第二章 一元二次方程 单元巩固提升测试卷 2026-2027学年苏科版九年级上册数学

**基本信息** 一元二次方程单元巩固提升卷，覆盖定义、解法、应用等核心知识，融合科技（仿生飞行器）、文化（赵爽配方）情境，梯度合理，适配单元复习，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/20|定义、根的判别式、增长率问题|结合中考真题，基础辨析| |填空题|10/30|配方、根与系数关系、图形面积|融入绣品边框等实际情境| |解答题|7/50|解方程、利润问题、新定义（倍根方程）、操作实践（赵爽配方）|综合应用与创新，如26题拼图理解配方，27题转化思想解新方程|

一元二次方程单元巩固提升测试卷 （满分100分 时间120分钟） 一、单选题（每题2分 共20分） 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）下列方程中，一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 3．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 4．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·浙江温州·期末）如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·河南许昌·阶段检测）如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时，P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于4时，经过了（   ） A．1秒 B．4秒 C．6秒 D．1秒或4秒 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）对于一元二次方程，给出下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④存在实数，使得． 其中正确的是（     ） A．只有①③ B．只有①② C．只有①③④ D．①②③④ 10．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 二、填空题（每题3分 共30分） 11．（25-26九年级上·全国·单元测试）把方程配方成为________． 12．（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段检测）已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 13．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）关于x的方程的两根分别为、，则的值为________． 14．（2026·四川遂宁·一模）如图要在一幅长，宽的绣品四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅面积是的矩形挂图．那么边框的宽度为______cm． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 16．（25-26九年级上·全国·单元测试）若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为___________． 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程的两个实数根之和大于，则k的取值范围是______． 18．（25-26九年级下·山东济南·自主招生）若方程组的两组解为，，则________． 19．（25-26九年级上·全国·单元测试）有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的x的值为________；若输入，则输出的x的值为________． 20．（25-26八年级下·福建福州·期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 三、解答题（共50分） 21．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）（6分）解方程： (1)； (2)． 22．（25-26九年级上·全国·单元测试）（6分）已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根、满足，求的值． 23．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）（4分）若代数式与的值互为相反数，求的值． 24．（25-26九年级上·吉林长春·期中）（6分）在数学活动课上，老师出了如下解一元二次方程的试题，让同学们讨论． 甲乙两位同学的做法如下： 甲同学： 解：． 当时， ， 当时， ， ，． 乙同学： 解：， ， ． ， ，． (1)小组在交流过程中发现甲乙两位同学的结果不同，请判断：____同学的解法有误． (2)请你选择一种与甲、乙两位同学都不相同的解法解方程． 25．（25-26八年级下·吉林·期中）（8分）某品牌粽子专营店在销售中发现，一盒鲜肉粽的进价为元，销售价为元时，每天可售出盒，为了迎接“端午节”，该店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，若该种粽子每盒降价元，则平均可多售出盒．设该种粽子每盒降价元； (1)每天可销售______盒，每盒盈利______元；（用含的代数式表示） (2)求该种粽子每盒降价多少元时，平均每天可盈利元； (3)若店长希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 26．（26-27九年级上·全国）（10分）操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 27．（10分）（25-26九年级上·全国·单元测试）我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）方程的解是，______，_______； （2）用“转化”思想求方程的解； （3）如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点处，沿草坪边沿、走到点处，把长绳段拉直并固定在点处，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点处，求的长． 试卷第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C A B A B C C 1．D 【详解】解：A、方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 2．D 【详解】∵对于一元二次方程，，，， ∴根的判别式， ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根为，，由根与系数的关系得， ∴方程的两根异号， ∴方程有两个不相等的异号实数根． 3．C 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 4．C 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 5．A 【详解】解：由题意可得， ． 6．B 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 7．A 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， ∴当的面积等于4时，经过了1秒， 故选：A． 8．B 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 9．C 【详解】解：①方程有两个不相等的实根， ， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根，故①正确； ②是方程的一个根，则， ， 若，等式仍然成立，但不一定成立，故②不正确； ③若是一元二次方程的根， 则由求根公式得或， 或， ，故③正确； ④存在实数，使得， 整理得，即， 因为，只需取即可满足， 例如取，，就有，故④正确． 10．C 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 11． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 12． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 13．3 【详解】解：∵， ∴， ∴，． ∴． 故答案为3． 14．5 【详解】解：设边框的宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴的值是， 故答案为：． 15． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 16．有两个不相等的实数根 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， 为一元二次方程， ， 有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 17． 【详解】解：方程有两个实数根， ，解得：． 设关于x的方程的两个实数根为， 两个实数根之和大于， ，解得， ． 故答案为：． 18． 【详解】解：由方程组，可知和是一元二次方程的两个根， ∴两根之和，两根之积， ∵题目中两组解为和， ∴两组解是方程的两个根互换，即，，，， ∴， 代入，得：． 19． 或 无解 【详解】解：若输入，则， ∴， 解得或，即此时输出的x的值为或； 若输入，则， 此时，故此时输出的x的值为无解， 故答案为：或；无解． 20． 【详解】解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，， ∴矩形的长为， 根据矩形和正方形的面积相等，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴． 21．(1) (2) 【详解】（1）解：， 开平方，得， ∴或， 解得； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 或， ． 22．【详解】(1) 证明：∵， ∴不论取何值时，该方程总有实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根、， ∴，又， ∴，即， 解得． 23． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 24． 【详解】（1）解：观察甲乙两位同学的解题过程，发现乙同学的解法有误． 因为把常数项移到等号的右边时需要变号， 即， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，， 故乙同学的解法有误． (2)依题意， ∵， ∴， ∴， 解得，． 25． 【详解】（1）设该种粽子每盒降价元，由题意可得： 可多售出盒， 每天可销售盒数是：盒． 降价前每盒原利润是:元, 降价元后每盒利润为:元． （2）由题意可得: 解得:(舍去), , 答:该种粽子每盒降价元时，平均每天可盈利元 （3）这个愿望不能实现，理由如下： 根据题意，得， 整理得：， ， 所以该方程没有实数根，店长的平均每天盈利元的愿望不能实现． 26．(1)，，，，， (2)由题意，先变形为， 如图， 每个小长方形的长为，宽为， ∴利用图形的面积关系得配方后的方程为， 即． 解得，； (3)， 【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解为，； （2）略 （3）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，． 27．（1）；；（2）；（3）或． 【详解】解：（1）， ． ， 则或或， 解得：、、． 故答案为：；； （2）， ，即， ， 则或， 解得：，， 又∵， ∴； （3）设，则， ，， ，， ， ， 两边平方，整理可得： 再两边平方，整理可得：， 解得、， 则的长为或． $