周周练03 第一章特殊平行四边形单元综合检测（数学新教材北师大版九年级上册）

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形单元，以赵爽弦图、尺规作图等为情境，融合文化传承与动手操作，考查几何直观、推理能力与创新意识的45分钟周测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|菱形判定、正方形变换、菱形性质与尺规作图|第5题赵爽弦图渗透文化传承，第10题结合坐标系体现数学眼光| |填空题|6/18|菱形面积、矩形与圆综合、正方形中点计算|第15题双正方形综合考查空间观念，第16题动态最值培养推理能力| |解答题|2/22|尺规作菱形证明、中点四边形探究|17题通过小组作法对比发展推理意识，18题中点四边形猜想培养创新意识|

2026-2027学年八年级上学期数学周周测03 第一章特殊平行四边形单元综合检测 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，将一个正方形变为一个含角的菱形，则下列说法正确的是（     ） A．周长变小 B．面积变大 C．两条对角线的夹角的度数变大 D．两条对角线长度的和变小 3．如图，在菱形中，对角线，交于点．以点为圆心，以一定长为半径画圆弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，交于点，连接并延长交于点．若，，则对角线的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 6．如图，四边形和四边形分别是菱形和矩形，点，，在同一条直线上，与交于点，若，，则矩形的面积为（     ） A． B． C． D． 7．如图，是边长为的等边三角形，分别取，边的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作…照此规律作下去，则等于（     ） A． B． C． D． 8．如图，中，过点A作于M，交于E，过C作于N，交于F，连接、，则下列结论中正确的是（     ） ① ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当M、N分别是、中点时，四边形是正方形． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 9．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（     ） A．3 B．4 C．8 D． 10．小明同学利用人工智能设计了一款游戏，计算机屏幕上随机地出现一些图形，若过定点的直线与图形的边（包含顶点）有交点，则称图形被“击中”．当屏幕上出现如图所示的正方形时，点，，轴，直线 “击中”正方形，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________． 12．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________． 13．如图，四边形是矩形，点是边延长线上的一点，连接交于点，点是的中点，连接，．已知，，，则的长度为___________． 14．如图，在中，，，点在边上，点在边上，当时，正方形的顶点恰好落在边上，则正方形的面积是_____． 15．如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为_____．（保留根号） 16．如图，在中，，点在上，以为对角线的所有中，的最小值是__________． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．阅读与思考 下面是乐乐同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 希望小组的作法：如图2， ①在上截取， ②作交于点． 结论：四边形是菱形． 希望小组的证明： 四边形是平行四边形， ．即． 由作图可知：． 四边形是平行四边形． ，平行四边形是菱形．（依据） 智慧小组的作法：如图3， ①连接，作的垂直平分线分别交，，于点，点和点． ②连接，． 结论：四边形是菱形． 智慧小组的证明： 由作图可知：直线垂直平分． ，． … 任务一：请补充上面证明过程中的“依据” (1)依据：______________； 任务二： (2)请将智慧小组的证明过程补充完整； 任务三： (3)在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 18．数学活动：我们已经知道：对于任意一个四边形，连接它的四边的中点所构成的四边形是平行四边形，如图1： 活动一： (1)请你连接矩形和菱形四边的中点，猜想所构成的四边形的形状； 矩形的中点四边形的形状是：________________； 菱形的中点四边形的形状是：________________； 活动二： (2)猜想，在一个什么样的四边形中，顺次连接其各边中点，可以得到一个正方形．小明的猜想是正方形，小红说不仅仅是正方形，请你画出小红所说的四边形，并描述其特点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测03 第一章特殊平行四边形单元综合检测 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】 解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形） ∴当时，四边形是菱形． 2．如图，将一个正方形变为一个含角的菱形，则下列说法正确的是（     ） A．周长变小 B．面积变大 C．两条对角线的夹角的度数变大 D．两条对角线长度的和变小 【答案】D 【分析】设正方形的边长为a，如图，连接，，，，再分别计算正方形，菱形的周长，面积，对角线的长，再逐一判断即可． 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵将一个正方形变为一个含角的菱形， ∴前后变化边长不变，即它们的周长相等，故A错误； 如图，连接，，，， ∵四边形是正方形，四边形是菱形，且， ∴，， ∴是等边三角形，， 它们的对角线的夹角都为，故C错误， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为，两条对角线的和为， ∵正方形的面积为，两条对角线的和为，且， ∴变形后面积变小了，故B错误， ∵，且， ∴， ∴变形后两条对角线的和变小了，故D正确． 3．如图，在菱形中，对角线，交于点．以点为圆心，以一定长为半径画圆弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，交于点，连接并延长交于点．若，，则对角线的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题关键是正确作出辅助线，过点作于点，连接，通过角平分线的性质可证明，设出，通过两个直角三角形的勾股定理表示出，联立方程求出，则由菱形性质知． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， 由题目中所作线段可知平分， ， 四边形是菱形， ， ， ，， 在和中， 由，， 设，则，， 由勾股定理得， ， 且， ， 解得， ． 4．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得，，再根据平行线的性质得，然后根据入射角等于反射角可得，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 5．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直角三角形两直角边分别为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，通过证明四边形为矩形，结合矩形性质，以及全等三角形性质得出正方形的边长为，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：设 的短直角边，长直角边， 中间最小正方形的面积为 ， ，即， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 四边形为矩形， ，， 四个直角三角形全等， 结合全等三角形性质同理可得，， ， ， ，解得， 正方形的面积． 6．如图，四边形和四边形分别是菱形和矩形，点，，在同一条直线上，与交于点，若，，则矩形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形和菱形的性质得到，再证明，利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：四边形和四边形分别是菱形和矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， 矩形的面积为． 7．如图，是边长为的等边三角形，分别取，边的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作…照此规律作下去，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理、等边三角形的性质，证明四边形是菱形，可求出，进而得出的值，找出规律即可计算出的值． 【详解】解：∵点D、E是、边的中点， ∴，且，， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理求得 ， …… ， ∴. 8．如图，中，过点A作于M，交于E，过C作于N，交于F，连接、，则下列结论中正确的是（     ） ① ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当M、N分别是、中点时，四边形是正方形． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先得出，，，再利用定理即可得①正确；先得出，再得出即可得②正确；得出即可得③正确；先得出，则，再假设四边形是正方形，则，进而可得，无法得出这个结论，即④错误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，则结论①正确； ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），则结论②正确； 如图，连接， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，即， ∴平行四边形是菱形，则结论③正确； 如图，连接， ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 假设四边形是正方形，则， ∴，由已知条件无法得出这个结论， ∴假设不成立，结论④不正确； 综上，结论中正确的是①②③． 9．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（     ） A．3 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】过点E作于点P，于点Q，由正方形的性质得到，，，根据勾股定理求得，从而得到，证明四边形是正方形，得到，，，进而证得，得到，从而，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点P，于点Q， ∵正方形的边长为3， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，，， 又， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 10．小明同学利用人工智能设计了一款游戏，计算机屏幕上随机地出现一些图形，若过定点的直线与图形的边（包含顶点）有交点，则称图形被“击中”．当屏幕上出现如图所示的正方形时，点，，轴，直线 “击中”正方形，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形，点，，轴，确定，，根据直线经过点A，点C是直线击中正方形的临界点，结合一次函数的性质，求解即可； 【详解】解：根据正方形，点，，轴， 得，， 当直线 “击中”正方形的点，则， 解得； 故直线从此位置向右移动时，都能击中正方形，k的值逐渐变大； 当直线 “击中”正方形的点，则， 解得； 故直线从此位置向左移动时，都能击中正方形，k的值逐渐变小； 故k的取值范围是； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________． 【答案】 【分析】根据菱形周长求出边长，结合已知角度，利用菱形对角线互相垂直平分的性质和勾股定理求出两条对角线长度，再根据菱形面积公式计算即可. 【详解】解：菱形的周长为， 菱形的边长， 设对角线，交于点， 菱形对角线互相垂直平分，且平分内角，， ，， ， ， 由勾股定理得， ，， 菱形面积. 12．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】由题意可得，，，由勾股定理可得，从而可得，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，， 由勾股定理可得， ∵以为圆心，为半径画弧交射线于点， ∴， ∴， ∴． 13．如图，四边形是矩形，点是边延长线上的一点，连接交于点，点是的中点，连接，．已知，，，则的长度为___________． 【答案】 【分析】利用矩形的性质与勾股定理可得，设，则，由可得，利用直角三角形的性质可得，从而得到，因此，进而求出的长． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， 在中，点是的中点， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．如图，在中，，，点在边上，点在边上，当时，正方形的顶点恰好落在边上，则正方形的面积是_____． 【答案】 【分析】过点作，根据全等三角形的判定和性质得出，再由等腰三角形的判定和性质得出为等腰直角三角形，设，则，结合图形及各边之间的关系即可求解． 【详解】解：过点作，则， ， 正方形， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ，， 正方形的面积为． 15．如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为_____．（保留根号） 【答案】 【分析】连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求的长． 【详解】解：连接、，如图， 四边形和四边形都是正方形，，， ，，，， ， 在中，， 是的中点， ． 16．如图，在中，，点在上，以为对角线的所有中，的最小值是__________． 【答案】 3 【分析】根据平行四边形的性质，得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，进行求解即可. 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 要使最小，只需最小， 点是的中点，是定点，点在上， 当时，的值最小， 连接，在中，，则， ∵， ∴， 又 点是的中点， 是的中位线， ， ， ， . 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．阅读与思考 下面是乐乐同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 希望小组的作法：如图2， ①在上截取， ②作交于点． 结论：四边形是菱形． 希望小组的证明： 四边形是平行四边形， ．即． 由作图可知：． 四边形是平行四边形． ，平行四边形是菱形．（依据） 智慧小组的作法：如图3， ①连接，作的垂直平分线分别交，，于点，点和点． ②连接，． 结论：四边形是菱形． 智慧小组的证明： 由作图可知：直线垂直平分． ，． … 任务一：请补充上面证明过程中的“依据” (1)依据：______________； 任务二： (2)请将智慧小组的证明过程补充完整； 任务三： (3)在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)证明过程补充如下： 由作图可知：直线垂直平分， ，， 在等腰三角形中，， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． (3) 四边形即为所求作的菱形（答案不唯一） 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证得是菱形； （2）由作图可知，直线垂直平分，，，再利用等腰三角形和平行四边形的性质证明，则有，即可证明四边形是菱形； （3）①在，上截取，，连接，四边形即为所求作的菱形； ②过点作的角平分线，交于点，连接，在边上截取，交于点，连接，四边形即为所求作的菱形； ③过点作的角平分线，交于点，在边上截取，连接，四边形即为所求作的菱形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 18．数学活动：我们已经知道：对于任意一个四边形，连接它的四边的中点所构成的四边形是平行四边形，如图1： 活动一： (1)请你连接矩形和菱形四边的中点，猜想所构成的四边形的形状； 矩形的中点四边形的形状是：________________； 菱形的中点四边形的形状是：________________； 活动二： (2)猜想，在一个什么样的四边形中，顺次连接其各边中点，可以得到一个正方形．小明的猜想是正方形，小红说不仅仅是正方形，请你画出小红所说的四边形，并描述其特点． 【答案】(1)菱形；矩形 (2)如图，四边形中，对角线相等且互相垂直． 【分析】（1）矩形的中点四边形：顺次连接各边中点，利用三角形的中位线定理得出，同理得到，，，结合矩形的性质和菱形的判定推出四边形是菱形； 菱形的中点四边形：顺次连接各边中点，根据菱形和三角形中位线的性质，得四边形为平行四边形，且，再根据矩形的判定方法，即可得到答案； （2）根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其为平行四边形，再根据邻边互相垂直且相等，可得四边形是正方形． 【详解】（1）解：矩形的中点四边形：如图，矩形，顺次连接各边中点， 矩形， ， 在中，分别为的中点， ， 同理可得，，，， ， 四边形是菱形， 矩形各边中点构成的四边形是菱形； 菱形的中点四边形：如图，菱形，顺次连接菱形四边中点 ∵菱形 ∴ ∵、、、分别为、、、中点 ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：图略， 证明：顺次连接各边中点， 由三角形中位线定理可得，，，，， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是正方形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测03 第一章特殊平行四边形单元综合检测 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，将一个正方形变为一个含角的菱形，则下列说法正确的是（     ） A．周长变小 B．面积变大 C．两条对角线的夹角的度数变大 D．两条对角线长度的和变小 3．如图，在菱形中，对角线，交于点．以点为圆心，以一定长为半径画圆弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，交于点，连接并延长交于点．若，，则对角线的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 6．如图，四边形和四边形分别是菱形和矩形，点，，在同一条直线上，与交于点，若，，则矩形的面积为（     ） A． B． C． D． 7．如图，是边长为的等边三角形，分别取，边的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作…照此规律作下去，则等于（     ） A． B． C． D． 8．如图，中，过点A作于M，交于E，过C作于N，交于F，连接、，则下列结论中正确的是（     ） ① ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当M、N分别是、中点时，四边形是正方形． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 9．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（     ） A．3 B．4 C．8 D． 10．小明同学利用人工智能设计了一款游戏，计算机屏幕上随机地出现一些图形，若过定点的直线与图形的边（包含顶点）有交点，则称图形被“击中”．当屏幕上出现如图所示的正方形时，点，，轴，直线 “击中”正方形，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________． 12．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________． 13．如图，四边形是矩形，点是边延长线上的一点，连接交于点，点是的中点，连接，．已知，，，则的长度为___________． 14．如图，在中，，，点在边上，点在边上，当时，正方形的顶点恰好落在边上，则正方形的面积是_____． 15．如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为_____．（保留根号） 16．如图，在中，，点在上，以为对角线的所有中，的最小值是__________． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，四边形是矩形，点、分别是左侧、右侧的点，连接、、、，延长、交于点，，，求证：． 18．如图，将边长为的菱形放在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，边与轴重合，且． (1)求点的坐标； (2)求所在直线的函数表达式． 19．阅读与思考 下面是乐乐同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 希望小组的作法：如图2， ①在上截取， ②作交于点． 结论：四边形是菱形． 希望小组的证明： 四边形是平行四边形， ．即． 由作图可知：． 四边形是平行四边形． ，平行四边形是菱形．（依据） 智慧小组的作法：如图3， ①连接，作的垂直平分线分别交，，于点，点和点． ②连接，． 结论：四边形是菱形． 智慧小组的证明： 由作图可知：直线垂直平分． ，． … 任务一：请补充上面证明过程中的“依据” (1)依据：______________； 任务二： (2)请将智慧小组的证明过程补充完整； 任务三： (3)在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 20．数学活动：我们已经知道：对于任意一个四边形，连接它的四边的中点所构成的四边形是平行四边形，如图1： 活动一： (1)请你连接矩形和菱形四边的中点，猜想所构成的四边形的形状； 矩形的中点四边形的形状是：________________； 菱形的中点四边形的形状是：________________； 活动二： (2)猜想，在一个什么样的四边形中，顺次连接其各边中点，可以得到一个正方形．小明的猜想是正方形，小红说不仅仅是正方形，请你画出小红所说的四边形，并描述其特点． 21．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考： (1)请解答老师提出的问题； 实践探究： (2)勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明； 问题解决： (3)善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果． 22．【问题背景】如图1，在正方形中，P是上一点，点E在的延长线上，且，与交于点F，连接． (1)【初步认识】猜想线段和的数量关系　　　　　． (2)【深入思考】请求出的度数． (3)【延伸迁移】如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 23．在正方形中，F是边上一点，，且． (1)如图1，过点P作于点E，求证：； (2)如图2，连接交于点G，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 24．在四边形中，，，，，． (1)如图1，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动，运动到点即停止．点同时从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度做往返运动，当点返回点时停止运动，连接．设点的运动时间为． ①的长为__________； ②当四边形是矩形时，求的值； (2)如图2，点是上一动点，点是边上的一点，且，连接，，若在直线左侧存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测03 第一章特殊平行四边形单元综合检测 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】 解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形） ∴当时，四边形是菱形． 2．如图，将一个正方形变为一个含角的菱形，则下列说法正确的是（     ） A．周长变小 B．面积变大 C．两条对角线的夹角的度数变大 D．两条对角线长度的和变小 【答案】D 【分析】设正方形的边长为a，如图，连接，，，，再分别计算正方形，菱形的周长，面积，对角线的长，再逐一判断即可． 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵将一个正方形变为一个含角的菱形， ∴前后变化边长不变，即它们的周长相等，故A错误； 如图，连接，，，， ∵四边形是正方形，四边形是菱形，且， ∴，， ∴是等边三角形，， 它们的对角线的夹角都为，故C错误， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为，两条对角线的和为， ∵正方形的面积为，两条对角线的和为，且， ∴变形后面积变小了，故B错误， ∵，且， ∴， ∴变形后两条对角线的和变小了，故D正确． 3．如图，在菱形中，对角线，交于点．以点为圆心，以一定长为半径画圆弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，交于点，连接并延长交于点．若，，则对角线的长为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题关键是正确作出辅助线，过点作于点，连接，通过角平分线的性质可证明，设出，通过两个直角三角形的勾股定理表示出，联立方程求出，则由菱形性质知． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， 由题目中所作线段可知平分， ， 四边形是菱形， ， ， ，， 在和中， 由，， 设，则，， 由勾股定理得， ， 且， ， 解得， ． 4．如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据菱形的性质得，，再根据平行线的性质得，然后根据入射角等于反射角可得，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 5．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直角三角形两直角边分别为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，通过证明四边形为矩形，结合矩形性质，以及全等三角形性质得出正方形的边长为，进而即可求出正方形的面积． 【详解】解：设 的短直角边，长直角边， 中间最小正方形的面积为 ， ，即， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 四边形为矩形， ，， 四个直角三角形全等， 结合全等三角形性质同理可得，， ， ， ，解得， 正方形的面积． 6．如图，四边形和四边形分别是菱形和矩形，点，，在同一条直线上，与交于点，若，，则矩形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形和菱形的性质得到，再证明，利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：四边形和四边形分别是菱形和矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， 矩形的面积为． 7．如图，是边长为的等边三角形，分别取，边的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作…照此规律作下去，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理、等边三角形的性质，证明四边形是菱形，可求出，进而得出的值，找出规律即可计算出的值． 【详解】解：∵点D、E是、边的中点， ∴，且，， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理求得 ， …… ， ∴. 8．如图，中，过点A作于M，交于E，过C作于N，交于F，连接、，则下列结论中正确的是（     ） ① ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当M、N分别是、中点时，四边形是正方形． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先得出，，，再利用定理即可得①正确；先得出，再得出即可得②正确；得出即可得③正确；先得出，则，再假设四边形是正方形，则，进而可得，无法得出这个结论，即④错误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，则结论①正确； ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），则结论②正确； 如图，连接， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，即， ∴平行四边形是菱形，则结论③正确； 如图，连接， ∵是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 假设四边形是正方形，则， ∴，由已知条件无法得出这个结论， ∴假设不成立，结论④不正确； 综上，结论中正确的是①②③． 9．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（     ） A．3 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】过点E作于点P，于点Q，由正方形的性质得到，，，根据勾股定理求得，从而得到，证明四边形是正方形，得到，，，进而证得，得到，从而，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点P，于点Q， ∵正方形的边长为3， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，，， 又， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 10．小明同学利用人工智能设计了一款游戏，计算机屏幕上随机地出现一些图形，若过定点的直线与图形的边（包含顶点）有交点，则称图形被“击中”．当屏幕上出现如图所示的正方形时，点，，轴，直线 “击中”正方形，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形，点，，轴，确定，，根据直线经过点A，点C是直线击中正方形的临界点，结合一次函数的性质，求解即可； 【详解】解：根据正方形，点，，轴， 得，， 当直线 “击中”正方形的点，则， 解得； 故直线从此位置向右移动时，都能击中正方形，k的值逐渐变大； 当直线 “击中”正方形的点，则， 解得； 故直线从此位置向左移动时，都能击中正方形，k的值逐渐变小； 故k的取值范围是； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知菱形的周长是，，则该菱形的面积是__________． 【答案】 【分析】根据菱形周长求出边长，结合已知角度，利用菱形对角线互相垂直平分的性质和勾股定理求出两条对角线长度，再根据菱形面积公式计算即可. 【详解】解：菱形的周长为， 菱形的边长， 设对角线，交于点， 菱形对角线互相垂直平分，且平分内角，， ，， ， ， 由勾股定理得， ，， 菱形面积. 12．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】由题意可得，，，由勾股定理可得，从而可得，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，， 由勾股定理可得， ∵以为圆心，为半径画弧交射线于点， ∴， ∴， ∴． 13．如图，四边形是矩形，点是边延长线上的一点，连接交于点，点是的中点，连接，．已知，，，则的长度为___________． 【答案】 【分析】利用矩形的性质与勾股定理可得，设，则，由可得，利用直角三角形的性质可得，从而得到，因此，进而求出的长． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， 在中，点是的中点， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．如图，在中，，，点在边上，点在边上，当时，正方形的顶点恰好落在边上，则正方形的面积是_____． 【答案】 【分析】过点作，根据全等三角形的判定和性质得出，再由等腰三角形的判定和性质得出为等腰直角三角形，设，则，结合图形及各边之间的关系即可求解． 【详解】解：过点作，则， ， 正方形， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ，， 正方形的面积为． 15．如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为_____．（保留根号） 【答案】 【分析】连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求的长． 【详解】解：连接、，如图， 四边形和四边形都是正方形，，， ，，，， ， 在中，， 是的中点， ． 16．如图，在中，，点在上，以为对角线的所有中，的最小值是__________． 【答案】 3 【分析】根据平行四边形的性质，得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，进行求解即可. 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 要使最小，只需最小， 点是的中点，是定点，点在上， 当时，的值最小， 连接，在中，，则， ∵， ∴， 又 点是的中点， 是的中位线， ， ， ， . 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，四边形是矩形，点、分别是左侧、右侧的点，连接、、、，延长、交于点，，，求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】通过论证来证明结论即可. 【详解】略 18．如图，将边长为的菱形放在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，边与轴重合，且． (1)求点的坐标； (2)求所在直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形性质和勾股定理计算即可求出的坐标． （2）由（1）可知的坐标，利用菱形边长求出的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴轴，， ∴． （2）解：由（1）可知点，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得． ∴直线的解析式为． 19．阅读与思考 下面是乐乐同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 希望小组的作法：如图2， ①在上截取， ②作交于点． 结论：四边形是菱形． 希望小组的证明： 四边形是平行四边形， ．即． 由作图可知：． 四边形是平行四边形． ，平行四边形是菱形．（依据） 智慧小组的作法：如图3， ①连接，作的垂直平分线分别交，，于点，点和点． ②连接，． 结论：四边形是菱形． 智慧小组的证明： 由作图可知：直线垂直平分． ，． … 任务一：请补充上面证明过程中的“依据” (1)依据：______________； 任务二： (2)请将智慧小组的证明过程补充完整； 任务三： (3)在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)证明过程补充如下： 由作图可知：直线垂直平分， ，， 在等腰三角形中，， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． (3) 四边形即为所求作的菱形（答案不唯一） 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证得是菱形； （2）由作图可知，直线垂直平分，，，再利用等腰三角形和平行四边形的性质证明，则有，即可证明四边形是菱形； （3）①在，上截取，，连接，四边形即为所求作的菱形； ②过点作的角平分线，交于点，连接，在边上截取，交于点，连接，四边形即为所求作的菱形； ③过点作的角平分线，交于点，在边上截取，连接，四边形即为所求作的菱形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 20．数学活动：我们已经知道：对于任意一个四边形，连接它的四边的中点所构成的四边形是平行四边形，如图1： 活动一： (1)请你连接矩形和菱形四边的中点，猜想所构成的四边形的形状； 矩形的中点四边形的形状是：________________； 菱形的中点四边形的形状是：________________； 活动二： (2)猜想，在一个什么样的四边形中，顺次连接其各边中点，可以得到一个正方形．小明的猜想是正方形，小红说不仅仅是正方形，请你画出小红所说的四边形，并描述其特点． 【答案】(1)菱形；矩形 (2)如图，四边形中，对角线相等且互相垂直． 【分析】（1）矩形的中点四边形：顺次连接各边中点，利用三角形的中位线定理得出，同理得到，，，结合矩形的性质和菱形的判定推出四边形是菱形； 菱形的中点四边形：顺次连接各边中点，根据菱形和三角形中位线的性质，得四边形为平行四边形，且，再根据矩形的判定方法，即可得到答案； （2）根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其为平行四边形，再根据邻边互相垂直且相等，可得四边形是正方形． 【详解】（1）解：矩形的中点四边形：如图，矩形，顺次连接各边中点， 矩形， ， 在中，分别为的中点， ， 同理可得，，，， ， 四边形是菱形， 矩形各边中点构成的四边形是菱形； 菱形的中点四边形：如图，菱形，顺次连接菱形四边中点 ∵菱形 ∴ ∵、、、分别为、、、中点 ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：图略， 证明：顺次连接各边中点， 由三角形中位线定理可得，，，，， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是正方形． 21．综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考： (1)请解答老师提出的问题； 实践探究： (2)勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明； 问题解决： (3)善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果． 【答案】(1)，证明如下： 如图，延长，相交于点， 四边形是平行四边形， ， ，． 为的中点， ， ， ，即为的中点， 又， ∴在中，； (2)四边形为平行四边形，证明如下：如图， 由折叠可知，． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ． 四边形为平行四边形， ， 四边形为平行四边形； (3) 【分析】（1）延长，相交于点，证明，得到，然后利用直角三角形的性质证明即可； （2）由折叠的性质得到，，然后推出，得到，进而证明即可； （3）连接，首先求出，然后利用等面积法求出，利用勾股定理求出，然后利用四边形的面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， ∵四边形是矩形 ∴， ∵为的中点 ∴ ∴ 由折叠得，，即 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∴ 由（2）得， ∴ ∴ ∴四边形的面积 ． 22．【问题背景】如图1，在正方形中，P是上一点，点E在的延长线上，且，与交于点F，连接． (1)【初步认识】猜想线段和的数量关系　　　　　． (2)【深入思考】请求出的度数． (3)【延伸迁移】如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： 连接，如图， 在菱形中，， ，． 又∵， ， ，． ， ，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 又∵， 是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）由正方形的性质证明，得到，等量代换即可得到； （2）由全等三角形的性质得到，推出，然后结合等边对等角推出，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）连接，证明，得到，，同（2）得到，证明是等边三角形，得到，即可推出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得，， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ． ， ， 又， ； （3）略 23．在正方形中，F是边上一点，，且． (1)如图1，过点P作于点E，求证：； (2)如图2，连接交于点G，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵正方形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)证明：如图，连接，过点P作于点E， 由（1）得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可得证； （2）连接，过点P作于点E，根据正方形的性质证明，即可得证； （3）连接，过点G作于点M，作于点N，根据正方形的判定与性质，勾股定理，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，过点G作于点M，作于点N， 由（2）得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形；， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．在四边形中，，，，，． (1)如图1，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点运动，运动到点即停止．点同时从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度做往返运动，当点返回点时停止运动，连接．设点的运动时间为． ①的长为__________； ②当四边形是矩形时，求的值； (2)如图2，点是上一动点，点是边上的一点，且，连接，，若在直线左侧存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出的长． 【答案】(1)①13；②t的值为9或18 (2)的长为20或 【分析】（1）①由 ，，过点 作 于 ，则四边形 为矩形，可得 ，，，故 ，由勾股定理得 ． ② 四边形 中，，若为矩形，则．分点 从 向 运动和从 返回 两种情况列方程计算即可． （2）过作，得，分三种情况讨论：①为菱形对角线时，由菱形对角线垂直平分得，由勾股定理得；②为菱形边且为邻边时，；③ 为边且为邻边时，不符合题意，舍去． 【详解】（1）解：① 如图，过点 作 于 ， ，， ，且，即， 四边形为矩形， ，， 在中， ． ②由题意可得，点 从 出发，沿 运动，速度为每秒3个单位长度，， 则 从 到 用时 秒，再返回 又用 秒，总时间 秒． ， 若四边形 是矩形，则， 当点从向运动，即时， ， 由 ，可得，解得，符合题意． 当点从返回运动，即时， ， 由 得，，解得，符合题意． 综上， 或 ． （2）解：过点 作 于点 ． 四边形为矩形， ， 当为菱形的对角线时， 如图， 设的中点为， , ， 由，可知，点与点重合，即， 在中，由勾股定理： ， ， 此时点在直线左侧，符合题意． 如图，当为菱形的边，且为邻边时， ， 在中，由勾股定理： ， ， 点在线段上，即点在边上，点在直线左侧，符合题意． 如图，当为边，为邻边， 此时对应点落在直线右侧，不符合题意． 综上，的长为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $