2.2一元二次方程的解法同步练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、方法综合、应用创新三层设计，覆盖一元二次方程解法全知识点，从单一运算到实际应用递进，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直接开平方法、因式分解法等单一解法|选择题1-3直接考查基本解法，填空题11巩固方程根的求解，培养运算能力| |中档|解法选择、配方技巧、根的判别式|选择题10考查方法优化，填空题12-14涉及配方与判别式，解答题16-17综合不同解法，发展推理意识| |提高|几何应用、新方法探究|解答题21结合等腰三角形周长计算，22-24引入"平均数法"等创新解法，体现模型意识与创新意识|

2.2一元二次方程的解法同步练习 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.方程的解为(    ) A. B. C. ， D. ， 2.方程的解为(    ) A. B. C. ， D. ， 3.方程的根是(    ) A. ， B. C. D. ， 4.如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 且 6.用配方法解一元二次方程时，方程可变形为(    ) A. B. C. D. 7.若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.若等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为(    ) A. 或 B. 或 C. D. 9.若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为(    ) A. B. C. D. 10.解下列方程：较简便的方法依次是(    ) A. 直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B. 直接开平方法，公式法，因式分解法 C. 因式分解法，公式法，配方法，因式分解法 D. 直接开平方法，公式法，因式分解法 二、填空题： 11.方程的根是          ． 12.若将一元二次方程配方为，则的值是          ． 13.已知，则的值为          ． 14.如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数值是          ． 15.若关于的一元二次方程的根为，，则将多项式分解因式的结果为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.用配方法解下列方程： ； ； ． 17.用适当的方法解下列方程： 。 18.已知关于的一元二次方程． 当满足什么条件时，方程有两个相等的实数根？ 当满足什么条件时，方程有两个实数根？ 当满足什么条件时，方程没有实数根？ 19.已知关于的一元二次方程有两个实数根． 求的取值范围； 设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 20.已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个实数根 若方程的两个实数根一个小于，另一个大于，求的取值范围． 21.已知关于的一元二次方程． 试判断上述方程根的情况． 已知的两边，的长是关于上述方程的两个实数根，的长为． 当为何值时，是以为斜边的直角三角形 当为何值时，是等腰三角形请求出此时的周长． 22.在解一元二次方程时，有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程变形，得，整理，得，即，直接开平方，得，我们称这种解法为“平均数法”． 下面是小明用“平均数法”解方程的解题过程． 解：原方程变形，得，整理，得，即，直接开平方，得，． 上述解题过程中，、、、表示的数分别是          、          、          、          ． 请用“平均数法”解方程：． 23.已知多项式乘法公式：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：因式分解：． 因式分解：                     请用上述方法解下列方程： ． 24.先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：，．．，．，． 若，求的值 已知整数，，是的三边长，满足，，且是中最短边的长，求的值． 参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11. ，  12.   13. 或  14.   15.   16. 【小题】 解：移项并配方，得， 即，所以． 【小题】 整理，得， 配方，得． 两边开平方，得． 所以，． 【小题】 移项并配方，得， 即， 两边开平方，得， 解得，．  17. 【小题】 变形，得， 两边同时开平方，得， ， 【小题】 分解因式，得， 即， ， 【小题】 配方，得， 两边开平方，得， ， 【小题】 ， ， ，。  18. 【小题】 方程有两个相等的实数根，，即，解得 【小题】 方程有两个实数根，，即，解得 【小题】 方程没有实数根，，即，解得  19. 【小题】 关于的一元二次方程有两个实数根，，即，解得． 【小题】 是方程的一个实数根，，，，即，解得或又由，可知，．  20. 【小题】 证明：， 方程总有两个实数根． 【小题】 解关于的一元二次方程，得． ，． 由题意，得或 解得或． 的取值范围是或．  21. 【小题】 【解】在方程中，，方程有两个不相等的实数根． 【小题】 ，，． 不妨设，， 斜边时，有，即，解得，舍去． 当时，是以为斜边的直角三角形． ，，，由知， 故有两种情况： 当时，，，，满足任意两边之和大于第三边，此时的周长为． 当时，，，，满足任意两边之和大于第三边，此时的周长为． 综上可知，当时，是等腰三角形，此时的周长为当时，是等腰三角形，此时的周长为．  22. 【小题】 【小题】 原方程变形，得， 整理，得， 即， 直接开平方，得或， ，．  23. 【小题】 【小题】 ，，． ，，．  24. 【小题】 由题意，可得， ， ，， ， 【小题】 由题意，可得，即， ，， ，， ，即． ，，为整数，，且是中最短边的长， 或   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $