2.3 二次函数的图象与性质 第5课时 (课件) 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质，通过描点法绘制y=-x²等函数图象，对比分析其开口方向、对称轴和顶点坐标，结合解题支架（如区间最值分类讨论），构建与y=ax²的平移联系及知识脉络。 其亮点在于以几何直观和推理意识为核心，通过动手操作、一题多解（如平移方法）及新题型（规律探究、数形结合）培养学生数学思维。小结用表格系统总结性质，帮助学生形成模型意识，教师可借助丰富例题提升教学效率，学生能提升画图与推理能力。

第二章 二次函数 2.3 二次函数的图象与性质 鲁教版（五四制）九年级上册 第5课时 二次函数的图象与性质 学习目标 学习重难点 掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象和性质并会应用. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系. 难点 重点 1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象和性质并会应用. 3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系. (1)在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数y=-x²，y=-x²-1，y=-(x+1)²-1的图象，验证你的结论，并与同伴进行交流。 （2）填写下表： 二次函数 图象特征 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=-x² 向下 y轴 （0，0） y=-x²-1 向下 y轴 （0，-1） y=-(x+1)²-1 向下 直线x=-1 （-1，-1） 操作·思考 再描点、连线： 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 直线x=-1 开口方向向下；对称轴是直线 x = -1；顶点坐标是 ( -1，-1). y=-(x+1)2-1 4 向左平移1 个单位长度 怎样移动抛物线y=-x2可以得到抛物线y=-(x+1)2-1？ 平移方法1 向下平移1 个单位长度 y=-x2 y=-x2-1 y=-(x+1)2-1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 y=-(x+1)2-1 5 平移方法2 向左平移1个单位长度 向下平移 1个单位长度 怎样移动抛物线y=-x2可以得到抛物线y=-(x+1)2-1？ y=-x2 y=-(x+1)2 y=-(x+1)2-1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 y=-(x+1)2-1 二次函数y=-(x+1)²-1的图象是抛物线，它与抛物线y=-x²的形状相同，只是位置不同。将二次函数y=-(x+1)²的图象向下平移1个单位长度就得到二次函数y=-x²-1的图象，再向左平移1个单位长度就得到二次函数y=-(x+1)²-1的图象。 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与二次函数y=ax²的图象有什么关系? 与同伴进行交流。 一般地，平移二次函数y=ax²的图象可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象。因此，二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示: 思考·交流 总结 a>0 a<0 图象 h<0 h>0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时，y随x增大而减小. 当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时，y随x增大而增大. 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,k） x=h时，y最小值=k x=h时，y最大值=k （h,k） 二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系 可以看作互相平移得到的. y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 总结 典例精析 例 已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　) 解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A. A 课堂小结 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 图象 特点 当 a>0时，开口向上； 当 a<0时，开口向下. 对称轴是 x=h. 顶点坐标是（h,k). 平移 规律 左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减. 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同. 1. 抛物线 的顶点坐标是( ) D A. B. C. D. 2. [山东省临沂市模拟] 函数 的最小值和最大值分别是( ) B A. 和5 B. 和5 C. 和 D. 和5 课堂练习 13 3. 已知某抛物线与二次函数 的图象的开口大小相同， 开口方向相反，且顶点坐标为 ，则该抛物线对应 的函数表达式为( ) C A. B. C. D. 14 4. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象经过( ) D A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【点拨】由题图可知抛物线的顶点 在第四象限，, , 即, , 直线 经过第二、三、四象限.故选D. 15 5. 若点, , 都 是二次函数的图象上的点，则, , 的 大小关系为( ) D A. B. C. D. 【点拨】, 该二次函数的图象开口向 下，对称轴为直线, 当时，随 的增大而增大. , . 16 6. 二次函数 有最大值， 则“ ”中可填的数是__________________.（写一个即可） （答案不唯一） 17 7. 将某二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2 个单位长度后，得到新的二次函数 的图象， 则原二次函数的表达式是( ) B A. B. C. D. 18 8. 已知抛物线 ,顶点 为，将沿水平方向向右平移 个单位长度，得到 抛物线，顶点为，与相交于点,若 ,则 等于( ) A A. B. C. 或 D. 或 19 【点拨】抛物线沿水平方向向右平移 个单位长度得到抛物线 ,则 ,,易得点的横坐标为 ，代入 ，得点的纵坐标为 , ,连接,若 ，则易得 是等边三角形， ，由勾股定理得 20 ,解得 或 , . 9. 将抛物线 向下平移1个单位 长度，再向右平移______个单位长度后，得到的新抛物线经 过原点. 2或4 【点拨】抛物线 向下平移1个单位长度后所得抛 物线的表达式为 . 设抛物线向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原 点，则新抛物线的表达式为 抛物线经 过原点，，解得或 . 22 10. 已知二次函数 ，当 时，的最小值为，则 的值为( ) B A. 或4 B. 4或 C. 或4 D. 或 23 解题支架 24 （第11题） 11. 如图，抛物线 的顶点在的边 所在 的直线上运动，的顶点 的坐标为 ，点的坐标为 ，若抛物线与 的边，都有公共点，则 的取值 范围是( ) D A. B. C. D. 25 （第11题） 【点拨】 点的坐标为， 易得直线 的表达式为 抛物线 的顶点坐标为 ，且在直 线上， 抛物线对应的函数表 达式为.当抛物线经过点 时，将点 的坐标代入，得 ，解得 26 ,；当抛物线经过点 时， 将点的坐标代入 ， 得 , 整理，得，解得 , . 综上所述，的取值范围是 . （第11题） （第12题） 12. 如图，抛物 线 与 交于点，过点作 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 ，，则线段 的长为___. 6 28 【点拨】设抛物线 的对称轴直线 与线段交于点 ，抛物线 的对称轴直线 与 线段交于点 ，如图所示. 由抛物线的对称性可知, ， ， 29 13. 下列关于二次函数 为常数,且的结论:①该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 ；③当 时，随 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函 数 的图象上.其中所有正确的序号是________. ①②④ 30 【点拨】 当时，将二次函数 的图象先向右平 移个单位长度，再向上平移 个单位长度即可得到 二次函数的图象；当 时，将二 次函数的图象先向左平移 个单位长度，再向上平 移 个单位长度即可得到二次函数 的图象， 该函数的图象与函数 的图象形状相同，结论①正确;对于 31 ,当 时， ,即该函数的图象一定经过点 ，结论②正确;由二次函数的性质可知，当时， 随的增大而增大；当时，随 的增大而减小,结论③ 错误；二次函数 的图象的顶点坐标 为,对于二次函数,当 时， ,即该函数的图象的顶点 在函数 的图象上，结论④正确.综上，所有正确的结论序 号是①②④. 14. 已知一系列抛物线 ，， ， ，， ， 为非负整数.抛物线与轴相交于点，（点 在点 的左边），顶点为.若轴于点，则 的值 是___. 3 33 【点拨】根据题意可得抛物线的顶点坐标是 ，抛物线 的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是 ，抛物线 的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是 ，由规律 可知抛物线的顶点的坐标是， 抛物线 的 表达式是，轴于点，.把点 的坐标 代入 ,得 ，解得 . 34 15. 如图，已知抛物线 与轴交于点, 在的左侧，与轴交于点，顶点为 . （1）试确定的值，并写出 点的坐标； 【解】 抛物线过点， . . 顶点的坐标为 . 35 （2）试在轴上求一点，使得 的周长取最小值,并求 出最小值. 36 如图，是定值， , 当取最小值时， 的周长取 最小值. 作点关于轴的对称点,连接，交 轴于 点，点 即为所求. ， ， 设直线的函数表达式为 ， 37 把点的坐标代入,得 ， 解得， 直线的函数表达式为 . 令，则 ， 点的坐标为 . ， ， 的最小值为 . $