第11章 整式的乘除（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 新教材华东师大版整式的乘除单元培优卷，120分钟120分，25题含选择10题、填空6题、解答9题，融合中考真题与各地期末题，覆盖整式乘除全知识点，适配单元复习且能量化掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|幂运算、因式分解、完全平方公式|结合中考真题（如四川甘孜中考题），考查基础运算与辨析能力| |填空题|6/18|整式运算、新定义运算、杨辉三角|设置开放题（如整式因式分解填常数），培养创新意识| |解答题|9/72|几何与代数结合（如阴影面积计算）、规律探究（如杨辉三角系数）|通过图形面积（如长方形重叠问题）、密码解码等情境，发展几何直观与模型意识，强调运算能力与推理能力|

第11章 整式的乘除·培优卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·四川甘孜·中考真题）下列计算正确的是(      ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用合并同类项法则、幂的乘方法则、单项式乘多项式法则、完全平方公式逐一判断选项． 【详解】A、与不是同类项，不能合并，∴A错误． B、根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得，∴B正确． C、展开得，∴C错误． D、根据完全平方公式得，∴D错误． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）运用提公因式法将分解因式，应提取的最大公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求系数的最大公约数，再找各项相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到最大公因式； 【详解】解：∵ 多项式中，系数4和12的最大公约数为4，各项共有的字母是a和b，a的最低次幂为，b的最低次幂为，c仅在第二项出现，不参与公因式构成， ∴ 最大公因式为； 3．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）若的展开式中不含的一次项，则常数的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先展开多项式乘积，合并同类项后，根据展开式不含x的一次项，得到一次项系数为0，即可求解a的值． 【详解】解：， 展开式中不含的一次项， 一次项系数为，即， 解得． 4．（24-25八年级上·四川乐山·期中）若实数，满足，则的值为（     ） A．5或 B．5 C．1或 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把看做一个整体，先把原式变形为，进而分解因式得到，再证明，从而得到，即． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】多次利用平方差公式计算即可． 【详解】解： 6．若是关于的完全平方式，则的值为(    ) A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式的结构特征，得到关于的方程，即可求解的值． 【详解】解：∵是关于的完全平方式，且， ∴根据完全平方公式的结构可得，两边同除以得， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 7．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，四边形是边长为4的正方形，四边形是长方形，若，，且，都小于4，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知，阴影部分面积，利用三角形面积公式分别计算即可求解； 【详解】解：四边形是边长为4的正方形， ， 四边形是长方形，，， ，， 由图可知，阴影部分面积 ． 8．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整式的混合运算． 根据整式的值与无关求出，然后得出，，对多项式进行整理得出结果为，根据平方的非负性即可得出最小值． 【详解】解： ∵多项式的值与无关， ∴， 整理得， ∴，则两式相减得， ∵ 当时，取最小值，最小值为3， 故选：A． 9．（2026·湖北·模拟预测）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … … 明文 … 中 爱 国 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A．我爱中国 B．美丽中国 C．我爱美丽 D．中国美丽 【答案】A 【分析】先对密文用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，再对应密码表得到明文即可． 【详解】解：， ， ， ∵8对应明文“我”， 对应明文“爱”， 对应明文“中”， 对应明文“国”， ∴组合后明文可为“我爱中国”． 10．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（    ） A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得． 【详解】解：设正方形的边长为， 则， ， ， ∵长方形纸片的周长为，面积为， ∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项A、B不符合题意； 图中①的面积为， ②的面积为， ∴①和②的面积差为， ∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项C不符合题意； ∵长方形纸片和①的面积差为， ∴若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出，即选项D符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若a，b为正整数，且，则_________． 【答案】 【分析】先将等式中各项都化为底数为的幂的形式，再根据幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则化简，最后根据相等的幂底数相同则指数相等，即可求出的值． 【详解】解：将原式中各项变形为底数为的幂，可得 ， 即， 根据幂的乘方法则，得 ， 根据同底数幂的乘法法则，得 ， 因为底数相等，所以指数相等，可得 ． 12．（25-26七年级下·浙江台州·期末）若整式能因式分解，“□”中能填的常数为__________（写一个数即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查因式分解，可根据完全平方公式的结构特征，确定符合要求的常数，写出一个满足条件的结果即可． 【详解】解：当填入时，原整式为， 由完全平方公式因式分解可得， 该整式可以因式分解，符合题目要求， 故答案为 （答案不唯一）． 13．（25-26八年级下·全国·暑假作业）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为________． 【答案】0 【分析】根据二阶行列式的运算法则将行列式转化为代数式，利用平方差公式计算，再代入计算即可． 【详解】解：由二阶行列式的运算法则，得 当时，原式 ． 14．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）利用因式分解计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．通过提取公因式2027进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为 15．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 【答案】 【分析】此题考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多项式乘多项式法则、因式分解的方法是解决此题的关键．甲同学看错一次项系数但常数项正确，故由甲的结果得；乙同学看错常数项但一次项系数正确，故由乙的结果得；因此原整式为，因式分解得结果． 【详解】解∶ ∵，甲看错一次项系数但常数项正确 ∴， ∵，乙看错常数项但一次项系数正确， ∴， ∴原整式为， ∵ ∴整式，即正确的因式分解结果是， 故答案为∶ ． 16．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就观察如图各式及其展开式，请问展开式中，含项的系数是______ ． 【答案】 【分析】根据题意，依次求出展开式中项的系数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题中排列方式知，展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， ， 所以展开式中项的系数为． 当时，展开式中，含项的系数是． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式乘法运算，涉及幂的乘方、同底数幂的乘除、平方差公式、多项式乘多项式以及合并同类项的知识点．关键是严格遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，熟练运用整式运算法则计算． （1）先分别计算乘方、乘法、除法运算，再合并同类项得到结果； （2）先利用平方差公式计算第一部分，利用多项式乘多项式法则计算第二部分，再去括号合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）（25-26七年级下·山东聊城·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： ． 19．（6分）（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)41200 (2)3200 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 20．（8分）（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）若的积中不含x与项， (1)求______，______； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)12 【分析】（1）首先根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后根据“积中不含x与项”可得，求解即可获得答案； （2）首先将原式整理为，然后代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的积中不含x与项， ∴，解得； （2）解：由（1）可知，， ∴ ． 21．（8分）（25-26七年级下·河北石家庄·期末）观察下面的因式分解过程： ． 利用这种方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)的三边，，满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】（1）将式子变形为，提取公因式分解因式即可； （2）参考（1）的方法，分解因式可得，则或，由此即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形． 22．（9分）（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）小明和小聪比赛做同一道整式乘法题目：，由于是第一次参加比赛都很紧张，小明将第二个多项式中的符号抄错，导致结果为；小聪错将第一个多项式的一次项系数看成2，导致结果为． (1)求出式子中的、值． (2)请计算出这道整式乘法的正确化简，并计算出当时这道题的结果． 【答案】(1)，； (2)化简；值为12； 【分析】（1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程组，再求a、b的值； （2）把a、b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【详解】（1）解：由题得： 所以 解得 （2）解：把，代入得 当时， 原式 23．（9分）（25-26八年级下·河北保定·期末）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； …… 晨晨发现规律：比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． (1)的结果是的 倍； (2)设偶数为（为整数），试说明与的平方差能被整除． 【答案】(1)45 (2)解： ， ∵为整数， ∴为整数， ∴与的平方差能被整除． 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式计算出的结果即可． 【详解】（1）解： ， 则的结果是的45倍． （2）略． 24．（10分）（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解、完全平方公式、平方差公式，首先阅读材料、掌握材料分解因式的方法，类比材料中提供的解题思路解答即可． 首先在原式中凑出完全平方式，先完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式； 在原式中凑出完全平方式，先完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： 25．（10分）（24-25七年级下·广东茂名·期末）图1是四个全等的小长方形拼成的正方形，大正方形的边长为，小正方形（阴影部分）的边长为． (1)观察图1，直接写出，，三者的数量关系式； (2)用（1）的结论解答：①如图2，两个正方形的边长分别为p、q，且A、B、C三点在一条直线上，若，，求图2中阴影部分的面积； ②如图3，四边形、四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，若，，长方形的面积是300，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①8；②1300 【分析】（1）可通过整体面积等于各部分面积之和来得到等式； （2）①应用完全平方公式的变式进行计算即可得出答案；②设正方形边长为，可得，，令，，由长方形面积知，算出；阴影面积为，借助整体代入求值． 【详解】（1）解：如图所示：，， ∴； （2）解：由（1）可得， ∵两个正方形的边长分别为p、q， ∴， 把，代入上式： ． ∴图2中阴影部分的面积为． ②设正方形边长，则． ∵，， ∴， 令，． 长方形相邻两边为、， ∴． ， 观察图形，阴影部分组合成边长为的正方形， 因此阴影面积． 由（1）得到的恒等式：， 代入，， ， ∴图3阴影部分面积为1300． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 整式的乘除·培优卷 【新教材华东师大版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·四川甘孜·中考真题）下列计算正确的是(      ) A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）运用提公因式法将分解因式，应提取的最大公因式是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）若的展开式中不含的一次项，则常数的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 4．（24-25八年级上·四川乐山·期中）若实数，满足，则的值为（     ） A．5或 B．5 C．1或 D．1 5．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）的结果是（     ） A． B． C． D． 6．若是关于的完全平方式，则的值为(    ) A．或 B．或 C． D． 7．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，四边形是边长为4的正方形，四边形是长方形，若，，且，都小于4，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．（2026·湖北·模拟预测）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … … 明文 … 中 爱 国 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A．我爱中国 B．美丽中国 C．我爱美丽 D．中国美丽 10．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（    ） A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若a，b为正整数，且，则_________． 12．（25-26七年级下·浙江台州·期末）若整式能因式分解，“□”中能填的常数为__________（写一个数即可）． 13．（25-26八年级下·全国·暑假作业）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为________． 14．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）利用因式分解计算：________． 15．（25-26七年级上·上海普陀·期中）在对整式进行因式分解时，甲乙两位同学均出现了失误．甲同学看错了一次项系数，得到的分解结果为，乙同学看错了常数项，得到的结果为，那么整式正确的因式分解结果是________． 16．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就观察如图各式及其展开式，请问展开式中，含项的系数是______ ． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）计算： (1)； (2)． 18．（6分）（25-26七年级下·山东聊城·期末）分解因式： (1) (2) 19．（6分）（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 20．（8分）（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）若的积中不含x与项， (1)求______，______； (2)求代数式的值． 21．（8分）（25-26七年级下·河北石家庄·期末）观察下面的因式分解过程： ． 利用这种方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)的三边，，满足，判断的形状． 22．（9分）（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）小明和小聪比赛做同一道整式乘法题目：，由于是第一次参加比赛都很紧张，小明将第二个多项式中的符号抄错，导致结果为；小聪错将第一个多项式的一次项系数看成2，导致结果为． (1)求出式子中的、值． (2)请计算出这道整式乘法的正确化简，并计算出当时这道题的结果． 23．（9分）（25-26八年级下·河北保定·期末）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； …… 晨晨发现规律：比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． (1)的结果是的 倍； (2)设偶数为（为整数），试说明与的平方差能被整除． 24．（10分）（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值相等，必须减去同样的一项.请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 25．（10分）（24-25七年级下·广东茂名·期末）图1是四个全等的小长方形拼成的正方形，大正方形的边长为，小正方形（阴影部分）的边长为． (1)观察图1，直接写出，，三者的数量关系式； (2)用（1）的结论解答：①如图2，两个正方形的边长分别为p、q，且A、B、C三点在一条直线上，若，，求图2中阴影部分的面积； ②如图3，四边形、四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，若，，长方形的面积是300，求图3中阴影部分的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $