专题04 认识实数（八大题型24道题）专项练习 -2026-2027学年北师大版八年级上册数学

**基本信息** 覆盖实数核心8知识点，24道题按概念-性质-应用逻辑编排，题型多样适配新授课基础巩固 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |无理数|3道|识别与辨析|从无理数概念切入，构建实数认知起点| |无理数估算|3道|数值估算与应用|衔接概念与实际，培养数感与估算能力| |实数概念|3道|相反数等性质应用|深化实数基本属性理解，关联有理数| |实数分类|3道|分类判断与反例|系统梳理实数体系，强化逻辑思维| |实数性质|3道|倒数相反数等综合|整合实数核心性质，提升推理意识| |实数与数轴|3道|数形结合应用|建立实数与数轴一一对应，发展几何直观| |实数比较|3道|大小比较与范围确定|巩固数系运算，培养运算能力| |勾股定理与无理数|3道|几何构造与表示|联结代数与几何，体现应用意识|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题04 认识实数（八大题型24道题） 目录 知识点一无理数 1 知识点二无理数的大小估算 2 知识点三实数概念理解 4 知识点四实数的分类 5 知识点五实数的性质 7 知识点六实数与数轴 8 知识点七实数的大小比较 10 知识点八勾股定理与无理数 12 知识点一无理数 1．下列各数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数， ∵是分数，是整数，是有限小数，即选项A、C、D均为有理数； ∵是无限不循环小数． ∴选项B是无理数． 2．在实数，，π，中，无理数有_______个． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义（无限不循环小数）判断各数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是5的算术平方根，5不是完全平方数，因此 是无理数； 是圆周率，是无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数， 综上，无理数有 和 ，共2个， 故答案为2． 3．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ，，，，． 【答案】，，，18是有理数； 是无理数． 【分析】有理数包括整数、有限小数、分数、无限循环小数等；无理数是无限不循环小数，据此对每个数进行判断即可． 【详解】解：有理数包括整数、有限小数、分数、无限循环小数等；无理数是无限不循环小数，由此可得： 有理数有：，，，18； 无理数有：． 【点睛】题目主要考查有理数和无理数的识别，理解有理数和无理数常见的几种类型是解题关键． 知识点二无理数的大小估算 4．十二平均律中，相邻两个音的频率之比是一个固定值，该比值最接近下列哪个数？（    ） A．1.059 B．1.122 C．1.260 D．1.500 【答案】A 【分析】十二平均律将一个八度（整体频率比为2）平均分为12个半音，相邻音的频率比为固定值，通过计算得到该比值的近似值即可选出正确选项． 【详解】解：设相邻两个音的频率比为，一个八度内共12个相邻音级，一个八度的总频率比为 ∴，即 ∴该比值最接近． 5．若a是无理数，且，则a的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先计算和的平方，再找出被开方数介于两个平方数之间的开方开不尽的数，即可得到符合要求的无理数. 【详解】解：，， ，， 是无理数，且，即， 的值可以是（答案不唯一）. 6．如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑． (1)求梯子底端外移的距离（的长）； (2)试判断梯子底端外移的距离与顶端下滑距离的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 梯子底端B外移的距离小于顶端下滑的距离， 理由：，理由要比较与的大小， 只需比较与的大小，即比较与的大小， ∵，，且， ∴， ∴，即． 答：梯子底端B外移的距离小于顶端下滑的距离． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是利用勾股定理求水平距离，通过平方比较无理数的大小来判断长度关系． （1）先在中求，再求下滑后的长度，在中求，由得外移距离； （2）通过比较与的平方大小，推导与的大小关系． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：梯子底端外移的距离为． （2）略 知识点三实数概念理解 7．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，任意数的相反数为． 【详解】的相反数是． 8．若实数满足，则代数式的值为______． 【答案】7 【详解】解：∵， ， 将代入得． 9．若m，n为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值与平方的非负数性，实数的含义，求解代数式的值，根据非负数的性质可得，，求解，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 知识点四实数的分类 10．在实数，，，，，，，中，正有理数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ，是正整数，属于正有理数； 是正分数，属于正有理数； ，是正无限循环小数，属于正有理数； 既不是正数，也不是负数，不属于正有理数； 是负数，不属于正有理数； 是无理数，不属于正有理数； 综上，正有理数共有5个． 11．下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则_____． 【答案】9 【分析】本题主要考查了无理数，整数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用无理数，整数，非负数的定义，确定个数，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：无理数为：，得； 整数为：6，0，得； 非负数为：，，，，0，，得； ∴， 故答案为：9． 12．判断下列说法正确与否．如果不正确，请举反例说明． (1)无限小数都是无理数． (2)无限小数都是实数． (3)带根号的数都是无理数． (4)实数都是有理数． (5)实数都是无理数． 【答案】(1)不正确，反例：（无限循环小数） (2)正确 (3)不正确，反例： (4)不正确，反例： (5)不正确，反例：1 【分析】本题考查了实数、有理数、无理数和无限小数的概念．有理数包括整数和分数（无限循环小数），无理数是无限不循环小数，实数包括有理数和无理数．无限小数包括无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数）．带根号的数不一定都是无理数，有些是有理数．实数包括有理数和无理数，因此不都是有理数或不都是无理数． （1）根据无限小数和无理数的概念判断即可； （2）根据无限小数和实数的概念判断即可； （3）根据无理数的概念判断即可； （4）根据实数的概念判断即可； （5）根据实数的概念判断即可． 【详解】（1）解：∵无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，不是无理数，例如是有理数， ∴说法不正确． （2）解：∵所有无限小数都是实数，因为实数包括有理数和无理数，而无限小数要么是有理数（循环），要么是无理数（不循环）， ∴说法正确． （3）解：∵带根号的数不一定都是无理数，例如，2是有理数， ∴说法不正确． （4）解：∵实数包括有理数和无理数，例如π是无理数，也是实数，但π不是有理数， ∴说法不正确． （5）解：∵实数包括有理数和无理数，例如1是有理数，也是实数，但1不是无理数， ∴说法不正确． 知识点五实数的性质 13．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数据中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：A、，，都为小数，不是正整数，不是勾股数； B、不是正整数，不是勾股数； C、，，，不是勾股数； D、，且3，4，5均为正整数，是勾股数． 14．实数，，满足，且．下列结论：①；②与异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】③④ 【分析】先根据得到，结合绝对值性质和等式性质判断③④，再分类讨论的符号判断①②，即可得到正确结论． 【详解】解：已知，且， 因此．移项得， 两边取绝对值得，故④正确． 等式两边同时除以，得， 整理得，故③正确． 由得， 假设异号，则，可得或，则或，这与已知条件矛盾， 故假设不成立，必为同号． 又因为， 所以的符号与，的符号相反， 分两种情况讨论： 当时，，，此时，，同号； 当时，，，此时，，同号， 因此不一定成立，故①错误； ，一定同号，故②错误． 综上，正确结论的序号是③④． 15．已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，求解代数式的值，正确掌握相关定义是解题关键． 根据相反数、倒数、绝对值的性质分别得出，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 知识点六实数与数轴 16．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形面积公式求出边长，由得出长度，结合点坐标及点位置求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为，且由图可知点在点左侧， ∴点表示的数为． 17．如图，实数在数轴上的对应点可能是点________． 【答案】D 【分析】估算出，可得在2和3的对应点之间，即可求解． 【详解】解：， ，即在2和3的对应点之间， 实数在数轴上的对应点可能是D点． 18．点在数轴上所对应的实数分别为、，点也在数轴上，且为的三分之一，求B、C间的距离． 【答案】或 【分析】先计算数轴上A、B两点的距离，再分点C在点A左侧、右侧两种情况，结合与的数量关系求解B、C间的距离． 【详解】解：点A对应的实数为、点B对应的实数为， ， 为的三分之一， ． 分两种情况讨论： 当点C在点A右侧时： ， 点C在线段上， ； 当点C在点A左侧时：点C在的延长线上， ， 综上所述，B、C间的距离为或． 知识点七实数的大小比较 19．在下列4个实数中，最小的数是（     ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据负数小于0和所有正数，结合四个选项的数字判定即可得答案. 【详解】解：∵ 负数小于0和所有正数，且四个选项的数字中，只有是负数， ∴ 最小的数是，故A、B、D错误，C正确. 20．在低温实验中，甲设备的温度下限是℃，乙设备的温度下限是 ℃，比较：__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】先比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的法则，判断与的大小关系． 【详解】解：， ，即， ， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得． 21．分别写出所有符合下列各条件的数． (1)和之间的整数． (2)小于的正整数． (3)满足的x的整数值． (4)大于2且小于3的一个无理数． 【答案】(1) (2) (3) (4)（答案不唯一） 【分析】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． （1）根据无理数的估算方法得出，，即可求解； （2）根据无理数得估算得出，即可求解； （3）根据无理数得估算得出，，即可求解； （4）根据题意得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴； ∵，即， ∴和之间的整数有； （2）∵， ∴， ∴小于的正整数有； （3）∵，即， ∴； ∵，即， ∴满足的x的整数值有：； （4）∵， ∴大于2且小于3的一个无理数为：（答案不唯一）． 知识点八勾股定理与无理数 22．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出（如图），再根据数轴求出答案． 【详解】解：如图， 由勾股定理知， ． 又点在数轴的负半轴上， 的值为． 23．如图，在中，，，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是_______________． 【答案】/ 【分析】利用勾股定理求出，再根据a所在数轴上的位置即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ． 24．我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 【答案】(1) (2)如图，点表示的实数为． 构造直角如图所示，直角边落在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，，则，， 由勾股定理得， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则， ∴点表示的实数为． 【分析】（1）根据勾股定理求出，得到，即可解答； （2）以实数为圆心，半径长作弧与数轴的交点即为表示的实数为，通过构造直角三角形得到半径长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由作图，可知， ∵点与数轴原点重合， ∴点表示的实数是； （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题04 认识实数（八大题型24道题） 目录 知识点一无理数 1 知识点二无理数的大小估算 1 知识点三实数概念理解 2 知识点四实数的分类 2 知识点五实数的性质 3 知识点六实数与数轴 3 知识点七实数的大小比较 4 知识点八勾股定理与无理数 5 知识点一无理数 1．下列各数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．在实数，，π，中，无理数有_______个． 3．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ，，，，． 知识点二无理数的大小估算 4．十二平均律中，相邻两个音的频率之比是一个固定值，该比值最接近下列哪个数？（    ） A．1.059 B．1.122 C．1.260 D．1.500 5．若a是无理数，且，则a的值可以是________．（写出一个即可） 6．如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑． (1)求梯子底端外移的距离（的长）； (2)试判断梯子底端外移的距离与顶端下滑距离的大小关系，并说明理由． 知识点三实数概念理解 7．的相反数是（     ） A． B． C． D． 8．若实数满足，则代数式的值为______． 9．若m，n为实数，且，求的值． 知识点四实数的分类 10．在实数，，，，，，，中，正有理数的个数是（     ） A． B． C． D． 11．下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则_____． 12．判断下列说法正确与否．如果不正确，请举反例说明． (1)无限小数都是无理数． (2)无限小数都是实数． (3)带根号的数都是无理数． (4)实数都是有理数． (5)实数都是无理数． 知识点五实数的性质 13．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数据中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 14．实数，，满足，且．下列结论：①；②与异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 15．已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 知识点六实数与数轴 16．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 17．如图，实数在数轴上的对应点可能是点________． 18．点在数轴上所对应的实数分别为、，点也在数轴上，且为的三分之一，求B、C间的距离． 知识点七实数的大小比较 19．在下列4个实数中，最小的数是（     ） A．0 B． C． D．3 20．在低温实验中，甲设备的温度下限是℃，乙设备的温度下限是 ℃，比较：__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 21．分别写出所有符合下列各条件的数． (1)和之间的整数． (2)小于的正整数． (3)满足的x的整数值． (4)大于2且小于3的一个无理数． 知识点八勾股定理与无理数 22．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（     ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是_______________． 24．我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ； (2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹） 学科网（北京）股份有限公司 $