周周测 02 1.2-1.3 空间向量基本定理和空间向量坐标表示（数学人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理与坐标表示，通过三棱柱、正方体、正四棱锥等几何体情境，考查基底表示、共线共面判定、坐标运算等核心知识，体现空间观念与推理能力，适配周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间向量线性表示（如第1题三棱柱向量表示）、共线充要条件（第2题命题判断）|基础概念辨析与空间想象结合| |多选|3/18|基底构成（第9题）、四点共面判定（第10题）|多角度考查逻辑推理能力| |填空|3/15|重心向量模长（第12题）、圆锥动点最值（第13题）|综合应用与空间建模| |解答|5/77|平行六面体向量表示（第15题）、正四面体向量运算与证明（第18题）|分层设计，兼顾运算能力与逻辑表达|

2026-2027学年高二上学期数学周周测 02 1.2-1.3 空间向量基本定理和空间向量坐标表示 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．三棱柱中，若，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】在三棱柱中，四边形为平行四边形，则， 所以，. 故选：D. 2．在以下命题中，不正确的个数为（    ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数 ，使； ③对空间任意一点 和不共线的三点 ，若，则 四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】利用不等式等号成立的条件判断①；利用与任意向量共线判断②；利用共面向量定理判断③；利用基底的定义，结合反证法推理判断④即可. 【详解】对于①，当向量、同向时，， 则不是共线的充要条件，①错误； 对于②，当为零向量，不是零向量时，不存在 使成立，②错误； 对于③，若 四点共面，则存在唯一 使得， 则，即， 而，因此，此方程无解，③错误； 对于④，因为为空间的一个基底，则不共面， 故不存在不全为0的使得； 假设不是空间的另一个基底，即存在不全为0的， 使得， 即，这与为空间的一个基底矛盾， 故假设不成立，所以构成空间的另一个基底，故④正确. 所以给定命题中不正确的个数为3. 3．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点，，所以线段的中点， 点关于平面对称的点的坐标为. 4．正方体中，M是棱的中点．记，，，用，，表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体的特征，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】，，， 三个式子相加得， .    故选：A 5．已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共面得到，代入数据得到方程组，解得答案. 【详解】向量与向量，共面，不共线，则， 即，故，解得. 故选：C. 6．平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表达出，两边平方后，利用空间向量数量积运算法则得到，从而求出模长. 【详解】由题意得， 故 ， 故. 故选：A 7．已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则， 由共面，则，解得， 所以 . 故选：B. 8．正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．48 D．50 【答案】D 【分析】先由,再由，推出，，,再由向量的数量积的计算公式得到，结合基本不等式，即可求解结果. 【详解】因为正四面体的棱长为， 所以， 同理可得,, 又因为以A为球心且半径为1的球面上有两点M，N，, 所以， 由，则 因为，所以 当且仅当取等号， 此时， 所以 故的最小值为. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据空间向量的基本定理判断各选项即可. 【详解】选项 A： 设， 整理得：， 因为是空间的一个基底，所以不共面， 故不成立， 所以能构成基底，故A正确； 选项 B： 由， 得：，，共面， 故不能构成基底，故B错误； 选项 C： 设， 整理得：， 因为是空间的一个基底，所以不共面， 所以， 解得：（唯一解），因此向量组线性无关， 所以，，不共面， 所以能构成基底，故C正确； 选项 D： 由， 得：，，共面， 故不能构成基底，故D错误. 故选：AC 10．下面四个结论正确的是（    ） A．已知向量，，则在上的投影向量为 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．若，则是锐角. 【答案】ABC 【分析】利用投影向量的定义判断A，利用空间四点共面，满足，其中判断B，根据向量基底的概念判断C，利用线面关系的向量表示判断D. 【详解】选项A：因为，所以在上的投影向量为，故选项A正确； 选项B：因为，则P，A，B，C四点共面，故选项B正确； 选项C：是空间的一组基底，将向量看作立方体三条相邻的棱，且， 所以两向量之间不共线，所以也是空间的一组基底，故选项C正确；. 选项D：当 时，，但是向量同向，是零不是锐角，故选项D错误； 故选：ABC 11．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】对于A，利用空间向量平行的性质即可判断；对于B，利用空间向量垂直的坐标表示即可判断；对于C，根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算，从而得以判断；对于D，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可判断. 【详解】对A，，存在实数，使得，则，即， 解得，，故A正确； 对B，，，即，解得，故B错误； 对C，当时，，， ，故C正确； 对D，当时，，， ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，点为的重心，则_____________． 【答案】 【分析】利用重心的几何性质结合空间向量的减法可得出，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，如图，    由为的重心，得， 于是，即， 所以 . 故答案为： 13．已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为的等边三角形，，，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理可判断，，共面，又平面，所以. 【详解】因为， 所以，， 所以，，共面， 又，，为底面圆周上三点，所以点为平面上一点， 由已知平面， 所以， 又圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，所以， 所以的最小值为， 故答案为：. 14．在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】设，，根据向量的线性运算将用已知向量表示，再利用数量积运算得到的表达式，利用二次函数求出最小值. 【详解】如图，设，， 在中，， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求在基下的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据给定的平行六面体，利用空间向量的线性运算求解即得. （2）利用给定的基底表示，再利用空间向量基本定理求出坐标. 【详解】（1）在平行六面体中，连接，，，，如图，   ， ． （2） ， 因此，，， 所以在基下的坐标为． 16．如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，.    (1)求证：A，E，，F四点共面； (2)若，求x+y+z 的值. 【答案】(1)证明： ， 所以A，E，，F四点共面. (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明； （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）略 （2） ， ，，， . 17．已知空间中三点. (1)若且求向量： (2)若点在平面内， 求m的值 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）利用向量共线的充要条件结合模长的坐标表示计算即可； （2）利用空间向量共面定理建立方程组计算即可. 【详解】（1）易知，因为， 所以， 因为，所以，得， 所以向量或； （2）因为点在平面上，故存在实数使得， 又，， 所以，解得. 故. 18．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2) 由（1）可知，，， 所以 ， 所以. 【分析】（1）由平行四边形法则可得，在中，根据重心的性质可得，即可求解； （2）由（1）可知，，，利用向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）由点是线段的中点，得， 由点是的重心，得， 所以， 因为正四面体中，，， 故， 所以， 即； （2）略 19．已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，求实数的值． (3)求的面积. 【答案】(1) (2)3或 (3) 【分析】（1）计算出向量坐标，根据向量夹角公式，即可求解；（2）根据向量垂直可得数量积为0，解出的值即可；（3）根据三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）由已知得：，， ， 所以，向量与的夹角为60°． （2），， ∵ ， ∴， ∴，解得或， ∴实数k的值为3或． （3）由（1）得，， 故的面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测 02 1.2-1.3 空间向量基本定理和空间向量坐标表示 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．三棱柱中，若，，，则（   ）    A． B． C． D． 2．在以下命题中，不正确的个数为（    ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数 ，使； ③对空间任意一点 和不共线的三点 ，若，则 四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底. A．1 B．2 C．3 D．0 3．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 4．正方体中，M是棱的中点．记，，，用，，表示为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 6．平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 7．已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 8．正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．48 D．50 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．下面四个结论正确的是（    ） A．已知向量，，则在上的投影向量为 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．若，则是锐角. 11．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，点为的重心，则_____________． 13．已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为的等边三角形，，，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为______． 14．在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求在基下的坐标． 16．如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，.    (1)求证：A，E，，F四点共面； (2)若，求x+y+z 的值. 17．已知空间中三点. (1)若且求向量： (2)若点在平面内， 求m的值 18．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 19．已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，求实数的值． (3)求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测 02 1.2-1.3 空间向量基本定理和空间向量坐标表示 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．三棱柱中，若，，，则（   ）    A． B． C． D． 2．在以下命题中，不正确的个数为（    ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数 ，使； ③对空间任意一点 和不共线的三点 ，若，则 四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底. A．1 B．2 C．3 D．0 3．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 4．正方体中，M是棱的中点．记，，，用，，表示为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 6．平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．下面四个结论正确的是（    ） A．已知向量，，则在上的投影向量为 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．若，则是锐角. 8．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，点为的重心，则_____________． 10．在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，求实数的值． (3)求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测 02 1.2-1.3 空间向量基本定理和空间向量坐标表示 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．三棱柱中，若，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】在三棱柱中，四边形为平行四边形，则， 所以，. 故选：D. 2．在以下命题中，不正确的个数为（    ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数 ，使； ③对空间任意一点 和不共线的三点 ，若，则 四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】利用不等式等号成立的条件判断①；利用与任意向量共线判断②；利用共面向量定理判断③；利用基底的定义，结合反证法推理判断④即可. 【详解】对于①，当向量、同向时，， 则不是共线的充要条件，①错误； 对于②，当为零向量，不是零向量时，不存在 使成立，②错误； 对于③，若 四点共面，则存在唯一 使得， 则，即， 而，因此，此方程无解，③错误； 对于④，因为为空间的一个基底，则不共面， 故不存在不全为0的使得； 假设不是空间的另一个基底，即存在不全为0的， 使得， 即，这与为空间的一个基底矛盾， 故假设不成立，所以构成空间的另一个基底，故④正确. 所以给定命题中不正确的个数为3. 3．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点，，所以线段的中点， 点关于平面对称的点的坐标为. 4．正方体中，M是棱的中点．记，，，用，，表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体的特征，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】，，， 三个式子相加得， .    故选：A 5．已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共面得到，代入数据得到方程组，解得答案. 【详解】向量与向量，共面，不共线，则， 即，故，解得. 故选：C. 6．平行六面体中.则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表达出，两边平方后，利用空间向量数量积运算法则得到，从而求出模长. 【详解】由题意得， 故 ， 故. 故选：A 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．下面四个结论正确的是（    ） A．已知向量，，则在上的投影向量为 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．若，则是锐角. 【答案】ABC 【分析】利用投影向量的定义判断A，利用空间四点共面，满足，其中判断B，根据向量基底的概念判断C，利用线面关系的向量表示判断D. 【详解】选项A：因为，所以在上的投影向量为，故选项A正确； 选项B：因为，则P，A，B，C四点共面，故选项B正确； 选项C：是空间的一组基底，将向量看作立方体三条相邻的棱，且， 所以两向量之间不共线，所以也是空间的一组基底，故选项C正确；. 选项D：当 时，，但是向量同向，是零不是锐角，故选项D错误； 故选：ABC 8．已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】对于A，利用空间向量平行的性质即可判断；对于B，利用空间向量垂直的坐标表示即可判断；对于C，根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算，从而得以判断；对于D，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可判断. 【详解】对A，，存在实数，使得，则，即， 解得，，故A正确； 对B，，，即，解得，故B错误； 对C，当时，，， ，故C正确； 对D，当时，，， ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，点为的重心，则_____________． 【答案】 【分析】利用重心的几何性质结合空间向量的减法可得出，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，如图，    由为的重心，得， 于是，即， 所以 . 故答案为： 10．在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】设，，根据向量的线性运算将用已知向量表示，再利用数量积运算得到的表达式，利用二次函数求出最小值. 【详解】如图，设，， 在中，， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，求实数的值． (3)求的面积. 【答案】(1) (2)3或 (3) 【分析】（1）计算出向量坐标，根据向量夹角公式，即可求解；（2）根据向量垂直可得数量积为0，解出的值即可；（3）根据三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）由已知得：，， ， 所以，向量与的夹角为60°． （2），， ∵ ， ∴， ∴，解得或， ∴实数k的值为3或． （3）由（1）得，， 故的面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $