第3章 圆 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（苏科版·新教材）

第3章 圆 知识梳理导图 确定圆的要素。圆 点在圆外、点在圆上、点在圆内 直线与圆 优孤的表示 点与圆、直线 的位置关系 相离、相切、相交 劣孤的表示}弧 相关概念 与圆的位置关系 切线的判定与性质、切线长定理、 弦与直径的关系。弦 三角形的内切圆 作圆的内接正多边形 圆的对称性 般地，正多边形都有一个外接 垂径定理及其推论 正多边形 圆，外接圆的圆心叫作正多边形 圆心角、弦、弧之间的关系 基本性质 圆 与圆 的中心，外接圆的半径叫作正多 边形的半径 圆周角定理及其推论 弧长公式 l=nπR 180 不在同一条直线上的三点确定一个圆 三角形的外接圆、三角形的外心 确定圆 扇形的面 扇形 积公式 S扇形一 nπR2 的条件 360 号R 多边形的外接圆、圆的内接多边形 圆锥的 侧面积 ,S侧面积=πT 重难疑点解法 分上分点个圆的相关概念 上分点2圆的对称性 例①(2026·山东聊城期末)有下列四个命题，其 例2(2025·徐州云龙区撷秀中学期中)如图，隧道 中正确的是( ). 的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的 ①相等的圆心角所对的弧相等；②圆中最长的弦 长BC为12m,宽AB为3m,隧道的顶端E(圆孤 是直径；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对 AED的中点)高出道路(BC)7m 的两条弧；④等弧对等弦. A.①②④ B.②③④ C.②④ D.②③ 名师启发根据圆心角、弧、弦的关系，圆的性 B 质以及垂径定理判断即可. (1)求圆弧AED所在圆的半径. 妙归纳总结 (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车 ①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径 高6m宽2.5m,那么这辆货运卡车能否通过该隧道？ 构造等腰三角形；②圆周角和圆周角的转化可利用 名师启发(1)根据垂径定理、勾股定理即可 其“桥梁”—圆心角转化；③定理成立的条件是同 求解；(2)在圆弧AED上取一点H,过点H作HG⊥ 条孤所对的两种角. OE于点G,且使得HG=2.5m,根据勾股定理求出点 134 实验班提优训练数学九年级上SKJ G到到BC的距离，然后与车高进行大小比较即可. 分上分点4圆周角定理及其推论 例4如图，A,P,B,C是圆O上四点， ∠APC=∠CPB=60°. (1)△ABC是 三角形. (2)连接OA,OB,当点P位于 什么位置时，四边形PBOA是菱形？ 并说明理由， (3)若PA=1,PB=2,求PC 的长 个关键提醒 (1)辅助线：添半径和过圆心作弦的垂线段是 名师启发(1)利用圆周角定理进行判断即可； (2)当点P位于AB的中点时，四边形PBOA是 两条常用的辅助线； (2)若圆的半径为r,圆心到弦的距离为d,弦 菱形，连接OP,证明△OAP和△OBP都为等边三角 形，从而得到四边形PBOA是菱形； 长为a,则，a,d之间的关系为=d+(侣)》， (3)在PC上截取PD=PA,连接AD,证明 因此已知r,a,d中的两个量就可求出第三个量. △APB≌△ADC,得到PB=DC,即可得解， 分上分点3三角形的外接圆 例3如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC 12,求其外接圆的半径. 方法技巧 名师启发过点A作AD⊥BC,垂足为D,由 一条孤所对的圆周角等于它所对的圆心角的 等腰三角形的性质可知△ABC的外接圆圆心O必在 一半；在同圆或等圆中，同孤或等孤所对的圆周角 AD上，连接OC,欲求外接圆的半径，只要求出OC即 相等；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对 可，OC可在Rt△ODC中由勾股定理求得. 的弦是直径 上分点⑤圆中有关位置关系的判定与性质 例5(2026·扬州邪江区期中)如图，⊙0是 △ABC的外接圆，AC=BC,且CD∥AB,连接AD 交⊙O于点E. (1)求证：CD是⊙O的 切线； (2)连接BE,若BE为 归纳总结 直径，BC=3√10，AE=8, 求三角形外接圆半径时，通常使条件化归到含 求⊙O的半径， 有外接圆半径的直角三角形中，并应用勾股定理加 名师启发(1)连接OA,OB,OC,由AC= 以解答 BC,OA=OB得到OC是AB的垂直平分线，则有 14 第3章 OC⊥AB,再根据平行线的性质得到OC⊥CD,再利 上分点7圆中的有关计算 用切线的判定定理即可证明； 例7如图，C是圆O被直径AB分成的半圆 (2)连接BE,延长CO交AB于点F,得到OF是 上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点 △ABE的中位线，求出OF=4,设OB=OC=r,在 P,连接CA,CO,CB. Rt△BCF和Rt△BOF中，由勾股定理即可解答. (1)求证：∠ACO=∠BCP; (2)若∠ABC=2∠BCP,求∠P的度数； (3)在(2)的条件下，若AB=4,求图中阴影部分 的面积（结果保留π和根号）， 0 名师启发(1)由AB是半圆O的直径，CP是 半圆O的切线，可得∠ACB=∠OCP,即得∠ACO= ∠BCP; (2)由∠ABC=2∠BCP,可得∠ABC=2∠A,从 守方法技巧 而∠A=30°，∠ABC=60°，可得∠P的度数是30°； 本题的考点是切线的性质：圆的切线垂直于经 过切，点的半径.已知切点，往往连接半径为辅助线. (3③)由∠A=30,得BC=2AB=2,AC=25, 1 分上分点6正多边形与圆 即得S△c=2BC·AC=2V3,故阴影部分的面积 例6(2026·浙江台州玉环期末)如图，正八边形 是S半雨一SMAI. ABCDEFGH内接于⊙O,连接CG,HE相交于点 Q,则∠GQH的度数为( A.75° B.72°C.67.5° D.62.5° 名师启发连接AE,根据圆内接正八边形的 性质求出∠BAH,进而求出∠EAH,根据圆周角定 理得到∠EHA=90°，计算即可. 型归纳总结 正多边形的有关概念：①中心：正多边形的外 接圆的圆心叫作正多边形的中心；②正多边形的半 径：外接圆的半径叫作正多边形的半径；③中心角： 竹方法技巧 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中 本题考查切线的性质、与圆有关的扇形面积的 心角；④边心距：中心到正多边形一边的距离叫作 计算，对于圆中不规则阴影部分面积的计算，通常 正多边形的边心距。 利用扇形的面积减去三角形的面积。 15 实验班提优训练数学九年级上JSK) 易错易混辨析 )易错点]概念和性质混淆而出错 ∠3=∠2+∠5.∴.∠BED=∠EBD.∴.DB=DE 例①下列语句： 辨析归纳 牢记三角形的内心与外心的区别是解题的 ①平分弦的直径垂直于弦；②三角形的内心到三 关键 角形各边的距离相等；③在同圆或等圆中，相等的弦 所对的圆周角相等；④过平面内三点可以作一个圆； ⑤经过半径并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 心巩固特训 ⑥90°的圆周角所对的弦是直径；⑦相等的圆心角所对 1.(2025·无锡江阴期末)下列说法正确的是(). 的弧相等 A.三点确定一个圆 其中正确的个数是(). B.相等的圆周角所对的孤相等 A.2B.3C.4D.5 C.各边都相等的多边形是正多边形 解析①平分不是直径的弦的直径垂直于弦， D.三角形的内心到三角形三边的距离相等 故①错误；②三角形的内心到三角形三边的距离相 2.如图，在⊙O中，AC为⊙0的直径，AB为⊙O的 等，故②正确；③在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆 弦，点E是AC的中点，过点E作AB的垂线，交 周角相等，故③错误；④不共线的三点确定一个圆，故 AB于点M,交⊙O于点N,分别连接EB,CN. ④错误；⑤经过半径外端并且垂直于这条半径的直线 (1)EM与BE的数量关系是 是圆的切线，故⑤错误；⑥90°的圆周角所对的弦是直 (2)求证：EB=CN; 径，故⑥正确；⑦在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 (3)若AM=2√3，MB=2,求 的弧相等，故⑦错误. 阴影部分图形的面积 综上所述，正确的是②⑥，共2个. 答案A 辨析月纳- 解决好此类问题的关键在于熟记三角形的内心、 (第2题) 圆中弦、孤、直径以及圆心角和圆周角之间的关系 例2如图，在△ABC中，E是△ABC的内心， ∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,和 BC交于点F,求证：DE=DB. )易错点2忽视分类讨论而出错 D 解答如图，连接BE 例3(2025·宿迁宿豫区二 ,E是△ABC的内心，∴.BE平分∠ABC. 模)如图，AB是⊙O的直径，AC B ∴.∠1=∠2..AD平分∠BAC,∴∠3=∠4.又∠4与 是⊙O的弦，且∠BAC=56°，若 ∠5都为DC所对的圆周角，.∠4=∠5，.∠1+ 点D是⊙O上的一个动点（不与 16 第3章 点A,C重合)，则∠ADC的度数为 (2)点A在圆上移动，当△ABC与△BCD恰巧全 解析：点D是⊙O上的一个动点（不与点 等时，求AE的长。 A,C重合)， 有以下两种情况： ①当点D在优弧AC上时，连接BC,如图(I)所示. .AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦， .∠ACB=90°. 在Rt△ABC中，∠BAC=56°， (第6题) .∠B=90°-∠BAC=34°， 根据圆周角定理得∠ADC=∠B=34°； (1) (2) ②当点D在劣弧AC上时，连接BC,如图(2)所示： 同①得∠B=34°， 由圆内接四边形的性质可知，∠ADC=180° ∠B=146°. )易错点3逻辑关系或方法不当而出错 综上所述：∠ADC的度数为34°或146°. 答案34°或146 例④以等腰三角形ABC的底边BC的中点O 为圆心，作一圆与腰AB相切于点D.求证：⊙O与另 辨析归纳 一腰AC也相切. 点在圆上的位置通常要分类讨论，可能在劣孤 上，也可能在优孤上. 解答 如图，连接OD,过点O作OE⊥AC 于点E,则∠OEC=90° 巩固特训 3.(2026·扬州广陵区期中)一条弦把圆分成1：4两部 分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 4.已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为√2，那么 弦AC所对的圆周角的度数等于 因为AB切⊙O于点D,所以OD⊥AB, 5.(2025·常州期中)如图，正方形 所以∠ODB=90°，所以∠ODB=∠OEC. ABCD的边长为6，E是DC的 因为AB=AC,所以∠B=∠C. 中点，F是BC边上的动点，连 因为O为BC的中点，所以OB=OC. 接EF,以点F为圆心，EF长 (∠ODB=∠OEC, 为半径作⊙F.当⊙F与正方形 (第5题) 在△BOD和△COE中，∠B=∠C, ABCD的边相切时，BF的长为 OB-OC, 6.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点B作⊙O 所以△BOD≌△COE(AAS), 的切线，与⊙O的直径CE所在的直线相交于点 所以OD=OE,所以点E在⊙O上， D,连接BE,其中BE=BD=3,∠D=30° 所以OE为⊙O的半径， (1)求∠A的大小； 所以⊙O与另一腰AC也相切. 174 实验班提优训练数学九年级上JSK) 辨析归纳 ①求出y与x之间的函数关系式 证明过程中需客观合理地分析，不可主观臆 ②在菱形铁片ABCD上，是否能以⊙O为底面， 断.此题没有说明圆与AC的交点，需要作垂线证 扇形MAN为侧面围成一个圆锥？若能，请求出 明垂线段的长等于半径的长。 ⊙O的半径；若不能，请说明理由. 巩固特 7.如图，将半径为2W3cm的扇形AOB沿OB方向平移 2cm,得到扇形CDE.若∠O=60°，则重叠部分（阴影 B 0 部分)的面积为( A.cm B.8-43)rcm (第10题) C.cm2 D.(π-√3)cm2 D B (第7题) (第8题) 8.(225·扬州江都区期未)机械学家莱洛研究发明的“莱 洛三角形”是：分别以正三角形的顶点为圆心，以其边 11.如图，在四边形ABCD中，AD/∥BC,AB=2√3a, 长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形 ∠ABC=60°，过点B的⊙O与边AB,BC分别 (如图).已知一个“莱洛三角形”曲边上两点之间的最 交于E,F两点，OG⊥BC,垂足为G,OG=a,连 大距离为2，则此“莱洛三角形的面积为(). 接OB,OE,OF. A.√3 B.2π-35 (1)若BF=2a,试判断△BOF的形状，并说明理由； C. D.2π-2√3 (2)若BE=BF,求证：⊙O与AD相切于点A. D 9.(2025·淮安盱眙期中)如图，AB为半圆O的直径， AB=12,BC为弦，若将BC沿弦BC翻折后恰好 经过圆心O,则图中阴影部分的面积为 B (第11题) 备用图 0 (第9题) 10.如图，在边长为1的菱形铁片ABCD中， ∠BAD=60°，现要在菱形内部裁剪一个圆O,使 该圆的圆心O在对角线AC上，并且与菱形AB CD的边CB相切于点E,⊙O交AC于点G. (1)判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由. (2)以点A为圆心，AG为半径作弧，分别交边AB, AD于点M,N(点M,N可与点B,D重合)，设⊙O 的半径为x,AG的长为y. 18 第3章 素养考向提分 新情境 ∴.S右转危脸区域=(42一4π)一 例①(2025·扬州江都区期末)汽车盲区是造成交 通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶 =(16-4坏-a2+m)平方米 座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部 分区域.如图(1)，有一种汽车盲区叫作内轮差盲区， 当Q=2时，S右转危险区域=16-4π一4十元=(12 内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转 3π)平方米 弯半径之差，由于内轮差的存在，汽车在转弯时都会 (3)有危险.理由如下： 产生这种盲区.为了安全，许多路口都设置“右转危险 A 区”标线.图(2)是货车在路口“右转危险区”的示意 图，后内轮转弯半径O1A=O1D=4米，前内轮转弯半 危 险人 径O2B=O2C=a米，∠DO1A=∠C02B=90° 区 -E 1A 如图，连接O1O2并延长一定过点E,则 后内轮 前内轮 0,--- 02E=4√2-3， 一左前轮轨迹 危 右后轮轨迹 视野盲区 2 右前轮轨远 C 0.c-号vg-0-8-3g (1) (2) (1)图(2)中O1A,O1D,弧AD围成的扇形面积 8一3E≈1.88>1.2，∴有危险. 2 为 (结果保留π)； ⊙点拔 (2)用含a的代数式表示“右转危险区”的面积， 扇形面积计算公式：设圆心角是n°，半径为 并求出当a=2时，“右转危险区”的面积（结果保留π）； n R的扇形面积为S,则S扇号=360R或S扇彩= (3)小明站在线段O1O2的延长线上，且与O2的 1 距离为1.2米的地方，若O1,O2之间的距离为3米， R(其中L为扇形的孤长).求阴影面积常用的 请判断小明是否有危险，并说明理由. 方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法等. 解析(1)根据扇形面积的计算公式进行计算 举反目 即可； (2)根据正方形和扇形面积的计算方法以及图形 1.(2025·淮安盱胎期末)中国美食讲究色香味美，优雅 中各个部分面积之间的关系进行计算即可； 的摆盘造型能让美食锦上添花.图(1)中的摆盘， (3)根据图形的对称性，求出小正方形的边长，即 其形状是扇形的一部分，图(2)是其几何示意图 小扇形的半径，再根据小扇形半径与1.2的大小关系 (阴影部分为摆盘)，通过测量得到AC=BD= 进行判断即可. 10cm,C,D两点之间的距离是3cm,∠AOB= 60°，则摆盘的面积是( )cm2. 答案(1)4π平方米提示：题图(2)中O1A, OD,弧AD围成的扇形面积为0二4标（平方米） (2)图中O2C,O2B,弧BC围成的扇形面积为 90πa21 0 360=402(平方米)， (1) (2) (第1题) 194 实验班提优训练数学九年级上SKJ A.169r 6 B.80s C.50m D.49z 6 点拨 本题考查了垂径定理的应用和勾股定理 2.(2026·福建福州马尾区期中)“青山绿水，畅享生活”， 的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题 人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图(1)所 的关键 示是一个竹筒水容器，图(2)为该竹筒水容器的截面。 已知截面的半径为10cm,开口AB宽为12cm,这个 样反白 水容器所能装水的最大深度是 cm. 3.(2026·四川泸州龙马潭区期末)唐代李皋发明了“桨 轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航 行模式之先导.如图，某桨轮船的轮子被水面截得 的弦AB长4m,轮子的吃水深度CD为1m,则 该桨轮船的轮子直径为( ) (1) (2) (第2题) B.4m C.5m D.6m 传统文化 例2筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工 具，如图(1)，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆 水面 心的圆，如图(2)，已知圆心O在水面上方，且⊙O被 (第3题) (第4题) 水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米.若点C 为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离 4.(2026·河北石家庄四十三中期中)“圆材埋壁”是我国 是(). 古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆 材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺.问： 径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB ⊥CD,垂足为E,CE=1寸，AB=10寸，则直径 水面 CD的长度是(). (1) (2) A.12寸 B.24寸C.13寸D.26寸 A.1米 B.2米 跨学科 C.(3-√5)米 D.(3+√5)米 例3(2026·盐城东台月考)如图，这是一种用于 解析如图，连接OC,交AB于点D, 液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器—蒸馏瓶，其底部 由题意，得OA=OC=3米，OC⊥AB, 是圆球形.球的半径为10cm,瓶内液体的最大深度 ∴AD=BD=2AB=2米，∠AD0=90, CD=4cm,则截面圆中弦AB的长为 cm. ∴.OD=/OA2-AD2=√32-22=5（米）， ∴.CD=OC-OD=(3-√5)米， 即点C到弦AB所在直线的距离是(3一√5)米. 解析由题意，得OD⊥AB,在Rt△AOC中， OA=10cm,OC-=OD-CD=10一4=6(cm),由勾股定 水面4 理，得AC=√OA2-0C=√102-62=8(cm), ∴.AB=2AC=16cm. 答亲C 答案16 20 第3章 w7 .弦AB是⊙O的直径. 6o点拨 垂径定理的应用很广泛，常见的有： 如图(1)，连接OD,OC,则OD=OC=CD=1, (I)得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂 △DOC是等边三角形， 直于弦，并且平分弦所对的两条孤；(2)垂径定 ∠DOC=60°，∴.∠DBC=30° 理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决 .∠EDB=∠ADB=90°，∴.∠E=60° 计算弦长、半径、弦心距等问题.这类题中一般 使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何 问题的数学思想方法一定要掌握， 举反白 5.(2025·盐城大丰区期末)物理实验 (1) (2) 课上，同学们分组研究“定滑轮可 (2)不变.理由如下： 以改变用力的方向，但不能省力” ①如图(2)，连接OD,OC. 的课题时，小明发现，重物上升 门重物 时，滑轮上点A的位置在不断改 (第5题) ·∠D0C=60,ZCDB=2∠B0C,∠D0B= 变.已知滑轮的半径为12cm,当滑轮上点A转过 的度数为90时，重物上升了( ). 2∠DOB,∠DBE=∠CDB+∠DCB, A.2cm B.4πcm C.6πcm D.12πcm ∠DBE-2∠B0c+日∠0B-3X 新考法 (ZB0C+∠D0B=号∠C0D=30 例4如图(1)，在⊙0中，弦AB=2,CD=1, ,AD⊥BD, AD⊥BD,直线AD,BC相交于点E. ∠BDE=∠ADB=90°，∴.∠E=60. (1)求∠E的度数. ②如图(3)，连接OD,OC,BD (2)如果点C,D在⊙O上运动，且保持弦CD的 长度不变，那么直线AD,BC相交所成锐角的大小是 否改变？试就以下两种情况进行探究，并说明理由. (图形未画完整，请你根据需要补全) ①如图(2)，弦AB与弦CD交于点F; (3) ②如图(3)，弦AB与弦CD不相交， 由(1)知∠DOC=60°， ∠DBE=30°， AD⊥BD,∴∠ADB=90°. ∴.∠BED=60°.故直线AD,BC相交所成锐角 的大小不变 (1) (2) (3) 色点拨 解析(1)先证△DOC为等边三角形，再由圆周 本题要求探究运动变化中的不变元素， 解答的基础是根据题意补全图形，注意观察、分 角定理即可得∠DBC的度数，从而得解； 析，解答的关键是进行思路的迁移，不能将前面 (2)根据圆周角定理和三角形外角的性质求得 的思路运用到后面的问题上去，否则会导致解 ∠DBE的度数即可求得∠BED的度数. 题方向不清，而无法解决问题 答案(1)，AD⊥BD, 214 实验班提优训练数学九年级上JSK) 举反9 (2)利用图(2)证明你的猜想（写出已知、求证和证 6.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6.E为射线 明过程) CB上一动点，以DE为直径的⊙O交AD于点 F,过点F作FG⊥AE于点G (1)若E为BC的中点，求证：FG为⊙O的切线； (2)若CE=m,请直接写出⊙O与线段AB的交点 个数及相应的m的取值范围. (1) C B (第7题) (第6题) 8.(2026·扬州期中)定义：关于x的方程ax2十√2cx十 b=0,如果a,b,c满足a2+b2=c2且c≠0，那么 我们把这样的方程称为“经典方程”.请解决下列 问题： (1)请写出一个“经典方程”： (2)求证：关于x的“经典方程”a.x2+2cx十b=0 必有实数根； (3)如图，已知AB,CD是半径为1的⊙O的两条 7.(2025·重庆江北区期末)我们知道，与三角形各边都 平行弦，AB=a,CD=b,且关于x的方程号x2+ 相切的圆叫作三角形的内切圆，则三角形可以称 为圆的外切三角形.如图(1)，⊙0与△ABC的三 区x+名-0是“经典方程"，求∠B0C的度数 边AB,BC,AC分别相切于点D,E,F,则△ABC 叫作⊙O的外切三角形.依次类推，各边都和圆相 切的四边形称为圆的外切四边形.如图(2)，⊙O 与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切 (第8题) 于点G,F,E,H,则四边形ABCD叫作⊙O的外 切四边形 (1)如图(2)，试探究圆的外切四边形ABCD的两组 对边AD,BC与AB,CD之间的数量关系，猜想： AD+BC AB十CD;(选填“>”“<”或 “=”) 22第3章圆 例①c 例2(1)如图，设圆弧AED所在圆的圆心为点O, 半径为R,连接OA,OE,设OE与AD交于点F. 隧道的顶端E是圆弧AED的中点，高出道路 (BC)7 m, ADLOEAP-DF-AD. .矩形的长BC为12m,宽AB为3m, ∴.AD∥BC,且AD,BC之间的距离为3m,AD= BC=12 m, .EF=7-3=4 m,AF=DF=6 m, .OF=(R-4)m,.在Rt△AOF中，R2= (R-4)2+62,.R=6.5. 故圆弧AED所在圆的半径为6.5m. E H G D (2)如图，在圆弧AED上取一点H,过点H作HG⊥ OE于点G,且使得HG=2.5m, 注意该链道为双行道← ∴.0G=√OH-G=√6.52-2.5=6(m). .∵点O到BC的距离为7-6.5=0.5(m), .点G到BC的距离为6+0.5=6.5(m)>6m. 故这辆货运卡车能通过该隧道。 例3如图，过点A作AD⊥BC于点D, 则BD=CD=2BC=6,在R△ABD中，AD √WAB2-BD2=√102-62=8. .AD⊥BC于点D,AB=AC, ∴.△ABC的外心O在AD上. 连接OC,设OA=OC=R, D 则OD=AD-AO=8-R. 在Rt△ODC中，OD2+CD2=OC2, (8-R)2+62=R2,解得R=25 1 故△ABC外接圆的半径为空。 例4(1)等边 (2)当点P位于AB的中点时，四边形PBOA是菱 形.理由如下：连接OP,如图(1). .∠AOB=2∠ACB=120°，P是AB的中点， ∴.∠AOP=∠BOP=60°. 又OA=OP=OB, .△OAP和△OBP都为等边三角形， ∴.OA=AP=OB=PB, ∴，四边形PBOA是菱形. 0 (1) (2) (3)如图(2)，在P℃上截取PD=PA,连接AD. .∠APC=60°，.△APD是等边三角形， .PA=DA,∠DAP=60° .∠PAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC, ∴.∠PAB=∠DAC. [∠PAB=∠DAC, 在△APB和△ADC中，AB=AC, ∠2=∠1， .△APB≌△ADC(ASA),∴.PB=DC. 又PA=PD, ..PC=PD+DC=PA+PB=1+2=3. 一题解(3)延长BP到，点E,使PE=PA,连接 AE.∠BPA=120°，.∠EPA=60°，.△PEA是 等边三角形，∴.AP=AE,∠PAE=60°，.∠EAP十 ∠PAB=∠PAB+∠BAC,即∠BAE=∠CAP.又 AB=AC,.△ABE≌△ACP,∴.PC=BE=BP+ AP=3. 例5(1)如图(1)，连接OA,OB,OC. 宁有切点，连半径，证垂直 .AC=BC,OA=OB, .OC是AB的垂直平分线，∴.OC⊥AB. .CD∥AB,∴.OC LCD OC是⊙O的半径，∴.CD是⊙O的切线. (1) (2) 454 (2)如图(2)，连接BE,延长CO交AB于点F, BE是直径，.∠BAE=90° 由(1)得OC是AB的垂直平分线， ∴.AF=BF,∠BFC=90°. .OB=OE,.OF是△ABE的中位线， 0F=AE=×8=4 设OB=OC=r,在Rt△BCF和Rt△BOF中，由勾 股定理得BF2=BC2-CF2, 即BF2=(3√10)2-(r+4)2, BF2=OB2-OF2,BF2=r2-42, ∴.(3√10)2-(r+4)2=r2-42, 90-r2-8r-16=r2-16, 2r2+8r-90=0,r2+4r-45=0, 獬得r=5或-9（舍），∴.⊙0的半径为5. 例6c 例7(1)，AB是半圆O的直径， .∠ACB=90°. .CP是半圆O的切线，∠OCP=90°， ∴.∠ACB=∠OCP,∴.∠ACO=∠BCP. (2)由(1)，知∠ACO=∠BCP. ,'∠ABC=2∠BCP,∴.∠ABC=2∠ACO. .OA=OC,∴.∠ACO=∠A, ∴∠ABC=2∠A..∠ABC+∠A=90°， ∠A=30°，∠ABC=60°， ∴.∠ACO=∠BCP=30°， ∴.∠P=∠ABC-∠BCP=60°-30°=30°. 故∠P的度数是30° (3)由(2)，知∠A=30°..∠ACB=90°， BC-AB-2.AC-/AB-BC-2/3, Se=c·AC=号×2x25=26, “阴影部分的面积是x×() 2 -2√3=2π-2√3. 巩固特训 1.D[解析]A.不在同一直线上的三点确定一个 圆，故不符合题意； B.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等， 故不符合题意； ，46 C.各边都相等且各角也都相等的多边形是正多边 形，故不符合题意； D.三角形的内心到三角形三边的距离相等，故符 合题意.故选D. 和识拓展在同圆或等圆中，①圆心角相等；②所 对的孤相等；③所对的弦相等，三者知一推二 2.(1)BE=√2EM[解析]，'AC为⊙O的直径，点 E是AC的中点，.∠ABE=45° AB⊥EN,∴.∠BME=90°，.∠E=45°=∠ABE, .BM=EM.在Rt△BME中，由勾股定理得BE= BP+ME2=2EMP,∴.BE=√2EM. (2)由(1)，得∠ABE=∠BEN=45°， ∴.AE=BN. 点E是AC的中点，AE=EC, ..EC=BN,..EC-BC=BN-BC, ..EB-CN (3)连接OE,AE,OB,ON. .EN⊥AB,垂足为M, ∴.∠AME=∠EMB=90°. .BM=2,由(1)得∠ABE=∠BEN=45°， .'.EM=BM=2. BE=√2EM,∴.BE=2√2 .'在Rt△AEM中，EM=2,AM=2W3, .AE=4,.∠EAB=30°. :∠EAB-号∠E0B,∠EOB-60 .OE=OB,.△EOB是等边三角形， ∴.OE=BE=2√2 :BE=CN,∴.∠EOB=∠CON=60°，CN= BE=2√2. :S08oN-60X22)PXx-4 360 π， SA-CNX 4 六S阴影=S期形0cv一S△0cv=3不一2W/3. 3.36或144°[解析如图，连接OA,OB, 一条弦AB把圆分成1：4两部分， 1 弧ACB的度数是5×360°=72， (第3题) 弧ACB的度数是360°-72°=288°， ∠A0B=72,∠ACB=2∠A0B=36, .∠ACB=180°-36°=144°. 4.45或135 5.或6-3万[解析]：四边形ABCD是正方 形，且边长为6， .AB=BC=DC=AD=6,∠A=∠B=∠C= ∠D=90°，ADBC. :点E是DC的中点，CE=?DC=3. ,以点F为圆心，EF长为半径的⊙F与正方形 ABCD的边相切， .有以下两种情况： ①当⊙F与AB相切时， ,FB是⊙F的半径，AB是切线，∠ABC=90°， 切点为B,如图(1)所示， ∴.BF=EF,∴.CF=BC-BF=6-BF. 在Rt△EFC中，由勾股定理，得EF2=CF2+CE, BF2=(6-BF)2+32,解得BF=15 ； D B (1) (2) (第5题) ②当⊙F与AD相切时，设切点为H,连接FH, 如图(2)所示. .'FHAD,AD//BC,..FH=AB=6, ∴.EF=FH=6. 在Rt△EFC中，由勾股定理， 得CF=√EF2-CE2=3√3， .BF=BC-CF=6-3√3. 综上所述，BF的长为或6-3w5。 6.(1).BE=BD,∠D=30°， ∴.∠E=∠D=30°，.∠A=∠E=30° (2)连接OB,AE.DB是⊙O的切线， ∴.∠OBD=90°，即∠OBC+∠CBD=90°. .CE是⊙O的直径，∴.∠EBC=90°， ∴.∠BEC+∠BCE=90°. 又OB=OC,∴.∠OBC=∠OCB, ∴.∠CBD=∠BEC=30°， ∴∠CBD=∠D,∴.BC=CD 当△ABC≌△DCB时，AB=DC, ∴.AB=BC.∴.∠ACB=∠CAB=30°. .∠BEC=30°，∴.∠BCE=90°-∠BEC=60°， ∴.∠ACE=30° 又∠EAC=90,AE-2EC 在Rt△EBC中，∠BEC=30°，则CE=2BC. BE-3,CE-BE+-9+CE, 解得CE=23,AE=CE=. 当△ABC≌△DBC时，同理，AE=3. 综上，AE的长为3或3. 7.D[解析]如图，连接OF,过点F作FH⊥OB于 点H. 设DF=xcm, 在Rt△DFH中，∠CDB=60°， 则DH=2xom,FH= 2 cm. D HB (第7题) 根据平移的性质，得OB= DE=2√3cm, 在Rt△OFH中，由勾股定理，得 停‘++)广-e, x=2(合去负值)，FH=3-0F, ∴.∠FOH=30°，∴.S阴影=S扇形OB一SA0DF= 30m·(2/3Y-X2X3=(x-3)cm品.故选D 360 2 8.D[解析].“莱洛三角形”曲 边上两点之间的最大距离为2， ∴.AB=AC=BC=2. 过点A作BC的垂线，垂足为M, 由△ABC是等边三角形，得 (第8题) ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， 474 ∠BAM=号∠BAC=30, BM-AB-1.AM-V2 i.w-C AM-x2X/- 60Xπ×222 ,S扇形ABC 360 3元， .“莱洛三角形”的面积为3S扇形c一2S△A=3X 32XW5=2x-2/3. 2 故选D. 9.6π一9√3[解析]如图，过点O作BC的垂线交 BC于点D,交BC于点E,连接OC,CE,BE. o D 0 (第9题) ,OE⊥BC,点E是BEC的中点. 根据折叠的性质，得点O是BOC的中点， ∴.OB=OC=BE=CE, ∴.S号形OB=S号形0c=S号形BE=S马形CE. .AB=12,..OB=OC=OE=6, :0D=20E=3×6=3,∴∠0BC=30, ∴.∠OCB=∠OBC=30°， ∴.∠AOC=∠OCB+∠OBC=60°， ∴.∠B0C=180°-∠AOC=180°-60°=120°， &5形360×元×6=12元 .BD=√OB2-OD2=3√3，.BC=6√3， Stam-2Bc.0=7×65×6=185, 1 …S阴影=S马形BE=S号形CE=2(S扇形B0c一 5a)=号×(12x-183）=6r-9v3. 10.(1)CD与⊙0相切.理由如下： 如图，连接OE,作OF⊥CD,垂足为F. ,在菱形ABCD中，CA平分∠BCD, ∴.∠ECO=∠FCO. .CB与⊙O相切于点E,∴.OE⊥CB. 48 又OF⊥CD, ∴.OE=OF,即OF是⊙O的半径. ∴.CD与⊙O相切. (2)①如图，过点B作BP⊥AC,垂足为P. 在△ABC中，AB=BC,AP=CP=AC ∠BCP=30,BC=1,BP-, CPAC- 在Rt△OEC中，OE=x,∠ECO=30°， .'.OC=2x. .AC=AG+OG+OC, √3=y十x+2x,即y=√3-3x. ②若能围成，则2x= 0·π·y 180 即y=6x. 又y=√3-3x, 35 x③ 3 点M,N在边AB,AD上， (第10题) .AG≤AB=1. 而y= 3>1,…不能围成一个圆锥 2w 11.(1)△BOF为等腰直角三角形.理由如下： .OG⊥BC,OB=OF, .BG-FG-2BF-4. .OG=a,..BG=OG,FG=OG, ∴.△BOG和△OFG都是等腰直角三角形， .∠BOG=∠FOG=45°， ∴∠BOF=90° 又OB=OF,.△BOF为等腰直角三角形. (2)如图，连接EF. (E)A CF) (第11题) ,∠EBF=60°，BF=BE, .△BEF为等边三角形，EB=EF, .OG垂直平分BF, ∴.点E,O,G共线，即EG⊥BF, ∴.∠BEG=30°.又OE=OB, ∴.∠OBE=∠BEG=30°， ∴.∠OBG=30°. OG=a,∴.OB=2a,BG=√OB2-OG=√3a, .∴.BE=2BG=2√3a. 又AB=2√3a,∴点A与点E重合. .AD∥BC,AG⊥BF,∴.AG⊥AD, .⊙O与AD相切于点A. 样反白 1.B 2.18[解析]如图，连接AB,OB,过点O作OC⊥ AB于点C,延长CO交⊙O于点D. AC B (第2题) .OC⊥AB, AAC=CB-方AB=6cm 由题意可知，OB=10cm, '.在Rt△OBC中，OC=√OB2-BC=√I02-62= 8(cm), .∴.CD=OC+OD=8+10=18(cm), 即这个水容器所能装水的最大深度是18cm, 3.C[解析]由题意，得AB=4m,OC⊥AB, :.AD=BD-2AB-2m. 设该桨轮船的轮子半径为rm,则OD=(r一 1)m, 在Rt△AOD中，由勾股定理，得22+(r-1)2= ,解得= 即该桨轮船的轮子直径为5m.故选C. 4.D[解析]如图，连接OA, D (第4题) ,AB⊥CD,且AB=10寸， .AE=BE=5寸. 设圆O半径OA的长为x寸， 则OC=OD=x寸. .CE=1(寸)，∴.OE=(x-1)寸. 在Rt△AOE中，根据勾股定理，得 x2-(x-1)2=52,解得x=13, .CD=2x=26寸.故选D. 5.C[解析]由题意，得90XxX12 180 6π(cm). 故重物上升了6πcm.故选C. 6.(1)如图(1)，连接EF,OF. E 0 D (第6题(1) ,四边形ABCD是矩形， ∠B=∠C,CD=BA,CB∥DA. E为BC的中点，.CE=BE. ∴.△CDE≌△BAE(SAS). ∠CED=∠BEA. .'CB//DA, ∴.∠CED=∠EDA,∠BEA=∠EAD. .∠EDA=∠EAD 在⊙O中，.OD=OF,∴∠ODF=∠OFD. ∴∠OFD=∠EAD..OFEA. .FG⊥AE,∴.OF⊥FG ,点F在⊙O上，.FG是⊙O的切线. (2)如图(2)，当⊙O与线段AB相切于点H时，连 接HO并延长交CD于点M. .⊙O与线段AB相切，∴.OH⊥AB. .四边形ABCD是矩形，∴.CDAB. OMLCD.:.DM-CM-zCD-2. 设OD=OH=x,则OM=6-x, 在Rt△DOM中，根据勾股定理，得OM2+DM2= 0D,(6-x)+2=解得x=9 0M-6-69-8 494 点M,O分别是CD,DE的中点， .OM是△CDE的中位线， CE=m=20M=2X9=36. 时，⊙0与线段AB只有1个交点： 16 ∴.当m= 16 当0≤m< 时，⊙0与线段AB没有交点： C E B B(E) 0 (2) (3) (第6题) 如图(3)，当点E与点B重合时，CE=CB=6,此 时⊙O与线段AB有2个交点； 如图(0，当9<CE<6,即9<m<6时，此时 16 ⊙O与线段AB有2个交点； 0 0 D (4) (5) (第6题) 如图(5)，当点E在点B的右侧时，CE>CB=6, 即m>6,此时⊙O与线段AB没有交点. 综上所述，当0<m<号或m>6时，⊙0与线段 AB没有交点；当m= 1 3时，⊙0与线段AB有1 个交点：当9<m≤6时，⊙0与线段AB有2个 交点 素养考向本题属于中考常考的探究不同条件下 的结论或字母的取值（范围），通常涉及点运动的 时间、线段的长度与特殊三角形或四边形，或是特 殊位置.考查学生分类讨论与数形结合的能力，通 过画图可帮助解决问题 7.(1)= (2)已知：⊙O与四边形ABCD的边AB,BC,CD, ，50 DA分别相切于点G,F,E,H. 求证：AD+BC=AB+CD. 证明：，⊙O与四边形ABCD的边AB,BC,CD, DA分别相切于点G,F,E,H, ..DH=DE,AH=AG,BF=BG,CF=CE, ..DH+AH+BF+CF=DE+AG+BG+CE. .'DH+AH+BF+CF=AD+BC,DE+AG+ BG+CE=AB+CD, ∴.AD+BC=AB+CD 8.(1)3x2+5√2x十4=0（答案不唯一） (2),关于x的方程ax2十√2cx十b=0是“经典方 程”，∴.a2+b2=c2且c≠0. ①当a≠0时， (√2c)2-4ab=2c2-4ab =2(a2+b2)-4ab=2(a2+b2-2ab) =2(a-b)2≥0， 方程有两个实数根： ②当a=0时， 方程为√2cx十b=0,c≠0， .该方程有实数根， .“经典方程”必有实数根。 (3)如图，作OE⊥AB于点E,延 长EO交CD于点F, .AB//CD, .EF⊥CD, (第8题) ∴AE=BE= e.CF-DF-. :BE+0E=0B(分a +0E2=12. :2ax2+亿x+20-0是“经奥方程， (2a)+(2b)=1,0E=26=CF. .'OB=OC,∴.Rt△BOE≌Rt△OCF(HL), ∴.∠FOC=∠OBE .∠OBE+∠EOB=90°， .∠FOC+EOB=90°，∴.∠COB=90°. 第4章数据的集中趋势和离散程度 例1(1)8.58[解析]将乙中数据排序：6,7,7， 8,8,9,9,9,10,10,第5个和第6个数据分别为8和