26.4 实际问题与二次函数 教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与二次函数”应用，涵盖最大高度、面积、利润及实物抛物线问题。通过复习二次函数顶点、最值求法及解析式形式导入，搭建新旧知识支架，为建模奠定基础。 以跳水、菜园、利润、拱桥等真实情境驱动教学，引导学生用数学眼光抽象变量关系，合作探究建立二次函数模型（模型意识），多种建系方法对比培养几何直观，讲练结合提升推理能力，助力学生掌握建模步骤，方便教师高效教学。

课题：26.4实际问题与二次函数 最大高度和几何图形面积问题（1） 教学目标 1. 能将实际问题中的变量关系转化为二次函数模型，掌握利用二次函数顶点公式求实际问题中最值的方法。 2. 能根据实际问题的意义确定二次函数自变量的取值范围，并结合取值范围判断函数的最值。 3. 通过实际问题与二次函数的结合，体会数学建模思想，提高分析和解决实际问题的能力。 重点难点 用二次函数的知识分析解决有关高度和面积的实际问题 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 一、复习引入 1.请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y＝6x2＋12x； （2）y＝－4x2＋8x－10. 2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少. 提示：求解二次函数的最值一般有两种方法：一是把一般式化为顶点式；二是利用顶点坐标公式求解. （1）y＝6（x＋1）2－6，所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为（－1，－6），当x＝－1时，y有最小值－6. （2）y＝－4（x－1）2－6，所以抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－6），当x＝1时，y有最大值－6. 二、合作探究 探究点1 跳水运动中运动员起跳后多长时间达到的最高点？ 活动1.在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）之间的关系式是h= -4.9t²+2.8t+11. 运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.) 学生合作交流，完成下列问题： 追问1.运动员在跳水过程中重心的高度是时间什么函数，于是最大高度问题转化为什么问题？ 运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题. 追问2.运动员在跳水过程中何时达到最高点问题，转化为什么问题？ 运动员在跳水过程中何时达到最高点问题，可以转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 追问3.你能画出函数图象，结合函数图象解决问题吗？ 可以用描点法画出函数图象如下图，由图象知，当时，达到最大高度，h的最大值是. 追问4.函数的图象能直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？ 先上升，后逐步下降. 具体解答如下： 对于二次函数h=-4.9t²+2.8t+11，当时， 有h最大值 因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m. 三、例题讲解 探究点2 篱笆围成一个矩形菜园，如何围菜园的面积最大？ 活动2 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 学生合作交流，完成下列问题： 追问1.设垂直于墙的一边长为xm，菜园面积为Sm²，探究S与x的函数关系. 篱笆总长20m，垂直于墙的一边长为xm，则另一边长为：（20-2x)m S=x(20-x)=-x²+20x. 追问2.自变量x的取值范围是什么？ 在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义，菜园的边长应为正数，即x>0，且 20-2x>0，于是自变量的取值范围是0<x<10. 追问3.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？转化成什么问题？ 转化为当x取什么值时，二次函数S有最大值，最大值是多少的问题？ 具体解答如下： 解：设设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的边长为（20-2x)m，菜园面积为Sm²， 则S=x(20-x)=-x²+20x（0<x<10） 当时， S有最大值 因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积是50m². 活动3.师生归纳通用建二次函数模型的步骤： ① 定变量：确定题目中的自变量、因变量； ② 找关系：根据公式、题意梳理两个变量的等量关系； ③ 列式子：整理化简，得到二次函数解析式； ④ 定范围：根据实际意义，确定自变量取值范围. 四、课堂总结 引导学生总结：一般地，当（）时，抛物线的顶点有最低（高）点，也就是说，当时，二次函数有最小（大）值。 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1. 根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 1. 确定自变量的取值范围； 1. 根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 1. 根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值。 据函数的增减性，在取值范围的端点处求最值。 5、 课堂练习 1.合肥市中学生运动会中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线（如图），其中出球点B离地面的距离是米，球落点的水平距离是多少？ 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据抛物线与轴的交点得出球落点的水平距离． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， 球落点的水平距离是5米． 2.如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先表示出第t秒钟时的长，根据三角形的面积公式即可得到的面积的函数关系式，再用矩形的面积减去的面积即可得到结果； （2）先把配方为顶点式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：第t秒钟时，，故，， 故． ∵． ∴； （2）解：， ∵，∴当秒时，S有最小值． 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：26.4实际问题与二次函数 最大利润问题（2） 教学目标 1.掌握利润问题中基本量之间的关系，能将实际利润问题转化为二次函数模型。 2.能根据涨价、降价两种不同情况分别建立函数解析式，并结合自变量取值范围求最大利润。 3.通过实际利润问题的探究，体会数学建模思想，提高分析和解决实际问题的能力。 重点难点 利用二次函数模型解决商品利润问题中的最值问题 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 一、复习引入 1.请求出下列二次函数的最大值或最小值: (1)y=2x2-4x-5; 　(2)y=-x2+3x. 上节课我们学习了用二次函数解决实际最值问题，你还记得求取实际问题中最值的一般步骤和依据吗？ 学生回顾后，教师总结： 建立二次函数模型；确定自变量取值范围；求解函数最值： ①若顶点横坐标在取值范围内，则顶点处的函数值为最值； ②若顶点横坐标不在取值范围内，根据二次函数的单调性，在取值范围的端点处求最值。 今天我们继续学习二次函数在商业中的应用——最大利润问题。 二、合作探究 探究新知——商品利润问题 出示例题：某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件。市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价元，则每星期要少卖出件；每降价元，则每星期可多卖出件。已知商品的进价为每件元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 提问1：总利润与哪些量有关？总利润 每件利润 销售量。 提问2：每件利润与什么有关？利润 售价 进价。 提问3：调整价格包括哪几种情况？涨价和降价两种情况。 （1）涨价情况 引导学生分析：设每件涨价元，利润为元。 师生共同填写表格： 进价/元 售价/元 销量/件 利润/元 现价 — 涨价 提问4：如何建立利润与涨价之间的函数关系式？ 提问5：自变量的取值范围是什么？ ，且，所以，且为整数。 提问6：如何求这个二次函数的最大值？ 当时，有最大值，最大值是。 此时售价为元。 答：涨价元，即定价元时，利润最大，最大利润是元。 （2）降价情况 教师引导学生参考涨价的求解过程，自主探究降价情况。 设每件降价元，利润为元。 师生共同填写表格： 进价/元 售价/元 销量/件 利润/元 现价 — 降价 学生独立完成： 当时，有最大值，最大值是元。 提问7：比较涨价和降价两种情况，哪种定价利润更大？ 学生：，所以涨价元，定价元时利润最大。 答：定价元时利润最大，最大利润是元。 三、例题讲解 旅行社开设一旅游团，人起组团，每人需缴费元。旅行社对超过人的旅行团给予优惠：每增加人，每人需缴费用降低元。当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？ 学生独立完成，教师巡视指导。 解答过程： 设旅行团的人数为人，营业额为元。 每人缴费元。 自变量的取值范围：，且，即，，。 所以。 求最大值： 当时，有最大值，最大值是元。 答：旅行团的人数为人时，旅行社可获得最大营业额元。 四、课堂总结 归纳总结：在实际问题中，求商品的最大利润的一般步骤： 1. 列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； 1. 在自变量的取值范围内，运用顶点公式或配方法求出二次函数的最大值。 注意：当二次函数图象的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，需根据二次函数的增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最大值。 五、课堂练习 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销。据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于元。 （1）求每天的销售利润（单位：元）与销售单价（单位：元）之间的函数关系式。 （2）销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 学生独立完成，教师巡视指导。 解答过程： （1） 设销售单价为元，每天销售利润为元。 成本（元/件） 销售单价（元） 销售量（件） 降价前 降价后 每件利润为元，销售量为件。 自变量的取值范围：。 （2）求最大值： 当时，有最大值，最大值是元。 答：销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元。 生产某种商品需要元的固定花费，在此基础上，每生产件商品花费元，预定单价为元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一。当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 学生独立完成，教师巡视指导。 解答过程： 设产量为件，利润为元。实际单价为元。总成本为元。总收入为元。 自变量的取值范围：，且，即。 所以。 求最大值： 当时，有最大值，最大值是元。 答：当产量为件时，生产这种商品的利润最大，最大利润是元。 板书设计： 作业内容： 教学反思 课题：26.4实际问题与二次函数 实物抛物线问题（3） 教学目标 1.能根据实际问题中的数量关系，建立适当的平面直角坐标系，将实物抛物线转化为二次函数模型。 2.能利用二次函数的解析式解决拱桥、投篮、隧道等实际问题中的长度、高度等问题。 3.能结合实际情况，判断物体能否安全通过抛物线形结构。 重点难点 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式，并利用解析式解决实际问题 教学方法 讲练结合 教学手段 多媒体 教学过程 1、 复习引入 1.函数（）的图象是一条_______，它的顶点坐标是_______，对称轴是_____，当____时，开口向上，当____时，开口向下。 2.二次函数解析式的形式有： 一般式：___________ 顶点式：_____________ 交点式：________________ 学生回答后，教师总结： 抛物线；；轴（即）；； 一般式：；顶点式：； 交点式： 教师追问：我们知道二次函数的图象是抛物线，本身就是生活中许多物体的形状，比如拱桥的轮廓、篮球投篮的轨迹、喷泉水柱等。今天我们就来学习如何把这些实物抛物线转化为数学模型。 二、合作探究 【教师活动】请同学们看大屏幕上的问题：一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m。突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少？请同学们先独立思考，这个问题该从何入手？ 【学生活动】我觉得首先需要建立坐标系，把拱桥的抛物线形状用数学表达式表示出来，然后再根据水面上升1m的条件求新的水面宽度。 【教师活动】思路很清晰！解决这类问题的关键步骤是：首先要建立适当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题。那么，我们该如何建立坐标系呢？请大家思考一下，坐标系应该建立在什么位置比较方便？ 三、例题讲解 方法一：以拱顶为原点建立坐标系 【教师活动】我们以拱顶为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系。这样，拱顶的坐标就是(0,0)。请同学们思考，在这个坐标系中，水面两端点的坐标分别是什么？ 【学生活动】水面宽10m，以拱顶为原点，拱顶离水面4m，所以水面在拱顶下方4m处。水面左端点的坐标是(-5, -4)，右端点的坐标是(5, -4)。 【教师活动】完全正确！因为拱桥的抛物线关于y轴对称，且顶点在原点，所以我们可以设抛物线的解析式为最简形式。请同学们写出解析式。 【学生活动】因为抛物线顶点在原点，对称轴是y轴，所以设抛物线解析式为y=ax2。 【教师活动】很好！现在我们已经有了点(5, -4)在抛物线上，将点代入解析式，能求出a的值吗？ 【学生活动】将点(5, -4)代入y=ax2，得，所以。抛物线解析式为。 【教师活动】非常好！现在水面上升了1m，在坐标系中，水面上升1m意味着什么？ 【学生活动】水面上升1m，即y坐标从-4变为-3。所以把y=-3代入解析式，得，，所以。水面宽度为（m）。 【教师活动】计算完全正确！水面上升1m后，水面宽度约为8.7m。现在，请同学们思考一个问题：如果我们换一种方式建立坐标系，结果会一样吗？ 方法二：以水面为x轴建立坐标系 【教师活动】现在我们以上升1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系。在这个坐标系中，拱顶的坐标是什么？水面两端点的坐标又是什么？ 【学生活动】拱顶离水面4m，水面上升1m后，拱顶离新水面3m，所以拱顶坐标为(0, 3)。水面两端点在新x轴上，坐标为(-5, -1)和(5, -1)。因为水面原来宽10m、原来离拱顶4m，上升1m后新水面离拱顶3m，而原来水面在拱顶下方4m处，所以在新坐标系中，水面两端点在新x轴下方1m处。 【教师活动】分析得很仔细！现在设抛物线解析式为y=ax²+3（因为顶点在(0,3)），将点(5,-1)代入，能求出a吗？ 【学生活动】将点(5, -1)代入y=ax2+3，得，所以25a=-4，。解析式为。水面上升1m后，即y=0时的水面宽。令y=0，得，，。水面宽度为（m）。 方法三：以原水面为x轴建立坐标系 【教师活动】还可以以水面未上升时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系。在这个坐标系中，拱顶离水面4m，所以拱顶坐标为(0, 4)。水面两端点坐标为(-5, 0)和(5, 0)。请同学们自己动手计算一下，看看结果是否与前面一致。 【学生活动】设抛物线解析式为y=ax²+4，将点(5, 0)代入得0=25a+4，a=-。水面上升1m，即y=1时，代入得1=--x²+4，解得x²=-，x约等于±4.33，水面宽度约8.7m。三种方法结果相同！ 【知识点】三种坐标系对比：方法一（以拱顶为原点）：解析式（最简单），顶点(0,0)；方法二（以新水面为x轴）：解析式，顶点(0,3)；方法三（以原水面为x轴）：解析式，顶点(0,4)；虽然三种方法建立的坐标系不同，解析式也不同，但a的值始终是，最终求得的水面宽度都是8.7m。建议优先选择以拱顶（顶点）为原点的坐标系，解析式最简单。 四、课堂总结 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： (1) 建立适当的平面直角坐标系（优先以顶点为原点）； (2) 写出抛物线上的关键点的坐标（拱顶、端点、与坐标轴交点等）； (3) 运用待定系数法求出函数解析式； (4)求解数学问题（代入求值、解方程等）； (5) 回归实际问题，给出最终答案。 5、 课堂练习 变式拓展——船能否通过桥洞 【教师活动】请同学们看这个变式问题：在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示。这艘船宽4m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m。这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 【教师活动】这是一个典型的判断物体能否通过抛物线形通道的问题。请同学们思考，我们应该用什么方法来判断？ 【学生活动】可以采用"固定宽看高"的方法。以上升1m后的水面为x轴建立坐标系，之前我们已经求出抛物线解析式为y=-x²+3。船宽4m，左右对称，所以船的两侧在x=2和x=-2处。将x=2代入解析式，求出此时的y值（即拱桥在x=2处的高度），如果y大于等于2m（船的物资顶部高度），船就能通过。 【教师活动】思路非常清晰！请同学们计算一下，当x=2时，y的值是多少？ 【学生活动】将x=2代入，得（m）。因为2.36>2，所以拱桥在船上方的高度（2.36m）大于船的高度（2m），船可以通过。 【教师活动】计算正确！所以这艘船能安全通过拱桥。现在，我们总结一下判断物体能否通过抛物线形通道的两种常用方法。 【知识点】判断船能否安全通过桥洞的两种方法： 方法一：固定宽看高——已知船的宽度，将x=半宽代入解析式，求出此时拱桥的高度y，与船的高度比较。若y≥船高，则能通过； 方法二：固定高看宽——已知船的高度，将y=船高代入解析式，求出此时拱桥的宽度2|x|，与船的宽度比较。若2|x|≥船宽，则能通过。两种方法等价，根据已知条件选择更方便的一种。 2.在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线的一部分（如图），若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离。 解答过程： 由题意知，篮筐的高度为。 当时，有 因为（篮球向前运动），所以（舍去）。 即篮筐所在位置为。 由图可知，运动员到篮筐正下方的距离。 答：运动员到篮筐正下方的距离为。 板书设计： 作业内容： 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $