专题02 整式乘除运算9类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 以“通法归纳+题型精讲+压轴挑战”构建整式乘除运算突破体系，通过9类热考题型系统提炼解题方法，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心方法|运算顺序“先乘方再乘除后加减”，结果化简至最简|承幂的运算，启因式分解，构建代数运算逻辑链| |9类题型|每类1典例+3-4变式|新定义转化常规运算、“不含/无关”型令系数为0、规律探究归纳通项等|从基础混合运算到实际应用，梯度覆盖计算、推理、建模| |压轴挑战|8道综合题|结合杨辉三角、整除证明等深化思维|衔接中考压轴，提升符号意识与创新意识|

专题02 整式乘除运算9类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、整式乘除的混合运算 1 类型二、与整式乘除运算有关的新定义问题 2 类型三、与整式乘除运算有关的化简问题 8 类型四、与整式乘法运算有关的“不含”型问题 11 类型五、与整式乘法运算有关的“无关”型问题 14 类型六、与整式乘除运算有关的“遮挡/污染”型问题 19 类型七、与整式乘除运算有关的整除型问题 22 类型八、多项式乘法中的规律探究问题 25 类型九、整式乘除法的应用 30 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 整式乘除是初中代数运算的核心板块，上承幂的运算，下启因式分解与分式，是期中期末必考内容。本专题归纳 9 类热考题型，涵盖基础计算、化简求值、新定义、不含无关型、遮挡污染型、整除型、规律探究和实际应用。解题贯穿两条底线原则：一是先算乘方、再算乘除、最后算加减，有括号先算括号内；二是所有化简结果必须合并同类项到最简，且结果按某一字母降幂排列。所有参数结果最终均需代入检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、整式乘除的混合运算 典例精讲1（25-26八年级上·河南濮阳·期末）计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （1）根据多项式除以单项式运算法则，进行计算即可； （2）根据完全平方公式和多项式乘以多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型归纳 1.特征：题目同时含有单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、单项式除以单项式、多项式除以单项式等多种运算，常含乘方和括号，是期中期末解答题第一题的必考形式 2.方法：严格按运算顺序：先算乘方（积的乘方、幂的乘方），再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内，或先用分配律去括号。单项式相乘：系数相乘、同底数幂相加、单独字母照抄；多项式相乘：用分配律逐项相乘再合并；除法转化为乘倒数或按系数、同底数幂分别相除 3.易错提醒：运算顺序混乱，先加减后乘除；多项式相乘时漏乘某项或符号出错；去括号时括号前是负号，括号内各项未全部变号；合并同类项时系数加减错误；乘方运算中系数忘记乘方 变式训练1（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘以多项式，掌握整式的运算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式训练2（25-26八年级上·天津·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算： （1）先根据完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，再合并同类项，即可求解； （2）先运算单项式乘以多项式，然后合并，最后运算除法计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 变式训练3（25-26八年级上·四川广安·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟记运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除即可； （2）运用多项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， =， ． 变式训练4（25-26八年级上·辽宁盘锦·阶段检测）计算 (1)． (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算： （1）先计算同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂除法，再合并，即可求解； （2）先计算单项式乘以多项式，积的乘方，再合并，即可求解； （3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂相乘，即可求解； （4）先计算多项式乘以多项式，多项式除以单项式，再合并，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 类型二、与整式乘除运算有关的新定义问题 典例精讲2（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）新定义：对于任意的代数式，，，，我们规定一种新运算：，根据这一规定，计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】读懂新运算规则，按规则列出算式后，展开合并同类项即可得到结果． 【详解】解：根据新运算规则，得： ． 题型归纳 1.特征：题目定义一种新的运算符号或运算规则（如用特殊符号表示的多项式运算），要求按规则计算、化简或解方程，属于拓展创新题型 2.方法：仔细阅读定义，明确新运算的规则和优先级；将新运算符号按规则转化为常规的整式加减乘除运算；代入具体数值或字母，按整式运算法则计算；复杂时先按定义写出前几项，观察规律再解题 3.易错提醒：未读懂定义就盲目计算，导致全盘皆错；新运算不一定满足交换律和结合律，不能随意套用；定义中若有多个步骤，漏做某一步；转化为常规运算后，整式计算本身出错 变式训练1（24-25八年级上·山东临沂·期末）对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，正确掌握新定义是解题的关键． 根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选B． 变式训练2（25-26八年级上·云南昆明·期末）对于任意实数，定义一种新运算：，例如．若，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式的乘法和代数式的求值，根据新定义得出代数式是解决问题的关键． 由新定义得，再把代入求值即可． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴． 故答案为：1 变式训练3（24-25七年级下·福建宁德·期中）若定义表示，表示，则运算的结果为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整单项式除法运算，根据新定义列出整式是解答本题的关键．先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可． 【详解】解：根据新定义，可得． 故答案为：． 变式训练4（25-26八年级上·江西赣州·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的乘法运算与化简求值． （1）根据新定义运算进行计算即可求解； （2）根据新定义可得，再根据整式的乘法进行计算即可求解； （3）将字母的值代入（2）的化简结果进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： （3）解：当时， 类型三、与整式乘除运算有关的化简问题 典例精讲3（25-26八年级上·甘肃武威·期末）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解： ． 小丽的化简过程是否正确，如果正确，请算出当，时原整式的值．如果不正确，请对原整式进行正确化简，并求当，时原整式的值． 【答案】不正确，正确结果为 ，当， 时，值为 【分析】本题考查了整式乘法运算，完全平方公式，求代数式的值． 小丽的化简过程中，展开 时错误地写成了 ，正确应为 ，因此化简结果不正确．由单项式乘多项式法则、完全平方公式展开，再去括号、合并同类项即可，最后代值计算． 【详解】解：展开 时错误地写成了 ，正确应为 ，因此化简结果不正确； ； 当时，原式． 题型归纳 1.特征：题目给出一个较复杂的整式，要求先化简再求值，或直接化简，常结合乘法公式（平方差、完全平方）进行简便运算 2.方法：观察式子结构，优先运用乘法公式简化：平方差公式用于两数和乘两数差，完全平方公式用于两数和或差的平方；不能用公式的按分配律展开；展开后合并同类项；求值时将字母的值代入最简式计算，注意负数和分数的乘方符号 3.易错提醒：完全平方公式展开时漏掉中间项的 2 倍；平方差公式与完全平方公式混淆；化简不彻底，未合并所有同类项；代入求值时负数忘记加括号导致符号错误 变式训练1（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，后求值：，其中，，． 【答案】 （1），；（2）， 【分析】本题考查整式的化简求值，需要运用整式的乘法、除法和合并同类项等运算法则，先将表达式化简，再代入数值计算 【详解】解：（1） ； 当 时， 原式 ； （2） ； 当 ， 时， 原式 ． 变式训练2（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）化简并求值： 定义一种新的运算法则：，请你化简式子：，若，，请计算上面这个式子的值． 【答案】； 【分析】本题考查整式的化简求值，新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 由新定义得，再化简得，然后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：， ， 当，时，原式． 变式训练3（25-26七年级下·重庆奉节·期末）先化简，再求值：，其中，满足：． 【答案】 【详解】解： ； ， ， ， 把代入，原式． 变式训练4（25-26八年级上·重庆北碚·期末）化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式法则对中括号内的式子进行化简，再进行多项式除以单项式的运算，最后将x、y的值代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴． 类型四、与整式乘法运算有关的“不含”型问题 典例精讲4（2025八年级上·全国·专题练习）已知的展开式中不含项和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值: ． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含项和项，确定出与的值即可； （2）先利用整式运算法则对表达式进行化简，把m与n的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）原式 ， 展开式中不含项和项， ， 解得； 即； （2）原式 ， ． 题型归纳 1.特征：两个多项式相乘后，结果中 "不含" 某一项，要求求字母参数的值 2.方法：先按多项式乘法法则展开并合并同类项；找到 "不含" 的那一项，令其系数等于 0；解关于参数的方程，求出参数值；注意 "不含某项" 意味着该项系数为 0，不是该项不存在 3.易错提醒：展开时漏乘导致某项系数算错；合并同类项时符号出错；"不含 x 项" 误理解为 x 的系数为 1；求出参数后未代回检验是否真的不含该项 变式训练1（25-26八年级上·全国·单元测试）若的积中不含和项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，以及整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值， （1）原式利用完全平方公式变形后，将与的值代入计算即可求出值； （2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ． 由积中不含和项，得， 解得． 则原式． （2）， ， ∴原式 ． 变式训练2（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）若的展开式中不含项，且，求m，n的值． 【答案】m的值是2，n的值是 【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，再根据展开式中不含项求出m的值，逆用幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则确定 【详解】解： 的展开式中不含项， ， 即 答：m的值是2，n的值是 变式训练3（23-24七年级下·四川成都·期中）已知的展开式中不含的二次项，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式、完全平方式及代数式的值，熟练掌握多项式乘以多项式、完全平方式及代数式的值是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据“不含二次项”可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解： ； ∵的展开式中不含的二次项， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 类型五、与整式乘法运算有关的“无关”型问题 典例精讲5．（25-26七年级上·重庆·期末）已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘以多项式法则和整式加减运算法则计算，再根据值与x的取值无关，求出、的值，进而得到代数式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 题型归纳 1.特征：多项式化简后的值与某个字母的取值 "无关"，要求求参数值或说明理由，是 "不含" 型的升级形式 2.方法：先将整式化简合并同类项；"与某字母无关" 意味着该字母的所有项的系数都为 0；分别令该字母各次幂的系数等于 0，列方程求解参数；若化简后确实不含该字母，则值与该字母无关 3.易错提醒："与 x 无关" 需要 x 的所有次幂系数都为 0，容易只看一次项忽略二次项；化简不彻底导致判断错误；参数求出后未验证化简结果是否真的不含该字母；将 "无关" 与 "不含某一项" 混淆 变式训练1（25-26七年级下·四川成都·期末）对于实数a，b，c，d，规定一种运算，如．若的取值与无关，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据新运算规则将转化为整式的运算，根据运算结果与的取值无关，得到关于、的关系式，即，再利用新运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 的取值与无关， ， ∴． 变式训练2（25-26七年级下·江苏扬州·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是把x看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与x的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m的值为 ； (2)已知，，且的值与x的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题： （1）先化简多项式，再根据多项式的值与x的取值无关，可得，即可求解； （2）先化简求出，再由的值与x的取值无关，得到，即可求解； （3）设，观察图形得：，可得，再由当的长变化时，的值始终保持不变，即可求解． 【详解】（1）解： ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ∵的值与x的取值无关， ∴， ∴， ∴； （3）设， 观察图形得：， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 变式训练3（22-23七年级下·湖南常德·期中）知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式 的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 理解应用： (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案； （2）先把进行化简，然后计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解： ，               其值与的取值无关， ，                           解得：，                       即：当时，多项式的值与的取值无关； （2）解：，，                                ；                                   的值与无关， ，即． 【点睛】本题考查了整式的加减乘混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 类型六、与整式乘除运算有关的“遮挡/污染”型问题 典例精讲6（22-23七年级上·上海虹口·期中）小红准备完成题目：计算，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）设第一次因式的一次项系数为a，则原题目变为，根据多项式乘以多项式的计算法则计算出结果，再根据结果不含一次项即一次项系数为0进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设第一次因式的一次项系数为a，则原题目变为， ， ∵的计算结果不含一次项， ∴， ∴， ∴被遮住的一次项系数是2． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 题型归纳 1.特征：题目中部分数字或字母被墨迹、污渍、方框遮挡，给出运算结果或部分条件，要求还原被遮挡的内容，属于创新探究题型 2.方法：设被遮挡的部分为未知数（如 a、b、m 等）；按整式运算法则展开或化简，用含未知数的式子表示结果；根据题目给出的结果或条件，对比系数或列方程，求解未知数；还原后检验是否符合题意 3.易错提醒：设未知数时未考虑被遮挡部分可能是多项（如一个多项式被遮挡）；展开时漏项导致系数对比错误；解方程时符号出错；还原后未代入原式验证结果是否匹配 变式训练1（24-25八年级上·河南周口·期中）小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心污染了这道习题，只看见被除式的其中一项“”和中间的符号“”，污染后的习题形式如下：．小明翻看了书后的答案是“ ”，请你帮忙复原这道习题． 【答案】或 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，单项式除以单项式，单项式乘以多项式，由于除以一个单项式的结果一定是个单项式，那么除以这个单项式的结果可以为或，据此分两种情况求出除数，进而确定被除数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，有两种情况： ①除式是 此时被除式是 ∴这道习题为 ； ②除式是， 此时被除式是 ， ∴这道习题为 ； 综上所述，这道习题为 或． 变式训练2（25-26七年级下·陕西西安·期中）琳琳准备完成题目“计算：”时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水污染了，她把被污染的一次项系数猜成5． (1)请你帮她完成“计算：”； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含的一次项．”请通过计算说明原题中被污染的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）设被遮住的一次项系数为，利用多项式乘多项式的法则展开，利用不含一次项得出，求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设被遮住的一次项系数为， 则 ， 因为这个题目的正确答案是不含一次项的， 所以，所以， 所以被遮住的一次项系数为． 变式训练3（2025·河北邯郸·二模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． (1)被污染的整式________；________； (2)已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) 解：与的和大于1 与的和大于1． 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的混合运算法则计算即可得解； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：，； （2）略 类型七、与整式乘除运算有关的整除型问题 典例精讲7（24-25八年级上·山西临汾·期末）试说明：对于任意整数，整式一定能被整除． 【答案】 证明： ， ∵为整数， ∴为整数， ∴该式能被整除． 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式，合并同类项，先通过完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则进行化简，然后合并同类项即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】略 题型归纳 1.特征：证明一个多项式能被一个数字整除 2.方法：通过因式分解，将多项式分解为几个因式的乘积，证明其中含有该数字的因数（或该数字的所有质因数），从而说明整个多项式能被该数字整除。常见思路：①分解出连续整数的乘积（连续整数中必有偶数、必有 3 的倍数等）；②分解出含有该数字的公因式；③利用奇偶性、倍数性质分析因式 变式训练1（25-26八年级上·全国·课后作业）若为任意整数，则能被整除吗？请说明理由． 【答案】 能，理由如下： 原式 ． 为任意整数， 原式能被整除． 【分析】本题考查了单项式乘单项式，单项式乘多项式与合并同类项，根据化简的结果判断是否能被整除，熟练掌握运算法则是解题的关键. 【详解】略 变式训练2（24-25八年级上·河北唐山·期中）下面有3张卡片，其上分别写有相应的代数式，并且满足：（m，n为常数）． (1)求m，n的值； (2)若x为正整数，求证：代数式总能被5整除． 【答案】(1)， (2) ∵ ， ，， ， ∵x为正整数， ∴为整数， ∴代数式总能被5整除． 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、合并同类项法则和几种常见的分解因式的方法． （1）把已知条件中的，，代入，利用多项式乘多项式法则展开，从而列出关于，的方程组，解方程组即可； （2）根据（1）中，，求出的值，利用提取公因式法分解因式，求出它的最大公约数即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ， ， 由①得：， 把代入②得：， ； （2） 略 变式训练3（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知时，关于x的多项式能被整除，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，根据题意设，然后展开后比较求解即可． 【详解】解：∵时，关于x的多项式能被整除， ∴设 ∴ ∴， ∴， ∴． 变式训练4（25-26七年级下·北京·课堂例题）已知（mn是正整数）能被19整除，试说明能被19整除． 【答案】 解： ， 因为能被19整除， 所可以被19整除， 而可以被19整除， 所以可以被19整除 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，先逆用乘法分配律变形为，再逆用乘法分配律变形为，进而可说明结论成立． 【详解】略 类型八、多项式乘法中的规律探究问题 典例精讲8（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）（为非负整数）当时的展开情况如下所示： 观察左边这些式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，杨辉三角的有关知识，由特殊情况，可以总结出一般规律． 【详解】解：当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 故选：B． 题型归纳 1.特征：给出一组多项式乘法的等式，要求找出规律，写出第 n 个等式，或利用规律进行简便计算，常以杨辉三角、平方差链等形式出现 2.方法：先计算前几个等式的结果，观察左边多项式的项数、次数、系数与序号 n 的关系；观察右边结果的结构特征（如次数、项数、符号规律）；归纳出第 n 个等式的通用形式；代入前几项验证规律是否正确；利用规律解决具体问题 3.易错提醒：只看前两个等式就归纳规律，未用第三个验证；项数与次数的对应关系搞错（如 n 次多项式有 n 加 1 项）；符号规律判断错误，尤其是负号交替出现时；利用规律计算时指数算错 变式训练1（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）计算下列式子：，，，…根据你发现的规律计算的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘法的规律发现与应用，解题关键在于发现与多项式相乘时的消去规律． 先计算前三个式子结果分别为，，，得出规律，再根据规律计算即可． 【详解】解：； ； ； … ； 则， 即； ，则， 即， ∴， ∴． 故选：A． 变式训练2（2026·河南驻马店·二模）“杨辉三角”是我国古代伟大的数学成就，用来解释二项式和的乘方系数规律．如图，杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它上方左、右两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数．根据上面的规律，写出展开式中各项的系数和______． 【答案】 【分析】先根据题意得展开式中各项的系数和为；展开式中各项的系数和为；展开式中各项的系数和为；；展开式中各项的系数和为；当时，代入即可求解． 【详解】解：由展开式中各项的系数和为； 展开式中各项的系数和为； 展开式中各项的系数和为； ； ∴展开式中各项的系数和为； 当时，展开式中各项的系数和为． 变式训练3（25-26八年级上·山东济宁·期末）观察下列各式： …… 根据上面各式的规律，写出的计算结果中含的项的系数为__________． 【答案】2026 【分析】本题考查了多项式乘法的规律问题．由题干各式可知的计算结果中含的项是第2项，找出第2项系数的规律，进而作答即可． 【详解】解：由题干各式可知的计算结果中含的项是第2项， 第2项系数是1， 第2项系数是2， 第2项系数是3， 第2项系数是4， …… 第2项系数是2026． 故答案为：2026． 变式训练4（25-26八年级上·山西吕梁·期末）【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有________项，第三项（字母部分为）的系数是________； 【拓展推广】 （2）利用杨辉三角，写出的展开式________； 【迁移应用】 （3）我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 【答案】（1）5，6；（2）；（3） 【分析】本题考查了杨辉三角与二项式展开式的规律应用． （1）根据前面二项式展开式的项数规律以及杨辉三角的系数规律来求解； （2）依据杨辉三角的规律，先得出其对应的一行数，再得出的展开式； （3）通过替换的方法即可得到的展开式． 【详解】解：（1）观察已知的二项式展开式： 有2项，有3项，有4项， ∴的展开式共有项， ∴的展开式共有项， 由杨辉三角可知，对应的杨辉三角的一行数为1，4，6，4，1， ∴第三项的系数是6， 故答案为：5，6； （2）根据杨辉三角的规律，对应的杨辉三角的一行数为1，5，10，10，5，1， ∴的展开式为， 故答案为：； （3）由题意知， ． 类型九、整式乘除法的应用 典例精讲9（25-26七年级下·广东深圳·期中）麒麟花园一间房屋结构如图，图中数据单位为米．这家房子的主人打算铺地砖，并且贴壁纸． (1)把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是50元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ (2)已知房屋的高度为米，需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果壁纸的价格是10元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱？（计算时不算门、窗所占的面积）． 【答案】(1)把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的砖，购买所需地砖至少需要元； (2)在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，购买所需壁纸至少需要元． 【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每地砖的价格是元钱，求出需要的钱数即可； （2）求出侧面积即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是元/平方米，求出需要的钱数即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， （元） 答：把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的砖，购买所需地砖至少需要元； （2）解：根据题意得：， （元） 答：在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，购买所需壁纸至少需要元． 题型归纳 1.特征：以实际生活情景为背景（如图形面积、体积、增长率、利润、行程等），要求用整式乘除表示数量关系、列代数式或解决实际问题 2.方法：读懂题意，明确已知量和未知量；根据实际问题中的数量关系（如面积公式、路程等于速度乘时间、利润等于售价减成本），列出整式；利用整式乘除法则化简；根据问题要求求值或说明关系；注意实际问题中字母的取值范围（如长度、面积为正） 3.易错提醒：数量关系理解错误，导致列式错误；单位不统一（如厘米与米混用）；化简过程中计算出错；忽略实际问题对字母取值的限制（如边长不能为负）；结果未结合实际意义检验 变式训练1（25-26八年级上·湖北恩施·期末）对于一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如根据图1，通过计算面积我们可以得到数学等式． (1)通过求图形2的面积，你可以得到数学等式：______； (2)请根据整式乘法的运算法则，通过计算验证你所得到的数学等式； (3)若a，b，c满足，求的值． 【答案】(1) (2) 解： ， ∴； (3) 【分析】本题主要考查多项式的混合运算与图形面积的计算． （1）根据图形面积的计算求解即可； （2）运用完全平方公式计算即可； （3）根据（1）得到，再变形，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：大正方形的面积为：， 各部分的面积和为：， ∴； （2）略 （3）解：根据题意，， ∴， ∵ ， ∴ ． 变式训练2（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘法和图形面积． （1）根据正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据大正方的面积减去小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积； （2）正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，得，再根据得，则，由此可得出阴影部分的面积； （3）根据正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b，，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴阴影部分的面积为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式训练3（25-26八年级上·河南新乡·期末）两个边长分别为和的正方形如图放置（如图1），其未重叠部分的面积为．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图2），设阴影部分的面积为． (1)直接用含a，b的代数式分别表示； (2)若，求的值； (3)当时，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)63 (3)20 【分析】本题考查了整式乘法的应用，恰当进行代数式变形是解答本题的关键． （1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案； （2）根据（1）中的结论，将代入进行计算即可； （3）表示出，再变形整体代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， （2）解：， ， ； （3）解：由题图可得 ， ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·浙江金华·期末）某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，则装饰时需要C板材（     ）块． A．9 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式求出长方形墙壁的面积即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，A板材的面积为，B板材的面积为，C板材的面积为， ∵， ∴需要块A板材，4块B板材， 9块C板材． 2．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂除法法则、积的乘方法则、单项式乘法法则、平方差公式、多项式除以单项式法则，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C： ，C错误； 选项D：，D正确． 3．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）在综合与实践课上，小明设计了如下的运算：，则经过运算可化简为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义代入对应数值，再按照多项式乘多项式法则计算化简即可得到结果． 【详解】解： ． 4．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意得到抄错符号后的等式，展开后对比对应项系数求出和的值，进而计算即可． 解：由题意得，抄错后的算式为， ∵得到的结果为， ∴， 即， ∴，， 解得，， ∴． 5．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图是小圳设计的一个数据运算程序，他发现在框内填上一个常数k，使得对于任意x，输出的y恒为定值，则k是（   ） A．5 B．0 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据程序框图列出式子，再计算化简，再根据对于任意x，输出的y恒为定值，可得的系数为，求解即可． 【详解】解：， ∴， ． 6．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示，(此处n为自然数)的展开式中各项的系数．那么展开式中第四项的系数为(    ) A．8 B．10 C．18 D．20 【答案】D 【详解】解：观察杨辉三角中数据可知，每一行的首尾数字均为1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．依次类推，则： 第5行的数为1，4，6，4，1； 第6行的数为1，5，10，10，5，1； 第7行的数为1，6，15，20，15，6，1， 所以展开式中第四项的系数为20． 7．（25-26八年级上·河北邢台·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 【答案】A 【分析】由被除式、除式、商、余式的关系可得，再展开对比得到关于a、b的方程组求得a、b的值，最后求和即可． 【详解】解：∵多项式除以，商式为余3， ∴， ， ∴，解得：， ∴．即A选项符合题意． 8．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若，则的值为___________． 【答案】 【分析】展开等式左侧的多项式乘积，合并同类项后，对比等式两侧对应项的系数，即可得到的值. 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴. 9．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）已知单项式M，N满足，则_______． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则，展开等式左边后，分情况比较等式两边对应项，再将两个单项式相乘从而求解． 【详解】解：， ∵M，N为单项式， ∴，， ∴． 10．（25-26七年级下·安徽池州·期末）若关于的多项式与的乘积中不含项，则乘积的一次项系数为________． 【答案】 【分析】先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，然后根据不含二次项，得到关于待定字母的方程求解． 【详解】解：由题意得 ， ∵关于x的多项式与的乘积中不含项， ∴， 解得， ∴乘积的一次项系数为． 11．（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）观察下列算式：，，，，…，发现其中规律并用代数式表示为_________；利用该规律计算_________． 【答案】 （n为非负整数） 【详解】解：∵， ， ， ， ∴，（n为非负整数） ∴． 12．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 13．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）先化简，再求值：，其中， 【答案】，5 【分析】先利用完全平方公式以及平方差公式展开，合并同类项，然后再根据多项式除以单项式计算，最后把，代入计算后的结果求解即可． 【详解】解： ， 当，时， 则原式． 14．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）我们在学习多项式乘多项式时，知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为．请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)求所得多项式的一次项系数； (2)求所得多项式的二次项系数； (3)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干提示列式计算即可； （2）根据题干提示列式计算即可； （3）根据给定的方法可得出一次项系数为，结合题意得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 的一次项系数计算如下： ， 即的一次项系数为3． （2）的二次项系数计算如下： ， 即的二次项系数是5． （3）的一次项系数计算如下： ， 因为所得多项式中不含一次项，所以，解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式乘除运算9类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、整式乘除的混合运算 1 类型二、与整式乘除运算有关的新定义问题 2 类型三、与整式乘除运算有关的化简问题 3 类型四、与整式乘法运算有关的“不含”型问题 4 类型五、与整式乘法运算有关的“无关”型问题 5 类型六、与整式乘除运算有关的“遮挡/污染”型问题 6 类型七、与整式乘除运算有关的整除型问题 7 类型八、多项式乘法中的规律探究问题 8 类型九、整式乘除法的应用 10 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 整式乘除是初中代数运算的核心板块，上承幂的运算，下启因式分解与分式，是期中期末必考内容。本专题归纳 9 类热考题型，涵盖基础计算、化简求值、新定义、不含无关型、遮挡污染型、整除型、规律探究和实际应用。解题贯穿两条底线原则：一是先算乘方、再算乘除、最后算加减，有括号先算括号内；二是所有化简结果必须合并同类项到最简，且结果按某一字母降幂排列。所有参数结果最终均需代入检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、整式乘除的混合运算 典例精讲1（25-26八年级上·河南濮阳·期末）计算∶ (1)； (2)． 题型归纳 1.特征：题目同时含有单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、单项式除以单项式、多项式除以单项式等多种运算，常含乘方和括号，是期中期末解答题第一题的必考形式 2.方法：严格按运算顺序：先算乘方（积的乘方、幂的乘方），再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内，或先用分配律去括号。单项式相乘：系数相乘、同底数幂相加、单独字母照抄；多项式相乘：用分配律逐项相乘再合并；除法转化为乘倒数或按系数、同底数幂分别相除 3.易错提醒：运算顺序混乱，先加减后乘除；多项式相乘时漏乘某项或符号出错；去括号时括号前是负号，括号内各项未全部变号；合并同类项时系数加减错误；乘方运算中系数忘记乘方 变式训练1（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 变式训练2（25-26八年级上·天津·阶段检测）计算： (1)； (2)． 变式训练3（25-26八年级上·四川广安·期中）计算 (1)； (2)． 变式训练4（25-26八年级上·辽宁盘锦·阶段检测）计算 (1)． (2) (3)； (4)． 类型二、与整式乘除运算有关的新定义问题 典例精讲2（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）新定义：对于任意的代数式，，，，我们规定一种新运算：，根据这一规定，计算的结果是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：题目定义一种新的运算符号或运算规则（如用特殊符号表示的多项式运算），要求按规则计算、化简或解方程，属于拓展创新题型 2.方法：仔细阅读定义，明确新运算的规则和优先级；将新运算符号按规则转化为常规的整式加减乘除运算；代入具体数值或字母，按整式运算法则计算；复杂时先按定义写出前几项，观察规律再解题 3.易错提醒：未读懂定义就盲目计算，导致全盘皆错；新运算不一定满足交换律和结合律，不能随意套用；定义中若有多个步骤，漏做某一步；转化为常规运算后，整式计算本身出错 变式训练1（24-25八年级上·山东临沂·期末）对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（    ） A． B． C． D． 变式训练2（25-26八年级上·云南昆明·期末）对于任意实数，定义一种新运算：，例如．若，则___________． 变式训练3（24-25七年级下·福建宁德·期中）若定义表示，表示，则运算的结果为________． 变式训练4（25-26八年级上·江西赣州·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 类型三、与整式乘除运算有关的化简问题 典例精讲3（25-26八年级上·甘肃武威·期末）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解： ． 小丽的化简过程是否正确，如果正确，请算出当，时原整式的值．如果不正确，请对原整式进行正确化简，并求当，时原整式的值． 题型归纳 1.特征：题目给出一个较复杂的整式，要求先化简再求值，或直接化简，常结合乘法公式（平方差、完全平方）进行简便运算 2.方法：观察式子结构，优先运用乘法公式简化：平方差公式用于两数和乘两数差，完全平方公式用于两数和或差的平方；不能用公式的按分配律展开；展开后合并同类项；求值时将字母的值代入最简式计算，注意负数和分数的乘方符号 3.易错提醒：完全平方公式展开时漏掉中间项的 2 倍；平方差公式与完全平方公式混淆；化简不彻底，未合并所有同类项；代入求值时负数忘记加括号导致符号错误 变式训练1（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，后求值：，其中，，． 变式训练2（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）化简并求值： 定义一种新的运算法则：，请你化简式子：，若，，请计算上面这个式子的值． 变式训练3（25-26七年级下·重庆奉节·期末）先化简，再求值：，其中，满足：． 变式训练4（25-26八年级上·重庆北碚·期末）化简求值：，其中，． 类型四、与整式乘法运算有关的“不含”型问题 典例精讲4（2025八年级上·全国·专题练习）已知的展开式中不含项和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值: ． 题型归纳 1.特征：两个多项式相乘后，结果中 "不含" 某一项，要求求字母参数的值 2.方法：先按多项式乘法法则展开并合并同类项；找到 "不含" 的那一项，令其系数等于 0；解关于参数的方程，求出参数值；注意 "不含某项" 意味着该项系数为 0，不是该项不存在 3.易错提醒：展开时漏乘导致某项系数算错；合并同类项时符号出错；"不含 x 项" 误理解为 x 的系数为 1；求出参数后未代回检验是否真的不含该项 变式训练1（25-26八年级上·全国·单元测试）若的积中不含和项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 变式训练2（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）若的展开式中不含项，且，求m，n的值． 变式训练3（23-24七年级下·四川成都·期中）已知的展开式中不含的二次项，，求： (1)的值； (2)的值． 类型五、与整式乘法运算有关的“无关”型问题 典例精讲5．（25-26七年级上·重庆·期末）已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为________． 题型归纳 1.特征：多项式化简后的值与某个字母的取值 "无关"，要求求参数值或说明理由，是 "不含" 型的升级形式 2.方法：先将整式化简合并同类项；"与某字母无关" 意味着该字母的所有项的系数都为 0；分别令该字母各次幂的系数等于 0，列方程求解参数；若化简后确实不含该字母，则值与该字母无关 3.易错提醒："与 x 无关" 需要 x 的所有次幂系数都为 0，容易只看一次项忽略二次项；化简不彻底导致判断错误；参数求出后未验证化简结果是否真的不含该字母；将 "无关" 与 "不含某一项" 混淆 变式训练1（25-26七年级下·四川成都·期末）对于实数a，b，c，d，规定一种运算，如．若的取值与无关，则的值为___________． 变式训练2（25-26七年级下·江苏扬州·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是把x看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与x的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m的值为 ； (2)已知，，且的值与x的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 变式训练3（22-23七年级下·湖南常德·期中）知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式 的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 理解应用： (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． 类型六、与整式乘除运算有关的“遮挡/污染”型问题 典例精讲6（22-23七年级上·上海虹口·期中）小红准备完成题目：计算，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 题型归纳 1.特征：题目中部分数字或字母被墨迹、污渍、方框遮挡，给出运算结果或部分条件，要求还原被遮挡的内容，属于创新探究题型 2.方法：设被遮挡的部分为未知数（如 a、b、m 等）；按整式运算法则展开或化简，用含未知数的式子表示结果；根据题目给出的结果或条件，对比系数或列方程，求解未知数；还原后检验是否符合题意 3.易错提醒：设未知数时未考虑被遮挡部分可能是多项（如一个多项式被遮挡）；展开时漏项导致系数对比错误；解方程时符号出错；还原后未代入原式验证结果是否匹配 变式训练1（24-25八年级上·河南周口·期中）小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心污染了这道习题，只看见被除式的其中一项“”和中间的符号“”，污染后的习题形式如下：．小明翻看了书后的答案是“ ”，请你帮忙复原这道习题． 变式训练2（25-26七年级下·陕西西安·期中）琳琳准备完成题目“计算：”时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水污染了，她把被污染的一次项系数猜成5． (1)请你帮她完成“计算：”； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含的一次项．”请通过计算说明原题中被污染的一次项系数是多少？ 变式训练3（2025·河北邯郸·二模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． (1)被污染的整式________；________； (2)已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由． 类型七、与整式乘除运算有关的整除型问题 典例精讲7（24-25八年级上·山西临汾·期末）试说明：对于任意整数，整式一定能被整除． 题型归纳 1.特征：证明一个多项式能被一个数字整除 2.方法：通过因式分解，将多项式分解为几个因式的乘积，证明其中含有该数字的因数（或该数字的所有质因数），从而说明整个多项式能被该数字整除。常见思路：①分解出连续整数的乘积（连续整数中必有偶数、必有 3 的倍数等）；②分解出含有该数字的公因式；③利用奇偶性、倍数性质分析因式 变式训练1（25-26八年级上·全国·课后作业）若为任意整数，则能被整除吗？请说明理由． 变式训练2（24-25八年级上·河北唐山·期中）下面有3张卡片，其上分别写有相应的代数式，并且满足：（m，n为常数）． (1)求m，n的值； (2)若x为正整数，求证：代数式总能被5整除． 变式训练3（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知时，关于x的多项式能被整除，求m的值． 变式训练4（25-26七年级下·北京·课堂例题）已知（mn是正整数）能被19整除，试说明能被19整除． 类型八、多项式乘法中的规律探究问题 典例精讲8（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）（为非负整数）当时的展开情况如下所示： 观察左边这些式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为展开式中所有项系数的和应该是（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 题型归纳 1.特征：给出一组多项式乘法的等式，要求找出规律，写出第 n 个等式，或利用规律进行简便计算，常以杨辉三角、平方差链等形式出现 2.方法：先计算前几个等式的结果，观察左边多项式的项数、次数、系数与序号 n 的关系；观察右边结果的结构特征（如次数、项数、符号规律）；归纳出第 n 个等式的通用形式；代入前几项验证规律是否正确；利用规律解决具体问题 3.易错提醒：只看前两个等式就归纳规律，未用第三个验证；项数与次数的对应关系搞错（如 n 次多项式有 n 加 1 项）；符号规律判断错误，尤其是负号交替出现时；利用规律计算时指数算错 变式训练1（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）计算下列式子：，，，…根据你发现的规律计算的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式训练2（2026·河南驻马店·二模）“杨辉三角”是我国古代伟大的数学成就，用来解释二项式和的乘方系数规律．