专题05 整式的乘除相关的12类含参问题 （压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦整式乘除含参问题，以“运算结果与参数关系”为主线，通过12类题型系统构建“通法归纳-题型精讲-压轴突破”三层方法体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心解法|化简对比系数+参数检验双原则|从幂运算到整式乘除，构建“运算规则-结果分析-参数求解”逻辑链| |12类题型|每类含典例+3-4变式|针对幂运算、乘法公式等12类场景，提炼“化同底数”“系数为0”等具体策略|按运算类型（单项式/多项式）→特殊条件（不含/恒成立）→公式应用递进| |压轴挑战|14道综合题|融合多类方法，强化跨题型迁移能力|衔接中考高频考点，从基础应用到复杂情境提升思维层次|

专题05 整式的乘除相关12类含参问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、根据幂的运算求参数 1 类型二、根据单项式与单项式相乘结果求参数 2 类型三、根据单项式与多项式相乘结果求参数 7 类型四、根据多项式与多项式相乘结果求参数 9 类型五、(x+m)(x+p)型求参问题 12 类型六、“不含” 型求参问题 14 类型七、“错看/错解”型求参问题 17 类型八、“恒成立”型求参问题 19 类型九、“遮挡/污染”型求参问题 22 类型十、根据完全平方式的特征求参数 25 类型十一、根据乘法公式的特征求参数 29 类型十二、根据因式分解求参数 31 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 整式乘除的含参问题是初中代数的重点难点，常以选择填空或解答题形式出现。所有题型均围绕 "运算结果与参数的关系" 展开，解题贯穿两条底线原则：一是先按整式运算法则展开化简，再对比系数或利用特殊条件列方程；二是所有参数结果最终均需代入原式检验，确保符合题意。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、根据幂的运算求参数 典例精讲1（20-21八年级上·安徽芜湖·期末）若，则____． 【答案】3 【分析】根据幂的乘方把算式中的各底数变成同底数，然后按同底数幂运算法则，列方程即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除和幂的乘方，根据题意，把底数变成相同是解题关键． 题型归纳 1.特征：已知两个幂相等或幂的运算结果，要求底数或指数中的参数值 2.方法：先利用幂的运算法则（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）将等式两边化为同底数幂；底数相同且不为 0 和正负 1 时，指数相等，据此列方程求参数；若底数含参数，需讨论底数为 0、1、负 1 的特殊情况 3.易错提醒：化同底数时指数运算出错；忽略底数为 0、1、负 1 时指数不一定相等的特殊情况；参数求出后未检验底数是否合法 变式训练1（2020·四川乐山·中考真题）已知，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由即可解答． 【详解】∵， 依题意得：，． ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形． 变式训练2（25-26六年级下·全国·课后作业）若与为同类项，求代数式的值． 【答案】10 【分析】本题主要考查了幂的运算，同类项的定义，解题的关键是掌握各运算法则． 先进行幂的运算，再根据同类项的定义得出，然后代入求值即可． 【详解】解：． 因为与为同类项， 所以， 所以． 变式训练3（2026七年级下·北京·专题练习）已知，求的值； 【答案】． 【分析】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法与除法运算，先根据可得，再求解，再计算种的幂的乘方，同底数幂的乘法，最后计算同底数幂的除法，最后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 变式训练4（24-25七年级下·全国·课后作业）已知． (1)求的值； (2)求m，n之间的关系； (3)求的值； (4)已知方程，求的值． 【答案】(1)27 (2) (3)27 (4)7 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方的运算，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则以及除法法则和逆运算法则． （1）根据同底数幂乘法的逆用的以及积的乘方逆用计算即可. （2）根据积的乘方逆用计算即可. （3）根据积的乘方逆用以及同底数幂的除法计算即可. （4）根据立方根的定义求出p的值，进而求出m,n的值，最后代入数值计算即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 则； （2）解：，由（1）得， ∴， 则； （3）解：，由（1）得， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴，解得， ∵， ∴， 由（1）得，即， ∴， 则． 类型二、根据单项式与单项式相乘结果求参数 典例精讲2（25-26七年级下·陕西渭南·阶段检测）若单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式，则的值为_______． 【答案】3 【分析】先根据单项式乘单项式法则计算两个单项式的乘积，再根据单项式次数的定义列方程求解即可． 【详解】解：， ∵单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式， ∴是一个十次单项式， ∴， ∴． 题型归纳 1.特征：两个单项式相乘，结果中某字母的指数或系数已知，求参数 2.方法：按单项式乘法法则计算：系数相乘，同底数幂指数相加，单独字母照抄；将结果与已知结果对比，对应系数相等、对应字母指数相等，列方程求参数 3.易错提醒：系数相乘时符号出错；同底数幂指数应相加，误写成相乘；单独字母的指数为 1 容易漏看 变式训练1（21-22六年级下·山东烟台·期中）若单项式和的积为，则的值为________． 【答案】625 【分析】首先根据得到，，然后将化简为后代入求解即可． 【详解】解：∵单项式和的积为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 变式训练2（21-22七年级下·湖南怀化·期末）若，则的值为 __． 【答案】4 【分析】先利用单项式乘单项式法则计算，再根据等式得到指数间关系，最后求出． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴①，②． ∴，得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键． 变式训练3（23-24六年级下·山东青岛·阶段检测）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 类型三、根据单项式与多项式相乘结果求参数 典例精讲3（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：单项式乘多项式，展开后某项的系数或指数已知，求参数 2.方法：用分配律将单项式乘遍多项式的每一项；合并同类项后，对比已知结果中对应项的系数或指数，列方程求参数 3.易错提醒：单项式漏乘多项式中的某一项；去括号时符号出错（单项式为负时每一项都要变号）；合并同类项时系数加减错误 变式训练1（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则_______． 【答案】 【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 的值与无关， ， ． 故答案为：． 变式训练2（23-24七年级下·山东济南·阶段检测）要使中不含有的四次项，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了多项式的混合运算．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有的四次项，可得，即可求解． 【详解】解： ， ∵中不含有的四次项， ∴， ∴． 故答案为：2 变式训练3（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则______． 【答案】1 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 变式训练4（21-22七年级下·陕西西安·期中）若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则_____． 【答案】 【分析】利用可求出，进一步可得：，，，进一步可求出，，，相加即可求出． 【详解】解：由题意可知： ， ∴， ∴，，， 解之得：，，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查多项式系数中的字母求值，单项式乘多项式，解题的关键是理解题意，找出，令其系数对应相等即可解答． 类型四、根据多项式与多项式相乘结果求参数 典例精讲4（25-26八年级上·山东德州·期末）若的计算结果中项的系数为，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键，展开多项式，合并同类项，得到项的系数表达式，令其等于，解方程求． 【详解】解：展开 ． ∵项的系数为 ， ∴， 解得． 故答案为 3． 题型归纳 1.特征：两个多项式相乘，展开后某项的系数、次数或整体结果已知，求参数 2.方法：用分配律逐项相乘（第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项）；合并同类项后，对比已知条件列方程；若结果中不含某项，则该项系数为 0 3.易错提醒：多项式相乘时漏乘项，导致项数不全；符号处理错误；合并同类项时漏项；结果次数判断错误 变式训练1（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）已知，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查“整式的乘法”及负整数指数幂，正确展开左边多项式是解题关键． 通过展开左边多项式，比较等式两边对应项的系数，求出 A 和 B 的值，再计算 即可． 【详解】展开左边多项式： ， 与右边 比较系数，得 ，， 则 ． 故答案为：． 变式训练2（25-26八年级上·四川眉山·期中）18世纪数学家欧拉引进了求和符号“∑”．如记，，已知，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减及乘法运算，弄懂新定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．本题考查了整式的加减及乘法运算．先利用整式的乘法法则和加减法法则进行化简，再结合系数，得出，，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵ = 又， ，， ， ， 故答案为：. 变式训练3（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，则的值为______． 【答案】 【分析】可以先运用完全平方和公式及多项式乘以多项式运算法则展开，再由多项式相等求出，代入代数式由有理数加减运算求解即可得到答案．也可以根据所求代数式与条件的特征，取特殊值得到答案． 【详解】解：方法一：利用乘法公式展开 ， ， ， ； 方法二：取特殊值法 ， 求的值，可以取得到， 即； 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及整式乘法运算、完全平方和公式、多项式乘以多项式、多项式相等等知识，熟记整数乘法运算展开是解决问题的关键． 类型五、(x+m)(x+p)型求参问题 典例精讲5（25-26七年级下·广东深圳·期末）如果代数式是一个完全平方式，则常数的值是_____________． 【答案】 【分析】先展开原式得到二次三项式，再根据完全平方式的结构特征列方程，求解方程即可得到常数的值． 【详解】解：∵， 又∵代数式是完全平方式， ∴一次项系数一半的平方等于常数项，可得：， 整理得：， 解得． 题型归纳 1.特征：形如括号 x 加 m 乘括号 x 加 p 的两个一次二项式相乘，已知展开式中一次项系数或常数项，求 m、p 等参数 2.方法：记住公式：；一次项系数等于 m 加 p，常数项等于 m 乘 p；根据已知条件列方程（组）求解 3.易错提醒：一次项系数是 m 加 p，不是 m 乘 p；常数项是 m 乘 p，不是 m 加 p；解方程组时符号出错；m、p 的值可能有两组解，容易漏解 变式训练1（25-26七年级下·重庆·期末）若，则的值为________． 【答案】2 【分析】利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：将等式左边展开得， 由题意得， 根据多项式相等对应项系数相等，可得， 解方程组得， 则． 变式训练2（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知，则的值为___________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、代数式求值等知识点，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式法则将等式左侧展开，然后利用对应系数法即可求出和，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵． ∴， ∴． 故答案为：12． 变式训练3（25-26七年级上·上海闵行·期末）如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有______个． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出整数a和b满足，且，列举所有整数对并计算p，得到不同的p值的个数． 【详解】解：整式因式分解为，则展开后得，与原式比较系数，有和， 由于a和b均为整数， ∴或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 因此不同的值有，共6个， 故答案为：6． 类型六、“不含” 型求参问题 典例精讲6（25-26八年级上·全国·课后作业）若多项式的计算结果不含项，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再根据含项的系数等于0建立方程，解方程即可得． 【详解】解： ， ∵多项式的计算结果不含项， ∴， ∴， 故答案为：． 题型归纳 1.特征：多项式相乘或化简后，结果中 "不含" 某一项（如不含 x 的平方项、不含 x 项、不含常数项），求参数值 2.方法：先按运算法则展开并合并同类项；找到 "不含" 的那一项，令其系数等于 0，列方程求解参数；若不含多项，则分别令各项系数为 0，联立求解 3.易错提醒：展开时漏乘导致某项系数算错；合并同类项时符号出错；"不含 x 项" 是指 x 的一次项系数为 0，不是 x 的系数为 1；多个参数时方程联立错误 变式训练1（24-25七年级下·广东梅州·期中）若的结果中不含x项与项，则代数式的值为______________． 【答案】0 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算－化简求值，利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值，再化简代数式，然后代入求解即可，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵的积中不含项与项， ∴，， ∴，， ∴ ； 变式训练2（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 变式训练3（2025八年级上·全国·专题练习）已知的展开式中不含项和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值: ． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含项和项，确定出与的值即可； （2）先利用整式运算法则对表达式进行化简，把m与n的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）原式 ， 展开式中不含项和项， ， 解得； 即； （2）原式 ， ． 类型七、“错看/错解”型求参问题 典例精讲7（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两人在分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解的结果是，则__________． 【答案】1 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算甲和乙的分解结果，从而得到、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 题型归纳 1.特征：学生在计算时看错了某个符号、数字或运算，得到错误结果，要求根据错误结果反推参数或正确结果 2.方法：先按学生错误的计算过程展开，利用错误结果求出参数的值；再将参数代回原式，按正确运算计算出正确结果；关键是 "将错就错" 求参数，再回归正确 3.易错提醒：混淆错误过程和正确过程；按错误计算时仍按正确方法算，导致参数求错；求出参数后忘记代回原式算正确结果；看错符号时正负号处理错误 变式训练1（25-26八年级上·四川内江·阶段检测）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于把抄错成了4，得到的结果为；乙由于把抄错成了6，得到的结果为．则 _______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，求出．先根据多项式乘多项式运算法则求出，再分别求出，，最后求出结果即可． 【详解】解：， ∵甲把抄错成了4，得到的结果为， ∴， 解得：， ∵乙把抄错成了6，得到的结果为， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 变式训练2（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）数学课学完整式的乘法中的多项式与多项式相乘后，老师出了一道题让同学们解答，小红把前的“”抄错成了“”，得到的结果是，小芳把抄写成了，得到的结果是．请你通过计算得出正确的，的值并写出正确的结果． 【答案】，； 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 首先根据多项式乘以多项式法则计算，，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：根据小红抄错前面的符号和小芳把抄写成了可知， ， ， ∴， 解得：， ∴． 变式训练3（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心． （1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出，的值； （2）将，的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）解：甲抄错了的符号的计算结果为：， 故：对应的系数相等，，； 乙漏抄了第二个多项式中的系数，计算结果为：． 故对应的系数相等，，， ， 解得：， ； （2）解：由（1）可知，， 正确的计算结果： ． 类型八、“恒成立”型求参问题 典例精讲8（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若等式恒成立．无论为何值，的值始终为一个定值，则这个定值为________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，进而可得，再根据是定值，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵无论为何值，的值始终为一个定值， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 题型归纳 1.特征：一个含参数的等式对 x 的任意取值都成立（恒成立），求参数值 2.方法：将等式两边分别展开化简；移项使等式一边为 0；利用 "多项式恒等于 0 则各项系数均为 0" 的性质，令各次项系数分别为 0，列方程组求解参数 3.易错提醒：等式两边未化简彻底就对比系数；移项时符号出错；常数项也要令其为 0，容易遗漏；多个参数时方程组解错 变式训练1（七下数学第一次月考复习必考6个计算10个题型-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版2024））如果等式恒成立，其中B，C为常数， ___． 【答案】11 【分析】此题考查了整式的混合运算和多项式相等．因为恒成立，根据对应相等即可得出答案． 【详解】解：∵恒成立， ∴，， ∴， 故． 故答案为：11． 变式训练2（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 变式训练3（25-26七年级上·重庆·期末）定义一种新运算“※”：对于两个关于x的多项式和，规定．例如：时， (1)若，求； (2)若，当x取任意数时，恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的乘法的应用． （1）直接根据新运算的定义计算； （2）通过计算新运算后比较多项式系数，利用恒成立条件求解和，再求． 【详解】（1）解： 则 （2） 则 与比较系数 ∵项系数为0 ∴，得 ∵项系数为 ∴ 代入，得 ∴ 验证常数项：，符合； ∴ 类型九、“遮挡/污染”型求参问题 典例精讲9（21-22六年级下·全国·单元测试）一天，小虎同学发现课堂笔记本中的一道题“”，被除式的第二项及商的第一项被墨水污染了.请你利用所学的知识帮小虎复原出整个算式：“□”表示_________，“○”表示____________. 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式的法则即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即表示， ，则， 故答案为：， 【点睛】此题考查了多项式除以单项式，熟练掌握法则是解题的关键. 题型归纳 1.特征：题目中部分数字、字母或运算符号被墨迹、污渍、方框遮挡，给出运算结果或部分条件，要求还原被遮挡的参数 2.方法：设被遮挡的部分为未知数（如 a、b、m 等）；按整式运算法则展开，用含未知数的式子表示结果；对比题目给出的结果或条件，列方程求解；还原后代入检验 3.易错提醒：设未知数时未考虑被遮挡部分可能是多项式（不止一个数）；展开时漏项导致系数对比错误；解方程符号出错；还原后未代回原式验证结果是否匹配 变式训练1（22-23七年级上·河北廊坊·期末）小青在化简时，发现其中一个多项式的系数被污染了，不能看出其中的数值． （1）他猜想“●”为3，则化简的结果为__________． （2）若最后的结果中不含二次项，则“●”的值是____________，化简的结果为___________． 【答案】 【分析】（1）把代入多项式，再化简即可得出答案． （2）根据结果中不含二次项，则不含这一项，即可求出答案． 【详解】解：（1）若， 则原式 故答案为：． 解：（2）若最后的结果中不含二次项， 则， ∴； 故答案为：； 当时， 原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题关键． 变式训练2（24-25八年级上·云南昆明·期中）小红准备计算题目：▅，发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了，已知这个题目的正确答案是不含三次项的，请计算求出原题中被遮住的一次项系数． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式中不含某项的条件；设一次项系数为，由多项式乘以多项式得，由多项式中不含某项的条件，即可求解；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零．”是解题的关键． 【详解】解：设一次项系数为， 正确答案是不含三次项， ， ， 故原题中被遮住的一次项系数为． 变式训练3（21-22七年级下·浙江湖州·期末）小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母和表示），污染后的习题如下：． (1)请你帮小伟复原被污染的和处的代数式，并写出练习题的正确答案； (2)爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)能， 【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则计算即可 （2）先求正确答案与的和，再因式分解即可． 【详解】（1）， ， ∴原题为. 则答案为： （2）， 能因式分解： 【点睛】本题考查多项式除以单项式及因式分解，掌握相应法则时解题关键． 类型十、根据完全平方式的特征求参数 典例精讲10（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若多项式是一个完全平方式，则的值为______． （2）若多项式是一个完全平方式，则的值为______． 【答案】 36 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可得解． 【详解】解：（1）∵多项式是一个完全平方式， ∴， （2）∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：36，． 题型归纳 1.特征：一个二次三项式是完全平方式，或加上某个单项式后成为完全平方式，求参数值 2.方法：完全平方式结构：首平方加尾平方加减首尾乘积的 2 倍；对比已知式子确定首项和尾项，令中间项等于正负 2 倍首尾乘积，列方程求参数；注意有正负两种情况，参数通常有两解 3.易错提醒：只考虑一种符号情况，漏掉另一解；首项或尾项的平方根求错（如 4x 的平方的首项是 2x 不是 4x）；中间项系数与 2 倍首尾乘积对应错误；加上单项式成完全平方式时，添加的项可能有多种情况 变式训练1（25-26八年级上·山东济宁·期中）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内用完全平方公式进行因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你写出整数的值有___________个． 【答案】2 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征． 根据完全平方公式，多项式需满足常数项为平方数且中间项系数为平方根的2倍，由此确定整数的取值． 【详解】解：由完全平方公式，设， 比较系数得，解得， 于是，即， 解得， 因此整数的值有2个， 故答案为：2． 变式训练2（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）若是一个完全平方式，则a的值为______． 【答案】1或 【分析】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键；根据完全平方式的结构特征，常数项为16，可确定一次项系数的可能值，从而求出a的值即可． 【详解】解：∵是完全平方式，且常数项为16， ∴一次项系数应满足，即， 当时，解得， 当时，解得； 故a的值为1或； 故答案为1或． 变式训练3（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）已知关于a、b的整式是完全平方式，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的二倍乘积项即可确定的值． 【详解】解：∵整式是一个完全平方式， ∴ 解得． 故答案为：． 变式训练4（24-25七年级下·山东济南·期中）【例题讲解】 例当k取何值时，是一个完全平方式？ 解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． 【方法巩固】 请根据例题中的方法解决下列问题： （1）若是一个完全平方式，求m的值； （2）若是完全平方式，则m的值为_______若（n为常数）是完全平方式，则n的值为_______； （3）已知：，则b的值为_______； 【实践活动】 （4）如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片； ①若，则甲纸片与乙纸片的面积差为_______； ②小颖要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片_______张． 【答案】（1）  （2）8或，9 （3） （4）①2000；②6． 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． （1）把写成，解答即可； （2）根据是完全平方式，得到，解答即可；根据（n为常数）是完全平方式，得到解答即可； （3）根据，得到，解答即可； （4）①根据解答即可；②设还需丙纸片x张，根据题意，得解答即可． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， 故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． （2）解：由是完全平方式， 故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到 解得或， 故答案为：8或． 由（n为常数）是完全平方式， 故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到 故答案为：9； （3）解：由， 得， 故 解得， 故答案为：； （4）①解：由甲乙都是正方形， 故面积差为， 当时， ， 故答案为：2000； ②解：设还需丙纸片x张，根据题意，得， 故， 又x不能为负数， 故， 故答案为：6． 类型十一、根据乘法公式的特征求参数 典例精讲11（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）若，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式化简等式左边，再通过乘方定义求解的值即可． 【详解】解： ， ∵ ∴． 题型归纳 1.特征：式子符合平方差公式或其他乘法公式的结构特征，利用公式展开后对比结果求参数 2.方法：观察式子是否符合平方差（两数和乘两数差）或完全平方公式的结构；套用公式展开后，对比已知结果的系数或项，列方程求参数；也可利用公式变形整体代入求值 3.易错提醒：公式结构判断错误，不满足公式特征却硬套；平方差公式中相同项和相反项搞反；完全平方公式漏掉中间项的 2 倍；参数有多个解时漏解 变式训练1（25-26八年级上·甘肃·期末）已知，，则的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用．利用平方差公式，将已知条件进行转化计算是解题的关键． 利用平方差公式，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴． 故答案为：． 变式训练2（22-23七年级下·浙江温州·期中）若，则a的值为______． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式展开等式左边，根据多项式相等对应项系数相等，即可求出a的值． 【详解】， 由完全平方公式展开左边得 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得 ， 解得． 变式训练3（24-25七年级上·上海·期中）若为整数，且不论取何值，关于的整式和的值都相等，则的值为 _______． 【答案】或 【分析】本题考查了整式的无关型问题，由可得，进而可得，即得，再根据为整数解答即可求解，根据题意得到和是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵不论取何值，关于的整式和的值都相等， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴的值为或， 故答案为：或． 类型十二、根据因式分解求参数 典例精讲12（25-26八年级下·四川成都·期中）若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， 对比等式两边对应项的系数可得． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：已知一个多项式能分解为含参数的因式乘积，或因式分解后某个因式已知，求参数值 2.方法：方法一：将因式乘积展开，与原多项式对比对应项系数，列方程求参数；方法二：利用因式定理，若 x 减 a 是因式，则 x 等于 a 时多项式值为 0，代入求参数；方法三：整除型，利用竖式除法或待定系数法 3.易错提醒：因式展开时漏乘或符号错；因式定理代入时 x 等于 a 还是负 a 搞反；待定系数法中商式次数设错；求出参数后未检验因式分解是否正确 变式训练1（25-26八年级下·广东深圳·期中）已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 【答案】 【分析】设另一个因式为，可得，根据整式的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：设另一个因式为，可得， 则， ∴，解得， ∴另一个因式为，m的值为． 变式训练2（25-26八年级下·全国·课后作业）若多项式（，是常数）分解因式后，有一个因式是，则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了因式分解的意义和代数式求值，掌握若是多项式的因式，则时多项式的值为是解题的关键． 由因式分解的意义，因式 对应根 ，代入多项式求值． 【详解】解：将 代入多项式 ， 得 ，即 ， 整理得 ． 故答案为：． 变式训练3（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的多项式因式分解的结果为，则k的值为_______． 【答案】 【详解】解： 根据题意得， ∴ ∴． 变式训练4（25-26七年级上·北京·期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，由于多项式能分解成两个一次因式的积，设分解形式为，展开后比较系数，得到方程组．通过求解方程组，得到，代入表达式计算即可． 【详解】解：设多项式分解为，展开得： 与多项式比较系数： 由和取整数解，． 代入得，； 代入得到，解得， ∴， ∴， 验证其他方程均成立． 当时，代入， 故答案为：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题．根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，进而可得，再根据是定值，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵无不论为何值，的值始终是一个确定的值， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 3．（25-26七年级下·浙江台州·期末）已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】展开因式乘积，根据多项式对应项系数相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ，， 解得， ∴． 4．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知多项式与另一个多项式的乘积为，则的值为（     ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】利用因式值为零的性质，若是多项式的因式，则时多项式的值为，代入整理即可得到的值。 【详解】∵ ∴ 当时，，因此 将代入多项式得： ， 整理得： 5．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若化简后为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式运算，解题思路为展开左边多项式，根据对应系数相等求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： 又化简后结果为 对应系数相等，可得，，即 将代入计算： 6．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D．-6 【答案】A 【分析】由可得，即，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）在把，的值代入（，均为常数）计算时，小明把的值看错了，其结果等于9；小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知，____________． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是读懂题意，列出关于的方程． 根据题意，表达式在取不同值时结果恒为，说明表达式与无关，因此的系数和的系数均为，结合，可求解和的值． 【详解】解：展开并化简表达式： ∵表达式值恒为， ∴与无关， 则，, ∴ ∴ 解得： 因此，, 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）方程组的解是，其中的值被墨渍盖住了，则的值为________． 【答案】8.75 【分析】将代入，得的值，再将x，y代入求出p的值，将x，y，p的值代入即可计算．本题考查利用二元一次方程组的解求参数及求代数式的值，理解相关概念是解题关键． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∴， 故答案为：8.75． 9．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为__________． 【答案】2023 【分析】本题考查了多项式的值、因式分解的应用，熟练掌握利用提取公因式法和平方差公式分解因式是解题关键．先根据多项式的值可得，，再将两个等式相减可得，利用因式分解可得，然后根据即可得． 【详解】解：∵当时，多项式的值为，当时，该多项式的值为， ∴①，②， 由①②得：，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：2023． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_________． 【答案】# 【分析】本题考查了因式分解，先确定m，n的值，后分解因式即可． 【详解】∵甲看错了的值，分解的结果是， ∴． ∵乙看错了的值，分解的结果为， ∴． ∴， 故答案为：#． 11．（25-26七年级下·四川成都·期中）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． (2)已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】(1)2 (2)8 (3) 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）设，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：， 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设，由图可知： ， ∴， ∵的长度变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 12．（25-26六年级下·山东淄博·期末）老师在黑板上布置了一道题： 已知，求代数式的值．小白和小红展开了下面的讨论： 小白说：“只知道的值，没有告诉的值，求不出答案．” 小红说：“这道题与的值无关，是可以求解的．” 根据上述情境，你认为谁说得对？请给出理由，并求出代数式的值． 【答案】小红说得对，代数式的值为． 【分析】本题先利用完全平方公式和多项式乘法法则展开原式，合并同类项后发现化简结果不含，说明代数式的值与无关，即可判断谁说得对，再代入的值计算出最终结果． 【详解】解： 化简结果中不含，代数式的值与的取值无关，因此小红说得对． 将代入得，原式． 13．（25-26八年级下·山东济南·期中）阅读材料：若，求的值． 解：∵ ∴． ∴ ∴， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则的值为______； (2)已知的边长是三个互不相等的正整数，且满足，求的值；（写出求解过程） (3)已知，求的值． 【答案】(1)1 (2)4，过程见解析 (3) 【分析】（1）根据题目所介绍的方法得到，再结合非负数的性质求出x、y的值，进而得到的值； （2）根据题目所介绍的方法得到，再结合非负数的性质求出a、b的值，然后根据三角形的三边关系，即可求出c的值； （3）先将已知条件变形得到，将其代入，再类比材料中的解法，结合完全平方公式整理得到，接下来利用非负数的性质，即可求出n和p的值，将n的值代入，即可求出m的值，问题随之得解． 【详解】（1）解： ∴ ∴， ∴， ，， 解得：，， 则； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∵a、b、c是的三边的长， ∴， ∵a、b、c是互不相等的正整数， ∴； （3）解：∵， ∴， 代入得：， 整理得： ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 则． 14．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)另一个因式为，的值为 【分析】（1）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可； （2）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可. 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 解得：， ∴另一个因式为的值为． （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ， 解得：， ∴另一个因式为的值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式的乘除相关12类含参问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、根据幂的运算求参数 1 类型二、根据单项式与单项式相乘结果求参数 2 类型三、根据单项式与多项式相乘结果求参数 3 类型四、根据多项式与多项式相乘结果求参数 3 类型五、(x+m)(x+p)型求参问题 4 类型六、“不含” 型求参问题 4 类型七、“错看/错解”型求参问题 5 类型八、“恒成立”型求参问题 6 类型九、“遮挡/污染”型求参问题 7 类型十、根据完全平方式的特征求参数 7 类型十一、根据乘法公式的特征求参数 9 类型十二、根据因式分解求参数 9 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 整式乘除的含参问题是初中代数的重点难点，常以选择填空或解答题形式出现。所有题型均围绕 "运算结果与参数的关系" 展开，解题贯穿两条底线原则：一是先按整式运算法则展开化简，再对比系数或利用特殊条件列方程；二是所有参数结果最终均需代入原式检验，确保符合题意。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、根据幂的运算求参数 典例精讲1（20-21八年级上·安徽芜湖·期末）若，则____． 题型归纳 1.特征：已知两个幂相等或幂的运算结果，要求底数或指数中的参数值 2.方法：先利用幂的运算法则（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）将等式两边化为同底数幂；底数相同且不为 0 和正负 1 时，指数相等，据此列方程求参数；若底数含参数，需讨论底数为 0、1、负 1 的特殊情况 3.易错提醒：化同底数时指数运算出错；忽略底数为 0、1、负 1 时指数不一定相等的特殊情况；参数求出后未检验底数是否合法 变式训练1（2020·四川乐山·中考真题）已知，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式训练2（25-26六年级下·全国·课后作业）若与为同类项，求代数式的值． 变式训练3（2026七年级下·北京·专题练习）已知，求的值； 变式训练4（24-25七年级下·全国·课后作业）已知． (1)求的值； (2)求m，n之间的关系； (3)求的值； (4)已知方程，求的值． 类型二、根据单项式与单项式相乘结果求参数 典例精讲2（25-26七年级下·陕西渭南·阶段检测）若单项式与单项式相乘的结果是一个十次单项式，则的值为_______． 题型归纳 1.特征：两个单项式相乘，结果中某字母的指数或系数已知，求参数 2.方法：按单项式乘法法则计算：系数相乘，同底数幂指数相加，单独字母照抄；将结果与已知结果对比，对应系数相等、对应字母指数相等，列方程求参数 3.易错提醒：系数相乘时符号出错；同底数幂指数应相加，误写成相乘；单独字母的指数为 1 容易漏看 变式训练1（21-22六年级下·山东烟台·期中）若单项式和的积为，则的值为________． 变式训练2（21-22七年级下·湖南怀化·期末）若，则的值为 __． 变式训练3（23-24六年级下·山东青岛·阶段检测）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 类型三、根据单项式与多项式相乘结果求参数 典例精讲3（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是______． 题型归纳 1.特征：单项式乘多项式，展开后某项的系数或指数已知，求参数 2.方法：用分配律将单项式乘遍多项式的每一项；合并同类项后，对比已知结果中对应项的系数或指数，列方程求参数 3.易错提醒：单项式漏乘多项式中的某一项；去括号时符号出错（单项式为负时每一项都要变号）；合并同类项时系数加减错误 变式训练1（23-24七年级下·河南郑州·期中）已知，，，且的值与无关，则_______． 变式训练2（23-24七年级下·山东济南·阶段检测）要使中不含有的四次项，则______． 变式训练3（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则______． 变式训练4（21-22七年级下·陕西西安·期中）若关于x的多项式除以，所得商恰好为，则_____． 类型四、根据多项式与多项式相乘结果求参数 典例精讲4（25-26八年级上·山东德州·期末）若的计算结果中项的系数为，则的值为________． 题型归纳 1.特征：两个多项式相乘，展开后某项的系数、次数或整体结果已知，求参数 2.方法：用分配律逐项相乘（第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项）；合并同类项后，对比已知条件列方程；若结果中不含某项，则该项系数为 0 3.易错提醒：多项式相乘时漏乘项，导致项数不全；符号处理错误；合并同类项时漏项；结果次数判断错误 变式训练1（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）已知，则___________． 变式训练2（25-26八年级上·四川眉山·期中）18世纪数学家欧拉引进了求和符号“∑”．如记，，已知，则的值是_____． 变式训练3（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，则的值为______． 类型五、(x+m)(x+p)型求参问题 典例精讲5（25-26七年级下·广东深圳·期末）如果代数式是一个完全平方式，则常数的值是_____________． 题型归纳 1.特征：形如括号 x 加 m 乘括号 x 加 p 的两个一次二项式相乘，已知展开式中一次项系数或常数项，求 m、p 等参数 2.方法：记住公式：；一次项系数等于 m 加 p，常数项等于 m 乘 p；根据已知条件列方程（组）求解 3.易错提醒：一次项系数是 m 加 p，不是 m 乘 p；常数项是 m 乘 p，不是 m 加 p；解方程组时符号出错；m、p 的值可能有两组解，容易漏解 变式训练1（25-26七年级下·重庆·期末）若，则的值为________． 变式训练2（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知，则的值为___________． 变式训练3（25-26七年级上·上海闵行·期末）如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有______个． 类型六、“不含” 型求参问题 典例精讲6（25-26八年级上·全国·课后作业）若多项式的计算结果不含项，则的值为__________． 题型归纳 1.特征：多项式相乘或化简后，结果中 "不含" 某一项（如不含 x 的平方项、不含 x 项、不含常数项），求参数值 2.方法：先按运算法则展开并合并同类项；找到 "不含" 的那一项，令其系数等于 0，列方程求解参数；若不含多项，则分别令各项系数为 0，联立求解 3.易错提醒：展开时漏乘导致某项系数算错；合并同类项时符号出错；"不含 x 项" 是指 x 的一次项系数为 0，不是 x 的系数为 1；多个参数时方程联立错误 变式训练1（24-25七年级下·广东梅州·期中）若的结果中不含x项与项，则代数式的值为______________． 变式训练2（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 变式训练3（2025八年级上·全国·专题练习）已知的展开式中不含项和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值: ． 类型七、“错看/错解”型求参问题 典例精讲7（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两人在分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解的结果是，则__________． 题型归纳 1.特征：学生在计算时看错了某个符号、数字或运算，得到错误结果，要求根据错误结果反推参数或正确结果 2.方法：先按学生错误的计算过程展开，利用错误结果求出参数的值；再将参数代回原式，按正确运算计算出正确结果；关键是 "将错就错" 求参数，再回归正确 3.易错提醒：混淆错误过程和正确过程；按错误计算时仍按正确方法算，导致参数求错；求出参数后忘记代回原式算正确结果；看错符号时正负号处理错误 变式训练1（25-26八年级上·四川内江·阶段检测）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于把抄错成了4，得到的结果为；乙由于把抄错成了6，得到的结果为．则 _______． 变式训练2（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）数学课学完整式的乘法中的多项式与多项式相乘后，老师出了一道题让同学们解答，小红把前的“”抄错成了“”，得到的结果是，小芳把抄写成了，得到的结果是．请你通过计算得出正确的，的值并写出正确的结果． 变式训练3（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 类型八、“恒成立”型求参问题 典例精讲8（24-25七年级下·江苏泰州·期中）若等式恒成立．无论为何值，的值始终为一个定值，则这个定值为________． 题型归纳 1.特征：一个含参数的等式对 x 的任意取值都成立（恒成立），求参数值 2.方法：将等式两边分别展开化简；移项使等式一边为 0；利用 "多项式恒等于 0 则各项系数均为 0" 的性质，令各次项系数分别为 0，列方程组求解参数 3.易错提醒：等式两边未化简彻底就对比系数；移项时符号出错；常数项也要令其为 0，容易遗漏；多个参数时方程组解错 变式训练1（七下数学第一次月考复习必考6个计算10个题型-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（苏科版2024））如果等式恒成立，其中B，C为常数， ___． 变式训练2（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 变式训练3（25-26七年级上·重庆·期末）定义一种新运算“※”：对于两个关于x的多项式和，规定．例如：时， (1)若，求； (2)若，当x取任意数时，恒成立，求的值． 类型九、“遮挡/污染”型求参问题 典例精讲9（21-22六年级下·全国·单元测试）一天，小虎同学发现课堂笔记本中的一道题“”，被除式的第二项及商的第一项被墨水污染了.请你利用所学的知识帮小虎复原出整个算式：“□”表示_________，“○”表示____________. 题型归纳 1.特征：题目中部分数字、字母或运算符号被墨迹、污渍、方框遮挡，给出运算结果或部分条件，要求还原被遮挡的参数 2.方法：设被遮挡的部分为未知数（如 a、b、m 等）；按整式运算法则展开，用含未知数的式子表示结果；对比题目给出的结果或条件，列方程求解；还原后代入检验 3.易错提醒：设未知数时未考虑被遮挡部分可能是多项式（不止一个数）；展开时漏项导致系数对比错误；解方程符号出错；还原后未代回原式验证结果是否匹配 变式训练1（22-23七年级上·河北廊坊·期末）小青在化简时，发现其中一个多项式的系数被污染了，不能看出其中的数值． （1）他猜想“●”为3，则化简的结果为__________． （2）若最后的结果中不含二次项，则“●”的值是____________，化简的结果为___________． 变式训练2（24-25八年级上·云南昆明·期中）小红准备计算题目：▅，发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了，已知这个题目的正确答案是不含三次项的，请计算求出原题中被遮住的一次项系数． 变式训练3（21-22七年级下·浙江湖州·期末）小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母和表示），污染后的习题如下：． (1)请你帮小伟复原被污染的和处的代数式，并写出练习题的正确答案； (2)爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由． 类型十、根据完全平方式的特征求参数 典例精讲10（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若多项式是一个完全平方式，则的值为______． （2）若多项式是一个完全平方式，则的值为______． 题型归纳 1.特征：一个二次三项式是完全平方式，或加上某个单项式后成为完全平方式，求参数值 2.方法：完全平方式结构：首平方加尾平方加减首尾乘积的 2 倍；对比已知式子确定首项和尾项，令中间项等于正负 2 倍首尾乘积，列方程求参数；注意有正负两种情况，参数通常有两解 3.易错提醒：只考虑一种符号情况，漏掉另一解；首项或尾项的平方根求错（如 4x 的平方的首项是 2x 不是 4x）；中间项系数与 2 倍首尾乘积对应错误；加上单项式成完全平方式时，添加的项可能有多种情况 变式训练1（25-26八年级上·山东济宁·期中）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内用完全平方公式进行因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你写出整数的值有___________个． 变式训练2（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）若是一个完全平方式，则a的值为______． 变式训练3（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）已知关于a、b的整式是完全平方式，则的值为_______． 变式训练4（24-25七年级下·山东济南·期中）【例题讲解】 例当k取何值时，是一个完全平方式？ 解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． 【方法巩固】 请根据例题中的方法解决下列问题： （1）若是一个完全平方式，求m的值； （2）若是完全平方式，则m的值为_______若（n为常数）是完全平方式，则n的值为_______； （3）已知：，则b的值为_______； 【实践活动】 （4）如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片； ①若，则甲纸片与乙纸片的面积差为_______； ②小颖要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片_______张． 类型十一、根据乘法公式的特征求参数 典例精讲11（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）若，则的值为__________． 题型归纳 1.特征：式子符合平方差公式或其他乘法公式的结构特征，利用公式展开后对比结果求参数 2.方法：观察式子是否符合平方差（两数和乘两数差）或完全平方公式的结构；套用公式展开后，对比已知结果的系数或项，列方程求参数；也可利用公式变形整体代入求值 3.易错提醒：公式结构判断错误，不满足公式特征却硬套；平方差公式中相同项和相反项搞反；完全平方公式漏掉中间项的 2 倍；参数有多个解时漏解 变式训练1（25-26八年级上·甘肃·期末）已知，，则的值为____________． 变式训练2（22-23七年级下·浙江温州·期中）若，则a的值为______． 变式训练3（24-25七年级上·上海·期中）若为整数，且不论取何值，关于的整式和的值都相等，则的值为 _______． 类型十二、根据因式分解求参数 典例精讲12（25-26八年级下·四川成都·期中）若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 题型归纳 1.特征：已知一个多项式能分解为含参数的因式乘积，或因式分解后某个因式已知，求参数值 2.方法：方法一：将因式乘积展开，与原多项式对比对应项系数，列方程求参数；方法二：利用因式定理，若 x 减 a 是因式，则 x 等于 a 时多项式值为 0，代入求参数；方法三：整除型，利用竖式除法或待定系数法 3.易错提醒：因式展开时漏乘或符号错；因式定理代入时 x 等于 a 还是负 a 搞反；待定系数法中商式次数设错；求出参数后未检验因式分解是否正确 变式训练1（25-26八年级下·广东深圳·期中）已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 变式训练2（25-26八年级下·全国·课后作业）若多项式（，是常数）分解因式后，有一个因式是，则的值为_____． 变式训练3（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的多项式因式分解的结果为，则k的值为_______． 变式训练4（25-26七年级上·北京·期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，则的值为__________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 3．（25-26七年级下·浙江台州·期末）已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知多项式与另一个多项式的乘积为，则的值为（     ） A． B． C．4 D．3 5．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若化简后为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D．-6 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）在把，的值代入（，均为常数）计算时，小明把的值看错了，其结果等于9；小红把正确的，的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知，____________． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）方程组的解是，其中的值被墨渍盖住了，则的值为________． 9．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为__________． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_________． 11．（25-26七年级下·四川成都·期中）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． (2)已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 12．（25-26六年级下·山东淄博·期末）老师在黑板上布置了一道题： 已知，求代数式的值．小白和小红展开了下面的讨论： 小白说：“只知道的值，没有告诉的值，求不出答案．” 小红说：“这道题与的值无关，是可以求解的．” 根据上述情境，你认为谁说得对？请给出理由，并求出代数式的值． 13．（25-26八年级下·山东济南·期中）阅读材料：若，求的值． 解：∵ ∴． ∴ ∴， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则的值为______； (2)已知的边长是三个互不相等的正整数，且满足，求的值；（写出求解过程） (3)已知，求的值． 14．（25-26八年级下·广东揭阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $