第五单元计算专项04：数与形（归纳递推）-五年级数学上册（人教版·新教材）

**基本信息** 以归纳递推为主线，通过数列规律、数形结合及思维拓展，系统培养抽象能力与推理意识，构建“观察-归纳-应用”完整认知链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |探索数列的规律|10题|等差/平方/递推数列归纳法，第n项表达式推导|从具体数字到字母抽象，建立“项数-数量”对应关系| |数与形|12题|图形计数增量法，数形互化分析|图形直观支撑数量规律，实现“形助数”思维转化| |思维拓展|3题|公式推导（如(a+b)²）、平方差模型构建|深化代数推理，衔接初中知识，培养数学表达能力|

第五单元计算专项04：数与形（归纳递推） 日期： 用时： 评价： 一、探索数列的规律 1．一列数是2，4，6，8，10，…，第n个数是( )。 2．已知3，6，9，12，15，…，第n个数是( )。 3．有一列数：5，10，15，20，…，第n个数是( )。 4．在1，3，5，7，…这列数中，第20个数是( )，第n个数是( )。 5．一列数10、15、20、25、30……，照这样排列，第n个数是( )。 6．按规律填空：2、5、10、17、26、37…第n个数是( )。 7．找规律：4、9、16、25…，第10个数是( )，第n个数是( )。 8．找出规律，填一填： 有一串从小到大排列的数：0、3、8、15、24、35、48……第10个数是( )，第n个数是( )。 9．观察数列2，6，12，20，30，…的规律，则这列数的第6个数是( )，是第n个数是( )。 10．观察数与形规律：1，3，6，10，15，( )，第n个数是( )。 二、数与形 1．如图，观察按照这样的方式摆圆片，第4堆有( )个圆片，第5堆( )个圆片…第n堆有( )个圆片。 2．妙想用小正方形摆“品”字品，摆1个“品”字要3个小正方形，摆n个“品”字要( )个小正方形；妙想用了30个小正方形，摆了( )个“品”字。 3．把一个小正方体如图摆放，1个小正方体有( )个面露在外面，3个小正方体有( )个面露在外面，n个小正方体有( )个面露在外面。 4．如果小明按照下图的方法摆图形，请问搭n个这样的三角形需要( )根小棒，如果有51 根这样的小棒，可以搭( )个这样的三角形。 5．按下图方式摆放桌子和椅子。 一张桌子可以坐6人，两张桌子可坐( )人，n张桌子可以坐( )人。 6．下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成……那么第6个图案由( )个基本图形组成，第个图案由( )个基本图形组成。 7．围棋的起源可追溯到春秋中叶之前，在我国有悠久的历史。淘气和爸爸不仅是围棋高手，还喜欢利用围棋探索一些规律。星期天，爸爸在棋盘上摆出了如下图形，淘气好奇地研究起来：第7个图形中，黑棋有( )枚，第n个图形黑棋有( )枚。 8．如图中，摆1个六边形要6根小棒，摆2个六边形要11根小棒，照这样继续摆下去，摆n个六边形要( )根小棒。现有31根小棒，能摆( )个六边形。 9．按下图方式拼搭，第10个图形需要( )个三角形；第n个图形需要( )个三角形。 10．龟背纹是一种常以骨架形式出现的六边形纹样，寓意长寿、吉祥。下面是龟背纹的纹样设计示意图，第1幅图有4个六边形，第2幅图有7个六边形，第3幅图有10个六边形。照这样的规律设计，第6幅图有( )个六边形，第幅图有( )个六边形。 11．探究与发现。 用“数形结合”的方法来探索1＋3＋5＋7＋9＋…这样的算式的简便算法。 序号 1 2 3 4 … 图形 … (1)观察点子图，补充下面等式。 1＝12                    1＋3＝4＝( ) 1＋3＋5＝9＝( )        1＋3＋5＋7＝16＝( ) (2)序号为8的图形共有( )个点子，序号为n的图形共有( )个点子。 12．观察一组等式：，，，，找规律填空。 ( )－( )； 请把你猜想到的规律用只用一个字母的式子表示出来( )。 三、思维拓展 1．数学中规定：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。 正多边形 …… 边数 4 5 6 … 一个顶点可画 对角线数量 1 2 3 … 对角线总数量 2 5 9 … 聪聪是个喜欢思考的学生，他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律（如图），照这样的规律，正七边形共有( )条对角线，正n边形共有( )条对角线。 2．你能利用下图发现（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2这一公式吗？利用所学知识写出推导过程。 3．本单元我们体会了“数形结合”思想方法的魅力，我们可以用形巧妙的解决有关数的问题，比如聪聪在算这个数的计算问题时，就借用形来思考。 (1)他发现________。 (2)仔细观察上面的等式，是不是任意两个数的平方差都具有这样的特征呢？请举两个例子算一算，验证你的发现。 举例1： 举例2： (3)如果和表示两个数，这样的规律可以表示为( )×( ) (4)根据以上结论计算： 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、探索数列的规律 1．2n 【分析】观察上面数列可知，2×1＝2， 2×2＝4， 2×3＝6， 2×4＝8，2×5＝10，……，第n个数是2×n＝2n，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，一列数是2，4，6，8，10，…，第n个数是2n。 2．3n 【分析】由第一个数是3×1＝3，第二个数是3×2＝6，第三个数是3×3＝9，…，由此可知第n个数就是3乘n。 【详解】3＝3×1 6＝3×2 9＝3×3 12＝3×4 15＝3×5 … 第n个数是3n。 【点睛】此题考查了数字之间的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，据此解答。 3．5n 【分析】观察数列，发现每个数都能写成5乘一个自然数的形式 ，第一个数是5乘1，第二个数是5乘2，依此类推，第n个数就是5乘n ，通过对前面几个数规律的归纳总结得出第n个数的表达式。 【详解】观察这列数5，10，15，20，…，可以发现： 第一个数5＝5×1； 第二个数10＝5×2； 第三个数15＝5×3； 第四个数20＝5×4； …… 由此可以归纳出，这列数的第n个数就是5与n的乘积，即5n。 4． 39 2n－1 【分析】根据数据可知：从左往右，后一项比前一项多2，第一项：1＝2×1－1，第二项：3＝2×2－1，第三项：5＝2×3－1，第四项：7＝2×4－1…，第n项＝2×n－1＝2n－1，由此解答。 【详解】第20个数是：2×20－1 ＝40－1 ＝39 第n个数是：2n－1。 【点睛】解答此题的关键是，根据所给的数量，找出规律，再根据规律，列式解答即可。 5．5（n＋1） 【分析】观察这列数，第一个数字为2×5＝10；第二个数为3×5＝15；第三个数为4×5＝20；规律是，每个数都是这个数字排在第几个加1再乘5。 【详解】10＝（1＋1）×5 15＝（1＋2）×5 20＝（1＋3）×5 25＝（1＋4）×5 …… 第n个数是5×（n＋1）＝5（n＋1）。 6．n2＋1 【分析】观察数列可知，2＝12＋1，5＝22＋1，10＝32＋1，17＝42＋1，26＝52＋1，则第n个数是n2＋1。 【详解】由分析可知： 2、5、10、17、26、37…第n个数是n2＋1。 【点睛】本题考查数字的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 7． 121 【分析】根据题意： 第1个数： 第2个数： 第3个数： 第4个数： …… 所以第个数是：； 据此求出第10个数和第个数。 【详解】根据分析： 第10个数是： 第个数是：。 8． 99 n²－1 【分析】观察可知，第几个数就是几的平方－1，据此分析。 【详解】10²－1 ＝100－1 ＝99 第10个数是99，第n个数是n²－1。 【点睛】寻找数字排列中的规律，平时要注重多积累，培养数感。 9． 42 【分析】，，，，…，规律是：相邻两个自然数的乘积，第n个数是，据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 这列数的第6个数是： 第n个数是： 故答案为：42；。 【点睛】本题考查找规律，解答本题的关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题。 10． 21 （1＋n）×n÷2 【分析】观察这列数，从1开始，第一个数加2为第二个数，第二个数加3为第三个数，第三个数加4为第四个数，以此类推，得到第n个数：1＋2＋3＋…＋n＝（1＋n）×n÷2，据此分析。 【详解】第n个数是：1＋2＋3＋…＋n＝（1＋n）×n÷2 第6个数是：（1＋6）×6÷2 ＝7×6÷2 ＝21 观察数与形规律：1，3，6，10，15，21，第n个数是（1＋n）×n÷2。 二、数与形 1． 9 11 1＋2n/2n＋1 【分析】第1堆：3个； 第2堆：（3＋2）个； 第3堆：（3＋2×2）个； 第4堆：（3＋2×3）个； 以此类推。 【详解】第4堆有： 3＋2×3 ＝3＋6 ＝9（个） 第5堆有： 3＋2×（5－1） ＝3＋2×4 ＝3＋8 ＝11（个） 第n堆：3＋2×（n－1） ＝3＋2n－2 ＝1＋2n（个）。 2． 3n 10 【分析】根据题意可知，摆1个“品”字要3个小正方形，摆2个“品”字要2×3＝6个小正方形，摆3个“品”字要3×3＝9个小正方形，摆n个“品”字要3×n＝3n个；要求妙想用了30个小正方形，摆了多少个“品”字，用30÷3，即可解答。 【详解】3×n＝3n（个） 30÷3＝10（个） 妙想用小正方形摆“品”字品，摆1个“品”字要3个小正方形，摆n个“品”字要3n个小正方形；妙想用了30个小正方形，摆了10个“品”字。 3． 5 13 4n＋1/1＋4n 【分析】正方体有6个面，看图可知，1个小正方体有5个面露在外面，5＝1×4＋1；3个小正方体有13个面露在外面，13＝3×4＋1……由此可知，露在外面的面的数量＝几个小正方体就用几×4＋1。 【详解】1×4＋1 ＝4＋1 ＝5（个） 3×4＋1 ＝12＋1 ＝13（个） n×4＋1＝（4n＋1）个 1个小正方体有5个面露在外面，3个小正方体有13个面露在外面，n个小正方体有（4n＋1）个面露在外面。 4． 25 【分析】先统计搭个、个、个、个三角形分别需要的小棒数量，寻找数量变化的规律 根据找到的数量规律，推导搭个三角形时小棒数量的通项公式 ，把小棒总数代入得到的公式，列出方程，再根据等式性质、，即可求出可搭的三角形数量。 【详解】①摆个三角形用根小棒 摆个三角形用根小棒 摆个三角形用根小棒 摆个三角形用根小棒 ②当有根小棒时 解： 5． 10 4n＋2 【分析】如图所示： 第一幅图1张桌子前后可坐4人，左右坐2人，一共坐（4＋2）人； 第二幅图2张桌子前后增加4人可坐8人，左右坐2人，一共坐（4＋4＋2）人； 第三幅图3张桌子前后再增加4人可坐12人，左右坐2人，一共坐（4＋4＋4＋2）人； 由此可知，每增加一张桌子就增加4人，所以，有n张桌子，前后就坐4n人，左右仍然坐2人，再将前后左右的人数相加即可。 【详解】由分析可知： 1张桌子前后可坐人数：4＋2＝6（人） 2张桌子前后可坐人数：4＋4＋2＝10（人） 3张桌子前后可坐人数：4＋4＋4＋2＝14（人） n张桌子可以坐人数：4×n＋2＝（4n＋2）人 按图摆放桌子和椅子，1张桌子可坐6人，两张桌子可坐10人，n张桌子可以坐（4n＋2）人。 6． 19 / 【分析】①先对比相邻两个图案的基本图形数量，确定数量的增长规律；第1个图案数量已知是4个基本图形，且后面图案是在前面的图案上增加3个基本图形，所以可以推导第n个图案的基本图形的总个数与n的关系； ②将n＝6代入得到的第n个图案的数量表达式，计算得到第6个图案的基本图形数量。 【详解】①第1个图形：有4个基本图形； 第2个图形：有4＋3即：4＋（2－1）×3个基本图形； …… 第n个图形的基本图形个数是： ②第6个图形基本图形的个数： （个） 所以第6个图形由19个基本图形组成，第n个图形由（1＋3n）个基本图形组成。 7． 16 2n＋2 【分析】第①个图形有5个棋子，1枚白棋，4枚黑棋； 第②个图形有8个棋子，2枚白棋，6枚黑棋； 第③个图形有11个棋子，3枚白棋，8枚黑棋； …… 第n个图形中一共有枚棋子，白棋有n枚，黑棋有枚。 【详解】第7个图形中，即时，黑棋有：（枚）； 第n个图形黑棋有枚。 8． 6 【分析】摆1个六边形要6根小棒，摆2个六边形要11根小棒，摆3个六边形要16根小棒；以后每增加1个六边形，都与前一个六边形共用1条边，只需增加5根。摆n个六边形时，可以用6加上后面n－1个六边形增加的小棒数。求31根能摆几个时，先去掉第1个六边形多出的1根，再看有几个5。 【详解】6＋5×（n－1） ＝6＋5n－5 ＝5n＋1（根） 31－1＝30（根） 30÷5＝6（个） 所以摆n个六边形需要（5n＋1）根小棒，31根小棒能摆6个六边形。 9． 21 / 【分析】观察相邻序号的图形三角形数量的差值，发现图形规律，利用规律推导第个图形的三角形数量表达式，再将代入公式，计算第10个图形的三角形数量。 【详解】前三个图形中三角形个数分别为：个，个，个 相邻两个图形中三角形的数量相差2，从左向右，三角形个数可表示为：，，以此类推 第n个图形，三角形的数量为，化简得： 计算第10个图形中三角形的数量，把n10代入得： 由上可知，第10个图形需要个三角形，第n个图形需要个三角形。 10． 19 3n＋1 【分析】观察前三幅图，六边形的个数分别是4、7、10。后一幅图总比前一幅图多3个六边形，说明每增加一幅图，六边形就增加3个。从第1幅图的4个出发，每多一幅就加3，由此可以推出第6幅图的个数，也能总结出第n幅图的规律。 【详解】第1幅图：1＋3＝4（个） 第2幅图：1＋2×3＝1＋6＝7（个） 第3幅图：1＋3×3＝1＋9＝10（个） 第4幅图：1＋4×3＝1＋12＝13（个） 第5幅图：1＋5×3＝1＋15＝16（个） 第6幅图：1＋6×3＝1＋18＝19（个） 第n幅图：3×n＋1＝3n＋1（个） 因此第6幅图有19个六边形，第n幅图有3n＋1个六边形。 11．(1) 22 32 42 (2) 64 n2 【分析】（1）观察可知，序号为1的图形共有1个点子，1＝12；序号为2的图形共有4个点子，4＝22；序号为3的图形共有9个点子，9＝32；序号为4的图形共有16个点子，16＝42… （2）由（1）中的规律可知，序号为几的图形，图中点子的总个数就是几的平方，如：序号为8的图形共有82个点子，序号为n的图形共有n2个点子，据此解答。 【详解】（1）分析可知，1＝12，1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝16＝42。 （2）82＝8×8＝64 分析可知，序号为8的图形共有64个点子，序号为n的图形共有n2个点子。 12． 20212 1 （n＋1）2－1 【分析】观察一系列等式得到一般性规律，写出规律即可：n（n＋2）＝（n＋1）2－1，据此解答即可。 【详解】由分析可知；2×4＝32－1，3×5＝42－1，4×6＝52－1，10×12＝112－1 通过观察可得到规律：n（n＋2）＝（n＋1）2－1 2020×2022＝20212－1 猜想到的规律用只含一个字母的式子表示：n（n＋2）＝（n＋1）2－1 【点睛】解答本题关键是找出规律：n（n＋2）＝（n＋1）2－1。 三、思维拓展 1． 4 【分析】观察题意可知，根据n边形从一个顶点出发可引出（n－3）条对角线，从n个顶点出发每个引出（n－3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为n（n－3）÷2（n≥3，且n为整数）。 【详解】根据分析可知，n边形从一个顶点出发可引出（n－3）条对角线， 7－3＝4（条） 所以从正七边形的一个顶点出发则有4条对角线， n（n－3）÷2＝（条） 正n边形共有条对角线。 【点睛】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握计算公式。 2．大正方形的面积＝（a＋b）2， 折分成2个长方形，2个正方形面积和为：a2＋a×b＋b×a＋b2＝a2＋2ab＋b2； 因为面积不变，所以（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。（推导过程不唯一） 【分析】观察图可知，正方形的面积＝边长×边长，也可以把大正方形转化成一个小正方形和一个较大的正方形与两个长方形，然后把面积相加，两种方法求出的面积相等，据此写出推导过程 【详解】大正方形的面积＝（a＋b）2 ， 折分成2个长方形，2个正方形面积和为：a2＋a×b＋b×a＋b2＝a2＋2ab＋b2，因为面积不变， 所以（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。（推导过程不唯一） 3．(1) (2)＝13，＝13，13＝13 ＝196，＝196，196＝196 (3) (4)4051 【分析】（1），把转化为两个正方形的面积之差，即图中阴影部分的面积，而阴影部分又可以转化为一个长方形，长方形的长等于5＋3，长方形的宽等于5－3，，则阴影部分的面积为，由此可知，； （2）举例如下：，，先按照四则混合运算的顺序求出各式的结果，再利用发现的规律求出各式的结果，观察计算结果是否相等，计算结果相等，说明任意两个数的平方差都具有这样的特征； （3）根据发现的规律得出结论：任意两个数的平方差都等于这两个数的和与这两个数的差的乘积； （4）先把转化为，再按照四则混合运算的顺序求出结果。 【详解】（1）分析可知，。 （2）举例1： ＝ ＝13 ＝ ＝ ＝13 举例2： ＝ ＝196 ＝ ＝ ＝196 因为13＝13，196＝196，所以任意两个数的平方差都具有这样的特征。 （3）如果和表示两个数，这样的规律可以表示为。 （4） ＝ ＝ ＝4051 答案第1页，共2页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $