第4章 4.2 4.2.2 第1课时 指数函数的图象与性质-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦指数函数的图象与性质核心知识点，从折纸面积情境抽象出函数模型，通过描点法绘制图象，系统梳理定义域、值域、定点及单调性等性质，构建从具体实例到抽象概念的学习支架，为比较大小、求定义域值域等应用奠定基础。 该资料以情境化引入培养数学抽象，通过对比不同底数图象发展直观想象，例题中逻辑推理（如归纳比较大小方法）提升数学逻辑。课中例题与变式训练助力教师高效授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识理解与应用。

4．2.2　指数函数的图象与性质 第1课时　指数函数的图象与性质 课程标准 素养解读 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 2．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 通过作指数函数的图象以及其性质，培养学生的数学抽象，直观想象和数学逻辑素养 [情境引入] 把一张边长为1 m的正方形纸对折，对折x次后，对折后每一个图形的面积为多少？ 提示：设折后每一个图形的面积为y，则y＝x. [知识梳理] [知识点]　指数函数的图象和性质　 1．图象和性质： 0<a<1 a>1 图象 定义域 R 值域 　(0，＋∞)　 性质 过定点　(0,1)　 在R上是减函数 在R上是增函数 2.本质：作出不同底数的指数函数在同一个坐标系中的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们的共性即指数函数的性质． 3．应用：①比较大小；②求定义域、值域；③解不等式；④求参数的范围． 1.根据指数函数图象，当x>0或x<0时，y的范围是什么？ 提示： 底数 x的范围 y的范围 a>1 x>0 y>1 x<0 0<y<1 0<a<1 x>0 0<y<1 x<0 y>1 2．当两个指数函数的底数互为倒数时，它们的图象有什么关系？ 提示：关于y轴对称． 3．在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？ 提示：指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限． 4．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与底数a有什么关系？ 提示：底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”a当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图象是“下降”的． [预习自测] 1．已知两个指数函数y＝ax，y＝bx的部分图象如图所示，则(　　) A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．a＞b＞1 D．b＞a＞1 答案：D 2．函数f(x)＝3x＋1的值域为(　　) A．(－1，＋∞)　　　　 B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞) 答案：B 3．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是　________　. 答案：1<a<2 　　　指数函数图象的应用 [例1] (1)如图所示是下列指数函数的图象，①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d　　　 B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c [思路点拨]　先判断a，b，c，d与1的大小，再判断a与b，c与d的大小． (2)函数y＝ax－1＋1(a＞0且a≠1)的图象过定点(　　) A．(0,0) B．(0,1) C．(1,1) D．(1,2) [解析]　(1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象越靠近x轴，故选B. (2)令x－1＝0，得x＝1.∴y＝a0＋1＝2，∴过定点(1,2)． [答案]　(1)B　(2)D 1．指数函数的图象随底数变化的规律 (1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大． (2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大． 2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)恒过定点(0,1)． [变式训练] 1．(1)若b＜－1，则函数y＝ax＋b(a＞1)的图象必定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)函数f(x)＝ax－1＋3(a＞0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为(　　) A．(1,4) B．(0,4) C．(0,3) D．(1,3) 解析：(1)B　[y＝ax＋b的图象是由指数函数y＝ax(a＞0)向下平移|b|单位得到，如图，故选B.] (2)A　[当x＝1时，f(1)＝a0＋3＝4，所以P(1,4)．故选A.] 　　　指数函数的定义域和值域问题 [例2] 求下列函数的定义域和值域： (1) ；(2)y＝－|x|； (3)y＝. [思路点拨]　定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解． [解]　(1)∵x应满足x－4≠0，∴x≠4， ∴定义域为{x|x≠4，x∈R}． ∵≠0，∴≠1， ∴y＝的值域为{y|y>0，且y≠1}． (2)定义域为R. ∵|x|≥0，∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1， ∴此函数的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－x≥0， ∴x≤1＝0， ∴x≥0， ∴定义域为{x|x≥0，x∈R}． ∴x≥0，∴x≤1. 又∵x>0，∴0<x≤1. ∴0≤1－x<1， ∴0≤y<1，∴此函数的值域为[0,1)． 一、函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求，y＝at，t∈M的值域． ⑤通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． ⑥当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 二、函数y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的定义域、值域的求法 (1)求函数y＝f(ax)的定义域，需先确定y＝f(u)的定义域，即u的取值范围，亦即u＝ax的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值范围，得y＝f(ax)的定义域； (2)求函数y＝f(ax)的值域，需先利用函数u＝ax的单凋性确定其值域，即u的取值范围，再确定函数y＝f(u)的值域，即为y＝f(ax)的值域． [变式训练] 2．函数y＝的定义域为　____________　，值域为　__________　. 解析：令1－2x≥0，∴2x≤1. ∴x≤0. 定义域为(－∞，0]． ∴2x>0，∴1－2x<1. ∴y＝的值域为[0,1)． 答案：(－∞，0]　[0,1) 　　　利用单调性比较大小 [例3] 比较下列各组数的大小： (1)－0.24与； (2)－π与1； (3)(0.8)－2与. [思路点拨]　可以利用两幂值的特点，构造指数函数，利用其单调性进行比较大小． [解]　(1)考察函数y＝x.∵0<<1， ∴函数y＝x在(－∞，＋∞)上是减函数． 又∵－0.24>－，∴－0.24<. (2)考察函数y＝x.∵0<<1， ∴函数y＝x在(－∞，＋∞)上是减函数． 又∵－π<0，∴－π>0＝1. (3)先考察函数y＝0.8x.∵0<0.8<1， ∴函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上是减函数． 又∵－2<0，∴0.8－2>0.80＝1. 再考察函数y＝x. ∵>1，∴函数y＝x在(－∞，＋∞)上是增函数． 又∵－<0，∴<0＝1. 综上可知0.8－2>. 三类指数式的大小比较问题 (1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可． (3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较ac与bd的大小，可取ad为中间量，ac与ad利用指数函数的单调性比较大小，bd与ad利用函数的图象比较大小． [变式训练] 3．比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (3)1.50.3和0.81.2. 解：(1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5<3.2， ∴1.52.5<1.53.2. (2)指数函数y＝x与y＝x的图象(如图)，由图知. (3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1， 而0.81.2<0.80＝1， ∴1.50.3>0.81.2. 1．已知m<n<1，则有(　　) A．0<n<m　　　　　　　 B．n<m<0 C．0<m<n D．m<n<0 答案：A 2．下列说法正确的是(　　) A．1.52.3＞1.53.2 B．0.5－1.2＞0.5－1.5 C．0.80.9＜0.90.8 D．1.70.2＜0.93.2 答案：C 3．函数恒过定点(1,10)，则m＝　________　. 答案：9 4．已知指数函数f(x)＝(1－2a)x，且满足f(6)<f()，则实数a的取值范围是　________　. 答案： 5．求下列函数的定义域和值域： (2)y＝. 解：(1)由x－5≠0，得x≠5， (2)要使函数有意义，则－|x|≥0，解得x＝0. 所以函数y＝的定义域为{x|x＝0}． 因为x＝0，所以＝0＝1， 即函数y＝的值域为{y|y＝1}. 1．M＝{y|y＝2x}，P＝{y|y＝}，则M∩P＝(　　) A．{y|y＞1}　　　　 B．{y|y≥1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0} 答案：C 2．0＜a＜1，则关于x的不等式的解集为(　　) A．{x|x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|x＞0} D．{x|x＜0} 答案：B 3．(2023·天津卷，3)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 答案：D 4．若，则(　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 答案：B 5．(多选)函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　) 解析：CD　[当a>1时，∈(0,1)，因此x＝0时，0<y＝1－<1，且y＝ax－在R上单调递增，故C符合；当0<a<1时，>1，因此x＝0时，y<0，且y＝ax－在R上单调递减，故D符合．故选C、D.] 6．(多选)若函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有(　　) A．a>1 B．0<a<1 C．b>0 D．b<0 解析：AD　[因为函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示．由图象可知函数为增函数，所以a>1.当x＝0时，y＝1＋b－1＝b<0.故选A、D.] 7．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点　________　. 解析：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)． 答案：(3,4) 8．函数f(x)＝2x－3(1<x≤5)的值域是　________　. 解析：因为1<x≤5，所以－2<x－3≤2.而函数f(x)＝2x－3在其定义域上是单调递增的，所以<f(x)≤4，即所求函数的值域为. 答案： 9．函数f(x)＝|x＋1|的定义域是　________　，值域是　________　. 解析：由指数函数知，定义域为R，令t＝|x＋1|，则t≥0.∴0<()t≤1.故函数f(x)＝|x＋1|的值域是(0,1]． 答案：R　(0,1] 10．求下列函数的定义域和值域； 解：(1)要使函数有意义，需x－6≠0，即x≠6，故所求函数的定义域为{x|x≠6}． 故所求函数的值域为{y|y＞0，且y≠1}． (2)定义域为R. ∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1， (3)要使函数有意义，应满足3x－2≥0，即x≥， 故所求函数的定义域为. 设t＝，则t≥0，y＝5t， 则y≥50＝1，故所求函数的值域为[1，＋∞)． (4)定义域为R. ∵y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2， 2x＞0， ∴2x＋1＞1，∴y＞1. 故y＝4x＋2x＋1＋1的值域为{y|y＞1}． 11．比较下列各组数的大小： 解：(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3. (2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－≈0.267 9＜0.3，所以. (3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧， 函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6. 12．设f(x)＝3x，g(x)＝x. (1)在同一平面直角坐标系中作出f(x)，g(x)的图象； (2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？ 解：(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示： (2)f(1)＝31＝3， g(－1)＝－1＝3； f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π； f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m. 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称． 13．已知函数f(x)＝1＋. (1)求函数f(x)的定义域； (2)证明函数f(x)在(－∞，0)上为减函数． 解：(1)f(x)＝1＋，∵2x－1≠0，∴x≠0. ∴函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}． (2)证明：任意设x1，x2∈(－∞，0)， 且x1＜x2.f(x1)－f(x2) 学科网（北京）股份有限公司 $