第2章 2.1 算术平方根 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练以算术平方根为核心，通过基础概念→性质应用→综合拓展的三层递进设计，强化定义理解与非负性应用，适配新授课知识巩固，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义、表示方法、基本性质|选择/填空题直接考查概念辨析，如求64的算术平方根，夯实抽象能力| |提升层|双重非负性、互逆关系|结合简单代数式求参数，如已知√(x-2)+√(y+3)=0求x+y，发展运算能力| |综合层|非负性综合应用|联系几何情境（如正方形面积与数轴表示）及方程求解，培养推理意识与应用能力|

2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第二章 实数 2 平方根与立方根 第1课时 算术平方根 ▌课时目标 1. 理解算术平方根的定义，能准确区分算术平方根与平方根的概念，会用√a表示非负数的算术平方根。 2. 掌握算术平方根的双重非负性（被开方数非负、算术平方根本身非负），能运用这一性质求代数式中参数的取值范围或特定值。 3. 能熟练求出完全平方数的算术平方根，理解平方运算与算术平方根运算的互逆关系，并能利用这一关系进行简单计算。 ▌课时目录 知识点01：算术平方根的定义 知识点02：算术平方根的表示方法 知识点03：算术平方根的性质 知识点04：算术平方根的双重非负性 知识点05：求一个非负数的算术平方根 知识点06：算术平方根与平方运算的互逆关系 知识点07：利用算术平方根的非负性求解参数 ▌知识点01：算术平方根的定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。这里a必须是非负数（a≥0），因为负数没有算术平方根。 例如：因为2²＝4，所以4的算术平方根是2；因为0²＝0，所以0的算术平方根是0。 1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的算术平方根为． 2．（25-26七年级下·河南信阳·期末）有理数64的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，算术平方根一定为非负数． 【详解】∵． ∴的算术平方根是． 3．（25-26七年级下·天津宝坻·期末）在实数，，，中，无理数是（     ） A．3．14 B． C． D． 【答案】D 【分析】整数、分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数，无限不循环小数是无理数，据此求解即可． 【详解】解：是有限小数，是有理数；是分数，是有理数；，是整数，是有理数；是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数． 4．（25-26八年级下·河北保定·期末）计算：______． 【答案】3 【详解】解：． ▌知识点02：算术平方根的表示方法 非负数a的算术平方根记作，读作“根号a”。其中“”叫做根号，a叫做被开方数。 例如：9的算术平方根记作，；的算术平方根记作，。 注意：是一个整体符号，不能拆分为；且仅表示a的算术平方根（非负值），不表示负的平方根。 5．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知是无理数，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数的定义和求算术平方根，判断即可得到答案． 【详解】A．当时，无意义，故本选项不符合题意． B．当时，，是有理数，故本选项不符合题意． C．当时，，是有理数，故本选项不符合题意， D．当时，是无限不循环小数，属于无理数，故本选项符合题意． 6．（23-24七年级下·四川广安·期末）如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据数值转换器的原理，输入一个数，求其算术平方根，若结果是有理数则重新输入，若结果是无理数则输出，据此逐步计算即可． 【详解】解：输入81，则， 是有理数， 重新输入，则， 是有理数， 重新输入，取算术平方根得，是无理数， 输出． 7．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 8．（25-26七年级下·山东济南·期末）的算术平方根是_________． 【答案】 【详解】解：因为， 所以的算术平方根是． ▌知识点03：算术平方根的性质 算术平方根具有如下基本性质： 1. （算术平方根本身是非负的）； 2. （）； 3. （对任意实数a成立）。 这些性质是后续根式化简和运算的基础。 9．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）在下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 10．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）在，2，，这四个实数中，无理数的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】需先化简，再判断无理数的个数． 【详解】解：， ∵，2，3均为有理数，是无理数， ∴四个数中无理数的个数为1个． 11．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）下列实数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简含根号的数，再根据无理数的定义逐一判断各选项． 【详解】解： 无理数是无限不循环小数，有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数． ∵ 是分数，是有限小数，是整数，均属于有理数， ∴ A、B、D选项不符合题意， ∵ 是无限不循环小数，属于无理数， ∴ C选项符合题意． 12．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）若，则的算术平方根为_______． 【答案】或 【分析】先根据平方根的定义求出的所有可能值，再代入计算的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， 当时，，此时的算术平方根为， 当时，，此时的算术平方根为， 综上所述，的算术平方根为或． ▌知识点04：算术平方根的双重非负性 算术平方根的双重非负性是指： 1. 被开方数（根号下的数不能为负）； 2. 算术平方根（开方结果非负）。 例如：要使有意义，需满足，即；若，则由非负性得且，解得。 双重非负性是解决含算术平方根方程和不等式的重要依据。 13．（25-26七年级下·北京海淀·期末）已知：，则____________． 【答案】 【分析】几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 14．（25-26七年级下·北京·期末）若，则_______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 15．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）若x，y为实数，且，则的值是_________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）若，则__________． 【答案】2026 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， 解得，． ∴． ▌知识点05：求一个非负数的算术平方根 求一个非负数的算术平方根，就是找它的正平方根。对于完全平方数，可直接根据平方表得出：。对于非完全平方数，可先估算范围，再根据题目要求保留近似值或用最简根式表示。例如：≈1.414，≈1.732。 17．（25-26七年级下·广东珠海·期末）在下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项是有限小数，属于有理数； B选项，是整数，属于有理数； C选项是分数，属于有理数； D选项是无限不循环小数，属于无理数. 18．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，，，，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由勾股定理求解，然后证明，再通过设未知数，结合面积法得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 过点作于点，则， 由作图可得平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则 ∵ ∴ 解得 ∴． 19．（25-26七年级下·山东德州·期末）当时，代数式的值是________． 【答案】3 【详解】解：当时，． 20．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点E所表示的数为________． 【答案】/ 【详解】解：∵面积为7的正方形的顶点A在数轴上，， ∴， ∵点A表示的数为1， ∴数轴上点E所表示的数为． ▌知识点06：算术平方根与平方运算的互逆关系 平方运算与算术平方根运算互为逆运算：已知a求a²，是平方运算；已知a²求a（），是算术平方根运算。即（），这体现了两者的互逆关系。 利用这一关系可进行验算：先求算术平方根再平方，结果应回到原数。 例如：计算，验算5²＝25，正确。注意：平方运算对全体实数都有意义，但算术平方根运算仅对被开方数非负时有意义。 21．（25-26七年级下·黑龙江双鸭山·期末）下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式错误，不符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式正确，符合题意． 22．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列四个选项中，无理数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数，根据无理数和有理数的定义，逐个判断选项． 【详解】解：A、开平方开不尽，是无限不循环小数，故是无理数； B、，是分数，属于有理数； C、是有限小数，属于有理数； D、是整数，属于有理数． 23．（25-26七年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A：，故A错误； 对选项B：，故B错误； 对选项C：，故C正确； 对选项D：∵，∴，D错误． 24．（25-26八年级下·福建泉州·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ▌知识点07：利用算术平方根的非负性求解参数 当算术平方根出现在等式中时，可利用其非负性建立方程组求解参数。常见题型： 1. 若，则且（多个非负数之和为0，则每个非负数均为0）； 2. 若，则且； 3. 若，则且，解得，。 解题关键：识别出算术平方根、绝对值、完全平方等具有非负性的代数式，利用“非负数之和为0，则各项均为0”的性质列方程。 25．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（     ） A． B．3或 C．3或 D．或 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质求出x和y的值，再分两种情况结合勾股定理计算第三边，需要考虑已知两边均为直角边，或较长边为斜边两种情况． 【详解】解：∵，，且 ∴，， 解得， 分两种情况计算第三边： (1)当，都为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得： 第三边长， (2)当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得： 第三边长， ∴此三角形第三边的边长为或． 26．（25-26八年级下·辽宁营口·期末）若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，则， 代入，得， ． 27．（25-26七年级下·云南曲靖·期中）若，则的值为（   ） A．－1 B．1 C．0 D．22025 【答案】D 【分析】算术平方根和绝对值都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴，， 即，， 解得，， 将，代入， 得：． 28．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则______． 【答案】8 【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出的取值，再求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：且， 解得， 将代入原等式，得， 即， 将代入，得． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26七年级下·江西上饶·期末）下列四个数中，是无理数的是（     ） A．2026 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，根据定义判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A选项、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B选项、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，故此选项符合题意； C选项、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； D选项、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意． 2．（25-26七年级下·广西防城港·期末）下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，判断各选项即可得到答案． 【详解】解：选项A，是整数，属于有理数； 选项B，是分数，属于有理数； 选项C，是整数，属于有理数； 选项D，是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 3．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用非负数的性质求出与的值，然后计算的值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴，且， ∴，， ∴． 4．（25-26七年级下·四川达州·期末）若实数a，b满足，且a，b恰好是等腰的两条边长，则的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由非负数性质求a，b的值，再分类讨论等腰三角形腰长，最后结合三边关系计算周长即可． 【详解】解：∵，即， ∴，， 解得，， a，b恰好是等腰的两条边长，故分两种情况讨论： ①当腰长为3时，三边长为3，3，4， ∵， ∴三角形存在，周长为， ②当腰长为4时，三边长为4，4，3， ∵， ∴三角形存在，周长为， 综上，的周长为或． 二、填空题 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）化简：________． 【答案】 【分析】先计算被开方数，再求出结果即可． 【详解】解：． 6．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）在实数、、中，无理数有________个． 【答案】2 【详解】解：，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 开立方后是无限不循环小数，属于无理数， 因此无理数共有个． 7．（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知实数满足：，则的平方根__________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求得，然后求出的值，最后求平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的平方根为． 8．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）若，则______． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出，，，再代入所求代数式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 三、解答题 9．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 10．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）计算求值 (1)已知，求x，y的值； (2)先化简：，再在（1）的条件下求值． 【答案】(1)， (2)化简结果为，值为 【分析】（1）利用算术平方根和绝对值的非负性，几个非负数的和为时，每个非负数都为，据此列方程组求解即可得到，的值； （2）运用完全平方公式和多项式乘法法则展开，合并同类项化简后，代入（1）中得到的，的值计算结果即可． 【详解】（1）解：已知 ∵ ，，且两者的和为0 ∴ 解得 （2） 将，代入得： / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学)八年级上册课时同步训川练 第二章实数 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 课时目标 理解算术平方根的定义，能准确区分算术平方根与平方根的概念，会用√表示非负 数的算术平方根。 2. 掌握算术平方根的双重非负性（被开方数非负、算术平方根本身非负），能运用这 性质求代数式中参数的取值范围或特定值。 3. 能熟练求出完全平方数的算术平方根，理解平方运算与算术平方根运算的互逆关系， 并能利用这一关系进行简单计算。 课时目逯 知识点01：算术平方根的定义 知识点02：算术平方根的表示方法 知识点03：算术平方根的性质 知识点04：算术平方根的双重非负性 118 知识点05：求一个非负数的算术平方根 知识点06：算术平方根与平方运算的互逆关系 知识点07：利用算术平方根的非负性求解参数 知识点01：算术平方根的定义 般地，如果一个正数x的平方等于a,即r=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。 这里a必须是非负数(a≥0)，因为负数没有算术平方根。 例如：因为22=4，所以4的算术平方根是2；因为02=0，所以0的算术平方根是0。 4 1.(25-26八年级上广东茂名期中)9的算术平方根是（) 2 2 2 B.3 c. D.-3 2 (25-26七年级下·河南信阳·期末)有理数64的算术平方根是() A t8 B 8 C-8 D.⑧ 7 3. (25-26七年级下天津宝坻期末)在实数3.14,6,4，V3中，无理数是（) 7 A.3.14 B. 6 C.4 D.3 4。(25:26八年级下河北保定期末)计算：V-3) 知识点02：算术平方根的表示方法 非负数a的算术平方根记作Va，,读作“根号a”。其中“√”叫做根号，a叫做被开方 数。 1 1 例如：9的算术平方根记作V5,9=3;4的算术平方根记作V4,V42。 218 注意：Va是一个整体符号，不能拆分为Va;且Va仅表示a的算术平方根（非负值）， 不表示负的平方根。 5. (25-26七年级下河北唐山期未)己知VP是无理数，则P的值可能是() A.-1 B.0 C.1 D.2 6.(23-24七年级下四川广安期末)如图是一个数值转换器的原理图，当输入x的值为81时，输出y的 值是() 输入x取算数平方根 是不是 是 无理数 输出y 不是 A.2 B.3 c v2 D.⑤ 7.(25-26七年级下陕西榆林期末)计算：4（) A. 1 B.2 C.2 D.2 81 8.(25-26七年级下山东济南期末) 16的算术平方根是 知识点03：算术平方根的性质 算术平方根具有如下基本性质： √a≥0（算术平方根本身是非负的）； (a=a(a20); √匠=4（对任意实数a成立）。 这些性质是后续根式化简和运算的基础。 9.(25-26七年级下·黑龙江绥化期末)在下列各式中正确的是() A.2=-2B.5=3 C.V22=2 D.V16=8 318 10。(25-26七年级下辽宁铁龄期末)在，2，元，V5 这四个实数中，无理数的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 11.(25-26七年级下·湖北武汉·期末)下列实数是无理数的是() A.3 B.3.1415 C.2 D.4 12.(25-26七年级下·内蒙古呼和浩特期末)若x2=361,则x+22的算术平方根为 知识点04：算术平方根的双重非负性 算术平方根的双重非负性是指： 被开方数a≥0（根号下的数不能为负）： 算术平方根Va之0（开方结果非负）。 例如：要使Vx-2有意义，需满足x-2≥0，即x≥2；若Vx-1+V少+2=0，则由非负性得 x-1=0且y+2=0,解得x=1,y=-2。 双重非负性是解决含算术平方根方程和不等式的重要依据。 13.(2526七年级下北京海淀期未)已知：V+1+少-2=0，则2x+y= 14,(25-26七年级下北京期末)若-2++3=0，则-y= 1. x+ +Vy-2= 15.(25-26七年级下辽宁铁岭期末)若x,y为实数，且2 0,则o的值是 16.(25-26七年级下湖北威宁期末)若a+b+6-4=0 则a+2030= 知识点05：求一个非负数的算术平方根 求一个非负数的算术平方根，就是找它的正平方根。对于完全平方数，可直接根据平方表 得出：V0=0,i=l,V4=2,V9=3,6=4,V25=5,V36=6,V49=7,V64=8,81=9,100=10 。对于非完全平方数，可先估算范围，再根据题目要求保留近似值或用最简根式表示。例 418 如：V2≈1.414，V3≈1.732。 17.(25-26七年级下·广东珠海·期末)在下列各数中，是无理数的是() 1 A.3.14 B.36 c.3 D,元 18.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,根据 尺规作图的痕迹作射线AG,交BC于点D,则BD的长为() B E 4 A.5 5 B.4 C.3 D.3 19.（25-26七年级下山东德州期末)当=5时，代数式V2x 的值是 20.(25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔期末)如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示 的数为1，若AD=AE,则数轴上点E所表示的数为 -3-2-10123 知识点06：算术平方根与平方运算的互逆关系 平方运算与算术平方根运算互为逆运算：已知a求，是平方运算；已知d求a(a≥0 ),是第术平方根运算。即矿=“(“≥0)，这体现了两者的互送关系 利用这一关系可进行验算：先求算术平方根再平方，结果应回到原数。 例如：计算V25=5,验算5=25，正确。注意：平方运算对全体实数都有意义，但算术平 方根运算仅对被开方数非负时有意义。 21.(25-26七年级下·黑龙江双鸭山期末)下列式子正确的是（) 518 A.±V9=3 B.√9=t3 c.V(-2y=-2 D.V16=4 22.(25-26七年级下内蒙古呼和浩特·期末)下列四个选项中，无理数是() 16 A.-√2 B.V81 C.0.3 D.1 23.(25-26七年级下河南省直辖县级单位期末)下列计算正确的是() A.V(-5)}=-5B.5=3 C.±16=±4 D.V4.9=0.7 24.(25-26八年级下福建泉州期末)计算： 2-g-2moj-4 知识点07：利用算术平方相的非负性求解参数 当算术平方根出现在等式中时，可利用其非负性建立方程组求解参数。常见题型： 若Vā+Vb=0,则a=0且b=0(多个非负数之和为0，则每个非负数均为0)； 若后+以-=0，则a=0且b=0; 若Va-3+b+2=0,则a-3=0且b+2=0,解得a=3,b=-2。 解题关键：识别出算术平方根、绝对值、完全平方等具有非负性的代数式，利用“非负数 之和为0，则各项均为0”的性质列方程。 25.(2526八年级下安徽马鞍山期未)若一直角三角形的两边长X,y满足V-1+(0y-2=0,则此三 角形第三边的边长为() B.3或5 C.3或5 D.55 或 26.(25-26八年级下辽宁营口期未)若实数，)满足-6=-6-x,K-5+y=0,则*的值为 () A.1 B.-6 C.0 27.(2526七年级下云南面骑期中)若++=0，则+)产的值为() 618 A.-1 B.1 C.0 D.22025 28,(2526八年级下山东东营期末)已知-2+V2-x+y=32,则可 课时训练 一、选择题 1.(25-26七年级下·江西上饶期末)下列四个数中，是无理数的是（) 1 A.2026 B.5 C.0 D. 2026 2.(25-26七年级下广西防城港·期末)下列各数是无理数的是() A.-2 B.3 C.0 D.5 3.(25-26七年级下云南曲靖期末)若K-2++3=0,则+y 的值为() A.1 B.-1 c.0 D.无法确定 a2-6a+9+b-4=0 4.(25-26七年级下·四川达州期末)若实数4，b满足 ,且a,b拾好是等腰△1BC 的两条边长，则△ABC的周长为() A.10 B.12 C.10或12 D.10或11 二、填空题 5.(25:26八年级下陕西西安期末)化简：V(-3列 6.(25-26七年级下·陕西榆林·期末)在实数 25元、4中，无理数有 个 7.(25,26七年级下青海西宁期中)已知实数4c满足：a-5+b+4+(c-3=0,则a+b+c的平方 根 8.(25,26七年级下照龙江牡丹江期中)若a-4+6+2+k-到=0，则c=一 三、解答题 9（25-26七年级上湖南岳阳期未)计算：（)-十7+5xV6 10.(25-26七年级下·安徽毫州期末)计算求值 718 ①已知+2+K+y+50,求，y的值： ②先化简：2x+-(-3x-刃，再在)的条件下求值. 818