本身的数只有．②倒数等于它本身的数只有．③绝对值等于它本身的数只有．④平方等于它本身的数只有，其中错误的是（ ）． A. ①③④ B. ②③④ C. ③④ D. ③ 3. 已知是有理数，则下列结论中，正确的个数是（ ）． ①②③④ A. B. C. D. 4. 如图所示，数轴上点、对应的有理数分别为、，下列说法正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，数轴上，两点分别对应有理数，，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知，为有理数，且 ，， ，则 ， （填“ ”或“ ”）． 8. 设为自然数，则： ； ． 9. 已知、互为相反数，、互为倒数，则 ． 10. 若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，则 ． 11. 计算 的结果是（ ）． A. B. C. D. 2 学科网（北京）股份有限公司 12. 计算： ． 13. ． 14. ． 15. ． 16. 按下列程序计算，把答案写在表格内： 平方 答案 （ 1 ）填写表格： 输入 输出答案 … （ 2 ）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简． 17. 有筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下： 回答下列问题： （ 1 ）这筐白菜中，最接近千克的那筐白菜为 千克． （ 2 ）以每筐千克为标准，这筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ （ 3 ）若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？ $ 1. 在， ， ， ， ，中，负数共有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 A ， ， ， ， ， ， 负数共有 个． 故选： ． 【能力】运算能力 【知识点】正数、负数定义 【知识点】绝对值的非负性 【知识点】有理数乘方运算 2. 下列说法：①相反数等于它本身的数只有．②倒数等于它本身的数只有．③绝对值等于它本身的数只有．④平方等于它本身的数只有，其中错误的是（ ）． A. ①③④ B. ②③④ C. ③④ D. ③ B ①相反数等于它本身的数只有 ，正确． ②倒数等于它本身的数只有 ，错误，还有 ． ③绝对值等于它本身的数只有 ，错误，所有正数的绝对值都等于它本身． ④平方等于它本身的数只有 ，错误，还有故②③④错误． 【知识点】绝对值的定义 3. 已知是有理数，则下列结论中，正确的个数是（ ）． ①②③④ A. B. C. D. A 6 学科网（北京）股份有限公司 正确的是 ，故正确的个数为 个． 【能力】运算能力 【知识点】有理数乘方运算 4. 如图所示，数轴上点、对应的有理数分别为、，下列说法正确的是（ ）． A. B. C. D. D ∴ 由图可知， ， 且 ， ， ． 故选 ． 【知识点】根据数轴上点的位置判断符号大小 5. 有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）． A. B. C. D. D ， ， ， ∴ ． 【知识点】有理数比较大小-利用数轴 6. 如图，数轴上，两点分别对应有理数，，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. C 由数轴图象知 ． 【知识点】有理数比较大小-利用数轴 7. 已知，为有理数，且 ，， ，则 ， （填“ ”或“ ”）． ; 又 ，则 、 异号， ，可知正数离原点的距离大于负数离原点距离， 即正数的绝对值大于负数的绝对值， 又 ，所以， ， ． 【知识点】确定几个数和或差的符号 8. 设为自然数，则： ； ． ; ； 【知识点】有理数乘方运算 【能力】运算能力 9. 已知、互为相反数，、互为倒数，则 ． ∴ ∵ 、 互为相反数， ． ∵ 、 互为倒数， ∴ ． ∴ ． 【知识点】整式加减化简求值-整体代入化简求值 10. 若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，则 ． 根据题意，得 ， ， ， 则 ． 【知识点】倒数的定义 11. 计算 的结果是（ ）． A. B. C. D. D 原式 ． 【知识点】有理数四则混合运算 12. 计算： ． ． 【知识点】有理数四则混合运算 13. ． 解：原式 ． 【知识点】有理数四则混合运算 14. ． 解：原式 ． 【知识点】有理数四则混合运算 15. ． 原式 ． 【知识点】有理数四则混合运算 16. 按下列程序计算，把答案写在表格内： 平方 答案 （ 1 ）填写表格： 输入 输出答案 … （ 2 ）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简． （ 1 ） 输入 输出答案 … （ 2 ） ． 【知识点】列代数式 17. 有筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下： 回答下列问题： （ 1 ）这筐白菜中，最接近千克的那筐白菜为 千克． （ 2 ）以每筐千克为标准，这筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ （ 3 ）若白菜每千克售价元，则出售这筐白菜可卖多少元？ （ 1 ） （ 2 ） 筐白菜总计不足 千克． （ 3 ）出售这 筐白菜可卖 元． （ 1 ） 千克， 绝对值最小的数 ， 因而是 千克． （ 2 ） ， 答：这 筐白菜总计不足 （ 3 ）由题意可得 答：出售这 筐白菜可卖 千克． 元， 元． 【能力】分析和解决问题能力 【能力】运算能力 【知识点】有理数加减混合运算 【知识点】有理数乘除法与实际问题 【知识点】有理数加减法与实际问题 $ 1. 在下列各数 ， ， ， ， 中，负数有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 请回答下列问题： 3 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ） · 世纪数学家斐波那契的《计算书》中有这样一个问题：“在罗马有位老妇人，每人赶着头毛驴，每头驴驮着只口袋，每只口袋里装着个面包，每个面包附有把餐刀，每把餐刀有只刀鞘”，则刀鞘数为（ ）． A. B. C. D. （ 2 ）下列各式：① ；② ；③ ；④ ，计算结果为负数的个数有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 （ 3 ）若是有理数，则下列各式一定成立的有（ ）． ① ；② ；③ ；④ ． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 下列说法中，正确的是（ ）． A. 一个数的平方一定大于这个数 B. 一个数的平方一定是正数 C. 一个数的平方一定小于这个数 D. 一个数的平方不可能是负数 4. 有理数、在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知有理数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的个数为（ ）． ①．② ．③．④ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 如图，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 有理数，在数轴上的对应位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 数轴上点， ，分别表示数，，，那么下列运算结果一定是正数的是（ ）． A. B. C. D. 9. 已知 ， ，且，则 ． 10. 若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，是有理数且既不是正数也不是负数，则 的值为（ ）． A. B. C. D. 11. 如果、互为相反数，、互为倒数，那么 ． 12. 计算： ． 13. 计算： ． 14. 计算： ． 15. 计算： ． 16. 一架直升飞机从高度为米的位置开始，先以米/秒的速度上升秒，后以米/秒的速度下降 秒，这时的直升飞机所在的高度是多少？ 17. 有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任意取个之间的自然数，将这个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于．比如，自然数，，，，可以这样运算得到： 等等． （ 1 ）有个有理数分别为，，， ，根据上述规则，请你写出种不同的方法，使其结果等于 ． （ 2 ）如果换成另外的个有理数，，， ，请你写出种运算的式子，使其结果等于． 18. 某仓库某一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（吨） 进出次数 （ 1 ）这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由． （ 2 ）根据实际情况，现有两种方案． 方案一：运进每吨原料费用元，运出每吨原料费用元．方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料元． 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． （ 3 ）在（）的条件下，若该仓库某个月运进原料共吨，运出原料共吨，当、之间满足怎样的关系时两种方案吨运费相同． $