第1章 1.1.3 第1课时 交集与并集（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦集合的交集与并集运算，从实数运算类比引入集合运算，通过具体实例抽象概念，结合维恩图和数轴直观表达关系，再通过例题与训练掌握求法，形成从概念到应用的学习支架。 本资料以问题情境驱动，通过类比、实例抽象概念，培养数学眼光中的抽象能力与几何直观。例题设计分层，结合数轴与维恩图辅助理解，培养数学思维的推理意识与运算能力，课中助教师高效授课，课后助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.1.3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 学习目标　1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集.2.能使用维恩图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 导语 两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加、减、乘、除等运算.如果把集合与实数相类比，我们会想两个集合是否也有类似的运算呢？本节就来研究这个问题. 一、交集的概念及应用 问题1　观察下列各个集合，集合C与集合A，B之间有什么关系？ (1)A={2，4，6，8，10}，B={3，5，8，12}，C={8}； (2)A={x|x是立德中学今年在校的女同学}， B={x|x是立德中学今年在校的高一年级同学}， C={x|x是立德中学今年在校的高一年级的女同学}. 提示　集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的. 知识梳理 1.交集 2.交集的运算性质 (1)A∩B=B∩A. (2)A∩A=A. (3)A∩∅=∅∩A=∅. (4)如果A⊆B，则A∩B=A，反之也成立. 注意点： (1)A∩B仍是一个集合. (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B=∅. 例1　(1)设集合M={m∈Z|-3<m<2}，N={n∈Z|-1≤n≤3}，则M∩N等于(　　) A.{0，1} B.{-1，0，1} C.{0，1，2} D.{-1，0，1，2} 答案　B 解析　易知M={-2，-1，0，1}，N={-1，0，1，2，3}，根据交集定义可知M∩N={-1，0，1}. (2)设集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　) A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4} 答案　A 解析　在数轴上表示出集合A和B，如图所示.由交集的定义知，A∩B={x|0≤x≤2}. 反思感悟　求集合A∩B的常用方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用交集的定义求解. (2)数形结合法：若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解. 跟踪训练1　(1)在如图所示的维恩图中，若A={x|0≤x≤2}，B={x|x>1}，则阴影部分表示的集合为(　　) A.{x|0<x<2} B.{x|1<x≤2} C.{x|0≤x≤1或x≥2} D.{x|0≤x≤1或x>2} 答案　B 解析　由题图可知，阴影部分表示的集合是A∩B，因为A={x|0≤x≤2}，B={x|x>1}，所以A∩B={x|1<x≤2}. (2)已知A={(x，y)|x+y=3}，B={(x，y)|x-y=1}，则A∩B等于(　　) A.{2，1} B.{x=2，y=1} C.{(2，1)} D.(2，1) 答案　C 解析　A∩B=={(2，1)}. 二、并集的概念及应用 问题2　观察下列各个集合，类比实数的加法运算，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？ (1)A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}； (2)A={x|x是有理数}，B={x|x是无理数}，C={x|x是实数}. 提示　集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的. 知识梳理 1.并集 2.并集的运算性质 (1)A∪B=B∪A. (2)A∪A=A. (3)A∪∅=∅∪A=A. (4)如果A⊆B，则A∪B=B，反之也成立. 注意点： (1)A∪B仍是一个集合. (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况： ①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性. 例2　(1)已知集合A={x|x2=3x}，B={-1，1，2，3}，则A∪B等于(　　) A.{3} B.{-1，0，1，2} C.{-1，0，1，2，3} D.{-1，1，2，3} 答案　C 解析　∵集合A={x|x2=3x}={0，3}，B={-1，1，2，3}，∴A∪B={-1，0，1，2，3}. (2)(多选)已知集合M={x|-3<x≤5}，N={x|x<-5或x>5}，则M∪N等于(　　) A.{x|x<-5或x>-3} B.{x|-5<x<5} C.(-∞，-5)∪(-3，+∞) D.(-5，5) 答案　AC 解析　在数轴上表示集合M，N，如图所示， 则M∪N={x|x<-5或x>-3}=(-∞，-5)∪(-3，+∞). 反思感悟　求集合M∪N的常用方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解. (2)数形结合法：若集合是用描述法或区间表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解. 跟踪训练2　(多选)点集A={(x，y)|x<0}，B={(x，y)|y<0}，则A∪B中的元素可能在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　BCD 解析　由题意得，A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以A∪B中的元素不可能在第一象限，可能在第二、三、四象限. 三、根据并集与交集运算求参 例3　已知集合A={x|-2<x<3}，B={x|2m+1<x<m+7}，若A∪B=B，求实数m的取值范围. 解　因为A∪B=B，所以A⊆B， 所以解得-4≤m≤- 故实数m的取值范围为. 延伸探究1　若将本例的条件“A∪B=B”改为“A∩B=∅”，则实数m的取值范围为　　　　　　.  答案　{m|m≤-9或m≥1} 解析　因为A∩B=∅，所以2m+1≥m+7或或所以m≥6或m≤-9或1≤m<6.故实数m的取值范围为{m|m≤-9或m≥1}. 延伸探究2　若将本例的条件“A∪B=B”改为“A∩B=B”，求实数m的取值范围. 解　因为A∩B=B，所以B⊆A. 当B=∅时，2m+1≥m+7， 所以m≥6，满足A∩B=B； 当B≠∅时，有无解. 故实数m的取值范围是{m|m≥6}. 反思感悟　利用集合间的关系求参数的一般步骤 (1)若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系. (2)将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集的取值范围. (3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围. 跟踪训练3　已知集合A={x|-2<x<4}，集合B={x|x+a-1≥0}，若A∪B={x|x>-2}，则实数a的取值范围为　　　　　　　　.  答案　[-3，3) 解析　由题意，集合A={x|-2<x<4}， 集合B={x|x≥1-a}， 若A∪B={x|x>-2}，则-2<1-a≤4，解得-3≤a<3. 1.知识清单： (1)交集、并集的概念及运算. (2)交集、并集运算的性质. (3)求参数值或范围. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论. 1.若集合A={x|0<x<4}，B={x|-4<x≤2}，则A∩B等于(　　) A.{x|0<x<4} B.{x|-4<x≤2} C.{x|0<x≤2} D.{x|-4<x<4} 答案　C 解析　∵A={x|0<x<4}，B={x|-4<x≤2}， ∴A∩B={x|0<x≤2}. 2.已知集合M={-1，0，1}，P={0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　) A.{0，1} B.{0} C.{-1，2，3} D.{-1，0，1，2，3} 答案　D 解析　由维恩图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M={-1，0，1}，P={0，1，2，3}，故M∪P={-1，0，1，2，3}. 3.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x|-1≤x≤5}，则(A∪B)∩C等于(　　) A.{2} B.{1，2，4} C.{1，2，4，6} D.{x|-1≤x≤5} 答案　B 解析　(A∪B)∩C={1，2，4，6}∩C={1，2，4}. 4.设集合A={x|x2-4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|-2≤x≤1}，则a等于(　　) A.-4 B.-2 C.2 D.4 答案　B 解析　因为集合A={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2}，B={x|2x+a≤0}= 又因为A∩B={x|-2≤x≤1}，所以-a=1，所以a=-2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.设集合M={-1，0，2}，N={-1，1}，则M∪N等于(　　) A.{0，2} B.{-1，1，2} C.{-1，0，1，2} D.{-1，0，2} 答案　C 解析　集合M={-1，0，2}，N={-1，1}，所以M∪N={-1，0，1，2}. 2.设集合A={(x，y)|x-2y=1}，B={(x，y)|x+y=2}，则A∩B等于(　　) A.∅ B. C. D. 答案　C 解析　由得 所以A∩B=. 3.设集合A={0，1，2，5}，B={1，3，4}，C={x|1≤x≤4}，则(A∩C)∪B等于(　　) A.{1} B.{1，3} C.{1，2，3} D.{1，2，3，4} 答案　D 解析　∵A∩C={1，2}，∴(A∩C)∪B={1，2，3，4}. 4.(多选)下列说法中正确的是(　　) A.交集的元素个数一定比参与运算的任何一个集合的元素个数少 B.若A∪B=A，则B中的每一个元素都在集合A中 C.A∩B=C∩B，则A=C D.两集合均不为空集，则两集合的并集不可能为空集 答案　BD 解析　由A∩A=A可知，A错误；若A∪B=A，可得集合B是集合A的子集，B正确；当交集都是空集时，集合A与C不一定相等，C错误；两集合均不为空集，则两集合的并集不可能为空集，D正确. 5.已知集合A={1，3}，B={1，m}，A∩B={1，m}，则m等于(　　) A.0或 B.0或3 C.1或3 D.1或3或0 答案　B 解析　∵集合A=B=且A∩B= ∴B⊆A， ∴m=3或m= 解得m=3或m=0或m=1， 由元素的互异性得m=1不符合题意，舍去， 则m=3或m=0. 6.集合A，B中各有两个元素，A∩B中有一个元素，若集合C同时满足：①C⊆(A∪B)，②C⊇(A∩B)，则满足条件的集合C的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　设A={a，b}，B={b，c}，由①知C⊆{a，b，c}，由②知{b}⊆C，所以C中必有元素b，故集合C的个数为22=4. 7.(5分)已知集合A=B={x∈Z|x≤2}，则A∩B=　　　　.  答案　{0，1，2} 解析　因为A=B={x∈Z|x≤2}，所以A∩B= 所以A∩B={0，1，2}. 8.(5分)已知集合A={x|x<k}，B={x|1<x<2}，且A∩B=B，则实数k的取值范围是　　　　　.  答案　[2，+∞) 解析　因为A∩B=B，所以B⊆A，又A=B=所以k≥2. 9.(10分)已知集合A={x|x≥3}，B={x|1≤x≤7}，C={x|x≥a-1}. (1)求A∩B，A∪B；(5分) (2)若C∪A=A，求实数a的取值范围.(5分) 解　(1)A∩B={x|x≥3}∩{x|1≤x≤7}={x|3≤x≤7}，A∪B={x|x≥3}∪{x|1≤x≤7}={x|x≥1}. (2)因为C∪A=A，所以C⊆A，所以a-1≥3，即a≥4.故实数a的取值范围为{a|a≥4}. 10.(11分)设A={x|3<x≤5}，B={x|a-1<x<4}. (1)当a=2时，求A∩B；(4分) (2)若A∩B=∅，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)当a=2时，B= 则A∩B=. (2)当B=∅时，A∩B=∅， 则a-1≥4，所以a≥5， 当B≠∅时，易知A∩B=∅不成立， 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≥5}. 11.已知集合A={(x，y)|x，y∈N+，y≥x}，B={(x，y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 答案　C 解析　满足x，y∈N+，y≥x，且x+y=8的有序实数对(x，y)有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，共4个，故A∩B中元素的个数为4. 12.已知集合A={x|ax-1=0}，B={x∈N+|2≤x<5}，且A∪B=B，则实数a的所有值构成的集合是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　当a=0时，A=∅，此时A∪B=B，符合题意. 当a≠0时，集合A={x|ax-1=0}=. 又∵B={x∈N+|2≤x<5}={2，3，4}，且A∪B=B， ∴a=或a=或a=. 则实数a的所有值构成的集合是. 13.(5分)设集合M={x|-4<x<3}，N={x|t+2<x<2t-1，t∈R}.若M∩N=N，则实数t的取值范围为　　　　.  答案　{t|t≤3} 解析　由M∩N=N， 得N⊆M. 故当N=∅，即t+2≥2t-1， 即t≤3时，M∩N=N成立； 当N≠∅时，由数轴得无解. 综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤3}. 14.(5分)设集合A={-1，0}，B={x∈N|0≤x<a}，若B中恰有2个元素，且定义A*B={(x，y)|x∈(A∩B)，y∈(A∪B)}，则A*B的子集个数是　　　　　　　.  答案　8 解析　因为集合B={x∈N|0≤x<a}且B中恰有2个元素，则1<a≤2，所以B={0，1}. 又A={-1，0}，所以A∩B={0}，A∪B={-1，0，1}. 又A*B={(x，y)|x∈(A∩B)，y∈(A∪B)}，所以A*B={(0，-1)，(0，0)，(0，1)}， 所以A*B的子集有23=8(个). 15.(多选)已知集合A={x|(x-2)(x-a)=0，a∈R}，B={x|(x-1)(x-3)=0}，若集合A中元素的个数为有限个，则将其个数记为card(A)，则下列说法正确的是(　　) A.若card(A)=2，则card(A∪B)=4 B.若card(A)=1，则card(A∪B)=3 C.若card(A∪B)=3，则A∩B=∅ D.若card(A∪B)=4，则A∩B=∅ 答案　BD 解析　集合A={x|(x-2)(x-a)=0，a∈R}，B={x|(x-1)(x-3)=0}={1，3}，对于A，若card(A)=2，则card(A∪B)的可能取值为3或4，故A错误；对于B，若card(A)=1，则A={2}，A∪B={1，2，3}，所以card(A∪B)=3，故B正确；对于C，若card(A∪B)=3，则A∩B可能为∅，{1}，{3}，故C错误；对于D，若card(A∪B)=4，则A={2，a}，且a的值不是1和3，所以A∩B=∅，故D正确. 16.(12分)设集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2-2x-3=0}. (1)若A∩B=A∪B，求实数a的值；(5分) (2)若A∩B≠∅且A∩C=∅，求实数a的值.(7分) 解　(1)由题可得B={x|x2-5x+6=0}={2，3}， 由A∩B=A∪B，得A=B. 从而2，3是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的两个根， 即解得a=5. (2)因为B={2，3}，C={x|x2-2x-3=0}={-1，3}. 因为A∩B≠∅，又A∩C=∅，所以2∈A， 所以4-2a+a2-19=0，即a2-2a-15=0， 解得a=5或a=-3. 当a=5时，A={2，3}， 则A∩C≠∅，不符合题意； 当a=-3时，A={-5，2}， 则A∩B={2}且A∩C=∅， 故a=-3符合题意. 综上，实数a的值为-3. 学科网（北京）股份有限公司 $