陕西省西安市铁一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

陕西西安铁一中学 2025—2026高三上学期开学考试数学试题 一、单选题 1. 已知样本数据5，6，6，6，8，9，10，11，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 已知命题p：有些实数的相反数是正数，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知某企业对新品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据 单价/元 40 50 60 70 80 90 /件 45 39 38 35 30 23 由表中数据，求得经验回归方程为，下列说法错误的是（　　） A. 产品的销售量和单价呈负相关 B. 该经验回归直线过点 C. 样本点的残差为 D. 当单价定为100元时，销量估计为21件 4. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（ ） A. 0.48 B. 0.49 C. 0.52 D. 0.54 6. 已知复数z满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知以为顶点且底面重合的两个圆锥内接于半径为的球，圆锥底面圆的半径为，若两圆锥的侧面积之和与球的表面积之比为，则（ ） A. B. C. D. 8. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 二、多选题 9. 已知正实数a，b满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 已知直线和平面与所成锐二面角为.则下列结论正确的是（ ） A. 若，则与所成角为 B. 若，则与所成角为 C. 若，则与所成角最大值为 D. 若，则与所成角为 11. 已知三角形三个内角分别为，，，且满足，则下列说法正确的是（ ）（提示：，） A. B. C. D. 三、填空题 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为__________. 14. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：．已知点M在圆上，点N在直线上，则的最小值为______． 四、解答题 15. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为调查学生课后体育锻炼的情况，学校采用简单随机抽样的方法抽取80名学生，得到了表中数据： 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 10 30 40 女生 20 20 40 合计 30 50 80 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系？ （2）根据上表，从经常锻炼的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中女生的人数为，求的分布列和期望． 附：． 16. 设为实数，函数． （1）求函数的定义域； （2）设，把函数表示为的函数，并写出定义域． 17. 如图，在四棱锥中，底面. （1）求证：平面平面； （2）若为的中点，且； （i）求证：四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径； （ii）求二面角的正弦值. 18. 已知拋物线的焦点是，点是拋物线上一点（异于坐标原点），当时，． （1）求抛物线的方程； （2）若是以为直径的圆，证明：与轴只有一个公共点，且直线与抛物线只有一个公共点； （3）设，过的直线与交于另一点，交轴于点，过作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值． 19. 已知为实数，记. （1）当时，定义在上的奇函数满足：当时，，求的解析式； （2）若函数为偶函数，若对于任意，关于的不等式均成立，求实数的取值范围； （3）求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 陕西西安铁一中学 2025—2026高三上学期开学考试数学试题 一、单选题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1）不能认为性别因素与同学锻炼的经常性有关系 （2）的分布列为： 0 1 2 【16题答案】 【答案】（1）； （2），定义域为． 【17题答案】 【答案】（1）证明：由余弦定理， 有， 因为，即， 所以， 因为底面平面， 所以， 因为平面平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. （2）（i）证明：连接， 因为平面平面， 所以， 因为为的中点， 所以，同理，有， 因为底面平面， 所以， 因为为的中点， 所以，因此，有， 所以为四棱锥的外接球的球心. 按如图所示建立空间直角坐标系，连接，取的中点，连接， 由，有， 又，所以是正三角形， 有，易知， 设，则，有， 因为，所以， 有，得， 即，有， 故四棱锥的外接球的半径为. 球的半径为；（ii） 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明：充分性：当时，在上是严格增函数， 且， ，设在时恒大于零， 故在上是严格增函数，故，故. 又由于的图象是连续曲线，由零点存在性定理，可知存在，使得，由在上是严格增函数， 可知函数有且只有一个零点， 且当时，是严格减函数， 当时，是严格增函数， 函数在处取到最小值. 必要性： 当存在正数，使得函数在处取到最小值，必有， 当时，在上是严格增函数，不存在最小值，故， 所以在上是严格增函数， 由于，所以，即， 故. 因此，“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $