第1章 一元二次方程 提优测评卷-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（苏科版·新教材）

第1章提优测评卷 ,答案P18 时间：90分钟 总分：100分 第I卷（选择题 共24分) 一、 选择题（每题3分，共24分） 1.(2025·苏州吴中区期中)下列方程中，是一元二次方程的是(). A.2x2=1 Bx2+1=1 数 C.ax2+2x+3=0 D.x2-y-2=0 吹 2.关于x的方程(x一2)(x十3)=a2(a为常数)的根的情况，下列结论中正确的是( A.两个正根 B.两个负根 C.一个正根一个负根 D.无实数根 3.(2025·新疆中考)若关于x的一元二次方程x2一2x十a=0无实数根，则实数a的取值范围 是( . A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1 4.(2025·泰州姜堰区期中)方程x2十2x一4=0配方成(x十m)2=n的形式后，则(). 超 中 A.m=1,n=5 B.m=-1,n=5 C.m=2,n=5 D.m=-2,n=3 方程x2+2x十3=0，x2+3x=7,x2+3=0,ax2+3ax十4=0(a为不等于0的作 中，一定有实数根的方程有(). A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 6.(2024·黑龙江中考)关于x的一元二次方程(m一2)x2十4x十2=0有两个实数根，则m的取值范 围是( ). A.m≤4 B.m≥4 C.m≥-4且m≠2D.m≤4且m≠2 7.数形结合思想如图，在等边三角形ABC中，点D在射线BA上，以CD为一边，向 右上方作等边三角形EDC.若BC,CD的长为方程x2一15.x+7m=0的两根， 当m取符合题意的最大整数时，不同位置的点D共有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (第7题) 8.(2025·无锡梁溪区期中)定义：已知x1,x2是关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两个 实数根，若x1<1,<0,且3<2<4，则称这个方程为“特根方程”现有以下三个结论： ①方程x2+9x十14=0是“特根方程”； ②若关于x的一元二次方程2x2十(k十7)x十k2+3=0是“特根方程”，且方程的两根x1,x2 满足x1十x2十x1x2=一1，则k的值为2或-1； ③若关于x的一元二次方程x2十(2一m)x一2m=0是“特根方程”，则m有且只有一个整 1 数解. 这三个结论中判断正确的是(). A.① B.①② C.①③ D.①②③ 第Ⅱ卷（非选择题共76分） 二、填空题（每题3分，共30分） 9.若关于x的一元二次方程(k一5)x2+3x+k2一7k十10=0有一根为0，则k的 值为 10.(2025·常州中考)若关于x的一元二次方程x2一2x十m=0有两个相等的实数根，则实数m的 值为 11.(2025·苏州中考)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2十2x一m=0的两个实数根，其中 x1=1,则x2= 12.(2025·连云港东海期中)我们知道方程x2十2x一3=0的解是x1=1,x2=一3，现给出另一个方程 (2x-1)2+2(2x-1)-一3=0，它的解是 13.若一元二次方程2x2一4x一1=0的两根为m,n,则3m2一4m十n2的值为 14.已知等腰三角形ABC的边长分别是m,n,4,且m,n是关于x的方程x2-6x十a十1=0的 两根，则a的值为 15.（2025·南道期末)若一m2-n2≥10-6m十2m,且x-5,十n,则81r-80z十1 m 16.(2025·宿迁泗阳期中)定义新运算：a⑧b=a2一ab,例如：2☒3=2一2×3=一2，若关于x的方程 x☒2一n=0有两个实数根，则n的取值范围是 17.(2025·南京建邺区期中)已知非零常数a,b,c满足等式a一b十c=0,4a十b=0,则关于x的一元 二次方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0的根是 18.分类讨论思想如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点D在边BC 上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB'D,AB'与边BC相交于点E.若 △DEB'为直角三角形，则BD的长是 三、解答题（第19题4分，其余每题6分，共46分） (第18题) 19.解方程： (1)3x(x-1)=2x-2; (2)x2十3x十2=0. 2 20.(2025·苏州昆山期中)现有某公司研发的一个新品种高产农作物，在研发第一阶段实现了亩产 400公斤的目标，第三阶段实现了亩产2025公斤的目标. (1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； (2)按照(1)中的亩产量增长率，科研团队期望在第四阶段实现亩产4500公斤的目标，请通 过计算说明他们的目标能否实现. 21.(2024·南充中考)已知x1,x2是关于x的方程x2一2kx十2一k十1=0的两个不相等的实数根】 (1)求k的取值范围； (2)若k<5,且，x1,x2都是整数，求的值 22.如图，用同样规格的黑（图中阴影）白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面.请观察下列图形并解 答有关问题 n=1 n=2 n=3 (第22题) 3 第1章提优测评卷 (1)在第n个图中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖.（均用含n 的代数式表示) (2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与n的函数关系式.（不要求写出自变量n 的取值范围) (3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值， (4)若黑色瓷砖每块4元，白色瓷砖每块3元，则购买506块瓷砖共需花费多少元？ (5)是否存在黑色瓷砖与白色瓷砖的块数相等的情形？请通过计算说明理由. 23.新考法新定义问题定义一种新运算“a米b”:当a≥b时，a米b=a十3b;当a<b时，a*b=a一 3b,例如：3×12=3一36=一33. (1)若x2(x2一2)=30，则x= (2)小明在计算（一3x2十6x一5）（一x2十2x+3)时随机取了一个x的值进行计算，得到的 结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的 24.(2025·无锡江阴期中)如图是某校数学兴趣小组设计的一个矩形花圃ABCD,花圃的一边AD由 长为8米的围墙AE和部分篱笆DE组成，另外三边由剩余的篱笆围成，已知篱笆总长为 24米， (1)若DE=4米，则矩形花圃ABCD的面积为 平方米； 实验班提优训练数学九年级上JSKJ (2)若矩形花圃ABCD的面积为60平方米，求此时AB的长； (3)矩形花圃ABCD的面积能否达到65平方米，请通过计算说明. AbieiiiiE D (第24题) 25.某商店代销一种智能学习机，促销广告显示“若购买不超过40台学习机，则每台售价800元， 若超出40台，则每超过1台，每台售价将均减少5元”，该学习机的进货价与进货数量关系如 图所示： (1)当x>40时，用含x的代数式表示每台学习机的售价. (2)当该商店一次性购进并销售学习机60台时，每台学习机可以获利多少元？ (3)若该商店在一次销售中获利4800元，则该商店可能购进并销售学习机多少台？ 个进价y/元 700 600 0 50学习机数量x/台 (第25题) 5 26.(2025·盐城东台期中)阅读材料，并解决问题， [学习研究]赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2十 2x一35=0(x>0)为例，构造方法如下： 第一步：将原方程x2十2x一35=0(x>0)变形为x(x十2)=35(x>0); 第二步：画四个长为x十2，宽为x的矩形，按如图(1)所示的方式拼成一个“空心”正方形，则 图(1)中大正方形的面积可表示为(x十x十2)2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正 方形面积之和，即4x(x+2)+22=4×35十4； 第三步：得新方程(x十x十2)2=144.因为x表示边长，所以2x十2=12，即x=5. [理解]上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 A.分类讨论思想 B.数形结合思想 C.整体代换思想 [实践]小明根据赵爽的办法解方程x2十x一6=0(x>0),请你帮忙画出相应的图形，将其解 答过程补充完整： 第一步：将原方程x2十x一6=0(x>0)变形为x( )=6; 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请画出示意图，类比图(1）标明各边长)，并 写出后续的解答过程； [应用]一般地，对于形如x2十ax=b的一元二次方程可以构造图(2)来解.已知图(2)是由四 个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为 x+2 x+2 x+2 (1) (2) (第26题) 6令实验班提优训练数学九年级上SKJ MB AB-AM=x-521x-35 2 2 x .MB N 3-√5 2x3-5_(3-√5)(5+1)_25-2_5-1 5-1V5-1(w5-1)(W5+1)4 2 MB:MN=51:1 2 .矩形BCNM是黄金矩形 竞赛思维空间 1.D[解析]设xo是它们的一个公共实数根，则ax十 bxo+c=0,bx6+cxo+a=0,cx6+axo+b=0. 把上面三个式子相加，整理得(a十b十c)(x6十xo十1)=0， 因为+红+1=(，+号）+>0，所以a+6+e=0, 所以装+名+后-热_斗”a+ abc abc -3ab(a十b)=3.故选D. abc 2B[解析]实数a≠b,且满足(a+1)2=3-3(a+1), (b+1)2=3-3(b+1), ∴.a+1,b十1是方程x2=3-3x,即x2+3x-3=0的两 个不相等的实数根， ∴.(a+1)+(b+1)=-3, 即a+b=-5,(a十1)(b+1)=-3, 即ab+a+b+1=-3,∴.ab=1,∴.a<0,b<0, 1 1 a=6b= a b悟+侣=-名历-8= ab √ab=-[(a+b)2-2ab]=-23. 故选B. 3.-114.-3 5.2772[解析]，a,b是方程x2十68x十1=0的两个根， ∴.a+b=-68,①ab=1.② c,d是方程x2-86x+1=0的两个根， ∴.c+d=86,③cd=1,④ (a+c)b+c)(a-d)(b-d)=[c2+(a+b)c+ab]: [d2-(a十b)d+ab],⑤ 因为题意得出的关于a,b,c,d的关系为a与b之间 的关系和c与d之间的关系，所以需展开以便利用关系 将①②代入⑤，得[c2+(a+b)c+ab][d-(a+b)d+ ab]=(c2-68c+1)(d2+68d+1), 因为c,d是方程x2-86x+1=0的两个根， 所以c2-86c+1=0,d-86d+1=0,cd=1, ∴.c2-68c+1=18c,d2+68d+1=154d, .原式=18c×154d=2772cd=2772. 第1章提优测评卷 1.A[解析]A2x2=-1,是一元二次方程，符合题意；B.x2十 =1,不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意： x C.当a≠0时，ax2+2.x十3=0是一元二次方程，当a= 0时，ax2十2x十3=0不是一元二次方程，不符合题意； D.x2-y一2=0，含有2个未知数，不是一元二次方程，不 符合题意.故选A. 拿18 2.C[解析].(x一2)(x+3)=a2(a为常数)， ∴.x2+x-6-a2=0. .△=12-4(-6-a2)=1+24+4a2=25+4a2>0. 方程有两个不相等的实数根. 根据根与系数的关系知，方程的两个根的积为一6一a2<0. 故方程的两个根为一个正根，一个负根.故选C 3.B[解析]：关于x的一元二次方程x2-2x十a=0无实 数根，∴.(-2)2-4×1×a<0,解得a>1, ∴.实数a的取值范围是a>l.故选B. 4.A[解析].x2十2x一4=0，.x2十2x=4, .x2+2x+1=4+1,.(x+1)2=5, .方程x2十2x一4=0配方成(x十m)2=n的形式后，m= 1,n=5.故选A. 5.D 6D[解析]由题意，得6n-2)×2≥0， 八m一2≠0， 解得m≤4且m≠2.故选D. 思路得本题考查了根的判别式以及一元二次方程的 定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，列出关于 m的一元一次不等式组是解题的关键 7.C[解析]由题意，得x2-15x十7m=0有两根，则△= 225 152-4X7m≥0，解得m≤28 当m取符合题意的最大整数时，m=8, x2-15.x十56=0，解得x1=7,x2=8. 当BC=7,CD=8时，点D在BA的延长线上；当CD=7, BC=8时，点D在线段BA上，且有两种情况.综上，不同 位置的点D共有3个.故选C. 8.C[解析]由方程x2十9x十14=0，得x1=-7,x2=一2， 因为召-3.5，所以3<<4， x2 所以方程x2十9x十14=0是“特根方程”.故①正确； 因为x1,x2是一元二次方程2x2十(k十7)x十2十3= 0的两个根， 2x1x2=2+3 所以x1十x2=十7家 2 因为x1十x2十x1x2=一1， 所以-+？12+3 2 2 =一1，解得k=一1或2. 当k=一1时，方程为2x2+6x十4=0， 解得x1=-2,x2=-1,所以=2， 则方程2x2+6x十4=0不是“特根方程”， 所以k=一1不满足题意.故②错误： 由x2十(2一m)x一2m=0,得方程的两个根为一2和m, 当m<-2时，3<2<4， 解得一8<m<-6,则整数m的值为-7. 当-2<m<0时3<之4，解得一子<m<2, 不存在整数m的值，所以m有且只有一个整数解. 故③正确.故选C. 9.2[解析].x=0是一元二次方程(k一5)x2+3x十k2 7k+10=0的解， .k2一7k十10=0且k一5≠0，解得k=2. 10.1[解析].关于x的一元二次方程x2-2x十m=0有 两个相等的实数根，.（一2）2-4m=0,∴.m=1. 1.一3[解析]：x1,x2是关于x的一元二次方程x2十 2x一m=0的两个实数根，.x1十x2=一2. x1=1,.x2=-2-x1=-2-1=-3. 12.x1=1,x2=-1[解析]因为方程x2十2x-3=0的解是 x1=1,x2=-3, 所以2x-1=1或-3，解得x1=1,x2=-1, 所以方程(2x-1)2+2(2x-1)-3=0的解为x1=1, x2=一1. 13.6[解析].一元二次方程2x2一4x一1=0的两根为m, 1 ,.2m2-4m=1,m+n=2,mn=-2, .3m2-4m+n2=2m2-4m+m2+n2 =1+(m+n)2-2m=1+2-2×(-2）=6. 旧纳总结本题考查了一元二次方程的根的定义，将它 们与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 147或8[解析]当m≠n时，则m,n中必有一个值为4.将 x=4代人原方程，得42-6×4十a+1=0,解得a=7.此 时原方程为x2-6.x十8=0，解得m=2,n=4.2十4= 6>4,∴.2,4,4能组成三角形，a=7符合题意； 当m=n时，△=(-6)2-4×1×(a+1)=0,解得a=8, 此时原方程为x2-6x十9=0，解得m=n=3.∵3十3= 6>4,∴.3,3,4能组成三角形，a=8符合题意。 综上所述，a的值为7或8. 易错警示本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、 三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分m≠n及 m=n两种情况求出a值是解题的关键. 15.一31[解析].一m2一n2≥10一6m十2n, ..m2+n2+10-6m+2n≤0，即(m-3)2+(n+1)2≤0， .(m-3)2+(n+1)2≥0， .(m-3)2+(n+1)2=0, m3,m=-1x5,3z-5-1, .9x2=6-2√5， .81x4=(9x2)2=36+20-245=56-24√5， .81x5-80x+1=(56-24√/5)x-80x+1 =(-245-24)x+1=-24X65+10×51+1 3 =-8×(5-1)+1=-32+1=-31. 16.n≥一1[解析]根据题意，得原方程为x2-2x一n=0, 由条件可知，(-2)2+4n≥0，解得n≥-1. 17.x1=4,x2=-2[解析]a(x十1)2+b(x+1)+c=0, 整理，得ax2+(2a十b)x十a+b十c=0. .a-b+c=0,4a+b=0, ..a+c=b,b=-4a,∴.c=-5a, 代人方程，得a.x2+(2a-4a)x十a-4a-5a=0, .x2-2x-8=0,.(x-4)(x+2)=0, .x-4=0或x十2=0，解得x1=4,x2=一2. 18.2或5[解析].在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6, BC=8,.AB=10. ,以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB'D, ..BD=DB',AB'=AB=10. >潮折前后，对应边相等 如图(1)，当∠B'DE=90°时，过点B作B'FLAC,垂足 为F. 设BD=DB'=x,则AF=6十x,FB'=8-x. 在Rt△AFB'中，由勾股定理，得AB2=AF2十FB2,即 (6十x)2十(8-x)2=10, 答案6D详解 解得x1=2,x2=0(舍去)，.BD=2; D C(E- --B B B' B (1) (2) (第18题) 如图(2)，当∠B'ED=90时，C与E重合 AB′=10，AC=6,∴.B'E=4. 设BD=DB=y,则CD=8-y. 在Rt△B'ED中，DB2=DE2+B'E, 即y2=(8-y)2+42,解得y=5,∴.BD=5. 综上所述，BD的长为2或5. 19.(1)移项，得3x(x-1)-2(x-1)=0,提取公因式， 得(x-1)(3x-2)=0,则x-1=0或3x-2=0, 2 解得x1=1,x2=3· (2)因式分解，得(x+1)(x十2)=0， 则x十1=0或x十2=0，解得x1=一1，x2=-2. 20.(1)设亩产量的平均增长率为x, 根据题意列一元二次方程，得400(1十x)2=2025, 解得x1=1.25=125%,x2=-3.25<0(舍去). 故亩产量的平均增长率为125%. (2)能.理由如下： 根据题意列式，得2025×(1+125%)=2025×2.25= 4556.25(公斤)..4556.25>4500，∴.他们的目标能 实现。 21.(1),原方程有两个不相等的实数根， .△=(-2k)2一4X1X(k2一k+1)=4k2-4k2+4k- 4=4k一4>0，解得>1. (2)1<k<5,∴整数k的值为2,3,4， 当k=2时，方程为x2一4x十3=0，解得x1=1,x2=3; 当k=3或4时，此时方程的解不为整数. 综上所述，k的值为2. 22(1)(n+3)(m+2) (2)y=(n+3)(n+2),即y=n2+5n+6. (3)当y=506时，n2+5n+6=506,即n2+5n-500=0, 解得n1=20,n2=一25（舍去）. 故此时n的值为20. (4)白色瓷砖的块数是n(n+1)=20×(20+1)=420,黑 色瓷砖的块数是506一420=86， 共需86×4+420×3=1604（元）. (5)不存在.理由如下：令n(n十1)=(n2+5m十6)一n(n十1)， -3+,丽（合去，m,=3)3丽<0（会去. 解得n1=2 2 ,n的值应为正整数， 不存在黑、白两色瓷砖的块数相等的情形 23.(1)土3[解析]x2>x2-2, x2*(x2-2)=x2+3(x2-2)=4x2-6=30,獬得x=土3. (2),-3x2+6.x-5-(-x2+2x+3) =-3x2+6.x-5+x2-2x-3=-2x2+4x-8=-2· (x-1)2-6<0,.原式=-3x2+6x-5-3(-x2+ 2x+3)=-3x2+6x-5+3x2-6x-9=-14. ,化简后的结果与x取值无关，不论x取何值，结果都 应该等于一14，不可能等于40， 19拿 今实验班提优训练数学九年级上SKJ ,小华说小明计算错误 24.(1)48[解析]，四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,AD=BC. DE=4米，AE=8米， .BC=AD=AE+DE=8+4=12(米)， “AB=CD=号×(24-4-12)=4（米），矩形花圆 ABCD的面积=BC·AB=12X4=48(平方米). (2)设DE=x米，则AD=BC=(8十x)米，AB=CD= 24-x一8-工=(8-x)米，由题意，得(8十x)(8一x)= 2 60,解得x=2,则AB=6米.故AB的长为6米， (3)设DE=y米，同(2)可得AB=CD=(8-y)米，则 (8一y)(8十y)=65,即y2=-1,无解， ∴.矩形花圃ABCD的面积不能达到65平方米。 25.(1)800-5(x-40)=(-5x+1000)元. (2)设进价y与学习机数量x的关系式为y=kx十b, 由题意，得50k6=60,解得二一2， 1b=700, 1b=700, 故y=-2x+700.当x=60时，y=-2×60+700=580(元)， 则每台学习机利润为-5×60十1000-580=120（元）.故每 台学习机可获利120元. (3)设利润为w,当x>40时，由题意，得=（一5x+ 1000-y)x=-3x2+300x, 由题意，得一3x2十300x=4800,即x2一100x十1600= 0,(x-20)(x-80)=0, 解得x=20或x=80.又x>40,故x=80. 当x≤40时，由题意，得[800一（一2x十700）]x=4800, 解得x=30或x=一80（舍去）. 综上所述，该商店可能购进并销售学习机30台或80台. 26.[理解]B [实践]x+1 如图(1)，画四个长为x十1，宽为x的全等矩形构造“空 心”大正方形. x+1 x+ x+ (1) 大正方形的面积可表示为(x十x十1)2，也可以表示为 4x(x+1)+12=4×6+1, .(x+x+1)2=4×6+1. x表示边长，x>0, .2x十1=5，.x=2. [应用]1[解析]如图(2)： x+a x+a x+a (2) (第26题) .x2+a.x=b,.x(x+a)=b. 矩形的面积为3，.x(x十a)=3,,b=3. ,中间围成的正方形面积为4，边长为2，a=2. ,(x十x十2)2=4X3十4=16，x表示边长， ∴.2x+2=4,.x=1. ◆20 第2章 反比例函数 2.1反比例函数的概念 1.B 2.一1[解析]根据反比例函数的定义，即y=kx1(k为常 数，k≠0)，只需m=-1且m-1≠0即可，所以m=一1. 3.2002.5[解析]根据等量关系“速度=路程÷时间”，得 速度(km/h)和时间(h)之间的函数关系为u-200, t, .当≤80时，t≥2.5. 4.(1)xy=0.2,y= T,y是x的反比例函数 (2)当y=0.8时，0.8=0,2，解得x=0.25,故矩形模具的 x 宽为0.25m. 5B6180728y=7 9.(1)y是z的反比例函数，设y=&(a≠0). 当=-号时y=6,a=6×(号）=-4 y=- 4 之是x的正比例函数，.设之=bx(b≠0). 当x=6时=46=音=号=号，② 将②代入①，得y=-6 x (2)由(1)，得y=冬a≠0)，2=bx(6≠0)， a a b 心y=证=左心y是x的反比例函数. 旧纳总结因为反比例函数只有一个待定系数，所以将 一对自变量和函数值代入，即可求出 10.(1)当函数y=(5m-3)x2-"十(m十n)是一次函数时， 2-=1,且5m-3≠0，解得m=1且m≠号 (2)当函数y=(5m-3)x2-n十(m十n)是正比例函数时， (2-n=1, m十n=0,解得n=1,m=-1. 5m-3≠0， (3)当函数y=(5m-3)x2+(m十n)是反比例函数时， 2-n=-1, m十n=0,解得n=3,m=一3. 5m-3≠0， 1.(1)由题意，得xy=30,y=30 :增长为6m,02<0r≥5 放y关于x的函数表达式为)y2(x≥5》. (2)”xy均为整数x≥5，且y=30 x .x可以为5,6,10,15,30. 又2x+y≤20，即2x+2≤20，