陕西西安市西安高级中学2026-2027学年高三上学期开学测试数学试题

参考答案 题号 1 4 今 6 P 10 答案 D C B B B D D ACD ACD 题号 11 答案 BC 12.①②④ 13.414. 3 15,C-骨 (2)6√5 【详解】(I)由二倍角公式可得 cos2.4+cos2B-cos2C=1-2sin24+1-2sin2B-(1-2sin2C)=1-2sin24-2sin2B+2sin2C, ycos2A+cos2B-cos2C=1-2sinAsinB 所以1-2sin2A-2sin2B+2sin2C=1-2sin4sinB, 由正弦定理得：a2+b2-c2=ab, 由余弦定理得：a2+b2-c2=ab兰2 abcosC, 1 所以CosC= F2,又C∈(0，π) 所以C= 3 a+b (2)由正弦定理得， =2R,其中R为△ABC外接圆半径.R=2 sinA+sinB 由正弦定理得，c=2 RsinC=2√5. 由余弦定理得：c2=a2+b2-2 abcosC,∴.(a+b)2-12=3ab, 3 由基本不等式可知：(a+b)2-12=3ab≤(a+b)}2 4 a+b≤4V3,当且仅当a=b=2W3时取等号， 所以当a=b=2V3时，△ABC的周长取最大值，最大值为6V3, 1 16.(1)y= 一X一 1) a.Ina Ina (2)e (3)(1,16] 【详解】(1)易知fy)=1 na,所以f"(a)=1 a.Ina 所以切线方程为y-1=1(c-a),即y= 1 -X- +1 a.Ina a.Ina Ina 1 logx Inx (2)设p(,y）由题知ilnana 所以lnx=l,解得x=e, 又点p在函数f()=log,x(a>)与g(x)=x2(>0)的图象上， 则y=x2=logx∴t=xy,x=a,则a=(a）=(x)=e (3)设(x,),因为直线0P与y=f(x)图象交于另一点9，且0Q≥2OP,则x≥2x, 令m=(m≥2)，由若名，名 h上=上log_logx3nlnx1=Inez Inx=lnx X =3，即xnax,Ina,得五=x x_血(m)_nm+lns,整理得到lnx= 所以 x mx mx wm(m22), m-1 1-1-nm 令侧)-a≥2ya回）-y m-1 ◆p侧）-=1-。mm≥2.则p(o侧)-。m<0对任忘的m之点我产， m m2 m m2 故函数p(m)在[2，+o)上为减函数， 对任意的m2≥2p(m)5pQ)=1h2=}n2<0, 2 1-1-Inm 所以(m）= m-)P<0在区 上恒成立， [2,+0) 所以h(m)在[2，+∞)上单调递减，则h(m)=ln∈(0，lh2],所以x∈(L,2], 由(2)知a=(x)f=e, 令p(x)=x2,lnr,则p'(x)=2xlnr+x=x(2nr+l)>0在区间(1,2上恒成立， 所以p(x)=x2·lnr在x∈(1,2]上单调递增，则p(x)e(0,lnl6], 所以a∈(1,16]. 17.4)y=x-2 1 e (②)①0,3@由(2)知，x”飞是g()=lr-2ar+2的两根. (Inx 2ax -2, n,=2a,-一2两式相减得nx,-lnx=2a(化-x)产故2a=n5-y X2-x1 要无+5>。，等价于证2a传+5）>2将2如=-二匹 -x代入2a(飞+)>2中， 2+1 即证1，-lns(x+x)>2 整理得1n.一>2. “x2-1 X2-x1 令1=点>），剥即证l,>2.即证+w-2北-）>0 t-1 令a0=+r-2-1e>少则公0=w+1, 0=0=w+-≥0.则0-只. :当1>1时，K()>0,k()在(1，+∞)上单调递增，k()>k()=0, 即h()>0在(L,+o)上恒成立，.h()在(1，+o)上单调递增，h()>h()=0. 即ntt+）-2-)>0在(L,+o)上恒成立，故+x>a得证. 【1当a计.f)=r分+x,r--x+2. f0=1f0= =x-1,整理得y=x-2 1 1 、切线方程为y 2 (2)①函数f(x)有两个不同的极值点x,x2,等价于f'(x)=0在(0，+0)上有两个不同的正根令 8()=f()=lr-2a+2:则由g)=0得2a=r+2 令h(x)=r+2 ,x∈(0，+o),则y=2a应与h(x)的图像产生两个交点 令hx)=x1-0得x= x2 e 当∈0>0A学河港第， 气e仁+切时，<0问单词莲减 .n().) 又：x→+0时，h(x)→0，x→0时，h(x)→-o, .若，=2a与()的图很产生两个交点，则猫2a0,eae0)】 ②略. 18.()3 π 9 2) 3)[5-1,2 【年a少后-ei-52(4-到别1后 m-万=0v6+2sin4-=0, 所以作△HBc中，南王弦定是台n8+2nCn4-}-0, .3sinB+sinCsinA-3sinCcos4=0, 又因为在△ABC中，sinB=sin(C+A)=sinCcosA+cosCsinA, ∴V3 cosCsinA+sinCsin4=0,又sinA≠0∴V3cosC+sinC=0, tanC--5又ce(0,r,C=2红 3； (2) B 由(1)知，C=2π 3 则c2=a2+b2+ab=81,又c=9,a+b+c=19, .(a+b)2-ab=81,a+b=10,.ab=19, :CD为角C的角平分线， sm+5aw=a→0a+1Dsm昏asn号. 事b=e+b0@.网-18 (3) B D 解法：击山斯C=,则B=子-A 3 设∠4CD=0则∠BCD=2-0: 设AD=x,则CD=x,BD=2x. CD AD 在 中 即 △ACD'sinA sin.∠ACD sinA=tsin 2x x 在 中si0 sinB, △BCD 3 sinA=tsin' l-sn4aw4=rno+sni0-tl-m29r}msa 则 1g0-gor9f-ai t2= te[5-l,2): 解法二：已知D为AB上靠近点A的一个三等分点， 则cD-Ci+C丽，：9cn-4C+0+4C.C西 又而4而小由四如C贺测8-号4 则0l-5,西-=号0=4+d-2ab .'.t2sin2C=sin24+4sin2B-2sinAsinB. cod4-2)nd 34=5 42 .t2=4-2W3sin2A, sin2A∈(0,1] 4-2V3≤t<4,V3-1≤t<2. 19.(1)U不是：U2是 (2)4 【详解】(1)(i)U1={L,2,3,4,5,6}不是三分集合，下面用反证法证明. 证明：假设U1={1,2,3,4,5,6}是三分集合， 设A={4,a},B={b,b,},C={9,C},不妨设G<C2, 由4+b=G,a2+b=C2得， 则a1+a2+b+b2+C+C2=2(G+c2)=1+2+3+4+5+6=21, 则9+6-2 ,这与G,G,N矛盾， 故假设错误，故0=1,2,3,4,5,6}不是三分集合： (i)02={1,3,5,7,8,9,10,1山，12是三分集合. 理由如下：令A={1,3,5},B={9,7,8},C={10,11,12}, 则AUBUC=U2={1,3,5,7,8,9,10,11,12,满足条件①： 且由1+9=10；3+8=11；5+7=12可知，满足条件②. 故U2={1,3,5,7,8,9,10,11,12是三分集合. (2)由(1)可知，当n=2时，0={1,2,34,5,6}不是三分集合： 当n=3时，U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 假设U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}是三分集合， 同理由4+a2+4+b+b,+b+G+C2+G3=2(G+c2+C)=1+2+…+9=45, 45 得到G+G+G=2,可推出与c·G2'G∈N矛盾， 故假设也错误，故U={L,2,3,4,5,6,7,8,9}不是三分集合： 当n=4时，U={L,2,…,12}, 存在三个4元集合A={1,2,3,4},B={5,8,7,9},C={6,10,11,12}, 满足0=1,2，…，12}为三分集合的两个条件. 故大于1的最小完美三分数为4. 西安高级中学2027届开学测试高三数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标好．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，给出如下两个命题：①集合中的元素都是周期函数；②集合中的元素都是奇函数．则（ ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 3．在三角形中，，，点满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，且．若，则的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 5．在中，，，则外接圆的面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知平面坐标系内一曲线的初始状态，每次随机变换的概率按照下述规则之一进行：（1）关于轴对称的概率为；（2）关于轴对称的概率为；（3）关于直线对称的概率为；（4）关于直线对称的概率为．经过次变换后曲线的状态记为，则3次变换后中取值范围为的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若存在正实数，，使得，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．在上单调递增 B．若函数有两个零点，则 C．不等式的解集为 D．若，则 10．下列说法正确的是（ ） A．，，则实数的取值范围为 B．，，则实数的取值范围为 C．，，，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 11．已知函数，下列说法正确的是（ ） A．的图象存在对称中心 B．当时， C．有且仅有2个零点 D．当时，的极值点为，则 三、填空题（本题3小题；每小题5分，合计15分） 12．设集合是非空数集，若对任意，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是_________ ①．集合不是“闭集合” ②．正整数集是“闭集合” ③．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 ④．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 13．设，，则的最小值为_________． 14．已知函数，实数，满足，．若恒成立，则实数的最大值为_________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤；15题13分，16-17题15分，18-19题17分．） 15．在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 16．已知函数与的图象相交于点，为坐标原点． （1）求函数图象在处的切线方程； （2）若直线与图象相切于点，求的值； （3）若直线与图象交于另一点，且，求的取值范围． 17．已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有两个不同的极值点，，且， ①求实数的取值范围； ②求证：． 18．在中，角，，的对边分别为，，，向量，且，点为上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； （3）若为上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围． 19．设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合，，满足如下两个条件，则称为三分集合．①；②，，元素可分别排列为有序数组，及，使得对，，，…，，均有，特别地，当为三分集合时，称为完美三分数．如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数． （1）请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：，； （2）求出大于1的最小完美三分数． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $