1.1.1集合及其表示方法（第2课时）（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的列举法、描述法及区间表示，通过“不大于3的自然数”“小于1000的正整数”等认知冲突导入，衔接上节课集合概念，搭建从具体列举到抽象描述再到简洁区间的学习支架。 亮点在于以“数学思维”引导表示法互化，通过“单刀小试”辨析代表元素差异，用表格归纳适用情形与书写要点，培养“数学语言”表达能力。实例结合方程解集、函数定义域，帮助学生用数学眼光解决问题，教师可借助多样化练习提升教学效率。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1集合及其表示方法（第2课时） 1.1集合 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 3 理解集合的两种基本表示方法：列举法和描述法，能根据具体问题选择恰当的方法表示集合。 掌握区间的概念与表示方法，能熟练将连续数集用区间表示，并能在不等式、函数定义域与值域中正确使用区间符号。 能实现“列举法 描述法 区间表示”之间的互化，体会不同表示形式的等价性。 上节课我们认识了集合，知道了“把确定的对象放在一起就构成集合”。比如“不大于 3 的自然数”组成的集合，大家能把它写出来吗？ 认知冲突 0，1，2，3。 像这样把元素一一写出来的方法，就是我们今天要系统学习的——列举法。但如果我说“小于 1000 的正整数”，你还会一个一个写吗？ 太麻烦了，写不完。 那怎么办？我们需要一种能“说清规律但不穷举”的方法——这就是描述法。 再看一个问题：不等式 x>2 的所有实数解怎么表示？除了用描述法，还有没有更简洁、像“一段数”一样的记法？ 今天我们就来学习三种“讲清楚一个集合”的工具：列举法、描述法、区间，并学会在它们之间进行转换。 目标一：集合的表示方法 集合常见的表示方法有自然语言法、列举法、描述法以及后面将要学习的 Venn 图法和区间表示法等。 用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法应注意叙述清楚即可，如由所有正方形组成的集合，就是用自然语言表示的，不能叙述成“正方形”；再如，由全体实数组成的集合，或实数集。 自然语言法 列举法 如果一个集合是有限集,元素又不太多,把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法叫作列举法。 例如,由 2,4,6,8 组成的集合可表示为 {2,4,6,8}。 自然语言和列举法 1、试用列举法表示下列集合: 由两个元素 0, 1 组成的集合可用列举法表示为 24 的所有正因数 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 组成的集合可用列举法表示为 中国古典长篇小说四大名著组成的集合可以表示为 列举法应用 牛刀小试 用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序. 例如，{1, 2}与{2, 1}表示同一个集合. 但是，如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不至于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. 例如，不大于100的自然数组成的集合，可表示为：{0, 1, 2, 3, ...,100}. 一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)叫作集合A的一个特征性质。此时,集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}。这种表示集合的方法,叫作特征性质描述法,简称为描述法。其中x是集合A的代表元素,p(x)是x满足的特征性质。 特征性质描述法有三种表示形式: 描述法 描述法 体验描述法 1、 试用描述法表示偶数集、奇数集。 答 偶数集表示的方法不唯一,如 , , 等。同样, 奇数集可表示为 , , , 等。 牛刀小试 体验描述法 1、 试用描述法表示偶数集、奇数集。 答 偶数集表示的方法不唯一,如 , , 等。同样, 奇数集可表示为 , , , 等。 牛刀小试 描述法特征性质 类型 适用对象 要点说明 举例 注意事项 文字语言描述 人、事物、图形等集合 用自然语言描述集合中元素具备的特征 是直角三角形，可简记直角三角形 不能写所有的直角三角形，集合符号本身就含有 “全部、所有” 含义，“所有” 重复多余 符号语言描述 数集 用代数符号、不等式描述元素，不产生歧义时，元素取值集合可省略 不等式解集：，简写成 省略前提是不会产生误解；多用于数集 图形语言描述 点集 借助平面直角坐标系画图，用图形直观表示集合 坐标系中画出直线、曲线、阴影区域代表点的集合 主要用来表示点构成的集合 1、用列举法和描述法分别表示下列集合。 (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程 的所有实数解组成的集合； (3)方程组 的解组成的集合。   答 (1)用列举法表示为， 用描述法表示为且 (2)方程的解是或,所以方程的所有实数解组成的集合用列举法表示为,用描述法表示为。 (3)解方程组得故用列举法表示方程组的解组成的集合为，用描述法表示为。 牛刀小试 2、试用描述法表示下列集合： （1）所有平行四边形组成的集合 （2）所有能被3整除的整数组成的集合 （3）所有被3除余1的自然数组成的集合 答 牛刀小试 目标二：集合语言的理解与转换 集合语言是现代数学的基本语言,也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言。集合语言与其他语言的关系以及集合语言的组成如下： 将集合语言转化为自然语言、几何语言,有助于 弄清集合是由哪些元素所组成的,有助于提高分 析和解决问题的能力。 集合是由元素组成的,所以集合的本质就是元 素,只有明确集合中的元素是什么、有多少,才能 准确理解集合语言。 集合的对象非常广泛,有数、图形、点和人等。要 读懂集合,首先要知道集合的对象是什么,其次 是对象具有什么属性。 集合语言转译的意义 理解集合的表达 1、 下列四个集合： ①；②；③；④。 (1)它们各自的含义是什么？ (2)它们是不是相同的集合？ 答 (1)①中的代表元素是, 表示的是该函数自变量的取值范围。显然 ,该集合表示实数集。 ②中的代表元素是,表示的 是该函数的函数值组成的集合。易知, 该集合就是。 ③中的代表元素是 ,该集合可以理解为是满足的 有序实数对的集合,也可以认为是坐 标平面内满足的点组成 的集合。 ④集合表示的是以方程 1(或函数解析式)为元素的集合。 (2)由(1)知,集合①是实数集,集合②是不 小于1的实数集,集合③是抛物线上的点组 成的点集,④是单元素集。故它们是互不相 同的集合。 牛刀小试 理解集合的表达 2、给出下列说法: ①集合 用列举法表示为; ②实数集可以表示为 为所有实数 或; ③方程组 的解组成的集合为。 其中不正确的有______。(把所有符合题意的序号都填上) 解 ①由,即,得或1或。因为,所以集合用列举法表示应为。②符号”“已包含”所有”“全体”等含义,所以实数集正确的表示应为或。 ③方程组的解是有序实数对,而集合表示两个等式组成的集合,方程组的解组成的集合正确的表示应为或。故①②③均不正确。 答 ①②③ 牛刀小试 理解集合的表达 3、下列说法中正确的是( )。 ①0 与表示同一个集合；②由 1,2,3 组成的集合可表示为或；③方程的所有解组成的集合可表示为；④满足的所有实数组成的集合可以用列举法表示。 A. ①④ B. ②③ C. ② D. 以上说法都不对 C 【解析】①中“0”不是集合，而“”表示集合，故①不正确；根据集合中元素的无序性，可知②正确；根据集合中元素的互异性，可知③不正确；④不能用列举法表示，原因是满足题意的集合中有无数个元素，不能一一列举出来，故④不正确。 牛刀小试 目标三：列举法和描述法相互转化 将描述法转化为列举法时,首先确定集合是由哪些元素组成的,然后将所有元素写在大括号内; 将列举法转化为描述法时,首先要明确集合中元素的公共属性,即把握住集合的代表元素是什么,元素满足什么条件,灵活深入地理解符号语言所表达的含义,是用描述法表示集合的关键。 下面给出一些常见集合的表示方式 (1)方程的解集,例如,{x∣f(x)=0}(f(x)是关于x的代数式); (2)不等式的解集,例如,不等式2x-3<0的解集为{x∣2x-3<0}; (3)函数自变量组成的集合,例如,函数 y= 的 自变量组成的集合为{x∣y=}; (5)函数图像上的点组成的集合,例如,函数 y= +2x+1 图像上的点的集合可表示为{(x,y)∣y= +2x+1}; (6) 二元方程组 可表示为{(x,y)∣}或{(1,1)}; (4)函数因变量组成的集合,例如,函数 y= 的 因变量组成的集合为 {y|y=}; 1、用另一种形式表示下列集合: (1)； (2)。 答 (1)由得。又,,对应的值为,, 。 (2)观察集合中的元素,不难发现,若令分子为,则分母为,且,。 列举描述互译 牛刀小试 2、用适当的 方法描述下列集合，并且说明它们是有限集还 是无限集。 (1)方程 的解组成的集合； (2)大于0且小于10的奇数组成的集合； (3)不等式 的解组成的集合； (4)抛物线 上的点组成的集合； (5)方程 的解组成的集合。 (1)用列举法表示为,用描述法表示为,集合中有2个元素,是有限集。 列举描述互译 (2)用列举法表示为,用描述法表示为,集合中有5个元素,是有限集。  (3)用描述法表示为，集合中有无 限个元素，是无限集 (4)用描述法表示为，集合中 有无数个元素，是无限集。 (5)方程无实数解，故该方程的解组成的集合为,是有限集。 牛刀小试 目标四：区间及其表示 ① 区间的概念 如果a<b，则集合{x|a≤x≤b}可简写为[a, b]，并称为闭区间. 例如，集合{x|1≤x≤2}可简写为闭区间[1,2]. 类似地， 如果a<b: 集合{x|a<x<b}可简写为(a, b)，并称为开区间; 集合{x|a≤x<b}可简写为[a, b)，集合{x|a<x≤b}可简写为 (a, b], 并都称为半开半闭区间. ① 区间的概念 设 a,b 是两个实数,而且 a<b。我们作出规定： 定义 名称 符号 几何表示 闭区间 开区间   半开半闭区间   半开半闭区间   这里的实数 a,b 分别称为区间的左、右端点。 b-a称为区间的长度. 区间解读 理解区间概念的注意点 (1)一般地,区间的左端点的值小于右端点的值。 (2)区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开。 (3)左、右端点 a,b 都能取到的叫闭区间,左、右端点 a,b 有一端能取到、另一端不能取到的叫半开半闭区间,左、右端点 a,b 都不能取到的叫开区间。 ② 无穷大的概念 实数集 R 可以表示为区间 (-∞,+∞)，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。我们可以把满足 x≥a,x>a,x≤b,x<b 的实数 x 的集合分别表示为 [a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b)，其定义、符号及几何表示如下表： 定义 符号 几何表示 (1)区间实际上是一类特殊的数集(连续的)的另一种表示方式,开或闭不能混淆; (2)集合和区间都是表示取值范围的方法,具体用哪种方法表示取值范围,原则上应与题干中的表示方法保持一致; (3)区间不能表示空集和点集。 集合与区间有什么联系？ 区间应用 1、用区间表示下列数集： 2、将下列集合用区间及数轴表示出来 ; (2) ; ; (4) ; 。 答 (1) 用区间表示为,用数轴表示如图所示。 用区间表示为,用数轴表示如图所示。 用区间表示为 轴表示如图 （4） 用区间表示为 ） 轴表示如图 用区间表示为, 用数轴表示如图 牛刀小试 目标五：针对训练 举一反三 1.集合 表示成区间是() A. B. C. D. 解析: 由 得 ，表示成区间是，故选 B.   2 已知集合 ，则 (D) A. B. C. D. 解析: 因为集合 ， 所以 可能为 1，2，3，6，即 可能为 4，3，2，. 所以 . 故选 D.  举一反三 3.已知 为非零实数, 则集合 为() A. B. C. D. 解析: 当 时, . 当 时, . 若 异号, 不妨设 , 则 . 因此 或 , 则 . 故选 B.   举一反三 4.给出下列说法: ①集合用列举法表示为; ②实数集可以表示为或; ③方程组的解集为.其中说法正确的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0  解析: 由 ，即 ，得 或 或 . 因为 ，所以集合 用列举法表示为 ，故①不正确. 集合表示中的符号“”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确的表示应为 或 ，故②不正确. 方程组 的解是有序实数对，其解集应表示为 或 ， 而集合 表示由这两个等式组成的集合，故③不正确.故选 D. 举一反三 5、下列集合写成区间的形式后可以含有“”的有() (多选) A. B. C. D. 解析: 根据集合与区间的关系可知, 只有选项 A, C 中的集合写成区间的形式 后含有“”. 6、若满足不等式且的实数组成的集合,则集合为( ) (多选) A. B. C. D. 解析: 由且,得到, 所以集合为或.故选: AC.   举一反三 7、 集合 用列举法表示为 解析: .故答案为: . 8 、用描述法表示下列集合; (1)不等式的解集. (2)所有的偶数组成的集合. 解: (1)解不等式得, 所以,原不等式的解集用描述法表示为. (2)所有的偶数组成的集合为.  目标六：小结 学海拾贝 表示方法 适用情形 书写要点 示例 列举法 元素个数少或可穷举 元素写在大括号内，逗号分隔 描述法 元素满足某种共同性质 格式，竖线前为代表元素 区间 实数集的连续子集 用小括号/中括号表示开闭 区间本质是描述法在连续实数集上的简化记法。 无穷区间统一用 ∞，且只能用开区间符号。 学海拾贝 2. 思想方法 从具体到抽象：列举法 → 描述法 → 区间。 数学表示追求“准确、简洁、可转化”。 3. 学习提醒 列举法不重不漏；描述法代表元素要明确；区间只用于实数集。 三种表示可以互化，解题时要选择最方便的一种。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $