1.1.1集合及其表示方法（第1课时）（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的含义、元素与集合的关系、元素特性及常用数集，通过班级合影、直辖市地图等生活情境导入，引导学生从“整体”现象抽象出集合概念，搭建从生活到数学的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察生活抽象概念，用“数学思维”设计辨析题（如“高个子同学能否构成集合”）和参数问题强化元素确定性与互异性，通过“数学语言”规范符号运用。采用情境导入、分层训练和“学海拾贝”问题式小结，助力学生夯实基础、培养逻辑思维，也为教师提供丰富教学资源，提升课堂效率。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1集合及其表示方法（第1课时） 1.1集合 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 3 了解集合的含义，能判断一组对象能否构成集合，理解集合中元素的确定性、互异性、无序性三个特征。 掌握元素与集合的"属于"（∈）和"不属于"（∉）关系，并能正确使用符号表示。 熟记常用数集及其记法（自然数集N、正整数集N+或N*、整数集Z、有理数集Q、实数集R）。 ① 我们班全体同学的合影； ② 中国的所有直辖市（北京、上海、天津、重庆）地图； ③ 1到10以内的所有偶数：2，4，6，8，10。 同学们，观察这三组事物，它们有什么共同特点？ 你能再举出生活中类似的'整体'、'全体'的例子吗？ 在生活中，我们常常把一些对象放在一起作为一个整体来研究。在数学中，我们将这样的'整体'称为——集合。今天这节课，我们就一起来学习集合的概念及其表示方法。 生活情境 目标一：集合与元素的相关概念 ① 集合的概念 把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素。 集合通常用英文大写字母 A,B,C,… 表示，集合的元素通常用英文小写字母 a,b,c,… 表示。 知识 剖析 (1)描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的”点”“线”“面”等概念一样,都只是描述性的说明。 (2)整体性:集合是一个整体,暗含”所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体。 (3)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等。 ② 元素与集合的关系 知识 剖析 关系 语言表达 记作 读作 属于 是集合 的元素 属于 不属于 不是集合 的元素 不属于 (1)a∈A 与 a∉A 取决于 a 是不是集合 A 中的元素。元素 a 与集合 A 的关系在 a∈A 与a∉A 这两种情况中必有一种且只有一种成立。 (2)符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从属关系。 (3)“∈”“∉”的开口方向指向集合。 1、用符号“∈”和“∉”填空。 设 A 是所有正整数组成的集合，则 0 ______ A,______ A； 设 B 是小于 4 的所有实数组成的集合， 则 ______ B,π ______ B。 元素与集合关系 解 (1)正整数是不包含0的自然数,如1, 所以0和都不属于。(2) ,所以不属于;易知 ,所以属于。 答 (1) (2) 牛刀小试 ③ 集合的分类 集合可以根据它含有的元素个数分为两类。 有限集 无限集 含有有限个元素的集合 含有无限个元素的集合 空集 一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集, 记作⌀。 例如方程+2x+3=0的实数解组成的集合, 由于Δ<0,该方程无实数解,因此这个集合是 空集 空集可以看成包含0个元素的集合,所以 空集是有限集; 方程x-1=0的实数解组成的 集合,元素有有限个,故为有限集; 不等式x-1<0的解组成的集合,元素有无限个,故为无限集。 有限与无限 1、（多选）下列集合中为有限集的是（ ）。 由小于8的正奇数组成的集合 B. 由大于5且小于20的实数组成的集合 C. 由小于0的自然数组成的集合 D. 由自然数中3的倍数组成的集合 解 对于A,因为小于8的正奇数为1,3,5, 7,所以其组成的集合是有限集。对于B,因为大于5且小于20的实数有无数个,所以其组成的集合是无限集。对于C,因为小于0的自然数不存在,所以其组成的集合是空集,含有0个元素,所以其组成的集合是有限集。对于D,因为自然数中是3的倍数的数有无数个,所以其组成的集合是无限集。 牛刀小试 目标二：集合中元素的三个特性 特性 含义 示例 确定性 集合的元素必须是确定的。因此,不能确定的对象不能组成集合,即给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素,应该可以明确地判断出来 集合, 则 , 互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的。因此,集合中的任意两个元素必须都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素 集合中的 应满足,即 且 无序性 集合中的元素可以任意排列 集合和集合是同一个集合 元素特性 1、(多选)下列说法正确的是( )。 不等于2的所有偶数可以组成一个集合 B. 高一年级的所有高个子同学可以组成 个集合 C. {1,2,3}与{2,3,1}是不同的集合 D. 由1,2,2,4,1组成的集合有三个元素 解 对于A,可根据集合中元素的确定性进行判断,A 正确;对于 B,“高个子”的判断标准不明确,故不能组成集合,B 错误;对于 C,两个集合中的元素完全相同,由集合中元素的无序性可知两个集合是相同的集合,C 错误;对于 D,根据集合中元素的互异性,可知由 1,2,2,4,1 组成的集合中只有 1,2,4 三个元素,D 正确。 辨析 牛刀小试 2、 下列给出的对象能构成集合的有(B) ①某校 2024 年入学的全体高一年级新生; ②的所有近似值; ③某个班级中学习成绩较好的所有学生; ④不等式3x-10<0的所有正整数解. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析：对于①：某校2024年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，因此对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对而言的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有1，2，3，能构成集合，故④正确. 故选B. 辨析 牛刀小试 3、已知集合A={a-2,+4a,10}，若-3∈A，求实数a的值。 答 由 -3∈A 得 a-2=-3 或 +4a=-3。若 a-2=-3,则 a=-1,此时 +4a=1-4=-3,集合 A={-3,-3,10},不满足集合中元素的互异性,所以 a=-1 舍去。若 +4a=-3,则 a=-3 或 a=-1(舍去)。当 a=-3 时,a-2=-5,此时集合 A={-5,-3,10},满足条件。综上,可知 a=-3。 辨析 (1)确定性的主要作用是判断一组对象能否组成集合,只有这组对象具有确定性时才能组成集合。(2)互异性的主要作用是警示我们做题后要检验。特别是题中含有参数时,一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性。 (3)无序性的主要作用是方便定义集合相等。当两个集合相等时,其元素相同,但不一定依次对应相等。 牛刀小试 目标三：几种常见的数集及其记法 有一些数的集合经常要用到，为方便起见，人们用约定俗成的符号来表示它们. N 所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N. 值得注意的是，0∈N，即0是自然数集N中的一个元素. 如果a∈N, b∈N，则一定有a+b∈N且ab∈N，但a-b∈N和∈N都不一定成立. 例如1∈N, 3∈N，但1-3=-2∉N且∉N. （ 在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作或 所有整数组成的集合，称为整数集，记作 Z. 与自然数集 N 不同的是，如果 a∈Z, b∈Z，则一定有 a-b∈Z，但 ∈Z 不一定成立. 所有有理数组成的集合，称为有理数集，记作 Q. 我们知道，凡是能够表示成分数（即两个整数的商）的数称为有理数. 因此，如果 a∈Q, b∈Q 且 b≠0，则 ∈Q. 例如，3∈Q, ∈Q，且 =6∈Q. 特殊集合 集合 意义 记作 自然数集 所有非负整数组成的集合 正整数集 在自然数集中,去掉元素0之后的集合 整数集 所有整数组成的集合 有理数集 所有有理数组成的集合 实数集 所有实数组成的集合 归纳 理解记号 1、（多选）下列关系中正确的是( )。 A. ∈R B. π∉Q C.∈N D. |-|∈Z 解 是实数, 故 A 正确; 是无理数, 故 B 正确; 是不可约分数, 即有 , 故 C 错 误; 是无理数, 不是整数, 故 D 错误。 答 AB 牛刀小试 理解记号 2、(1)无限循环小数 可以表示成分数吗? (2)任何一个无限循环小数都是Q中的元素, 这种说法正确吗? 可以, 设 , 则 , 两式相减得 9x=6, x= 所以. 正确, 无限循环小数都可以用分数来表示, 分数是有理数. 牛刀小试 目标四：针对训练 举一反三 1.下列关系式中，表达正确的个数为() ①; ②; ③; ④. A.1 B.2 C.3 D.4 解析: 对于①, , ①错误; 对于②, , ②正确; 对于③, , ③错误; 对于④, , 错误. 故正确的个数为1.故选A.   举一反三 2、下列说法正确的有(D) ①；②；③；④；⑤ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析: 1是自然数,故,故①正确；不是正整数,故,故②正确； 是有理数,故,故③正确；是实数,故,故④正确； 是无理数,故,故⑤错误.所以正确的说法有①②③④共4个.故选: D. 举一反三 3. 已知集合，且是中的一个元素，则 A. B.或 C. D.或 解析：集合，且. ①当时，，此时，，集合中的元素不满足互异性，故不符合题意，舍去； ②当时，（舍）或， 若，则，此时集合，符合题意. 综上所述，.故选 A. 举一反三 4.已知集合 ，，且 ，则 (C) A. B. C. D.   解析: 若 ，则，或，解得，或，或， 经验证，当时，不满足集合中元素的互异性，舍去， 所以当时，；当时，，故选：C.  举一反三 5. 下列说法中,正确的是() (多选) A.的近似值的全体构成集合 B.自然数集中最小的元素是0 C.在数集中,若,则 D.一个集合中可以有两个相同的元素 解析: 对于A,的近似值的全体,元素不具有确定性,不能构成一个集合,故A错误; 对于B,由自然数的定义可得B正确;对于C,若,则,故C正确; 对于D,由集合的互异性可知,一个集合中不可以有两个相同的元素,故D错误. 故选:BC 举一反三 5. 下列说法中,正确的是() (多选) A.的近似值的全体构成集合 B.自然数集中最小的元素是0 C.在数集中,若,则 D.一个集合中可以有两个相同的元素 解析: 对于A,的近似值的全体,元素不具有确定性,不能构成一个集合,故A错误; 对于B,由自然数的定义可得B正确;对于C,若,则,故C正确; 对于D,由集合的互异性可知,一个集合中不可以有两个相同的元素,故D错误. 故选:BC 举一反三 6.有两组集合(1) ; (2) , 其中集合相等的是第 组. 解析: 两个集合的元素完全相同就是相等集合. 对于(1), 集合与集合中均为数集, 且它们的元素完全相同, 是相等的集合,体现了集合的无序性; 对于(2), 集合与集合中均为点集, 点和点是不同的点, 所以集合与集合的元素不同, 不是相等的集合.故答案为: (1). 目标五：小结 学海拾贝 元素与集合之间的关系有哪些? 属于，不属于； 集合中的元素有哪些特性? 确定性、互异性、无序性； 什么是空集? 集合按元素个数可分为哪几类? 不含任何元素的集合叫空集；按元素个数，集合分为有限集和无限集. 我们学过的特殊数集有哪些? 正整数集、整数集、自然数集、有理数集、实数集. 学海拾贝 集合与元素定义：把确定的不同对象汇集在一起形成集合，每个对象叫元素。 元素与集合关系：∈（属于）、∉（不属于），二者必居其一。 五大常用数集： N自然数集；N^*正自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集。 集合元素特征：确定性（本节课核心，后续课时再学习互异性、无序性）。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $