01-1.1.1 集合及其表示方法(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“集合及其表示方法”，涵盖集合定义、元素特性、表示方法及区间等核心知识点。通过生活实例导入，从具体集合（如班级学生）过渡到数学抽象集合，构建从感性到理性的学习支架，为后续常用逻辑用语学习奠定基础。 其亮点在于分层设计基础与提升题组，结合易错点辨析（如元素互异性检验）和创新题型（双J集合），培养学生数学眼光（抽象能力）、数学思维（推理意识）和数学语言（符号表达）。例如双J集合题引导学生探究新定义下的集合性质，帮助学生深化概念理解与逻辑推理，也为教师提供分层教学与创新题设计的实用资源。

第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　集合的定义与元素的特点 1.[2026湖南株洲南方中学月考]下列说法正确的是 ( ) A.由1,2,3,1,4构成的集合是{1,2,3,1,4} B.满足-2≤x<1的x构成的集合是{-2≤x<1} C.全体实数构成的集合是{x|x是实数} D.抛物线y=-x2+1上的所有点的坐标构成的集合是{y|y=-x2+1}     C     解析　对于A,根据集合中的元素满足互异性,可知构成的集合为{1,2,3,4},故A错误; 对于B,满足-2≤x<1的x构成的集合是{x|-2≤x<1},故B错误; C显然正确; 对于D,抛物线y=-x2+1上的所有点的坐标构成的集合是{(x,y)|y=-x2+1},故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏常州第一次调研]若a,b,c,d为数集A中的四个元素,则以a,b,c,d为四条边的长的四边形可能 是 ( ) A.矩形　　    B.平行四边形 C.菱形　　    D.梯形     D     解析　因为集合中的元素具有互异性,所以a,b,c,d互不相等.矩形、平行四边形、菱形均有长度相等的 边,梯形的四条边的长度可以不相等,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　元素与集合的关系 3.[教材习题改编]给出下列关系:①π∈R;② ∈Q;③-3∉Z;④|-3|∉N;⑤0∉Q.其中正确的个数为  ( ) A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4 A     解析　易知仅有π∈R正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026安徽蚌埠第一次月考]已知集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1},则下列关系正确的 是 ( ) A.(1,2)∈B　　    B.A=B C.0∉A　　     D.2∈B     AC     解析　点(1,2)在函数y=x2+1的图象上,所以(1,2)∈B,故A正确;集合A为数集,集合B为点集,所以A≠B,2∉ B,故B,D错误;集合A={y|y=x2+1}=[1,+∞),所以0∉A,故C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[易错题][2025浙江杭州月考]已知集合M={1,a+3,a2+2},且6∈M,则a的值为___________.     3或2     解析　由M={1,a+3,a2+2},且6∈M,得a+3=6或a2+2=6,解得a=3或a=±2, 当a=3时,M={1,6,11},符合题意;当a=2时,M={1,5,6},符合题意;当a=-2时,a+3=1,不满足集合中元素的互 异性,舍去.所以a的值为3或2. 易错警示　对于集合中的含参问题,求得参数的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　集合的表示 6.[2025四川成都第七中学期中]用列举法可将集合{x∈N|3x<25-2x}表示为 ( ) A.{1,2,3,4}　　     B.{1,2,3,4,5}　　     C.{0,1,2,3,4}　　    D.{0,1,2,3,4,5}     C     解析    由题可知{x∈N|3x<25-2x}={x∈N|x<5}={0,1,2,3,4}. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2026四川南充嘉陵一中月考]下列各组中,M,P表示不同集合的是 ( ) A.M={3,-1},P={(3,-1)} B.M={(3,1)},P={(1,3)} C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R} D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}     ABD     解析　选项A,集合M的元素为3,-1,集合P的元素为点(3,-1),所以A符合题意;选项B,集合M的元素为点(3, 1),集合P的元素为点(1,3),所以B符合题意;选项C,易知集合M,P为同一集合,所以C不符合题意;选项D,集 合M的元素为实数y,集合P的元素为点(x,y),所以D符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[易错题][2026重庆实验外国语学校月考]用列举法表示集合 =________________.     {-2,2,1}     解析　由于x∈N,所以可对x分类如下: 当x=0时, =-2,符合题意; 当x=1时,分母为0,不符合题意; 当x=2时, =2,符合题意; 当x=3时, =1,符合题意; 当x≥4时,0< <1,不符合题意. 综上, ={-2,2,1}. 易错点:集合中的元素为 ,并不是x  第1讲　描述运动的基本概念 9.用适当的方法表示下列集合: (1)所有能被3整除的整数组成的集合; (2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标组成的集合; (3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值组成的集合B.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1){x|x=3n,n∈Z}. (2) (x,y) -1≤x≤2,- ≤y≤1,且xy≥0 . (3)因为x=|x|,所以x≥0, 又因为x∈Z,所以x∈N,故B={x|x∈N}. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　区间及其表示 10.区间(0,1]用集合表示为 ( ) A.{0,1}　　     B.{(0,1]} C.{x|0<x≤1}　　    D.{x|0≤x≤1}     C     第1讲　描述运动的基本概念 11.若区间[2,a]的长度不超过5,则实数a的取值范围用区间表示为_____________.     (2,7]     解析　由题意可知 所以2<a≤7,则实数a的取值范围是(2,7]. 第1讲　描述运动的基本概念 12.用区间表示下列集合:(1) 可表示为________;(2){x|x<1}可表示为___________;(3){x|x≥ 4}可表示为______________.     [4,+∞)         (-∞,1)     第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　集合中元素的特点 1.[2025辽宁葫芦岛期初]由实数x,-x,|x|, ,- 组成的集合中最多含有     ( ) A.2个元素　　    B.3个元素 C.4个元素　　    D.5个元素     A     解析　∵ =|x|,- =-x,|x|=±x,∴由实数x,-x,|x|, ,- 组成的集合中最多含有2个元素. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025山东省实验中学月考]设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A, x2∈B且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为 ( ) A.-8　　    B.-16　　     C.8　　     D.16     C     解析　由题意得A={-2,1},B={-1,2},又-2×(-1)=2,-2×2=-4,1×(-1)=-1,1×2=2,∴A☉B={-4,-1,2},因此A☉B 中所有元素之积为-4×(-1)×2=8. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026天津蓟州杨家楼中学月考]已知集合{a,b,c}={-1,0,1},若下列三个关系有且只有一个正确:①a≠- 1;②b=-1;③c≠0,则a2 023-2b+4c=( ) A.2　　    B.3　　     C.5　　    D.8     B     解析　若①②错误,③正确,则a=-1,b=0,c=1,此时a2 023-2b+4c=-1+4=3; 若①③错误,②正确,则a=-1,b=-1,c=0,不符合集合中元素的互异性,不成立; 若②③错误,①正确,则b≠-1,c=0,a≠-1,因此只能a=b=1,不符合集合中元素的互异性,不成立. 综上所述,a2 023-2b+4c=3. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　元素与集合的关系 4.[2025湖南师大附中月考]若集合M={(x-y,x+y)|y=2x},则 ( ) A.(3,-1)∈M　　    B.(-1,3)∈M C.(-1,2)∈M　　    D.(2,-1)∈M     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由 解得 不满足y=2x,故(3,-1)∉M,故A错误; 对于B,由 解得 满足y=2x,故(-1,3)∈M,故B正确; 对于C,由 解得 不满足y=2x,故(-1,2)∉M,故C错误; 对于D,由 解得 不满足y=2x,故(2,-1)∉M,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2025陕西西安八十五中月考]已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},B={x|x=3k,k∈Z},C={x|x=6k-1,k∈ Z}.若a∈A,b∈B,c∈C,则下列结论中一定正确的是 ( ) A.c-b∈A　　     B.a-c∈B C.a+b∈C　　    D.a+b+c∈B     AB     解析　由题意可设a=3m-1,b=3n,c=6p-1,其中m,n,p∈Z, 则c-b=3(2p-n)-1∈A,a-c=3(m-2p)∈B,a+b=3(m+n)-1,当m+n不是偶数时,a+b∉C,a+b+c=3(m+n+2p)-2∉B, 故A,B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025广东广州培英中学月考]已知集合A={1,2,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合B中的元素个数 为_________.     2     解析　当x=1,y=1,2,4时,x-y=0,-1,-3,均不满足x-y∈A; 当x=2,y=1时,x-y=1∈A; 当x=2,y=2,4时,x-y=0,-2,均不满足x-y∈A; 当x=4,y=2时,x-y=2∈A; 当x=4,y=1,4时,x-y=3,0,均不满足x-y∈A. 所以B={(2,1),(4,2)},故集合B中的元素有2个. 第1讲　描述运动的基本概念 考场速决　结合下表可知答案为2. 1 2 4 1 0 ① 3 2 -1 0 ② 4 -3 -2 0 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026湖北孝感高级中学诊断]设集合A= 2,3,a2-3a,a+ +7 ,B={|a-2|,3},已知4∈A且4∉B,则a的取值 构成的集合为___________.     {4}     解析　∵4∈A,∴a2-3a=4或a+ +7=4. 当a2-3a=4时,解得a=-1或a=4, 当a=-1时,a+ +7=4,不满足集合中元素的互异性,舍去; 当a=4时,A= 2,3,4,  ,B={2,3},满足题意. 当a+ +7=4时,解得a=-1(舍去)或a=-2, 当a=-2时,B={4,3},不满足题意,舍去. 综上所述,a的取值构成的集合为{4}. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026福建三明北附实验学校月考]已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}. (1)若A中只有一个元素,求a的值; (2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围; (3)若A中至少有一个元素,求a的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a=0时,原方程变为2x+1=0,解得x=- ,此时A= 符合题意; 当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,若集合A中只有一个元素,则该方程有两个相等的实数根, 则Δ=4-4a=0,得a=1, 则原方程为x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1,此时A={-1},符合题意. 综上,若A中只有一个元素,则a=0或a=1. (2)A中至多含有一个元素,即A中有一个元素或没有元素(从正面入手,进行分论讨论). 由(1)可知,当A中只有一个元素时,a=0或a=1.当A中没有元素时,Δ=4-4a<0,即a>1. 综上,若A中至多有一个元素,则a的取值范围为{a|a=0或a≥1}. (3)A中至少有一个元素,即A中有一个或两个元素(从正面入手,进行分论讨论), 当a=0时,由(1)知符合题意; 第1讲　描述运动的基本概念 当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,由题意得Δ=4-4a≥0,解得a≤1,故a≤1且a≠0. 综上,若A中至少有一个元素,则a的取值范围为{a|a≤1}. 一题多解　从对立面进行分析 第(2)问:A中至多有一个元素的对立面为A中最少有两个元素(从对立面入手,避免分类讨论), 故a≠0,且方程ax2+2x+1=0满足Δ=4-4a>0,解得a<1且a≠0, 所以A中至多有一个元素时,a的取值范围为{a|a=0或a≥1}. 第(3)问:A中至少有一个元素的对立面为A中一个元素也没有(从对立面入手,避免分类讨论), 故a≠0,且方程ax2+2x+1=0满足Δ=4-4a<0,解得a>1, 所以A中至少有一个元素时,a的取值范围为{a|a≤1}. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　借助“双J集合”考查元素与集合的关系 9.[2026上海建平中学质检]若由有限个正整数组成的集合A中至少有两个元素,且对于任意的x,y∈A(x> y),都有 ∈A,则称A为“双J集合”. (1)判断{1,2,4}是不是“双J集合”,说明理由; (2)若双元素集合M为“双J集合”,且2∈M,求所有满足条件的集合M; (3)求所有满足条件的“双J集合”. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)假设x=4,y=1,则 = ∉{1,2,4},故{1,2,4}不是“双J集合”. (2)设M={x,y},x>y,x,y∈N*. 因为2∈M,所以x=2或y=2. 当x=2时,若 =2,则y=-1± ,不符合题意; 若 =y,则y=1或y=0(舍去),此时M={1,2}. 当y=2时,若 =x,则x=1± ,不符合题意; 若 =2,则x=4,符合题意,此时M={2,4}. 综上,M={1,2}或M={2,4}. (3)若满足条件的“双J集合”只有两个元素,由(2)可得符合题意的“双J集合”有{k,2k}(k∈N*). 第1讲　描述运动的基本概念 当“双J集合”有两个以上的元素时,设最大的元素为a,其次为n,最小的元素为b, 可得 , 是“双J集合”中的元素, 所以 ≥b(b是集合中最小的元素),解得a≤2b, 若 ≤n,解得a≥2n,由2n≤a≤2b得n≤b,与假设矛盾, 故 =a  小于或等于n不成立,则 等于最大的元素 , 解得n= a,显然a与n不可能同时为正整数,故假设不成立, 所以“双J集合”不可能有两个以上的元素, 故所有满足条件的“双J集合”为{k,2k}(k∈N*). 第1讲　描述运动的基本概念 主编点评　遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,逐条 分析、验证、运算,使问题得以解决. 第1讲　描述运动的基本概念 $