2026-2027学年苏科版九年级数学上《第二章一元二次方程第二节一元二次方程的解法（一）》提优特训A·B卷

**基本信息** 基于苏科版九年级一元二次方程解法，整合盐城、苏州等地期末及模考真题，分A/B卷梯度设计，强化直接开平方法与配方法的规范应用及拓展，适配新授课巩固与提优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|A卷10题30分<br>B卷10题30分|直接开平方法根的判定、配方法步骤|结合2025·连云港海州期末题考查代数式配方判断取值，培养推理意识| |填空|A卷10题30分<br>B卷10题30分|完全平方式结构、配方常数计算|2026·常州新北一模题强化二次项系数化为1的操作，落实运算能力| |解答|A卷6题60分<br>B卷6题60分|两种解法步骤、代数式最值、含参问题|A卷25题通过配方求二次代数式最小值，B卷26题阅读材料题融合跨学科应用，发展创新意识|

数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第二章一元二次方程第二节一元二次方程的解法（一）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.掌握直接开平方法、配方法的原理，理解平方根的非负性与完全平方式结构特征；区分两种解法的适用方程类型，建立 “ 降次求解 ” 的方程核心思想，掌握一元二次方程化二次为一次的解题逻辑。 2.能根据方程形式选择最优解法，可准确判断方程有无实数根；熟练推理配方过程的变形依据，理解 “ 二次项系数化为1、加一次项系数一半的平方 ” 的底层逻辑，规避配方变形中的逻辑漏洞。 3.熟练掌握直接开平方法的规范解题步骤，精准完成配方法 “ 化、移、配、开、解、验 ” 全套运算；规范书写解题格式，杜绝符号错误、漏根、配方常数计算错误，提升一元二次方程运算准确率。 4.能利用配方法对二次代数式进行配方变形，求解代数式最值、取值范围；能结合简单实际问题，通过开平方法、配方法求解一元二次方程，解决基础应用型问题。 ) 二．知识梳理 ( （一） 解方程核心思想：降次 一元二次方程是二次方程，无法直接求解，所有解法的核心都是降次：将二次方程转化为两个一元一次方程，通过解一次方程得到原方程的根。直接开平方法、配方法是最基础的降次解法，也是后续公式法的推导基础。 （二） 直接开平方法 1. 定义 ： 利用平方根的意义直接开平方求解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。 2. 适用方程类型 （1）最简型：x 2 =p （2）复合型：(mx+n) 2 =p(m ≠ 0) 3. 根的判定规则 （1） 当p>0时，方程有两个不相等的实数根：x= ± ；复合型方程拆分为两个一次方程求解。 （2） 当p=0时，方程有两个相等的实数根（重根）：x 1 =x 2 =0。 （3） 当p<0时，因为实数范围内平方根无意义，方程无实数根。 4. 标准解题步骤 （1） 整理方程，化为平方等于常数的标准形式； （2）   判断右侧常数的正负，确定根的情况； （3） 直接开平方，得到两个一元一次方程； （4） 解一次方程，写出方程的两个根。 （三） 完全平方式（配方基础） 1.完全平方公式：a 2 ± 2ab+b 2 =(a ± b) 2 2.二次三项式配方核心：常数项 = 一次项系数一半的平方 3.基础变形：x 2 +px，配方需添加( ) 2 ，即：x 2 +px+( ) 2 =(x+ ) 2 （四） 配方法 1. 定义 ： 通过恒等变形，将一元二次方程左边配成完全平方式，右边为非负常数，再用直接开平方法求解的方法，叫做配方法。适用于所有一元二次方程。 2. 配方法标准六步（必考规范） 针对一般形式一元二次方程ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0)： （1） 化1：方程两边同时除以二次项系数a，将二次项系数化为1； （2） 移项：将常数项移到方程右侧，左侧只保留二次项、一次项； ) ( （3） 配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方； （4） 整理：左侧写成完全平方式，右侧合并常数项； （5） 开方：根据右侧常数正负，判断根的情况，有根则开平方降次； （6） 求解：解一元一次方程，写出最终两根。 3. 特殊说明 （1） 配方属于恒等变形，左右两边必须同时加同一个常数，等式始终成立； （2） 配方法是推导求根公式的基础，是九年级数学核心必考方法。 （五） 两种解法适用场景对比 1.优先用直接开平方法：方程本身是平方型，可直接整理为(mx+n) 2 =p形式，解题快捷； 2.必须用配方法：普通二次三项式方程、需要代数式配方求最值、题目指定用配方法解题。 （六） 配方法拓展应用（提优重点） 1.代数式配方：对二次多项式配方，判断代数式恒正、恒负，求解最大值、最小值； 2.含参方程配方：通过配方结合完全平方式非负性，求参数的值或取值范围； 3.等式求值：多个平方和为0的形式，利用 “ 非负数之和为0，每一项均为0 ” 求值。 （七） 高频易错点汇总 1.直接开平方法易错 （1） 开平方时只写正根，漏掉负根（最基础高频错误）； （2） 右侧常数为负数仍强行求解，忽略无实数根的情况； （3） 复合型平方方程开方后遗漏正负号。 2.配方法易错 （1） 忘记第一步二次项系数化为1直接配方； （2） 配方时只给左边加常数，右边不加，破坏等式恒等； （3） 一次项系数为负数时，计算 “ 一半的平方 ” 符号出错； （4） 重根情况只写一个根，未规范书写x 1 =x 2 。 （八） 核心解题结论 1.任意完全平方式：(mx+n) 2 ≥ 0（实数范围内恒成立）； 2.配方法可将所有一元二次方程转化为开平方法标准形式； 3.若配方后右侧常数小于0，方程一定无实数根。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025·盐城阜宁期末）方程 x2=16 的根为（ ） A.x=4 B.x=-4 C.x=±4 D.无实数根 【答案】C 【解析】直接开平方法，正数有两个互为相反数的根。 2.（2025·苏州吴中期末）方程 x2=-9 的根的情况是（ ） A.两个不等实根 B.两个相等实根 C.一个实根 D.无实数根 【答案】D 【解析】平方不能为负数。 3.（2025·泰州姜堰期末）(x-1)2=0 的根是（ ） A.x=1 B.x1=x2=1 C.x=±1 D.无解 【答案】B 【解析】右边为0，有两个相等实数根。 4.（2026·南京鼓楼一模）解方程 (x+2)2=25，正确结果是（ ） A.x=3 B.x=-7 C.x1=3,x2=-7 D.x1=7,x2=-3 【答案】C 【解析】(x+2)2=25→x+2=±5→x1=3,x2=-7. 5.（2025·南通通州期末）用配方法解方程 x2-4x=1，需两边同时加（ ） A.2 B.4 C.-4 D.16 【答案】B 【解析】一次项系数一半的平方：()2=4 6.（2025·扬州邗江期末）配方 x2+6x 需添加常数（） A.3 B.6 C.9 D.36 【答案】C 【解析】 次项系数一半的平方：()2=9. 7.（2024·镇江丹徒期末）配方法解方程3x2-6x=1，第一步正确操作是（ ） A.两边除以3 B.两边加6x C.两边除以x D.两边加1 【答案】：A 【解析】：配方法第一步二次项系数化为1，两边同除以3。 8.（2026·常州新北一模）配方法解 2x2-4x=6，第一步应（ ） A.移项 B.两边除以2 C.配方 D.开平方 【答案】B 【解析】配方法第一步：二次项系数化为1 9.（2025·连云港海州期末）用配方法可判断 x2+2x+3 的值一定（ ） A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法确定 【答案】A 【解析】配方：(x+1)2+2>0 10.（2024·常州溧阳期末）用配方法将x2-6x-1=0化为(x+m)2=n形式，则m、n的值为（ ） A.m=-3，n=10 B.m=3，n=10 C.m=-3，n=-8 D.m=3，n=-8 【答案】：A 【解析】：移项x2-6x=1，两边加(-6÷2)2=9，x2-6x+9=1+9，即(x-3)2=10，m=-3，n=10。易错：配方仅左边加常数，右边忘记同步加。 二．填空题（共30分） 11.（2025·盐城阜宁期末）x2=7的根为________。 【答案】x1=,x2=- 【解析】直接开平方法，两根互为相反数。 12.（2025·苏州吴中期末）(x+5)2=2，则x+5=________。 【答案】± 【解析】整体开平方，保留正负号。 13.（2025·泰州姜堰期末）x2-10x+____=(x-5)2。 【答案】25 【解析】()2=25。 14.（2026·南京鼓楼一模）方程(x-1)2=0的重根是________。 【答案】x1=x2=1 【解析】p=0，两相等实数根。 15.（2025·南通通州期末）2(x-3)2=8，化简得(x-3)2=________。 【答案】4 【解析】两边同除以2。 16.（2025·扬州邗江期末）x2+3x+____=(x+)2。 【答案】 【解析】()2=。 17.（2025·镇江丹徒期末）方程(3x+2)2=-1实数根个数：________。 【答案】0 【解析】平方非负，右边负数，无实根。 18.（2026·常州新北一模）x2+4x-1=0配方后为(x+2)2=________。 【答案】5 【解析】移项x2+4x=1，两边+4，得(x+2)2=5。 19.（2025·徐州铜山期末）若x2+mx+16是完全平方式，则m=________。 【答案】±8 【解析】x2±8x+16=(x±4)2。 20.（2025·连云港海州期末）代数式(x-2)2+3最小值为________。 【答案】3 【解析】(x-2)2≥0，当x=2时，最小值3。 三．解答题（共60分） 21．用直接开平方法解下列方程： （1）3x2﹣27＝0． 解：方程整理得：x2＝9，开方得：x1＝3，x2＝﹣3． （2）（m﹣）2＝16． 解：（m﹣）2＝16，开方得：m﹣＝±4，解得：m1＝4+，m2＝﹣4+． （3）4（x﹣1）2＝2； 解：4（x﹣1）2＝2，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，x﹣1＝或x﹣1＝﹣， x1＝1+，x2＝1﹣； （4）9（x+1）2﹣25＝0． 解：9（x+1）2﹣25＝0，（x+1）2＝，x+1＝，x＝﹣1，∴x1＝﹣，x2＝． （5）（2x+3）2＝（3x+2）2． 解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，解得：x1＝1，x2＝﹣1． （6）（x﹣2）2+＝0． 解：（x﹣2）2+＝0，（x﹣2）2＝﹣，（x﹣2）2＝，x﹣2＝±，所以x1＝，x2＝． 22．用配方法解下列方程： （1）x2+4x﹣2＝0． 解：∵x2+4x﹣2＝0，∴x2+4x＝2，∴x2+4x+4＝2+4，即（x+2）2＝6，∴x+2＝±， ∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣． （2）3x2﹣5x＝2； 解：移项得：x2﹣x＝，配方得：x2﹣x+＝+，合并得：（x﹣）2＝， 解得：x1＝+＝2，x2＝﹣＝﹣； （3）x2+8x＝9； 解：配方得：x2+8x+16＝9+16，合并得：（x+4）2＝25，则x+4＝±5，解得x1＝1，x2＝﹣9； （4）x2+12x﹣15＝0； 解：移项得：x2+12x+36＝15+36，配方得：（x+6）2＝51，∴x+6＝±，解得x1＝﹣6+，x2＝﹣6﹣； （5）； 解：去分母得：x2﹣4x﹣16＝0，移项得：x2﹣4x＝16，配方得：x2﹣4x+4＝16+4，合并得：（x﹣2）2＝20，∴x﹣2＝±2，解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2； （6）2x2+12x+10＝0； 解：系数化为1得：x2+6x+5＝0，移项得：x2+6x＝﹣5，配方得：x2+6x+9＝﹣5+9，合并得：（x+3）2＝4，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5； （7）x2+px+q＝0（p2﹣4q≥0）． 解：移项得：x2+px＝﹣q，配方得：x2+px+＝﹣q+，合并得：（x+）2＝， 解得x＝． （8）3x2﹣x﹣1＝0． 解：3x2﹣x﹣1＝0，x2﹣x﹣＝0，x2﹣x＝，x2﹣x+（）2＝+（）2，（x﹣）2＝，x﹣＝±，x﹣＝或x﹣＝﹣，x1＝，x2＝． 23.（2025·盐城阜宁期末）已知方程：2(x-1)2-8=0 (1)将方程整理为直接开平方法标准形式； (2)用直接开平方法求出方程的两个实数根； (3)写出该方程两根之和。 解：(1) 移项：2(x-1)2=8，化简得：(x-1)2=4 (2) 直接开方：x-1=±2，x-1=2 →x1=3，或x-1=-2 → x2=-1，∴x1=3,x2=-1。 (3) 两根之和：3+(-1)=2 24.（2025·苏州吴中期末）用配方法解方程：x2-4x-5=0 (1)写出移项后的式子； (2)完成配方，写成完全平方形式； (3)求出方程的两根。 解：(1) 移项：x2-4x=5， (2) 两边加一次项系数一半的平方4：x2-4x+4=5+4，即(x-2)2=9。 (3) 开方：x-2=±3→x1=5，x2=-1 25.（2025·泰州姜堰期末）代数式：x2-6x+10 (1)对该二次代数式进行配方； (2)说明该代数式取值恒正的理由； (3)求代数式的最小值及对应x的值。 解：(1) 配方：x2-6x+9-9+10=(x-3)2+1。 (2) ∵(x-3)2≥0，∴(x-3)2+1>0∴代数式恒大于0 (3) 当x=3时，平方项取0，代数式最小值为1 26.先阅读下面的内容，再解决问题， 已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m，n的值． 解：等式可变形为（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0，即（m+1）2+（n﹣3）2＝0， 因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0，所以m+1＝0，n﹣3＝0，所以m＝﹣1，n＝3． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请你利用配方法，解决下列问题： （1）已知a，b分别是长方形ABCD的长、宽，且满足a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0，则长方形ABCD的面积为 　　． （2）求代数式a2﹣10a+30的最小值，并求出此时a的值． （3）请比较多项式2x2+x﹣3与x2+3x﹣7的大小，并说明理由． 解：（1）∵a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0，∴（a2﹣8a+16）+（b2﹣6b+9）＝0，即（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0．∵（a﹣4）2≥0，（b﹣3）2≥0，∴a﹣4＝0，b﹣3＝0，解得：a＝4，b＝3，∴长方形ABCD的面积为4×3＝12．故答案为：12； （2）a2﹣10a+30＝a2﹣10a+25+5＝（a﹣5）2+5．∵（a﹣5）2≥0，∴（a﹣5）2+5≥5，∴代数式a2﹣10a+30的最小值为5，此时a﹣5＝0，即a＝5； （3）（2x2+x﹣3）﹣（x2+3x﹣7）＝2x2+x﹣3﹣x2﹣3x+7＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3．∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+3＞0，∴（2x2+x﹣3）﹣（x2+3x﹣7）＞0，∴2x2+x﹣3＞x2+3x﹣7． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·苏州姑苏二模）方程(ax+b)2=c(c>0)的根是（ ） A.ax+b=c　 B.ax+b=± 　C.x=　 D.x=±c 【答案】B 【解析】复合型直接开平方法标准形式，必须带正负根号。 2.（2026·南通崇川二模）将3x2-6x=2配方，两边先除以3后，两边加（ ） A.1　 B.2　 C.3　 D.9 【答案】A 【解析】除以3得x2-2x=，()2=1。 3.（2025·无锡江阴期末）方程(x2+y2+1)2=4，则x2+y2=（ ） A.1　 B.-3　 C.1或-3　 D.2 【答案】A 【解析】开方x2+y2+1=±2；x2+y2≥0，舍去-3。 4.（2026·盐城盐都二模）x2+kx+9是完全平方式，则k为（ ） A.6　 B.-6　 C.±6　 D.18 【答案】C 【解析】x2±6x+9=(x±3)2。 5.（2026·扬州广陵二模）方程(2x-5)2=(x+1)2，下面说法正确的是（ ） A.直接开方得2x-5=x+1 B.直接开方得2x-5=±(x+1) C.无实数根 D.只能用配方法 【答案】B 【解析】A2=B2 → A=± B。 6.（2026·镇江京口二模）用配方法说明2x2-8x+5最小值（ ） A.5　 B.-3　 C.-8　 D.3 【答案】B 【解析】2(x2-4x)+5=2[(x-2)2-4]+5=2(x-2)2-3，最小值-3。 7.（2025·常州武进期末）若(x+m)2=n有实数根，则n满足（ ） A.n>0　 B.n≥0　 C.n<0　 D.n≤0 【答案】B 【解析】平方等于n，实数有解要求n≥0。 8.（2026·徐州云龙二模）方程4(x-1)2=9的两根之和为（ ） A.2　 B.1　 C.3　 D.-2 【答案】A 【解析】开方x-1=±，x1=,x2=-，和为2。 9.（2025·连云港连云期末）关于x的方程(x-a)2=b，错误说法（ ） A.b>0两不等实根　 B.b=0两相等实根 C.b<0无实根　 D.b≥0时x=a+b 【答案】D 【解析】b≥0时x=a±，D变形错误。 10.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】D 【解析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．x2﹣2x﹣8＝0，x2﹣2x＝8， x2﹣2x+1＝8+1，（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3解得：x1＝4，x2＝﹣2，由上可得，丁同学是错的， 二．填空题（共30分） 11.（2026·苏州姑苏二模）4(x-2)2=12，化简得(x-2)2=________。 【答案】3 【解析】两边同除以4。 12.（2026·南通崇川二模）2x2+10x+____=2(x+)2。 【答案】 【解析】右边展开2(x2+5x+)=2x2+10x+。 13.（2025·无锡江阴期末）方程(3x-1)2=(x+2)2开方得3x-1=________。 【答案】±(x+2) 【解析】A2=B2直接开方带正负。 14.（2026·盐城盐都二模）代数式-x2+6x-5的最大值为________。 【答案】4 【解析】配方-(x-3)2+4≤4，最大值4。 15.（2026·扬州广陵二模）若(x-3)2=m-2无实数根，则m取值范围________。 【答案】m<2 【解析】右边m-2<0时无实根。 16.（2025·常州武进期末）已知x2-2x-3=0配方后(x-1)2=________。 【答案】4 【解析】移项x2-2x=3，两边+1。 17.（2026·徐州云龙二模）若x2+(m-4)x+16是完全平方式，则m=________。 【答案】12或-4 【解析】x2±8x+16，m-4=±8。 18.（2026·淮安淮阴二模）x2+y2+2x-4y+5=0，则x-y=________。 【答案】-3 【解析】配方(x+1)2+(y-2)2=0，x=-1,y=2，x-y=-3。 19．对方程进行配方，得，其中______． 【答案】 【解析】：由题意得：m=，故答案为：． 20.如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　    　． 【答案】3． 【解析】用配方法求解即可．由题意，得x(x+6)=40,∴x2+6x＝40，∴x2+6x+9＝40+9， （x+3）2＝49，∴m＝3．故答案为：3． 三．解答题（共60分） 21．用直接开平方法解下列方程： （1）2x2＝16； 解：方程变形得：x2＝8，开方得：x＝±2； （2）2（x﹣2）2﹣4＝0． 解：方程整理得：（x﹣2）2＝2，开方得：x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣． （3）解方程：2（x﹣1）2﹣＝0． 解：2（x﹣1）2﹣＝0，移项，得2（x﹣1）2＝，（x﹣1）2＝，开方，得x﹣1＝， 解得：x1＝，x2＝﹣． （4）（x﹣1）2﹣25＝0． 解：∵（x﹣1）2﹣25＝0，∴（x﹣1）2＝25，∴x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5，则x1＝6，x2＝﹣4． （5）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2． 解：2x﹣1＝±（3﹣x），2x﹣1＝3﹣x或2x﹣1＝﹣3+x，所以x1＝，x2＝﹣2． （6）（6﹣x）2＝128． 解：（1）（6﹣x）2＝128，（x﹣6）2＝128，∴x﹣6＝±8，∴x1＝6+8，x2＝6﹣8． 22．用配方法解下列方程： （1）x2﹣10x+9＝0． 解：x2﹣10x+9＝0，x2﹣10x＝﹣9，x2﹣10x+25＝﹣9+25，（x﹣5）2＝16，x﹣5＝±4， x﹣5＝4或x﹣5＝﹣4，x1＝9，x2＝1． （2）2x2﹣6x+3＝0； 解：方程整理得：x2﹣3x＝﹣，配方得：x2﹣3x+＝﹣，即（x﹣）2＝，开方得：x﹣＝±，解得：x1＝+，x2＝﹣； （3）ax2+bx+c＝0（a≠0）． 解：方程整理得：x2+x＝﹣，配方得：x2+x+＝﹣，即（x+）2＝， 开方得：x+＝±，解得：x1＝，x2＝． （4）x2+10＝8x﹣1． 解：∵x2+10＝8x﹣1，∴x2﹣8x+11＝0，∴x2﹣8x+16﹣16+11＝0，∴（x﹣4）2＝5， ∴x﹣4＝，∴，． （5）2x2﹣4x﹣6＝0． 解：∵2x2﹣4x﹣6＝0，x2﹣2x﹣3＝0，x2﹣2x＝3，则x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝±2，∴x1＝﹣1，x2＝3． （6）． 解：∵，∴x2﹣2x+5＝4+5，即（x﹣）2＝9，∴x﹣＝3或x﹣＝﹣3，∴x1＝3+，x2＝﹣3+． （7）x2+5x+7＝3x+11． 解：x2+2x＝4，x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5，∴x+1＝±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣． （8）． 解：，移项得：x2+x＝，配方得：，即，开方得：，解得：． 23.（2026·苏州姑苏二模）用配方法解方程：2x2-6x-5=0 (1)第一步将二次项系数化为1，写出方程； (2)完成配方，写成完全平方形式； (3)求出方程的两根（保留最简根式）。 解：(1) 两边同除以2：x2-3x-=0 (2) 移项：x2-3x=，配方加()2=，x2-3x+=+=，即：(x-)2= (3) 开方：x-=±，∴x1=,x2= 24.（2026·南通崇川二模）方程：(2x-3)2=(x+1)2 (1)说明本题适用的解法； (2)直接开平方拆成两个一次方程； (3)完整求解两根。 解：(1) 左右均为平方形式，适用直接开平方法（A2=B2→A=±B） (2) 2x-3=x+1 或 2x-3=-(x+1) (3)① 2x-3=x+1 →x1=4 ② 2x-3=-x-1 → 3x=2 → x2= 25.（2025·无锡江阴期末）已知代数式：-3x2+12x-7 (1)提取二次项系数，对代数式变形； (2)完成全套配方； (3)求代数式最大值及对应x的值。 解：(1) 提-3：原式=-3(x2-4x)-7 (2) 配方：=-3[(x-2)2-4]-7=-3(x-2)2+12-7=-3(x-2)2+5 (3) ∵-3(x-2)2≤0，∴当x=2时，代数式最大值为5 26．阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助． 所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：解方程x2－4x＋4＝0，则（x－2）2＝0，∴x1＝x2＝2. 已知x2－2x＋y2＋4y＋5＝0，求x，y的值，则有（x2－2x＋1）＋（y2＋4y＋4）＝0，∴（x－1）2＋（y＋2）2＝0，解得x＝1，y＝－2. 解方程x2－2x－3＝0，则有x2－2x＋1－1－3＝0，∴（x－1）2＝4，解得x1＝3，x2＝－1.根据以上材料解答下列各题： （1）若a2＋4a＋4＝0，求a的值； （2）若x2－4x＋y2＋6y＋13＝0，求（x＋y）－2025的值； （3）若a2－2a－8＝0，求a的值； （4）若a，b，c表示△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2－ac－ab－bc＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 解：（1）∵a2＋4a＋4＝0，∴（a＋2）2＝0，∴a1＝a2＝－2. （2）∵x2－4x＋y2＋6y＋13＝0，∴（x－2）2＋（y＋3）2＝0，∴x＝2，y＝－3，∴（x＋y）－2021＝（2－3）－2025＝－2026. （3）∵a2－2a－8＝0，∴a2－2a＋1＝8＋1，∴（a－1）2＝9，∴a－1＝±3，∴a1＝－2，a2＝4. （4）△ABC为等边三角形．理由如下：∵a2＋b2＋c2－ac－ab－bc＝0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ac－2ab－2bc＝0，即a2＋b2－2ab＋b2＋c2－2bc＋a2＋c2－2ac＝0，∴（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第二章一元二次方程第二节一元二次方程的解法（一）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.掌握直接开平方法、配方法的原理，理解平方根的非负性与完全平方式结构特征；区分两种解法的适用方程类型，建立 “ 降次求解 ” 的方程核心思想，掌握一元二次方程化二次为一次的解题逻辑。 2.能根据方程形式选择最优解法，可准确判断方程有无实数根；熟练推理配方过程的变形依据，理解 “ 二次项系数化为1、加一次项系数一半的平方 ” 的底层逻辑，规避配方变形中的逻辑漏洞。 3.熟练掌握直接开平方法的规范解题步骤，精准完成配方法 “ 化、移、配、开、解、验 ” 全套运算；规范书写解题格式，杜绝符号错误、漏根、配方常数计算错误，提升一元二次方程运算准确率。 4.能利用配方法对二次代数式进行配方变形，求解代数式最值、取值范围；能结合简单实际问题，通过开平方法、配方法求解一元二次方程，解决基础应用型问题。 ) 二．知识梳理 ( （一） 解方程核心思想：降次 一元二次方程是二次方程，无法直接求解，所有解法的核心都是降次：将二次方程转化为两个一元一次方程，通过解一次方程得到原方程的根。直接开平方法、配方法是最基础的降次解法，也是后续公式法的推导基础。 （二） 直接开平方法 1. 定义 ： 利用平方根的意义直接开平方求解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。 2. 适用方程类型 （1）最简型：x 2 =p （2）复合型：(mx+n) 2 =p(m ≠ 0) 3. 根的判定规则 （1） 当p>0时，方程有两个不相等的实数根：x= ± ；复合型方程拆分为两个一次方程求解。 （2） 当p=0时，方程有两个相等的实数根（重根）：x 1 =x 2 =0。 （3） 当p<0时，因为实数范围内平方根无意义，方程无实数根。 4. 标准解题步骤 （1） 整理方程，化为平方等于常数的标准形式； （2）   判断右侧常数的正负，确定根的情况； （3） 直接开平方，得到两个一元一次方程； （4） 解一次方程，写出方程的两个根。 （三） 完全平方式（配方基础） 1.完全平方公式：a 2 ± 2ab+b 2 =(a ± b) 2 2.二次三项式配方核心：常数项 = 一次项系数一半的平方 3.基础变形：x 2 +px，配方需添加( ) 2 ，即：x 2 +px+( ) 2 =(x+ ) 2 （四） 配方法 1. 定义 ： 通过恒等变形，将一元二次方程左边配成完全平方式，右边为非负常数，再用直接开平方法求解的方法，叫做配方法。适用于所有一元二次方程。 2. 配方法标准六步（必考规范） 针对一般形式一元二次方程ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0)： （1） 化1：方程两边同时除以二次项系数a，将二次项系数化为1； （2） 移项：将常数项移到方程右侧，左侧只保留二次项、一次项； ) ( （3） 配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方； （4） 整理：左侧写成完全平方式，右侧合并常数项； （5） 开方：根据右侧常数正负，判断根的情况，有根则开平方降次； （6） 求解：解一元一次方程，写出最终两根。 3. 特殊说明 （1） 配方属于恒等变形，左右两边必须同时加同一个常数，等式始终成立； （2） 配方法是推导求根公式的基础，是九年级数学核心必考方法。 （五） 两种解法适用场景对比 1.优先用直接开平方法：方程本身是平方型，可直接整理为(mx+n) 2 =p形式，解题快捷； 2.必须用配方法：普通二次三项式方程、需要代数式配方求最值、题目指定用配方法解题。 （六） 配方法拓展应用（提优重点） 1.代数式配方：对二次多项式配方，判断代数式恒正、恒负，求解最大值、最小值； 2.含参方程配方：通过配方结合完全平方式非负性，求参数的值或取值范围； 3.等式求值：多个平方和为0的形式，利用 “ 非负数之和为0，每一项均为0 ” 求值。 （七） 高频易错点汇总 1.直接开平方法易错 （1） 开平方时只写正根，漏掉负根（最基础高频错误）； （2） 右侧常数为负数仍强行求解，忽略无实数根的情况； （3） 复合型平方方程开方后遗漏正负号。 2.配方法易错 （1） 忘记第一步二次项系数化为1直接配方； （2） 配方时只给左边加常数，右边不加，破坏等式恒等； （3） 一次项系数为负数时，计算 “ 一半的平方 ” 符号出错； （4） 重根情况只写一个根，未规范书写x 1 =x 2 。 （八） 核心解题结论 1.任意完全平方式：(mx+n) 2 ≥ 0（实数范围内恒成立）； 2.配方法可将所有一元二次方程转化为开平方法标准形式； 3.若配方后右侧常数小于0，方程一定无实数根。 ) A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025·盐城阜宁期末）方程 x2=16 的根为（ ） A.x=4 B.x=-4 C.x=±4 D.无实数根 2.（2025·苏州吴中期末）方程 x2=-9 的根的情况是（ ） A.两个不等实根 B.两个相等实根 C.一个实根 D.无实数根 3.（2025·泰州姜堰期末）(x-1)2=0 的根是（ ） A.x=1 B.x1=x2=1 C.x=±1 D.无解 4.（2026·南京鼓楼一模）解方程 (x+2)2=25，正确结果是（ ） A.x=3 B.x=-7 C.x1=3,x2=-7 D.x1=7,x2=-3 5.（2025·南通通州期末）用配方法解方程 x2-4x=1，需两边同时加（ ） A.2 B.4 C.-4 D.16 6.（2025·扬州邗江期末）配方 x2+6x 需添加常数（） A.3 B.6 C.9 D.36 7.（2024·镇江丹徒期末）配方法解方程3x2-6x=1，第一步正确操作是（ ） A.两边除以3 B.两边加6x C.两边除以x D.两边加1 8.（2026·常州新北一模）配方法解 2x2-4x=6，第一步应（ ） A.移项 B.两边除以2 C.配方 D.开平方 9.（2025·连云港海州期末）用配方法可判断 x2+2x+3 的值一定（ ） A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法确定 10.（2024·常州溧阳期末）用配方法将x2-6x-1=0化为(x+m)2=n形式，则m、n的值为（ ） A.m=-3，n=10 B.m=3，n=10 C.m=-3，n=-8 D.m=3，n=-8 二．填空题（共30分） 11.（2025·盐城阜宁期末）x2=7的根为________。 12.（2025·苏州吴中期末）(x+5)2=2，则x+5=________。 13.（2025·泰州姜堰期末）x2-10x+____=(x-5)2。 14.（2026·南京鼓楼一模）方程(x-1)2=0的重根是________。 15.（2025·南通通州期末）2(x-3)2=8，化简得(x-3)2=________。 16.（2025·扬州邗江期末）x2+3x+____=(x+)2。 17.（2025·镇江丹徒期末）方程(3x+2)2=-1实数根个数：________。 18.（2026·常州新北一模）x2+4x-1=0配方后为(x+2)2=________。 19.（2025·徐州铜山期末）若x2+mx+16是完全平方式，则m=________。 20.（2025·连云港海州期末）代数式(x-2)2+3最小值为________。 三．解答题（共60分） 21．用直接开平方法解下列方程： （1）3x2﹣27＝0． （2）（m﹣）2＝16． （3）4（x﹣1）2＝2； （4）9（x+1）2﹣25＝0． （5）（2x+3）2＝（3x+2）2． （6）（x﹣2）2+＝0． 22．用配方法解下列方程： （1）x2+4x﹣2＝0． （2）3x2﹣5x＝2； （3）x2+8x＝9； （4）x2+12x﹣15＝0； （5）； （6）2x2+12x+10＝0； （7）x2+px+q＝0（p2﹣4q≥0）． （8）3x2﹣x﹣1＝0． 23.（2025·盐城阜宁期末）已知方程：2(x-1)2-8=0 (1)将方程整理为直接开平方法标准形式； (2)用直接开平方法求出方程的两个实数根； (3)写出该方程两根之和。 24.（2025·苏州吴中期末）用配方法解方程：x2-4x-5=0 (1)写出移项后的式子； (2)完成配方，写成完全平方形式； (3)求出方程的两根。 25.（2025·泰州姜堰期末）代数式：x2-6x+10 (1)对该二次代数式进行配方； (2)说明该代数式取值恒正的理由； (3)求代数式的最小值及对应x的值。 26.先阅读下面的内容，再解决问题， 已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m，n的值． 解：等式可变形为（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0，即（m+1）2+（n﹣3）2＝0， 因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0，所以m+1＝0，n﹣3＝0，所以m＝﹣1，n＝3． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”． 请你利用配方法，解决下列问题： （1）已知a，b分别是长方形ABCD的长、宽，且满足a2+b2﹣8a﹣6b+25＝0，则长方形ABCD的面积为 　　． （2）求代数式a2﹣10a+30的最小值，并求出此时a的值． （3）请比较多项式2x2+x﹣3与x2+3x﹣7的大小，并说明理由． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·苏州姑苏二模）方程(ax+b)2=c(c>0)的根是（ ） A.ax+b=c　 B.ax+b=± 　C.x=　 D.x=±c 2.（2026·南通崇川二模）将3x2-6x=2配方，两边先除以3后，两边加（ ） A.1　 B.2　 C.3　 D.9 3.（2025·无锡江阴期末）方程(x2+y2+1)2=4，则x2+y2=（ ） A.1　 B.-3　 C.1或-3　 D.2 4.（2026·盐城盐都二模）x2+kx+9是完全平方式，则k为（ ） A.6　 B.-6　 C.±6　 D.18 5.（2026·扬州广陵二模）方程(2x-5)2=(x+1)2，下面说法正确的是（ ） A.直接开方得2x-5=x+1 B.直接开方得2x-5=±(x+1) C.无实数根 D.只能用配方法 6.（2026·镇江京口二模）用配方法说明2x2-8x+5最小值（ ） A.5　 B.-3　 C.-8　 D.3 7.（2025·常州武进期末）若(x+m)2=n有实数根，则n满足（ ） A.n>0　 B.n≥0　 C.n<0　 D.n≤0 8.（2026·徐州云龙二模）方程4(x-1)2=9的两根之和为（ ） A.2　 B.1　 C.3　 D.-2 9.（2025·连云港连云期末）关于x的方程(x-a)2=b，错误说法（ ） A.b>0两不等实根　 B.b=0两相等实根 C.b<0无实根　 D.b≥0时x=a+b 10.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 二．填空题（共30分） 11.（2026·苏州姑苏二模）4(x-2)2=12，化简得(x-2)2=________。 12.（2026·南通崇川二模）2x2+10x+____=2(x+)2。 13.（2025·无锡江阴期末）方程(3x-1)2=(x+2)2开方得3x-1=________。 14.（2026·盐城盐都二模）代数式-x2+6x-5的最大值为________。 15.（2026·扬州广陵二模）若(x-3)2=m-2无实数根，则m取值范围________。 16.（2025·常州武进期末）已知x2-2x-3=0配方后(x-1)2=________。 17.（2026·徐州云龙二模）若x2+(m-4)x+16是完全平方式，则m=________。 18.（2026·淮安淮阴二模）x2+y2+2x-4y+5=0，则x-y=________。 19．对方程进行配方，得，其中______． 20.如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　    　． 三．解答题（共60分） 21．用直接开平方法解下列方程： （1）2x2＝16； （2）2（x﹣2）2﹣4＝0． （3）2（x﹣1）2﹣＝0． （4）（x﹣1）2﹣25＝0． （5）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2． （6）（6﹣x）2＝128． 22．用配方法解下列方程： （1）x2﹣10x+9＝0． （2）2x2﹣6x+3＝0； （3）ax2+bx+c＝0（a≠0）． （4）x2+10＝8x﹣1． （5）2x2﹣4x﹣6＝0． （6）． （7）x2+5x+7＝3x+11． （8）． 23.（2026·苏州姑苏二模）用配方法解方程：2x2-6x-5=0 (1)第一步将二次项系数化为1，写出方程； (2)完成配方，写成完全平方形式； (3)求出方程的两根（保留最简根式）。 24.（2026·南通崇川二模）方程：(2x-3)2=(x+1)2 (1)说明本题适用的解法； (2)直接开平方拆成两个一次方程； (3)完整求解两根。 25.（2025·无锡江阴期末）已知代数式：-3x2+12x-7 (1)提取二次项系数，对代数式变形； (2)完成全套配方； (3)求代数式最大值及对应x的值。 26．阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助． 所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：解方程x2－4x＋4＝0，则（x－2）2＝0，∴x1＝x2＝2. 已知x2－2x＋y2＋4y＋5＝0，求x，y的值，则有（x2－2x＋1）＋（y2＋4y＋4）＝0，∴（x－1）2＋（y＋2）2＝0，解得x＝1，y＝－2. 解方程x2－2x－3＝0，则有x2－2x＋1－1－3＝0，∴（x－1）2＝4，解得x1＝3，x2＝－1.根据以上材料解答下列各题： （1）若a2＋4a＋4＝0，求a的值； （2）若x2－4x＋y2＋6y＋13＝0，求（x＋y）－2025的值； （3）若a2－2a－8＝0，求a的值； （4）若a，b，c表示△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2－ac－ab－bc＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $