27.3.1　根据两个变量存在反比例关系建立函数模型 教学设计 2026——2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦根据实际问题建立反比例函数模型的核心知识点，通过回顾反比例函数的解析式、图象和性质搭建旧知支架，衔接新知探究，梳理前后知识脉络。 资料特色在于结合港口卸货等生活实例与杠杆原理等物理跨学科应用，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过分析数量关系建立模型，培养模型意识和应用意识，助力学生提升解决实际问题能力，教师教学有清晰流程和反思，便于高效实施。

27.3.1　根据两个变量存在反比例关系建立函数模型 　　　　　　　　　　　　　　　 课题 第1课时　根据两个变量存在反比例关系建立函数模型 授课人 教 学 目 标 　　1.能根据实际问题确定变量间的反比例函数关系,并求出反比例函数的解析式. 2.掌握物理学中常见的反比例关系,利用反比例函数的性质解决实际问题. 3.能灵活运用反比例函数的图象和性质解决实际问题. 4.经历“实际问题——建立模型——求解模型——拓展应用”的过程,增强学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力. 教学 重点 　　能根据实际问题确定变量间的反比例函数关系,物理学中常见的反比例关系,利用反比例函数的性质解决实际问题. 教学 难点 　　分析实际问题中的数量关系,正确写出函数解析式. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　1.反比例函数的解析式有哪几种表示方法? 2.反比例函数的图象和性质分别是什么? 　　回顾学生已有的知识,为本节课进一步利用反比例函数的知识解决问题做铺垫. 活动 一: 探究 与 应用 【探究1】 日常生活中的反比例关系 问题:港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物,一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货,起重机平均卸载速度v(单位:t/h)与卸载完所有货物的总时间t(单位:h)之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况,要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕,那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物? 分析:根据“平均装载速度×装载总时间=货物总量”,可以先求出轮船装载货物的总量;再根据“平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间”,得到v关于t的函数解析式. 解:(1)轮船上的货物总量为700×9=6300(t), ∴v关于t的函数解析式为v=. (2)把t=6代入v=,得v==1050(t/h). 从结果可以看出,如果全部货物恰好用6 h卸载完,那么平均每小时卸载1050 t. 对于函数v=,当t>0时,t越小,v越大. 因此,若货物不超过6小时卸载完,则平均每小时至少要卸载1050 t货物. 　　1.问题让学生感知生活中反比例函数的模型,明确题目中的等量关系,结合反比例函数的性质,解决实际问题.在教学中注意对至少的解读,题干中货物不超过6小时卸完,也就是明确最多6小时完成,那么每小时至少卸载的货物是当时间等于6时v的值. 活动 一: 探究 与 应用 【探究2】 物理学科中的反比例关系 问题:某工人欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1200 N和0.5 m. (1)动力F(单位:N)与动力臂l(单位:m)有怎样的函数关系?当动力臂为1.5 m时,撬动石头至少需要多大的力? (2)若想使动力F不超过(1)中所用力的一半,则动力臂l至少要加长多少? 教师引导学生分析: (1)问题中的动力、动力臂、阻力、阻力臂四个量中,不变的是哪些量? (2)问题中,由“杠杆原理”知变量动力与动力臂是什么关系?函数解析式是什么? (3)在我们利用撬棍时,为什么动力臂越长就越省力? (4)利用动力与动力臂之间的函数关系,你能解决所有问题吗? 解:(1)根据“杠杆原理”,得Fl=1200×0.5, ∴F关于l的函数解析式为F=. 当l=1.5 m时,F==400(N). 对于函数F=,当l=1.5 m时,F=400 N,此时杠杆平衡. 因此,撬动石头至少需要400 N的力. (2)对于函数F=,当l>0时,F随l的增大而减小. 因此,只要求出F=200 N时对应的l的值,就能确定动力臂l至少应加长的量. 将F=400×=200代入F=,得200=,l==3(m). 因此,若想用力不超过400 N的一半,动力臂的长度就应该不小于3 m,则动力臂至少要加长3-1.5=1.5(m). 总结:杠杆是我们生活中经常遇到的物理模型.日常使用的剪刀、筷子、开瓶器等都蕴含了“杠杆原理”,同学们使用这些物品费力时,可以考虑运用反比例函数的性质去分析. 思考:在物理中,我们知道,在阻力和阻力臂一定的情况下,动力臂越长就越省力,你能用反比例函数的知识对其进行解释吗? [答案:动力与动力臂之间是反比例函数关系,随着动力臂的增长,动力会减小,所以就会省力] 　　2.跨学科中的应用是反比例函数非常常见的内容,学生对物理学中的等量关系要掌握.题目中隐含的等量关系需要学生自己找到,在教学的过程中一定强调物理学的重要性,让学生感知学科的融通性. 【理解应用】 例　几位同学玩撬石头的游戏,已知阻力和阻力臂不变,分别是1000 N和0.5 m.设动力为F N,动力臂为l m. (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系? (2)小刚选取了动力臂为2 m的撬棍,则他撬动石头至少需要多大的力? 解:(1)根据探究结果可知Fl=1000×0.5=500,∴动力F关于动力臂l的函数解析式为F=(l>0). (2)当l=2时,F==250,即小刚撬动石头至少需要250 N的力. 师生活动:可以由学生独立思考后解决,师生集体评价. 方法总结:在解决反比例函数相关的实际问题中,若题目要求“至多”“至少”等,可以利用反比例函数的增减性来解答. 活动 二: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【当堂训练】 1.当电压为220 V时,通过电路的电流I(单位:A)与电路中的电阻R(单位:Ω)之间的函数关系式为 (A) A.I= B.I=220R C.I= D.R=220I 2.已知A,B两城市相距720千米,一列火车从A城开往B城. (1)火车的速度v(单位:千米/时)和行驶的时间t(单位:时)之间的函数关系式是　v=　;  (2)若到达目的地后,按原路匀速返回,并要求在3小时内回到A城,则返回的速度不能低于　240千米/时　.  3.小明家用购电卡购买了800 kW·h的电,那么这些电能够用的天数n与小明家平均每天的用电量m( 单位:kW·h)之间的函数解析式为　n=　;如果平均每天用电4 kW·h,那么这些电可用　200　天.  4.已知学校食堂一次性购买了3000 kg大米. (1)这些大米能够使用的天数m与食堂平均每天的用米量n(单位:kg)有怎样的函数关系? (2)如果食堂平均每天使用大米200250 kg,那么这些大米最多可以使用几天? 　　通过设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知的过程中,让学生把例题进行透彻分析,结合反比例函数的性质加深理解.在开放训练的过程中,通过层层递进的例题练习巩固,让学生把知识转化为能力. ②[讲授效果反思] 本课时的难点在于反比例函数模型的建立,及灵活应用方程、不等式等解决问题. ③[师生互动反思] 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $