第一章特殊平行四边形学情自测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形性质与判定，通过折叠、尺规作图、动点最值等问题设计，考查几何直观、推理能力与空间观念，适配单元复习学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|矩形折叠角度、菱形面积计算、正方形动点最值|结合图形操作情境，基础概念与空间想象结合| |填空题|6/18|矩形对角线性质、折叠后线段关系、动点路径最小值|尺规作图与性质应用结合，渗透转化思想| |解答题|8/72|菱形判定与计算、矩形折叠综合、动点面积探究|多问递进设计，综合考查推理证明与动态问题解决能力|

第一章特殊平行四边形学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF.若 ∠CDF=a,则∠EFD的度数是() A.45°+20 B.45°+0 C.901。 D.90°-a 2.如图，在菱形ABCD中，过点C作CP⊥BC,交BD于点P,若∠BAD=124°，则 ∠CPB的度数是() D A.58° B.62° C.68 D.74 3.如图，菱形ABCD的周长为40cm,∠BAC=60°，则该菱形的面积是() y D A.50cm2 B.50v3em2 C.100cm2 D.100V3cm2 4,小馨同学按如下步骤作四边形ABCD: (1)画∠MAN； (2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D: (3)分别以点B,D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C: (4)连接BC,CD,BD.若∠A=56°，则∠CBD的大小是() 试卷第1页，共3页 M B D N A.64 B.65° C.62° D.66° 5.如图，两张宽度均为 V3cm 的纸条交叉叠放在一起，交又形成的锐角为60°，则重合部 分构成的四边形ABCD的周长为() D人60° A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm 6.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是边CD的中点.若OB=5,OM=3, 则线段CD的长为() 0 M A.8 B.9 C.10 D.11 7.如图，在矩形ABCD中，AD=4,CD=6,E为CD的中点，连接AE,过点E作 EF⊥AE,交BC于点F,则CF的长为() B 试卷第2页，共3页 、 A. B C.5 D.1 8.如图，在矩形ABCD中，EF‖BC,AE=2,PF=-8,则图中阴影部分的面积为 ( D A.8 B.12 C.14 D.16 9.图中正方形A、B的边长分别为3和5，则正方形C的面积为() 5 A.8 B.16 C.34 D.64 10.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB PF⊥BC,则EF的最小值为() D 6√2 B.6 C32 D 4V2 二、填空题（每题3分，共18分） 11.按如下步骤作四边形ABCD:①画∠EAF;②以点A为圆心，1个单位长度为半径画 弧，分别交AE、AF于点B、D:③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧， 两弧交于点C;④连接BC、DC、BD.若∠A=36°，则∠BDC的度数是 试卷第3页，共3页 B D 12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,∠AOD=60°，AD=3,则 AC+BD= D 13.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使得点B落在点E处，CE交AD于点 F,若CE平分∠ACD,AF=3Cm,则EF的长为 cm. 《 14.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,P是BC边上的一点，作PE垂 直AB,PF垂直AC,垂足分别为E、F,则EF的最小值是 E 15.如图，在正方形ABCD中，CD=6,点E、F分别为BC、AB边上的动点，保持 CE=AF不变，则AE+DF的最小值为一· 试卷第4页，共3页 E 16.如图，在矩形ABCD中，AB=12,BC=9,点P是对角线AC上一个动点（点P与点 A、C不重合)，过点P作PE⊥AD于点E,过点P作PF⊥CD于点F,连接EF,则EF 的最小值为 B 三、解答题（每题9分，共72分) 17.如图，口ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E,过点E作EF∥AB交AD于点F, 连接BF交AE于点G,连接CG. F D G E C (I)求证：四边形ABEF是菱形： (2)若AB=4,AD=7,∠ABC=60°，求CG的长. 18.如图，四边形ABCD是菱形，点G在对角线AC上（不与点A,C重合）. D G B (1)求证：BG=DG: (2)若AG=DG,求证：∠DAB=∠DGC」 19.如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°，E是BC中点. 试卷第5页，共3页 D B E (1)求DE的长： (2)在直线AB上求作点F,使得∠AFE=∠AEF(要求：尺规作图，不写作法，保留作图 痕迹)· (3)在(2)的条件下求△AEF的面积 20.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，EF⊥AB于F点， OG∥EF交AB于点G, E G B ()求证：四边形OEFG是矩形： (2)若AC=8,BD=6,请直接写出矩形OEFG的面积为， 21.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边 AD AB BC CD AC=8,BD=6 EFGH 的中点.若 求四边形 的面积 H 22.如图，在oABCD中，AG⊥BC,CH⊥AD,垂足分别为G、H,E、F分别是AB、 CD的中点，连接EH、EG、FH、FG. 试卷第6页，共3页 (I)求证：EH=FG； (2)连接AC,若AB=6、AC=BC=5,则四边形EGFH的面积为 23.在平面直角坐标系中，O是原点，矩形ABCO的顶点A、C分别在x轴、y轴上，已 知B点坐标为 a,b) 且“，b满足Na-5+5-a=b-3,若点M沿线段CB从C向B以每 秒2Cm的速度运动至B,同时动点N沿线段AO从A向O以同样的速度运动，当其中一个 点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为秒，连接OM、BN. M D 图1 图2 (1)求B点坐标： (2)如图1，当t为何值时，四边形OMBN是菱形？ (3)如图2，将矩形OABC沿着AP折叠，点O的对应点D恰好落在BC边上，连接OD,求 AP.OD的值 24.如图1，在平行四边形ABCD中，AB=AD,AC=24,BD=18,AC,BD相交于 点O,且CE∥BD,BEI‖AC,连接OE. D 图 图2 (1)求AB的长： (2)求证：OE=AD； 试卷第7页，共3页 (3)如图2，设BC与OE相交于点P,连接DP,求DP的长. 试卷第8页，共3页 第一章特殊平行四边形学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和顶点重合，折痕为．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质与折叠性质，首先由求出，再由折叠性质得． 【详解】解：由矩形性质知， ， 由折叠性质知． 2．如图，在菱形中，过点作，交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质求出的度数，利用对角线平分对角求出的度数，最后在直角三角形中利用两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴ ， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，先根据菱形的性质可得，，，，，再根据勾股定理和含度角的直角三角形的性质求出和的长，然后利用菱形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵菱形的周长为， ∴，，，， ， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 4．小馨同学按如下步骤作四边形； （1）画； （2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，； （3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点； （4）连接，，．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据作图步骤判断四边形的边长关系，因为，所以四边形是菱形，利用菱形性质得到对角相等的性质，得到与的等量关系，结合等腰的角度关系推导的度数． 【详解】解：从作图过程可知：， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 5．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（     ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】先证明四边形是菱形，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：过点A分别作、， 由题意知，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 在中，， ∴， ∴， 即， 根据勾股定理得，， 即， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴四边形的周长为． 6．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先由矩形的性质证明，结合三角形中位线定理得到，，再利用勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，， 是边的中点，是矩形的对角线的中点， ，， ， ， ， ． 7．如图，在矩形中，，，为的中点，连接，过点作，交于点，则的长为（  ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 由矩形得到，根据同角的余角相等得到，从而，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：B． 8．如图，在矩形中，，，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作于点，延长交于点，得出四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质进而得出，则，即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， 即， ，， ， ． 9．图中正方形、的边长分别为和，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正方形的性质证明，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形、、均为正方形， ∴，，， 在中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的面积为． 10．如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图， 四边形是正方形， ，， ，， 四边形是矩形， ， 当时，最短， 在中，， ， ，解得（负值已舍去）， ， 则的最小值为． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______． 【答案】/72度 【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形， 则， 又∵， ． 12．如图，在矩形中，对角线、交于点，，，则______． 【答案】12 【分析】利用矩形对角线相等且平分得到，结合判定是等边三角形求出对角线长，最后相加即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 13．如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质，求出，然后根据等腰三角形的判定，求出，再根据直角三角形的性质求得，所以，，即可得到答案． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 14．如图，在中，，，，P是边上的一点，作垂直，垂直，垂足分别为E、F，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】如图，连接，先证明四边形是矩形，由矩形性质得到，当时，线段最小，即最小，在中，由勾股定理求出，再由等面积法列式求线段长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ， ∴四边形是矩形， ， 是定点、是线段上的一个动点， 当时，线段最小，即最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值是． 15．如图，在正方形中，，点、分别为、边上的动点，保持不变，则的最小值为______． 【答案】 【分析】延长至点使，连接，，可证得，于是有；又与关于轴对称，所在的直线是线段的垂直平分线，可知，，由勾股定理即可求解的最小值． 【详解】解：延长至点使，连接，，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵ ∴， ∴， ∵，， ∴与关于轴对称，所在的直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 当，，三点共线时，有最小值，最小值为． 16．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作于点E，过点P作于点F，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用勾股定理得出，证明四边形是矩形，从而得到，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， ， ， ， ． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图，中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：平行四边形， ． 又， 四边形是平行四边形． 是的平分线， ． ， ， ， ， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）先利用平行四边形的性质证明四边形是平行四边形，利用平行线的性质和角平分线的定义进一步证明，根据等角对等边得出，即可证明四边形是菱形． （2）作于点，由菱形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理得出， 由含30度直角三角形的性质得出， 由勾股定理得出，由线段的和差关系得出，最后由勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点． 四边形是菱形， ． ， ． 在中，，， ， ∴， 在中，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ， ． 18．如图，四边形是菱形，点在对角线上（不与点，重合）． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∵点在对角线上， ∴． (2)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）连接，得出垂直平分，由此即可得证； （2）先得出，再得出，进而可得，由此即可得证． 【详解】（1）略． （2）略． 19．如图，在菱形中，，，是中点． (1)求的长； (2)在直线上求作点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (3)在（2）的条件下求的面积． 【答案】(1) (2)解：点、如图所示； (3) 【分析】（1）连接，由菱形的性质可得为等边三角形，则，，再利用勾股定理求解即可； （2）以为圆心，长为半径作圆，与直线交于点、，则，由等边可得等角； （3）设到的距离为，利用的面积求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ，． ， 为等边三角形． 是中点， ，． ∴在中，． ， ， ∴在中，； （2）略 （3）解：由（2）可知，， ， 设到的距离为， ， ， ，， 即的面积为． 20．如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，于F点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，请直接写出矩形的面积为 ． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，即点是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； (2)6 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，进而得到是的中位线，推出，易证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，，利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，由矩形的性质可知，，然后利用勾股定理求出，从而求出的长，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形，， ，， ∴由勾股定理得， 是的中点， ； 由（1）可知，四边形是矩形， ，， 设，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 21．如图，在四边形中，对角线，垂足为，点，，，分别为边，，，的中点．若，求四边形的面积． 【答案】12 【分析】根据中位线定理得到，，，，可知四边形是平行四边形，根据证明四边形是矩形，即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵分别为边的中点． ，， ∴． 同理，，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积为． 22．如图，在中，，，垂足分别为、，、分别是、的中点，连接、、、． (1)求证：； (2)连接，若、，则四边形的面积为________． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明四边形是矩形，则，由E、F分别是、的中点，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接、，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，结合得到四边形为平行四边形，根据矩形得到，证明四边形为平行四边形得到，因此，从而得出是矩形，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接、， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵由（1）有 ∴四边形为平行四边形． 由（1）得四边形为矩形， ∴． ∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∴， ∴是矩形， ∴， ∴在中，， ∴． 23．在平面直角坐标系中，是原点，矩形的顶点、分别在轴、轴上，已知点坐标为，且，满足，若点沿线段从向以每秒的速度运动至，同时动点沿线段从向以同样的速度运动，当其中一个点停止时，另一个也停止运动，设运动时间为秒，连接、． (1)求点坐标； (2)如图1，当为何值时，四边形是菱形？ (3)如图2，将矩形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上，连接，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二次根式被开方数非负求出，再代入式子算出即可得到解； （2）先结合矩形性质表示、，由菱形四条边相等得，借助勾股定理列出方程求解； （3）利用折叠性质，勾股定理以及四边形面积结合等量代换求解即可． 【详解】（1）解：，满足， 且，解得且， ， ，解得， 点的坐标为； （2）解：四边形是矩形， ，， ，， ， 要使四边形是菱形，则有， ，化简得，解得， 当时，四边形是菱形； （3）解：如图，设与相交于点H． 矩形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，，即，解得， ， 矩形沿着折叠，点的对应点恰好落在边上， ， ， ， ． 24．如图1，在平行四边形中，，，，，相交于点，且，，连接． (1)求的长； (2)求证：； (3)如图2，设与相交于点，连接，求的长． 【答案】(1)15 (2)证明：， 四边形为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 四边形是菱形， ， 四边形为矩形．（一个角是直角的平行四边形是矩形）， ， ； (3) 【分析】（1）首先证明四边形是菱形，利用菱形的对角线互相垂直且平分，得到，，利用勾股定理求解即可； （2）首先证明四边形为矩形，利用菱形的性质，矩形的性质，等量代换证明即可； （3）过点D作于点H，利用菱形的面积，性质，矩形的性质，勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在平行四边形中，， 四边形是菱形， ，，，相交于点， ，，，， ． （2）略 （3）解：过点D作于点H， 根据菱形的面积，得， ， 解得， ， 四边形是菱形，四边形为矩形， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $