陕西省西安市铁一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

陕西西安铁一中学 2025-2026高三上学期开学考试数学试题 一、单选题 1.已知样本数据5,6,6,6,8,9,10,11，则该组数据的第60百分位数为() A.6 B.7 C.8 D.9 2.己知命题p:有些实数的相反数是正数，则p是() A.Vx∈R,-x<0 B.Hx∈R,-x≤0 C.3xo∈R,-x≤0 D. 3x∈R,-x0<0 3.已知某企业对新品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据 单价x/元 40 50 60 70 80 90 y/件 45 39 38 35 30 23 由表中数据，求得经验回归方程为9=一0.4c十a,下列说法错误的是() A.产品的销售量和单价呈负相关 B.该经验回归直线过点(65,35) C.样本点(60,38)的残差为-1 D.当单价定为100元时，销量9估计为21件 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1十a2十a3=a5十a7,S4=34,则a5=() A.8 B.9 C.10 D.11 5.全概率公式指的是：设2为样本空间，若事件A,A2,…,A两两互斥，AUA2UUAn= 2,则对任意的事件B三2，有P(B)=P(A,)P(BA)+P(A)P(BA)+…+P(An)P(BA)。 小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为07,03，在西安市去 游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为() A.0.48 B.0.49 C.0.52 D.0.54 6.已知复数z满足z·z=5,则z-2+41的最大值为() A.√5 B.√6 C.3√5 D.3√6 7.已知以A,B为顶点且底面重合的两个圆锥内切于半径为R的球O,圆锥底面圆的半径为 ?,若两圆锥的侧面积之和与球0的表面积之比为子，则( A.2R'r+2r5=Ri B.2Rr+2r5=Ri C.4R'r+4r3=R D.4Rr2+4r3=R 8.设定义在R上的函数f(c)与g(x)的导函数分别为f'(x)和g(x),若f(x十2) g(1-x)=2,f'(c)=g(x+1),且g(x+1)为奇函数，则下列说法中不正确的是() A.g(1)=0 B.函数g(x)的图象关于直线c=2对称 c.层fg-0 D.品9k)=0 二、多选题 9.己知正实数a,b满足ab十a十b=8,下列说法正确的是() A.ab的最大值为4 B.a+b的最小值为2 C.a+2b的最小值为6√万-3 D a6十D+方的录小值为号 1 10.己知直线a,b和平面&，B,α与B所成锐二面角为0.则下列结论正确的是() A.若a⊥a,b⊥B,则a与b所成角为0 B.若a∥，b∥B,则a与b所成角为0 C.若aCa,则a与B所成角最大值为0 D.若b1B,则6与a所成角为号-0 1L.已知三角形ABC三个内角分别为A,B,C,且满足sin号+in号 +sin'9 co号，则下列说法正确的是()参考公式：心=工+心，，y=c十-心，型) 2 2 2 A.CosA C =2c0s4C B.sinA+sinC=3sinB 2 2 c.an号an号= D.B≥号 三、填空题 12.(x3-29 的展开式中x3的系数为 13.。已知双曲线器-杀-1a>0,b>0)的一条渐近线的方程为g=2z,则该双曲线的离心 率为 14.“曼哈顿距离'是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任 意两点A(C1,y1),B(x2,y2)的曼哈顿距离为：d(A,B)=c1一x2+以-y2.己知点M 在圆O:x2+y2=1上，点N在直线U:3x+y-9=0上，则d(M,N)的最小值为 四、解答题 15.某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为调查学生课后体育锻炼的情况，学校采 用简单随机抽样的方法抽取80名学生，得到了表中数据： 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 10 30 40 女生 20 20 40 合计 30 50 80 (1)根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系？ (2)根据上表，从经常锻炼的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3 人，设这3人中女生的人数为X,求X的分布列和期望 n(ad-be 附：x2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)n-a+b+c+d. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16.设a为实数，函数f(x)=aW1-x2+√1+x+√1-x. (1)求函数f(x)的定义域： (2)设t=√1+x+√1-x,把函数f(x)表示为t的函数h(t),并写出定义域， 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB =∠ACD=60° B (1)求证：平面PBC⊥平面PAB: (2)若F为PC的中点，且AF⊥PB: ()求证：四棱锥P一ABCD的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径： (就)求二面角B-AF-D的正弦值 18.己知抛物线E:y2=2px(p>1)的焦点是F,点P(xo,0)是抛物线E上一点（异于坐 标原点)，当功=1时，PF=至 (1)求抛物线E的方程： (2)若ω是以PF为直径的圆，证明：ω与y轴只有一个公共点T,且直线PT与抛物线E只 有一个公共点P: (3)设o>0,过P的直线与E交于另一点Q,交y轴于点M,过Q作PQ的垂线交E于另 一点N,若MN是E的切线，求的最小值 19.己知a为实数，记f(x)=er+ear (1)当a=0时，定义在R上的奇函数y=g(x)满足：当x>0时，g(x)=f(x),求y= g(x)的解析式： (2)若函数y=f心)为偶函数，若对于任意x∈[0,2]，关于x的不等式f号-0一t)< f(2)均成立，求实数t的取值范围： (3)求证：“a>1”是“存在正数xo,使得函数y=f(x)在x=x0处取到最小值”的充要条件. 陕西西安铁一中学 2025-2026高三上学期开学考试数学试题参考答案 题号 1 2 3 5 6 8 9 10 11 答案 C B C D C D B AC ACD ACD 1.C 2.B 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可直接写出答案 【详解】已知命题p:有些实数的相反数是正数，即p:彐x∈R,一x>0, 则7p:Hx∈R,-x≤0， 故选：B 3.C 【分析】由线性回归方程中的回归系数一0.4<0，即可判断选项A:由表中数据求得x=65, y=35,所以该经验回归直线必过样本中心点，即可判断选项B:由35=-0.4×65十à，解 得a=61,所以9=-0.4x十61.当x=60时=37，结合残差定义即可判断选项C:令c =100时求出对应的9即可判断选项D, 【详解】由线性回归方程9=-一0.4x十à中的回归系数一0.4<0，可知产品的销售量和单价 呈负相关，故选项A正确： 由表中数据得元=40+50+60+70+80+90=65,7=45+39+38+35+30+23 6 6 =35,所以该经验回归直线过点(65,35)，故选项B正确： 由y=-0.4c+a得35=-0.4×65+a,解得a=61,所以9=-0.4x+61. 当x=60时9=-0.4×60+61=37，所以样本点(60,38)的残差为38-37=1，故选 项C错误； 当x=100时9=-0.4×100+61=21，所以当单价定为100元时，销量9估计为21件， 故选项D正确。 故选：C 4.D 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式即可求解. 【详解】设等差数列{an}的首项为a,公差为d, a1+a2+ag=a5+a7, 即a1+a1+d+a1+2d=a1+4d+a1+6d,可得a1=7d, S=4x(a+ai)=4x(a.ta+3d) 2 =34,即2a1+3d=17, 所以d=1,a1=7, 所以a=a1+4d=7+4=11 故选：D. 5.D 去西安市与汉中市的概率分别为0.7,0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐 园的概率为0.4，P=0.7×0.6+0.3×0.4=0.54 6.C 【分析】设z=a+bi,由z·z=5可得a2+b2=5,z-2+4i=√(a-2+(b+42,故 z-2+4i的最大值为点A(2,-4)到圆2+y2=5上的点的最大距离，继而即可求解 【详解】设z=a+bi,由z·z=5,可得（a+bi)(a-bi)=a2+b2=5, 所以z-2+4i=√(a-22+(b+42, 故z-2+i的最大值为点A(2,-4)到圆x2+y2=5上的点的最大距离， 即OA+r=√2++√5=3W5 故选：C 7.D 【分析】设以A,B为顶点的圆锥的母线分别为，2，圆锥的底面圆心为O,半径为r,利用勾 股定理和相似关系可得+=4R2,Ul2=2R?,代入圆锥的侧面积公式和球的表面积公 式化简即可求解 【详解】作出图象如图所示，设以A,B为顶点的圆锥的母线分别为l,12,圆锥的底面圆心为 O,半径为r, 易得AB=2R,∠ACB=90°，所以+乃=(2R},即+乃=4R2①， 又因为∠C0B=90°，所以△ABC-△CB0,则AC=9,即么=2里，所以1弘， CO CB =2Rr②， 由圆锥侧面积公式可得两圆锥的侧面积之和为πrl十元r2=元r(L十2)，球O的表面积为 4πR2, 故-子+6-图 4πR2 0+②×2得+号+2马=4e+4=（名+=，化简得42+4=代， 故选：D 【点睛】关键点点睛：观察发现图象含有多个直角三角形，故考虑利用勾股定理和相似三角形 的性质结合已知得到相关关系， 8.B 【分析】结合已知条件应用赋值法计算判断A,求已知等式的导数结合对称性定义判断B,应 用函数的对称性赋值化简得出函数的周期再应用周期性求出函数值判断C,D. 【详解】对于A,因为g(x+1)为奇函数，所以g(x+1)=一g(-x+1),取c=0可得g(1) =0,A正确. 对于B,因为f(x+2)-g(1-x)=2,所以f'(x+2)+g(1-x)=0 所以f'(x)+g(3-c)=0.又f'(x)=g(x+1),g(x+1)+g(3-x)=0: 故g(2+c)+g'(2-x)=0,所以函数g(x)的图象关于点(2,0)对称，B错误 对于D,因为f'(x)=g(x+1),所以[f(c)-g(x+1)]'=0, 所以f(x)-g(x+1)=c,c为常数. 因为f(x+2)-g(1-x)=2,所以f(x)-9(3-x)=2 所以g(c+1)-g(3-c)=2-c,取c=1可得c=2,所以g(x+1)=g(3-x), 又g(x+1)=-g(-x+1),所以g(3-x)=-g(-x+1),所以g(x)=-9(x-2), 所以g(x十4)=一g(x+2)=g(c),故函数g(x)为周期为4的函数、 因为g(c+2)=-g(x),所以g(3)=一9(1)=0，g(4)=-9(2), 所以9(1)+9(2)+9(3)+9(4)=0， 5所以盒g=g)+92)+g3)+g4]+ [9(5)+g(6)+g(7)+9(8)]+…+[g(2021)+9(2022)+9(2023)+f(2024)]=506× 0=0,D正确. 对于C,因为f(c+2)-g(1-x)=2,所以f(x+2)=2-g(x+1),f(x+6)=2 g(x+5),所以f(x+2)=f(x+6): 故函数f(x)为周期为4的函数，f(x+4)g(c+4)=f(x)g(x), 所以函数f(x)g(x)为周期为4的函数，又f(1)=2-9(0),f(2)=2-9(1)=2,f(3)= 2-g(2)=2+g(0),f(4)=2-g(3)=2, 所以f(1)g(1)+f(2)g(2)+f(3)g(3)+f(4)g(4)=0+2g(2)+2g(4)=0, 所以Fkg)=806×fg1)+2g2)+3)g3)+4g(4]+ f(2025)g(2025)=f(1)g(1)=0,C正确 故选：B. 9.ACD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1'的妙用逐项求解即得 【详解】正实数a,b满足ab+a+b=8,由(a十1)(b+1)=9, 对于A,8=ab+a十b≥ab+2Wab,当且仅当a=b=2时取等号， 于是ab+2√ab-8≤0，解得ab≤4，因此ab的最大值为4，A正确： 对于B,9=a+1)(b+1)≤(0+1+上，当且仅当a=b=2时取等号，则a+b 2 ≥4，B错误； 对打c,a-是-1则a+为-2-1-为-是+20+)-3≥ 9 2V0920+1-3=6-3 当且仅当÷=20+1.即6-8 2 一1时取等号，C正确： 对于D, 1 a(b+1) =a--a中+ 2 a0a6]2+2-号 a(b+1) b 当且仅当 a(b+1) ab十卫，即a=专6=4时取等号，D正晚 b 故选：ACD 10.ACD 【分析】根据线线角，线面角，二面角的定义结合题意逐一分析判断即可. 【详解】对于A,因为a⊥，b⊥B,α与B所成锐二面角为0， 所以a与b所成角为0，故A正确： 对于B,若a∥，b∥B,此时不能确定a与b所成角， 如直线a∥b时，此时a与b所成角为0，故B错误： 对于C,如图，设平面α，B的交线为直线1， 当a∥l时，a与B所成角为0， 当a与l不平行时，设a∩U=C,在直线a上取点A,过点A作AB⊥B于点B, 作OA⊥l于点O,连接OB, 因为OA⊥B,OB,lCB,所以OA⊥OB,OA⊥I, 又OA⊥U,OA∩OB=O,所以1⊥平面OAB, 又OBC平面OAB,所以OB⊥I,则∠AOB即为《与B所成锐二面角的平面角， 则∠AOB=0, 因为AB⊥B,a∈a,所以∠ACB即为a与B所成角的平面角， 则anAC8=铝≤8号=an0, 当且仅当a⊥l时，取等号， 所以a与B所成角最大值为O,故C正确： 对于D,因为b⊥B,Q与B所成锐二面角为0， 所以b与α所成角为受一0，故D正确 故选：ACD 11.AC 【分析】利用降幂公式可得A选项，利用三角形性质和倍角公式可判断B,由A可判断C,由 sinA+sinC=2sinB,转化为边，利用余弦定理和基本不等式可判断D. 【详解1因为sin号+sn'号+sn号-cos号所以号(1-oA)+号1-cosB) 2 +号1-c0sC)=号1+cosB. 整理可得2-cosA-cosC=2cosB=-2cos(A+C), 2-cOs(AC+AC)-cos(AC-AC)--2c0s2(AC) 2 2 2 2 化简可得cosA,Cc0sA,C=2cosA+C 2 2 2 又cos4+C≠0，所以cos4C=2osA+ ,A正确。 2 2 2 sind-sinc-sin(C)s) 2 、2 2in(o 2 -4sin(A生C)os4生C)-2sinA+C-2sn6≠8sinB.B错误 由os4C-2on4C可得cos号os号-3sn号n号， 2 2 2 2 因为cos号cos号≠0，所以an号an号=号，C正院 由B选项可得sinA+sinC=2sinB,即a+c=2b, a2+c2-b2 a2+c2-（a+c2 所以cosB= 4 3(a2+c2) 2ac 2ac Bac -1≥6ae-1 4 1 当且仅当a=c时，等号成立， 又因为y=cosx在(0，x)单调递减，所以B≤晉，D信误 故选：AC 12.-160 C8{x(-2)3=20×(-8)x2→-160 13.√5 【分析】根据双曲线的渐近线方程求出。的值，再结合双曲线的离心率公式e=。以及c= a2+b2来计算离心率 【详解】已知该双曲线的一条渐近线方程为y=2,所以6=2. a 双曲线的离心率e=台（其中e为双曲线的半焦距），且满足c2=a+b2 将e=台两边同时平方可得e心=号Ec心=a2+代入可得e=产-1+(8了 a2 由步骤1可知6=2，将其代入上式可得e2=1+22=5. 因为e>1,所以e=√5 14.3-0 3 【分析】过点M作平行于x轴的直线MB,过点N作NA⊥MB,得到d(M,N)表示MA+ |NA的长度，根据a+∠NBA=π，求得tan∠NBA=-3,得到NA=3AB,进而化简得到 d(M,N)=MB+2AB,得出OM垂直直线l时，d(M,N)最小，利用圆的性质，求得MT 的值，结合sin∠TmM=3yD,即可求解 10 【详解】如图(1)所示，过点M作平行于x轴的直线MB交直线l于点B, 过点N作NA⊥MB于点A,d(M,N)表示MA+NA的长度， 因为直线l的方程为3c+y-9=0,即直线l的斜率k=-3,则tana=-3, 又因为a+∠NBA=元，所以tan∠NBA=tan(元-a)=-tana, 所以tan∠NBA=3,可得NA=3,即1NA=3AB, AB 所以d(M,N)=MA+NA=MA+3AB=MB+2AB, 当固定点M时，且MN平行x轴时，此时点N与点B重合， 此时MB为定值，此时AB为0时，d(M,N)最小，如图(2)所示， 过点O作直线l的垂线，垂足为T,交圆O于点M, 可得MT=OT-r= 9-1=9y0-1, √/32+1 10 又由直线l的斜率k=-3,可得sin/TNM=3V⑩ 10 9W10 MT 10 一1 在直角△MNT中，可得d(M,N)=MN=sin/TNM=3V1o =3、V10 3 10 故答案为：3-√0 图(1) 图(2) 15.(1)不能认为性别因素与同学锻炼的经常性有关系 (2)分布列见详解，E(X)=1.2 【分析】(1)根据题意求x2,并与临界值对比分析 (2)根据X的取值情况列出分布列，通过期望公式求解即可. 【详解】(1)零假设为H:性别因素与锻炼的经常性无关， n(ad-be 因为=a+bc+a十e0+d,°n=a+6+c+d,所以n=80,a=10.b =30,c=20,d=20, 则ad-bc=10×20-30×20=-400,则(ad-bc)2=160000, a+b=40,c+d=40,a+c=30,b+d=50,所以(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)= 40×40×30×50=2400000, n(ad-be)2 则X2=a+b)c+d(a+cb+d 80×160000≈5.333， 2400000 根据小概率值u=0.01的独立性检验为6.635，由x2≈5.333<6.635， 因此可以认为H成立，即不能认为性别因素与同学锻炼的经常性有关系， (2)经常锻炼的学生为50人（男生30人，女生20人），按比例抽取5人，其中男生抽取3人，女 生抽取2人 则X的可能取值为：0,1,2，则： PX-0-得=0PX0-号Px=y-g品 C 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 1 3 3 10 BX)-0×品11×号12×品-号-12 5 16.(1[-1,1]: 〔2h(e=a+t-a,定义域为[V2,2]. 【分析】(1)根据函数特征得到不等式，求出定义域： (2t=V1十云+V1一元≥0两边平方得V-示=-1E[0,1],求出定义域，并得到 函数解析式。 1-x2≥0 【详解】(1)由题意，得1+c≥0，解得-1≤x≤1，故定义域为[-1,1]： 1-x≥0 (2)将t=√1十x+√1-x≥0两边平方，得t2=2+2W1-x2, 整理得V1-=号-1∈[0,1，解得2≤t≤2， 所以，所求h(t)=号at+t-a,定义域为[V2,2]. 17.(1)证明见解析 (2)证明见解析，V7:(词3y7 8 【分析】(1)由余弦定理求得AB=2√5，由AB2+BC2=AC2,则BC⊥AB,再由线面垂