如图，杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它上方左、右两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数．根据上面的规律，写出展开式中各项的系数和______． 变式训练3（25-26八年级上·山东济宁·期末）观察下列各式： …… 根据上面各式的规律，写出的计算结果中含的项的系数为__________． 变式训练4（25-26八年级上·山西吕梁·期末）【阅读与思考】 “杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（n为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有________项，第三项（字母部分为）的系数是________； 【拓展推广】 （2）利用杨辉三角，写出的展开式________； 【迁移应用】 （3）我们在对的推演过程中，是将中的“b”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式． 类型九、整式乘除法的应用 典例精讲9（25-26七年级下·广东深圳·期中）麒麟花园一间房屋结构如图，图中数据单位为米．这家房子的主人打算铺地砖，并且贴壁纸． (1)把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是50元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ (2)已知房屋的高度为米，需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果壁纸的价格是10元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱？（计算时不算门、窗所占的面积）． 题型归纳 1.特征：以实际生活情景为背景（如图形面积、体积、增长率、利润、行程等），要求用整式乘除表示数量关系、列代数式或解决实际问题 2.方法：读懂题意，明确已知量和未知量；根据实际问题中的数量关系（如面积公式、路程等于速度乘时间、利润等于售价减成本），列出整式；利用整式乘除法则化简；根据问题要求求值或说明关系；注意实际问题中字母的取值范围（如长度、面积为正） 3.易错提醒：数量关系理解错误，导致列式错误；单位不统一（如厘米与米混用）；化简过程中计算出错；忽略实际问题对字母取值的限制（如边长不能为负）；结果未结合实际意义检验 变式训练1（25-26八年级上·湖北恩施·期末）对于一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如根据图1，通过计算面积我们可以得到数学等式． (1)通过求图形2的面积，你可以得到数学等式：______； (2)请根据整式乘法的运算法则，通过计算验证你所得到的数学等式； (3)若a，b，c满足，求的值． 变式训练2（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）有边长分别为，（）的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含，的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的面积； (2)将一张边长为的正方形卡片和两张边长为的正方形卡片按如图放置，用含，的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的面积； (3)将两种正方形卡片各一张按如图放置在一个边长为（）的大正方形内，左下角长方形的面积为，两张卡片重叠部分的面积为．若，请直接用等式写出与的数量关系． 变式训练3（25-26八年级上·河南新乡·期末）两个边长分别为和的正方形如图放置（如图1），其未重叠部分的面积为．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图2），设阴影部分的面积为． (1)直接用含a，b的代数式分别表示； (2)若，求的值； (3)当时，求图3中阴影部分的面积． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·浙江金华·期末）某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A，B，C三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，则装饰时需要C板材（     ）块． A．9 B．6 C．4 D．2 2．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）在综合与实践课上，小明设计了如下的运算：，则经过运算可化简为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为，则的结果为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图是小圳设计的一个数据运算程序，他发现在框内填上一个常数k，使得对于任意x，输出的y恒为定值，则k是（   ） A．5 B．0 C．5 D． 6．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示，(此处n为自然数)的展开式中各项的系数．那么展开式中第四项的系数为(    ) A．8 B．10 C．18 D．20 7．（25-26八年级上·河北邢台·期末）[新考法]我们知道两个整数相除时会有除不尽（商不是整数）的情况，例如就除不尽，可以用余数表示，即：9除以2商4余1．同样两个整式相除时也有可能除不尽，若多项式除以，商式为余3，则的值为（    ） A． B．8 C．12 D． 8．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若，则的值为___________． 9．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）已知单项式M，N满足，则_______． 10．（25-26七年级下·安徽池州·期末）若关于的多项式与的乘积中不含项，则乘积的一次项系数为________． 11．（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）观察下列算式：，，，，…，发现其中规律并用代数式表示为_________；利用该规律计算_________． 12．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）计算 (1)； (2) 13．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）先化简，再求值：，其中， 14．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）我们在学习多项式乘多项式时，知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为．请你参考上面的计算方法，解答下列问题： (1)求所得多项式的一次项系数； (2)求所得多项式的二次项系数； (3)如果计算所得多项式中不含一次项，求常数的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $