2.3 二次函数的图象与性质 第1课时 (课件) 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=±x²的图象与性质，通过复习二次函数一般形式及描点法步骤导入，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从特殊函数展开探究。 其亮点是以“尝试-观察-总结”为主线，让学生自主画图、观察特征培养数学眼光中的几何直观，课堂小结用表格对比梳理性质体现数学思维的推理意识，多样化练习如一题多解、规律探究提升应用意识，助力教师实施结构化教学，提升学生自主探究能力。

第二章 二次函数 2.3 二次函数的图象与性质 鲁教版（五四制）九年级上册 第1课时 二次函数 的图象与性质 二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 你还记得描点法画函数图象的一般步骤吗? 描点法 (2) 描点 (3) 连线 (1) 列表 复习导入 与一次函数的学习过程类似，认识了二次函数的概念后，接下来要研究二次函数的图象与性质。借助图象直观了解函数的性质,是研究函数的重要方法。 二次函数的图象会是什么样子呢?你打算按照什么思路展开研究呢? 让我们从最特殊的二次函数y=x²开始研究吧! 3 (1)观察表达式y=x2，你认为x可以取哪些值？与同伴进行交流。 （2）选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表： 画二次函数y=x2的图象 x … … y=x² … … 9 4 9 0 1 4 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 尝试·思考 4 (3)在直角坐标系中描点。如果需要，可再多描一些点。你认为图象可能会是什么样子? x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 如图所示。 尝试·思考 5 观察·思考 x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 (1)你能描述图象的特征吗？ 二次函数y=x2的图象形如物体抛物时所经过的路线，我们把它叫做抛物线y=x2。 观察二次函数y=x²的图象。 x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 (2)图象与x轴有交点 吗？如果有，交点坐标是什么？ 有，（0，0） 观察·思考 x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 (3)当x<0时，随着x值的增大， y的值如何变化？当x>0时呢？ 当x<0 时，y随着x的增大而减小. 当x>0 时，y随着x的增大而增大. 观察·思考 (4)y的值可能小于0吗？当x取什么值时，y的值最小？ 　　可能.当x=0时，函数y的值最小，最小值是0. x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 观察·思考 　　是，对称轴是y 轴. （-2，4）和（2，4）； （-3，9）和（3，9）等等. （-1，1）和（1，1）； (5)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点。 对称点有很多，如： x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 观察·思考 总结归纳 二次函数y=x2的图象是一条抛物线，它的特点是： x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 1.开口向上； 2.对称轴是y轴； 3.顶点是原点，它是图象的最低点. 思考·交流 二次函数y=-x²的图象是什么形状?先想一想，然后画出它的图象。它与二次函数y=x²的图象有什么关系?与同伴进行交流。 (1) 列表: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … … -9 -4 -1 -1 -4 -9 0 它与二次函数y=x²的图象关于x轴对称。 (2)在直角坐标系中描点. (3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=-x2 的图象. y x -1 -2 -3 O 1 2 3 -6 -7 -8 -3 -4 -5 -9 -1 -2 y=- x2 思考·交流 (1)二次函数 y=-x2 的图象是一条抛物线. (2)图象与 x 轴交于原点(0，0). y x -1 -2 -3 O 1 2 3 -6 -7 -8 -3 -4 -5 -9 -1 -2 y=- x2 (3)当x <0时，y 随 x 的增大而增大； 当x >0时，y 随 x 的增大而减小. (4)当 x=0时，y最大值 = 0. (5)图象关于 y 轴对称. (6)图象的顶点是原点，它是图象的最高点. 课堂小结 抛物线 y=x2 y=-x2 图象 对称轴 顶点 开口方向 增减性 最值 y x o y x o 在对称轴左侧,y随x的增大而增大；在对称轴右侧,y随着x的增大而减小 y轴 开口向上 开口向下 y轴 原点（最低点） 当x=0时,最大值为0 在对称轴左侧,y随x的增 大而减小；在对称轴右 侧,y随着x的增大而增大 当x=0时,最小值为0 原点（最高点） 1. 抛物线 不具有的性质是( ) C A. 对称轴是 轴 B. 开口向下 C. 当时，随 的增大而减小 D. 顶点坐标是 课堂练习 16 2. 下列关于抛物线 和 的异同点说法错误的是( ) D A. 抛物线和 有共同的顶点和对称轴 B. 抛物线和 的开口方向相反 C. 抛物线和关于 轴成轴对称 D. 点在抛物线上，也在抛物线 上 17 3. 给出下列四个函数：①；②；③ ； ④.当时，随 的增大而减小的函数有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 18 4. 若点,, 都在二次函数 的图象上，则( ) A A. B. C. D. 【点拨】解法一（直接代入计算）：因为点, , 都在二次函数的图象上，所以, , ,所以 . 19 解法二（利用增减性）因为二次函数 的图象开口向 上，对称轴为轴，所以当时，随 的增大而增大.因为 ,所以 . 解法三（利用函数图象）二次函数 的图象开口向 上，顶点坐标为,所以 ,函数的最小值为0,图象上 的点离对称轴越远，对应的函数值越大.因为二次函数 的图象的对称轴为轴，所以点距离轴近，点 距离轴远，所以 . . . . . . . . . 20 5. 已知函数 ,回答下列问题： （1）当时， ____； （2）当时， _______； （3）当时， 的取值范围是____________； （4）当时， 的最大值是___. 0 21 6. 已知是二次函数，且当时，随 的增大而增大. （1）求 的值，并画出它的图象； 22 【解】根据题意，得 解得 . 二次函数的表达式为 ，其图象如图所示. 23 （2）写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； 该函数图象的对称轴为轴（或直线 ），顶点坐标为 . 24 （3）如果点 是此二次函数图象上的一点，若 ，求 的取值范围. 点是此二次函数图象上的一点，且 , 当时， ; 当时， ; 当时， 取最大值0. 当时， . 25 7. 二次函数与一次函数 的图象在同一平 面直角坐标系中的大致位置是( ) C A. B. C. D. 26 8. 已知点，， 在同一个 函数的图象上，这个函数可能是( ) D A. B. C. D. 9. 已知函数若，则 ___. 2 27 10. 如图，一座抛物线形的拱桥，其形状 可以用 来描述. （1）当水面到桥拱顶部的距离为2米时， 水面的宽为_____米； （2）当水面的宽为4米时，水面到桥拱顶部的距离为___米. 4 28 （第11题） 11. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点在抛物线 上， 顶点在轴负半轴上， .将 绕点顺时针旋转 得到 ， 边与该抛物线交于点，则点 的坐标为 __________. （,2） 29 （第11题） 【点拨】的顶点 在抛物 线上， ，解得 ， 抛物线的表达式为 点 ，绕点顺时针旋转 得 到，， 轴， 点和点的纵坐标均为2， 令，得 ，解得 . 点在第一象限， 点的坐标为 . 30 （第12题） 12. 如图，分别过 点作 轴的垂线， 交直线于点，交抛物线 于 点，则 的值 为_ ____. 31 （第12题） 【点拨】 过点 作轴的垂线，交直线于点 ，交抛 物线于点, , , , , . 32 13. 如图，在平 面直角坐标系 中，已知抛物线的表 达式是，直线 的表达式是 ，点,，点 是该抛物线上 （1）求证： ； 的动点，连接，过点作于点 . 33 【证明】 点是抛物线 上的动点, 设点的坐标为 . , 直线的表达式是 , . . ,), . 34 （2）设点，求的最小值及此时点 的坐标. 【解】 , 点在抛物线 的上方.连 接 , 由（1）知 , . 35 当, , 三点共线时, 取得 最小值, 此时 . 当时, , 的最小值为, 此时点 的坐 标为 . 36 $