1.1.3集合的基本运算（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的交集、并集、全集、补集概念及运算，通过“组建兴趣小组”情境导入，衔接已学的集合元素特性、元素与集合及集合间关系，搭建学习支架引出新运算。 其亮点在于运用Venn图和数轴直观呈现运算，结合容斥原理解决元素个数问题，典型例题涵盖参数求解与补集思想，培养数学眼光（抽象概念）、数学思维（逻辑推理）和数学语言（符号表达）。学生能提升数形结合能力，教师可借助系统例题与练习提高教学效率。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.3集合的基本运算 1.1集合 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 理解交集、并集、全集、补集的概念，能准确表述其数学含义；掌握交集、并集、补集的符号表示（A∩B、A∪B、∁_𝑼 A）和读法；能运用Venn图和数轴直观表示集合的交、并、补运算；• 能进行简单的集合运算，并能用集合语言描述实际问题。 借助Venn图和数轴，培养数形结合的思想方法； 通过小组合作与自主探究，提升数学抽象和逻辑推理能力。 学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求： （1）中考的物理成绩不低于80分； （2）中考的数学成绩不低于70分. 如果满足条件（1）的同学组成的集合记为P，满足条件（2）的同学组成的集合记为M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合为S，那么这三个集合之间有什么联系呢？ 组建兴趣小组 所有参加了数学小组或物理小组的同学，又能构成怎样的集合呢？ 有没有同学既参加了数学小组，又参加了物理小组？这部分同学能构成一个集合吗？ 引出课题 当两个集合”相遇”时，就像两条河流交汇，会产生新的”水域”。今天，我们就来学习集合之间的基本运算——交、并、补，看看两个集合能”运算”出怎样的新集合！ 前面我们已经学习了：集合中元素的确定性、互异性、无序性； 元素与集合的关系（∈、∉）； 集合与集合的关系（⊆、=）。 目标一：交集 交集的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 自然语言 一般地,给定两个集合,由既属于又属于的所有元素(即和的公共元素)组成的集合,称为与的交集 ,记作,(仍是一个集合)读作”交“. 符号语言 . （符号开口向下） 图形语言 (1) 与 有公共元素,相互不包含. (2) 与 没有公共元素,. (3),则. (4),则. (5),则. 6 体验交集 典例分析 牛刀小试 1.{1, 2, 3, 4, 5}∩{3, 4, 5, 6, 8}= ; 2.在平面直角坐标系内，x轴与y轴相交于坐标原点，用集合语言可以表 示为 。 {3, 4, 5} {(x,y)|x=0}∩{(x,y)|y=0}={(0, 0)} 3.求下列每对集合的交集: (1)A={1, -3}, B={-1, -3}; 因为A和B的公共元素只有-3，所以A∩B={-3}. （2）C={1, 3, 5, 7}, D={2, 4, 6, 8}; 因为C和D没有公共元素，所以 C∩D=⌀. E=(1, 3], F=[-2, 2). 在数轴上表示出区间E和F，如图所示， 由图可知E∩F=(1 , 2). 知识剖析 知识讲解 互动探究 新课引入 对交集概念的理解 （1）A∩B 中的任一元素都是A与B的公共元素，同时A与B的公共元素都属于A∩B。这就是“所有”二字的含义，如A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B={2,3}，而不是{2}或{3}。 （2）并不是任意两个集合总有公共元素,当 A 与 B 没有公共元素时, 不能说 A 与 B 没有交集,而是 A∩B=⌀. 8 交集的运算性质 知识讲解 互动探究 新课引入 性质 说明 交集运算满足交换律. 交集运算满足结合律. 任何集合与其本身的交集仍为集合本身. 空集与任何集合的交集都为空集. 子集关系与交集关系的相互转化. 两个集合的交集是其中任一集合的子集. 9 目标二：并集 并集的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 自然语言 一般地，给定两个集合，由这两个集合的所有元素（全部，一个不漏）组成的集合，称为与的并集，记作，读作“并”。（仍是一个集合） 符号语言 . 图形语言 (1)与有公共元素 (2)与没有公共元素 (3)，则 (4)，则 (5) 11 体验并集 典例分析 牛刀小试 1、{1, 3, 5}∪{2, 3, 4, 6}={1, 2, 3, 4, 5, 6} 注意：同时属于A和B的元素，在A∪B中只出现一次. 2、已知区间 A=(-3, 1)，B=[-2, 3]，求A∩B，A∪B． 在数轴上表示出A和B，如图所示. 由图可知A∩B=[-2, 1)，A∪B=(-3, 3]. 点评：对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解，注意两个集合的并集对应的是两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围。 体验并集性质 典例分析 牛刀小试 1、若集合M={1,3},N={1,3,5},则满足M∪X=N的集合X的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 ：根据题意,满足条件的集合可以为中的任意一个. 答案 D 2、已知集合 A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则 m= ( ) A. 0 或 B. 0 或 3 C. 1 或 D. 1 或 3 解析 . 又 或 . 由 得 或 . 但 不满足集合中元素的互异性,故舍去,故 或. 知识剖析 知识讲解 互动探究 新课引入 （1）并集符号语言中，“x∈A 或 x∈B”包括下列三种情况： ①x∈A，且x∉B；②x∉A，且 x∈B；③x∈A，且 x∈B. 可用图 形象地表示. （2）求 A∪B 时要注意集合中元素的互异性,相同的元素(即 A 与 B 的公共元素)只能算作并集中的一个元素. 14 并集的运算性质 性质 说明 并集运算满足交换律. 并集运算满足结合律. 集合与本身的并集仍为集合本身. 任何集合与空集的并集仍为集合本身. 子集关系与并集关系的相互转化. 任何集合都是该集合与另一个集合的并集的子集. 知识延伸 即三个集合间满足分配律. 目标三：全集和补集 全集与补集的概念 在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,全集通常用 U 表示. 全集 补集 自然语言 （从全集中去掉所有属于的元素）如果集合是全集的一个子集,则由中不属于的所有元素组成的集合,称为在中的补集,记作,读作“在中的补集”. 图形语言 符号表示 知识剖析 (1)补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割. 一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法;另一方面,补集的元素”逃”不出全集的范围. (2)补集既是集合之间的一种关系,也是集合之间的一种运算. 求集合A的补集的前提是A为全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的. (3)符号∁_U A有三层意思:①A是U的子集,即A⊆U;②∁_U A表示个集合,且(∁_U A)⊆U;③∁_U A是U中不属于A的所有元素组成的集即∁_U A={x∣x∈U,且 x∉A}. (4)A⊆U, 若x∈U, 则x∈A或x∈∁_U A, 二者必居其一. 体验全集与补集 典例分析 牛刀小试 1、已知全集 U={x∈N∣-2<x<4},A={0,2},则 A=（ ） A. {1,3} B. {0,1,3} C. {-1,1,3} D. {-1,0,1,3} 1、解析 因为全集 U={x∈N∣-2<x<4}={0,1,2,3},A={0,2},所以 A={1,3}. 2、若全集U=[-2,2],集合A=[-2,0],则集合A的补集 A为（ ） A.(0,2) B.[-2,0) C.(0,2] D.[0,2] 2、解析 借助数轴(如图)易得A=(0,2]. 补集的运算性质 性质 说明 集合与的补集的并集是全集. 集合与的补集的交集是空集. 集合的补集的补集是集合本身. 全集的补集是空集，空集的补集是全集 子集关系与补集关系的转化. 的补集等于与的并集. 的补集等于与的交集. 目标四：集合运算中的元素个数问题 在有限集中,我们经常遇到有关集合中元素个数的问题,我们常用维恩图表示两集合的交、并、补. 如果用 card 表示有限集合元素的个数,即"card" (A)表示有限集A的元素个数. 则有如下结论: (1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)； (2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)。 这一结论，在计数上称为容斥原理。 计数 体验公式 典例分析 牛刀小试 某班统计考试成绩,数学得90分以上的学生有25 人;语文得 90 分以上的学生有 21 人;语文和数学两科成绩中至少有一科在 90 分以上的学生有 38 人. 则语文和数学两科成绩都在 90 分以上的学生人数为________. 解析 设A={数学成绩在90分以上的学生},B={语文成绩在90分以上的学生}, 则集合A∪B表示语文和数学两科成绩 中至少有一科在90分以上的学生. 设所 求人数为x, 借助维恩图表示, 如图 所示. 38=25+21-x, 解得 x=8, 故所求人数为8. 答案 8 目标五：典型例题 题型1 集合的交、并、补运算 法一 例1 法二 法三 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8},求A∩B,A∪B,A∩( B),(A)∪B. 典例分析 牛刀小试 求法同方法1. 画出维恩图,如图1.1.3-13所示,可得 题型1 集合的交、并、补运算 例2 已知全集 U=(-∞,4],集合A=(-2,3),B=[-3,2], 求A∩B,( A)∪B,A∩( B),( A)∪( B). 典例分析 牛刀小试 解析 如图，在数轴上表示集合 将所给集合在数轴上表示出来 → 结合集合运算 的定义求解。在结合数轴求解时， 要注意端点的“实” 与“虚”以及等号的 取与不取. 解决集合运算问题的方法 1.解决集合的混合运算问题时,一般先运算括号内的部分,如求( A)∩B时,先求出 A,再求交集;求 (A∪B)时,先求出A∪B,再求补集. 2.当集合是用列举法表示时(如数集),可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合;当集合是用描述法表示时(如区间形式表示的集合),则可运用数轴求解. 题型2 利用集合的运算结果求参数 例3 已知集合A={-4,2a-1,},B={a-5,1-a,9}，若9∈A∩B，则实数a的值为________. 典例分析 牛刀小试 给什么得什么 由 , 且 中有 , 可知 也一定是 中的元素. 求什么想什么 要求出 的值, 就需要讨论 中哪个未知元素和 相等. 差什么找什么 分类讨论时, 要检验 中元素是否满足互异性. 解析 且 , 或 或 . 当 时, , 符合题意;(求出 值后,需代入集合 中进行检验) 当 时, , 不满足集合中元素的互异性,故 ; 当 时, , 符合题意. 或 . 题型2 利用集合的运算结果求参数 例4 已知集合A={-4,2a-1,}，B={a-5,1-a,9}，若A∩B={9}，则实数a的值为▁(  )。 典例分析 牛刀小试 解析：，且， 或，即 ，或。 当时，，， 则，不满足题意，。 （与集合运算有关的参数问题，不只要检验互异性，还要注意题干其他条件的检验） 当时，，不满足集合中元素的互异性，。   这道题是上一道题的变式，请仔细比对。 题型3利用集合的运算性质求参数的取值范围 法一 例5 法二 设集合A={x∣x+m≥0}，B={x∣-2<x<4}，全集U=R，且(A)∩B=⌀，求实数m的取值范围为▁。 典例分析 牛刀小试 思路点拨 思路一（直接法）：由求，根据结合数轴建立的不等关系。 思路二（转化法）：等价转化为即可得的取值范围。 解析 方法1（直接法） 由，得， 因为，， 结合数轴得，即。 所以实数的取值范围为。 方法2（转化法） 由可知。 又，，结合数轴（如图得，即。 所以实数的取值范围为。 求集合运算中参数的思路 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系。若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系。 (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解，或解的集合为怎样的范围。 (3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围。 解题时，需注意两点： ①已知的集合及由集合间的运算得到的新集合都要满足集合中元素的互异性，在求解含参数的问题时，要注意这一隐含的条件；②对于涉及A∪B=A或A∩B=B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，注意空集的特殊性。 题型4 补集思想的应用——正难则反 例6 已知集合A=y∣y>+1或 y<a},B=y∣2≤y≤4}，若A∩B≠⌀，则实数a的取值范围为▁。 典例分析 牛刀小试 思路点拨 若直接利用交集不为空集求解，则所分情况较多，因此考虑从交集为空集的角度入手。 解析 因为，，我们不妨先考虑当时的取值范围，在数轴上表示集合，如图1.1.3‑17所示。 由 得 故或， 即时，的取值范围为， 故时，的取值范围为。 答案： 运用补集思想解题的步骤 当从正面考虑情况较多，问题较复杂时，往往考虑运用补集思想。其解题步骤为： 第一步，否定已知条件，考虑反面问题； 第二步，求解反面问题对应的参数范围； 第三步，取反面问题对应的参数范围的“补集”。 目标六：针对训练 举一反三 1.若全集，集合，，则 A. B. C. D. 解析：因为，，所以，又，所以.故选:B.   2.已知全集，集合，，则集合 A. B. C. D. 解析： ，故 A 不符合题意； ，故 B 不符合题意； ，，故 C 不符合题意； ，故 D 符合题意. 举一反三 3.设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是() A. B. C. D. 解析: 图中的阴影部分表示的集合为 故选:B. 举一反三 4.已知集合，，则 A. B. C. D. 解析：集合，集合， 补集， 交集.故选：B. 5.已知全集均为的子集，且，则 A. B. C. D. 解析: 根据Venn 图, 阴影部分为，显然集合与无公共部分， 所以.  目标七：小结 学海拾贝 运算 符号 定义 口诀/Venn图特征 交集 “且”——公共部分，越交越小 并集 “或”——全部合并，越并越大 全集 研究问题时所涉及的所有元素组成的集合 提供”参照系” 补集 “剩余”——全集中去掉A的部分 学海拾贝 【方法总结】 1. Venn图法：直观展示集合关系，适合有限集和抽象分析； 2. 数轴法：处理连续数集（如区间）的交、并运算时，注意端点取舍； 3. 定义法：紧扣”且”“或”“非”的逻辑含义，用元素分析法验证。 学海拾贝 【易错提醒】 A∩B 中的”且”是同时满足，不要与”或”混淆； A∪B 中的”或”是可兼或（包含”且”的情况），不是”二选一”； 求补集时必须先明确全集 U，补集是相对于全集而言的； 注意区分 ∈（元素与集合）和 ⊆、=（集合与集合）的使用场景。 学海拾贝 【思想升华】 集合的运算，本质上是对元素进行“筛选”与”重组”。交集是”取同”，并集是”求全”，补集是”取反”。这三种运算与逻辑中的”且”“或”“非”完美对应，体现了数学概念之间的深刻联系。在今后的学习中，我们将继续用集合语言描述函数的定义域、方程的解集等，集合运算将成为我们研究数学问题的重要工具。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $