13.2.2 三角形的中线、角平分线、高-【随堂笔记】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

4-1A【解析】根据题意，得a-3=0,b-6= 0,解得a=3,b=6.①当3是腰长时，三角形的 三边长分别为3,3,6.因为3+3=6，所以不能组 成三角形.②当3是底边时，三角形的三边长分 别为3,6,6，能组成三角形，周长=3+6+6= 15,所以，这个等腰三角形的周长为15. 5-1证明：如图，将DE向两边延长分别交 AB,AC于点M,N. 在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE,① 在△BDM中，MB+MD>BD,② 在△CEN中，CN+NE>CE,③ ①+②+③，得AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+ DE+NE+BD+CE, .AB+AC>BD+DE+CE. 13.2.2三角形的中线、 角平分线、高 预习检测 1.B2.D 举一反三 1-1A【解析】因为点D,E分别是边BC,AD 的中点，△ABC的面积为8，所以S△ABc= Sao,Saam=2SAc,所以SA= 1 1 1 4x8=2. 2-1C【解析】由题图可知BE是△ABD的中 线，故A选项正确.由题图可知BD是△BCE的 角平分线，故B选项正确.因为BD是△BCE的 角平分线，所以∠3=∠2.因为BE是中线，所以 无法得到∠1=∠2，故C选项不正确.因为 ∠C=90°，所以BC是△BDE的边DE上的 高，故D选项正确. 3-1B【解析】因为CE⊥BA,交BA的延长线 于点E,所以在△ABC中，AB边上的高为线 段CE. 3-2A 变式训练 1-1解：设腰长为xcm.①当腰长与腰长的一 半的和是9m时，+分=9，解得x=6,所 以，底边长=15-7×6=12(cm).因为6+6= 12,所以6cm,6cm,12cm不能组成三角形. ②当腰长与腰长的一半的和是15cm时，x+ 2x=15,解得x=10,所以，底边长=9-}×10= 4(cm),所以，三边为10cm,10cm,4cm,能组 成三角形.综上所述，等腰三角形的腰长为 10cm,底边长为4cm. 2-1B【解析】因为△ABC的中线AD,BE,CF 交于点0，所以SABOD=S△coD,S△c0E=S△40E; S△A0F=S△BOF:因为SAB0D+SACOE+SA40F=7,所以 S△coD+S△MOB+S△BOP=7,所以△ABC的面积是7× 2=14. 3-1C【解析】因为AD⊥BC,BF⊥AC,所以 9ac=2AC·BF=BC·AD,所以4MC=8X 1 2 2,所以AC=4. 4-1解：AE∥DF.理由如下： 因为AB∥CD,所以∠BAD=∠ADC. 因为AE,DF分别是△ABD和△ACD的角平分 线，所以2∠DAE=∠BAD,2∠FDA=∠ADC 所以∠DAE=∠FDA,所以AE∥DF. 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 预习检测， 1.B2.B3.B 举一反写 1-1A【解析】.∠A=20°，∠B=4∠C, ∠A+∠B+∠C=180°，..20°+4∠C+∠C= 180°，解得∠C=32°. 1-255°【解析】.·DE∥BC,∠BDE=120°， ∴.∠B=180°-120°=60°..FG∥AC,∠DFG= 115°，∴.∠A=180°-115°=65°，∴.∠C= 180°-∠B-∠A=55°. 2-1A【解析】.∠DBA=120°，∠ECA=125°， .∴.∠ABC=180°-∠DBA=60°，∠ACB= 180°-∠ECA=55°，∴.∠BAC=180°-∠ABC- ∠ACB=180°-60°-55°=65°，即∠BAC=65°. 3-1∠A两直线平行，内错角相等 ∠B两直线平行，同位角相等 ∠A+∠B+∠ACB=180° 变式训练 1-1B【解析】在△ABC中，∠A=70°，∠C= 30°，∴，∠ABC=180°-∠A-∠C=80°..BD平 分LABC,-LABD=)∠ABC=40°.：DE∥ AB,.∴.∠BDE=∠ABD=40°13.2.2 三角形的中线、角平分线、 课前·预习笔记 预 1,理解三角形的中线、角平分线、高的概念，会借助工具准确画出任意三角形的中 习 线、角平分线、高.重点© 目 2.了解三角形重心的概念 标 第。我明确考情 11.考频：5年3考 12.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 第三步梳理知识 :1.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫作三 角形的这条边上的中线 2.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫作三角形的重心 !3.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个 预 角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线 习4，三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，连接顶点和 务 垂足所得的线段叫作三角形的这条边上的高线.三角形的高线简称三角形的高： 第步预习检测 1.如图，在△ABC中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一 条线段是△ABC的中线，则该线段是（) A.线段DE B.线段BE C.线段EF D.线段FG 2.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是( B 第十三章三角形 13 课堂·听课笔记川 新知解读 知识点1●》三角形的中线 举一反三>参考答案见答案册P2 1.三角形的中线 连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线 文字语言 段叫作三角形的这条边上的中线 1-1如图，在△ABC中，点 图示 D,E分别是边BC,AD的中 点，且△ABC的面积为8， D 则阴影部分的面积是() 如图， (1)线段AD是△ABC的边BC上的中线； 几何语言 (2)点D是边BC的中点；(3)BD=DC=2BC 2.三角形的重心 三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫作 B D 三角形的重心 A.2B.3C.4D.5 例1如图，在△ABC中，点D为AB边上的中点，连接CD, 过点A作BC边上的垂线AE,垂足为E.若△ACD的面积为12， BC=8,则AE=() D B E C A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】因为点D为AB边上的中点，△ACD的面积为12， 所以SAARC=2 SAACD=24. 1 因为BC=8,2BC·AE=SaBc, 所以2×84E=24,解得AE=6 【答案】C 14 随堂笔记8年级数学RJ上册 知识点2》三角形的角平分线 〉举一反三》参考答案见答案册P2 1.三角形的角平分线 文字 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个 语言 角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线 图示 如图，(1)线段AD是△ABC的角平分线；(2)AD平分 几何 语言 ∠BAC,交BC于点D;(3)∠BAD=∠CAD=∠BAC 产注意事项：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线 2-1如图，在△ABC中，∠C= 2.三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角 90°，D,E是AC上两点，且 形的内部，并且三条角平分线相交于三角形内一点， AE=DE,BD平分∠EBC,下 例2如图，D是△ABC的边AC上 八、”这个点叫内心 列说法中不正确的是() 一点，DE∥BC交AB于点E.若∠EDB=∠EBD, 试说明BD是△ABC的角平分线. 【答案】解：因为DEBC, 所以∠EDB=∠DBC. 6 又∠EDB=∠EBD, A.BE是△ABD的中线 所以∠DBC=∠EBD, B.BD是△BCE的角平分线 所以BD是△ABC的角平分线. C.∠1=∠2=∠3 ★方法京拨 D.BC是△BDE的边DE上 说明一条线段是三角形的角平分线，就是说明这条线段把 的高 个角分成两个相等的角： 知识点3》三角形的高 举一反三●》参考答案见答案册P2 1.三角形的高 3-1如图，在△ABC中，AB 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线， 边上的高为() G 文字语言 连接顶点和垂足所得的线段叫作三角形的高线.三角形 的高线简称三角形的高， 不是射线或直线“ 图示 D A.AD B.CE C.AF D.BG 如图，(1)过点A作AD⊥BC,垂足为点D,则线段AD 几何语言 为△ABC的边BC上的高；(2)∠ADB=∠ADC=90 第十三章三角形 15 2.三角形的高的画法 一靠 使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上 二移 移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点 三画 画垂线段 3.三角形的高的位置 名称 高及其交点的位置 图示 锐角 三条高都在三角形的内部，三条 三角形 高的交点在三角形的内部 B G 直角三角形有两条高恰好是三角 直角 形的两条直角边，第三条高在三 三角形 角形内部，三条高的交点是直角 顶点 CG月 钝角三角形有两条高在三角形的 钝角 外部，第三条高在三角形内部， B 三角形 三条高所在的直线交于三角形外 一点 G 例3[衔接教材P9习题]画△ABC中AC边上的高，下列四种 3-2如图，过△ABC的顶点 画法中正确的是( A,作BC边上的高，以下作 B 法正确的是() D B C◇ B B B D 【解析】 4 选项 理由 判断 A AD是BC边上的高 + B B 没有过点B C 过点B,且BD⊥AC D CD是AB边上的高 【答案】C ★方法流拨天 判断三角形的高的方法：①过顶，点；②垂足在该顶点的对边 或对边的延长线上 16 随堂笔记8年级数学RJ上册 课本练习〔教材P8练习] 1.如图，过△ABC的顶点C分别画出它的中线、角平分线 和高 答案 1.图略 2.(1)CD AC AF(或 BF) (2)∠2 ∠ABC ∠4（或 2.填空题 ∠ACF) (1)如图1，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则BD= Af-I ,AB=2 (2)如图2，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ，3=1 ,∠ACB=2 2 D 图1 图2 课后·提升笔记 题型训练 题型1●>与三角形的中线有关的周长的计算 变式训练○》参考答案见答案册P2 例1在△ABC中，AC=7,BC边上的中线AD把△ABC分成周 长差为5的两个三角形，则AB的长为 【解析】因为AD为BC边上的中线，所以BD=CD, 1-1如图，已知等腰三角形 中线AD把△ABC分成了△ABD和△ADC,两个三角形周长的 ABC中，一腰AC上的中线 差为5，分类讨论如下： BD将三角形的周长分成9cm ①当△ABD的周长较大时，△ABD与△ADC的周长差=(AB+ 和15cm两部分，求这个等 AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC. 腰三角形的腰长和底边的长， A 因为△ABD与△ADC的周长差为5，AC=7,所以AB-7=5,解 得AB=12. D ②当△ADC的周长较大时，△ADC与△ABD的周长差=(AC+ AD+CD)-(AB+AD+BD)=AC-AB. 因为△ABD与△ADC的周长差为5，AC=7,所以7-AB=5,解 得AB=2. 综上所述，AB=2或12. 【答案】2或12 第十三章三角形 17 题型2●》与三角形的中线有关的面积的计算 >变式训练>参考答案见答案册P2 例2如图，在△ABC中，点E是AC的中点，点F是BE的中 点，且S△ABc=6cm2,求阴影部分的面积. 2-1如图，△ABC的中线 AD,BE,CF交于点O.若阴 影部分的面积是7，则△ABC 的面积是() B F 【答案】解：因为点F是BE的中点，点E是AC的中点， 1 11 1 0 所以SACEF=2 SACE= 22 S△ABC=A D 1 11 1 A.10B.14C.17D.21 S△ABF= 1 1 所以阴影部分的面积=S△c+SAar=4S△4ac+ 2= 2×6=3(cm2). 题型3●》与三角形的高有关的计算 变式训练>参考答案见答案册P2 例3如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BC边上一点，DE⊥ AB于点E,DF⊥AC于点F,BG⊥AC于点G.求证：BG= DE+DF. 3-1如图，已知AD=2,BC= 8,BF=4,BF⊥CF,AD⊥ BC,那么AC的长度等 于() F E B D 【答案】证明：如图，连接AD, 则△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积， B D y A.2B.3 C.4D.5 即AC·BG三2AB·DE+AC·Dm 因为AB=AC, 所以BG=DE+DF, 题型4●》有关三角形的探究型问题 变式训练》参考答案见答案册P2 例4如图，若AD是△ABC的角平分线， DE∥AB,F是AB上一点. (1)若DF∥AC,EF交AD于点O.试问： D DO是否为△EDF的角平分线？并说明 理由 18 随堂笔记8年级数学RJ上册 (2)若DO是∠EDF的平分线，试探索DF与AC的位置关系， 并说明理由。 【答案】解：（1)DO是△EDF的角平 分线.理由如下. 4-1如图，在△MCD中，AB∥ 如图.因为AD是△ABC的角平分线， CD,AE与DF分别是△ABD 3 所以∠1=∠2. 和△ACD的角平分线，那么 又DE∥AB,所以∠3=∠2. AE与DF有什么位置关系？ 因为DFAC, 试说明理由。 M 所以∠1=∠4，所以∠3=∠4，即D0是 ∠EDF的平分线， 所以DO是△EDF的角平分线. (2)DF∥AC.理由如下： A B 如图.因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2. F E 又DEAB,所以∠3=∠2. 又D0是∠EDF的平分线，所以∠3=∠4， 所以∠1=∠4，所以DF∥AC. 链接中考 考点1◆三角形的中线 考点2◆三角形的高 题型 难度 分值 题型 难度 分值 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 典例1[陕西中考]如图，AD是△ABC的中线， 典例2[杭州中考]如图，CD LAB于点D,已 AB=4,AC=3.若△ACD的周长为8，则△ABD 知∠ABC是钝角，则() 的周长为 B D A B D 【解析】因为AD是△ABC的中线， A.线段CD是△ABC的AC边上的高线 所以BD=CD B.线段CD是△ABC的AB边上的高线 因为△ACD的周长为8， C.线段AD是△ABC的BC边上的高线 所以AC+CD+AD=8. D.线段AD是△ABC的AC边上的高线 因为AC=3, 【解析】线段CD是△ABC的AB边上的高线， 所以CD+AD=BD+AD=5. 故A选项说法错误、B选项说法正确；线段 因为AB=4, AD不是△ABC的BC边上的高线，故C选项 所以AB+BD+AD=9,即△ABD的周长为9. 说法错误；线段AD不是△ABC的AC边上的 【答案】9 高线，故D选项说法错误 【答案】B 第十三章三角形 19