13.2.2三角形的中线、角平分线、高 同步讲义（知识点+题型精讲+过关检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦三角形的中线、角平分线、高核心知识点，系统梳理概念（如中线是连接顶点与对边中点的线段）、性质（三条中线交于重心且分2:1，角平分线交于内心，高的位置因三角形类型而异）及应用（中线求长度与面积、角平分线角度计算、高的面积相关计算），构建从概念到性质再到应用的学习支架。 资料亮点在于知识点与题型深度融合，通过典例（如根据中线求面积）与变式题分层设计，培养学生几何直观与推理意识。课中辅助教师系统教学，课后学生可通过练习题巩固，查漏补缺，提升应用意识，助力知识内化。

13.2.2三角形的中线、角平分线、高 目录 知识点1 三角形的中线 2 知识点2 三角形的角平分线 2 知识点3 三角形的高 2 知识点4 中线与面积关系 3 题型1 根据三角形中线求长度 3 题型2 根据三角形中线求面积 4 题型3 重心的概念 5 题型4 三角形角平分线的定义 6 题型5 画三角形的高 7 题型6 与三角形的高有关的计算问题 8 1. 理解三角形的中线、角平分线、高的概念，掌握它们的画法。 2. 了解三角形重心的概念及性质。 3. 能利用中线求线段长度和面积，能利用角平分线进行角度计算。 4. 能利用三角形的高进行面积计算和相关线段计算。 知识点1 三角形的中线 连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 一个三角形有三条中线，三条中线都在三角形内部。 三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍（重心分中线为2:1两段）。 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）。 知识点2 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 一个三角形有三条角平分线，三条角平分线都在三角形内部。 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心（到三边距离相等）。 角平分线分得的两个角相等，都等于原角的一半。 注意：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，二者不同。 知识点3 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 一个三角形有三条高，三条高所在直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。 锐角三角形：三条高都在三角形内部，垂心在内部。 直角三角形：两条高就是两条直角边，第三条高在内部，垂心在直角顶点。 钝角三角形：钝角对边上的高在内部，另外两条高在外部（垂足在对边延长线上），垂心在外部。 知识点4 中线与面积关系 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分（等底同高的三角形面积相等）。 若AD是△ABC的中线，则S△ABD＝S△ACD＝(1/2)S△ABC。 等底同高的三角形面积相等；同底等高的三角形面积相等。 三角形面积公式：S＝(1/2)×底×高，用不同的底和对应高计算，面积相等（等面积法）。 题型1 根据三角形中线求长度 【典例1】．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 【变式3】．如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 题型2 根据三角形中线求面积 【典例2】．能把任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是这个三角形的一条（     ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．既垂直又平分的线段 【变式1】．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 【变式3】．如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 题型3 重心的概念 【典例3】．如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【变式1】．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】．如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 【变式3】．如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 题型4 三角形角平分线的定义 【典例4】．如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【变式1】．如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【变式2】．如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则______．（用含有的式子表示） 【变式3】．如图，是的角平分线，则平分___________，______________________，且点在边上． 题型5 画三角形的高 【典例5】．如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式1】．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，，则边上的高是___________． 【变式3】．如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 题型6 与三角形的高有关的计算问题 【典例6】．已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式1】．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【变式2】．一个直角三角形的三条边分别是6、8、10，则这个三角形最长边上的高是______． 【变式3】．如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 1．已知在三角形中，一条中线将三角形分成两个三角形，这两个三角形一定具备的性质是（     ） A．全等 B．周长相等 C．面积相等 D．形状相同 2．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，直角三角形的直角边，，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，交于点E，，三角形的面积是，下列结论：①三角形平移的距离是6；②；③；④四边形的面积为16．其中正确的结论是（     ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 4．如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 6．如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 7．张老师让同学们作中边上的高,下列作法正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 10．如图，在中，是的中点，，若的面积为4，则的面积为________． 11．如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是、、的中点，那么阴影部分的面积为________． 12．如图，在中，点在上，且，连接，为边上的中点，连接并延长交于点，为上一点，且，已知的面积为1，则的面积为__________． 13．如图，在中，，分别为，边上中点，，交于点．若的面积为6，则的面积为______． 14．如图，在三角形纸板中，．将纸板沿射线方向平移得到，与交于点K．有下列结论：①；②；③若，则；④当，时，四边形的面积为64．其中正确的有______．（填序号） 15．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长． 16．图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 17．如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 (1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 (2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 18．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 19．阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： (1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； (2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 目录 知识点1 三角形的中线 2 知识点2 三角形的角平分线 2 知识点3 三角形的高 2 知识点4 中线与面积关系 3 题型1 根据三角形中线求长度 3 题型2 根据三角形中线求面积 6 题型3 重心的概念 8 题型4 三角形角平分线的定义 10 题型5 画三角形的高 13 题型6 与三角形的高有关的计算问题 15 1. 理解三角形的中线、角平分线、高的概念，掌握它们的画法。 2. 了解三角形重心的概念及性质。 3. 能利用中线求线段长度和面积，能利用角平分线进行角度计算。 4. 能利用三角形的高进行面积计算和相关线段计算。 知识点1 三角形的中线 连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 一个三角形有三条中线，三条中线都在三角形内部。 三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心。 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍（重心分中线为2:1两段）。 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）。 知识点2 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 一个三角形有三条角平分线，三条角平分线都在三角形内部。 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心（到三边距离相等）。 角平分线分得的两个角相等，都等于原角的一半。 注意：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，二者不同。 知识点3 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 一个三角形有三条高，三条高所在直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。 锐角三角形：三条高都在三角形内部，垂心在内部。 直角三角形：两条高就是两条直角边，第三条高在内部，垂心在直角顶点。 钝角三角形：钝角对边上的高在内部，另外两条高在外部（垂足在对边延长线上），垂心在外部。 知识点4 中线与面积关系 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分（等底同高的三角形面积相等）。 若AD是△ABC的中线，则S△ABD＝S△ACD＝(1/2)S△ABC。 等底同高的三角形面积相等；同底等高的三角形面积相等。 三角形面积公式：S＝(1/2)×底×高，用不同的底和对应高计算，面积相等（等面积法）。 题型1 根据三角形中线求长度 【典例1】．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中线的定义解题． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 【变式1】．如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线的定义，结合三角形的周长公式，得到与的周长之差为，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴与的周长之差为 ； ∵，， ∴周长之差为. 【变式2】．如图，在中，是的中线，是的中线．若，则的长度为___________________． 【答案】8 【分析】由是的中线可得，由是的中线可得，结合已知条件即可求解． 【详解】解：是的中线 ， ， 是的中线 ， ， ． 【变式3】．如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 【答案】 5 12 【分析】（1）先得出，再根据三角形的周长公式可得，与联立求解即可； （2）根据三角形的中线性质即可得； （3）过点作于点，先求出的面积为，再根据垂线段最短求出的最大值即可． 【详解】解：（1）∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大4， ∴， ∴，即， ∵， ∴联立， 解得． （2）∵在中，为边上的中线，且的面积为17， ∴． （3）如图，过点作于点， ∵， ∴的面积为， ∴要使得的面积最大，则需的值最大， 由垂线段最短可知，（当且仅当点重合时，等号成立）， ∵， ∴， ∴的最大值为4， ∴的面积的最大值为． 题型2 根据三角形中线求面积 【典例2】．能把任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是这个三角形的一条（     ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．既垂直又平分的线段 【答案】B 【分析】根据等底等高的两个三角形的面积相等解答． 【详解】解：三角形的中线把三角形分成两个等底等高的三角形，故面积相等． 【变式1】．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∵点E是边上的中点， ∴，， ∴， ∵点F是边上的中点， ∴． 【变式2】．如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 【答案】4 【分析】根据等底同高的两个三角形面积相等，得到，，，，推出计算即可． 【详解】解：分别是的中点， ，，，， ， ． 【变式3】．如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】6 【分析】根据三角形的中线等分面积得到，即可求解． 【详解】解：∵点，，分别是，，的中点， ∴ ∵ ∴阴影部分的面积之和． 题型3 重心的概念 【典例3】．如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【答案】A 【详解】解：由三角形薄板保持水平可知悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心． 【变式1】．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 【变式2】．如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴． 【变式3】．如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形重心的概念，掌握重心是三角形中线的交点是关键． 根据网格结构判断出点D是边的中点，从而确定是的中线，进而得出重心的位置． 【详解】解：由图可知，点在边上，且点到点、点的水平距离均为2个单位长度，垂直距离均为1个单位长度， ，即点是边的中点， 是的中线， 三角形三条中线的交点是三角形的重心， 的重心在线段上． 题型4 三角形角平分线的定义 【典例4】．如图所示，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】利用三角形角平分线的定义即可分析． 【详解】解：A、由，得是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； B、由得：是的角平分线，故本选项正确，不符合题意； C、由得：，故本选项正确，不符合题意； D、由得：是的角平分线，故本选项错误，符合题意； 【变式1】．如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用平分和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到，但没有办法得到，可判断出A选项错误． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故C正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意； ∵平分， ∴． 但没有办法得到，故A错误，符合题意． 故选：A． 【变式2】．如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则______．（用含有的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 由根据三角形的高可得，得，，再根据三角形角平分线的定义可得，得，最后根据角的和差关系即可求解； 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】．如图，是的角平分线，则平分___________，______________________，且点在边上． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【详解】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 题型5 画三角形的高 【典例5】．如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做这条边上的高求解即可． 【详解】解：A，是的边上的高； B，是的边上的高； C，是中边上高； D，不是图中任何线段上的垂线． 【变式1】．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，排除不垂直于及不过顶点的选项． 【详解】解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线.； 为钝角， 垂足落在的延长线上.； 图D中的延长线，符合定义，其它选项不符合定义． 【变式2】．如图，在中，，则边上的高是___________． 【答案】 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边对应的高，即可解答． 【详解】 解：已知中，可得， 顶点到边的垂线就是线段， 因此边上的高是． 【变式3】．如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 【答案】 / / 【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义作答即可． 【详解】解：（1）在中，边上的高为． 故答案为：； （2）在中，边上的高为． 故答案为：． 题型6 与三角形的高有关的计算问题 【典例6】．已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据面积求出，再分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，解得， 分两种情况： 当点在线段上时，如图所示： 则； 当点在线段的延长线上时，如图所示： ； 综上所述，的长为或． 【变式1】．在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 【变式2】．一个直角三角形的三条边分别是6、8、10，则这个三角形最长边上的高是______． 【答案】 【分析】直角三角形中最长边为斜边，两条较短边为直角边，先利用直角边求出三角形面积，再根据面积不变，求出最长边上的高． 【详解】解：由题意知，长度为和的边是直角边， ， 设最长边上的高为， ∴，解得． 【变式3】．如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 【答案】4 【分析】因为是的中线，所以中线将三角形分成面积相等的两个三角形，可根据求出．因为是边上的高线，所以三角形面积公式为，将已知的和的长度代入公式，即可求解的长度． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵是边上的高线， ∴， 将、代入， 得， 解得． 1．已知在三角形中，一条中线将三角形分成两个三角形，这两个三角形一定具备的性质是（     ） A．全等 B．周长相等 C．面积相等 D．形状相同 【答案】C 【分析】由三角形中线得等底，结合公共高，利用面积公式判断． 【详解】解：如图 设是的边上的中线， 则； 设点A到的距离为h，则，， ∴， 即两个三角形面积相等． 2．如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：∵的面积为，的面积为， ∴， ∵、分别是的两条中线， ∴，， ∴，， ∴． 3．如图，直角三角形的直角边，，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，交于点E，，三角形的面积是，下列结论：①三角形平移的距离是6；②；③；④四边形的面积为16．其中正确的结论是（     ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】直接利用平移的性质，结合三角形及梯形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意，直角三角形的直角边，，将直角三角形沿边的方向平移到三角形的位置，， ∴三角形的平移距离是4，故①错误； 根据平移得：， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 由平移的性质可得，故③正确； 根据题意得：，，， ，故④错误； 综上可得：正确的结论为②③． 4．如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】若，阴影部分面积为，根据三角形的面积公式可得的长，再根据线段的和差关系可得的长，然后根据平移的性质可得，据此求得的长． 【详解】解：，阴影部分面积为， ， ， ． 5．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 6．如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据中线的性质即可求出的面积． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴． 7．张老师让同学们作中边上的高,下列作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，进行判断即可． 【详解】解：∵题目要求作中边上的高， ∴该高线应过顶点，且垂直于边所在的直线， 、过点作交的延长线于点，符合定义，符合题意． 、作的是，不是三角形边上的高，不符合题意； 、作的是边上的高，不符合题意； 、作的是边上的高，不符合题意． 8．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 9．如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴ ∵的面积为24， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴． 10．如图，在中，是的中点，，若的面积为4，则的面积为________． 【答案】6 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积即可求解． 【详解】解：∵，的面积为4， ∴的面积为， ∵是的中点， ∴． 11．如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是、、的中点，那么阴影部分的面积为________． 【答案】12 【分析】连接、、，由点A，B，C分别是，，的中点得出，，，从而得出，，，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、， ， ∵的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点， ∴，，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为． 12．如图，在中，点在上，且，连接，为边上的中点，连接并延长交于点，为上一点，且，已知的面积为1，则的面积为__________． 【答案】 【分析】设的面积为，连接，由，结合等高三角形的面积比与底边的比有关可得，为边上的中点，求得，，得到，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：设的面积为，连接， ∵，， ∴， ∵为边上的中点， ∴，，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得， 即的面积为． 13．如图，在中，，分别为，边上中点，，交于点．若的面积为6，则的面积为______． 【答案】36 【分析】先根据中点定义得出为中线，再根据中线的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， ∵分别为边上中点， ∴为的中线， ∴，，，为的中线， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 14．如图，在三角形纸板中，．将纸板沿射线方向平移得到，与交于点K．有下列结论：①；②；③若，则；④当，时，四边形的面积为64．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据平移的性质，对应边平行且相等，对应点连线平行且相等，可判断①②；连接，由平移的性质得，，求出，可得，进而可判断③错误；说明，然后根据梯形面积公式求解可判断④正确． 【详解】解：沿射线平移得到， ，， 结论①正确； 点的对应点为，点的对应点为， 与都是平移距离， ， 结论②正确； 连接， 由平移的性质得，， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∵，即点是的中点， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 结论③错误； ∵， ∴， ∴， ，， ， ， ，， ， ∴， 结论④正确． 综上可知，正确的有①②④． 15．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长． 【答案】 【分析】根据中线得到，根据三角形周长的计算，结合题意得到，则，再根据与的和为，由此列式求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长，的周长，的周长比的周长多， ∴，即， ∴， ∵与的和为，即， ∴， 解得，． 16．图①、图②都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． 【分析】（1）根据网格特征，找出中点，连接即可； （2）根据网格特征，在上找出格点，连接，使即可； 【详解】（1）解：略 （2）解：略 17．如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 (1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 (2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)； 证明：∵是的中线， ∴是的中线， ∴, 同理可得：,, 设，， ∴, ∵ ∴ ∴ 同理可知，， ∴ ∴,, ∴ (3)30 【分析】（1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等； （2）根据中线可知，根据面积转化即可求得，进而可判断相等； （3）连接，延长交于点，根据面积公式可知，，即可求解，进而可求解面积． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵和的高相等， 则两个三角形的面积相等； （2）略 （3）连接，延长交于点， 由（2）可知， ∵， ∴, 同理可知, ∵，， ∴,, ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 18．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 和等高三角形的性质可求得； （3）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 ，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ， ， ∴； （2）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴； （3）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴． 19．阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： (1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； (2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． 【答案】(1)15； (2)． 证明：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴． (3)5 【分析】（1）根据点是边上的中点，可得，再代入已知数据求解即可； （2）过点A作于点E，根据推出，再通过面积公式求证即可； （3）根据是的中线，可得，再利用三角形面积公式，代入已知数据求解的长度． 【详解】（1）解：∵点是边上的中点， ∴． （2）略 （3）解：∵是的中线， ∴， ∵是的高线， ∴， 又∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $