专项04 一元一次方程的应用：方案设计与分段计费（题型专练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，以6大题型为框架，系统提炼分段计费与方案设计的解题方法，构建从基础到综合的知识逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础分段计费|1典例+3变式|分段核算+区间判断+方程求解|生活阶梯收费场景的数学抽象| |双方案最优选择|1典例+3变式|费用表达式+临界值计算+方案决策|消费方案对比的逻辑推理| |表格信息分段计费|1典例+3变式|表格读取+临界值计算+分段方程|图表信息转化为数学模型| |整数型方案统筹|1典例+3变式|关系式枚举+整数方案筛选+最优决策|整数约束下的方案设计| |成本利润方案决策|1典例+3变式|成本/利润公式+临界值求解+区间判断|商业决策的数学表达| |分段计费易错陷阱|1典例+3变式|区间验证+列式纠错+实际取舍|解题过程的批判性思维|

专项04 一元一次方程的应用:方案设计与分段计费(题型专练) （题型突破·举一反三） 题型01 基础分段计费问题（生活阶梯收费） 题型02 双方案最优选择问题（消费方案对比） 题型03 表格信息分段计费（读取图表列方程） 题型04 整数型方案统筹设计（租车、购票、进货最优） 题型05 成本利润方案决策（商业决策临界值） 题型06 分段计费易错陷阱专练（区间判断、列式纠错） ▌题型01 基础分段计费问题（生活阶梯收费） 1. 核心规则：分段计费、分段核算，仅超出部分执行新标准，基础额度按原价收费，禁止整体统一计价。 2. 标准步骤：计算临界费用→判断用量区间→列分段方程→求解→检验区间合理性。 3. 常见场景：燃气费、水费、网约车费、会员资费、物流收费等。 【典例1】（25-26 七年级上·苏州期末）某市网约车收费标准：起步里程2千米（含2千米）收费10元；超过2千米的部分，每千米收费2元。小李某次乘车共付费22元，求本次乘车的行驶里程。 【答案】本次乘车行驶里程为8千米 【分析】付费金额超出起步价，说明行驶里程超过2千米，总费用由起步费用和超里程费用两部分组成，分段列方程求解。 【详解】 ∵2千米以内最高收费10元，22＞10 ∴行驶里程超过2千米 设行驶里程为x千米 根据题意列方程：10+2(x-2)=22 整理计算：10+2x-4=22，化简得2x=16，解得x=8。 答：本次乘车行驶里程为8千米。 【变式1-1】（25-26 七年级上·广州期末）居民燃气收费：每月用气不超过20立方米，每立方米2.4元；超过20立方米，超出部分每立方米2.8元。某用户某月缴纳燃气费62.4元，求当月用气量。 【答案】该用户当月用气量为24立方米 【详解】 ∵20×2.4=48＜62.4，用气量超过20立方米 设用气量为x立方米 列方程：48+2.8(x-20)=62.4 整理计算：48+2.8x-56=62.4，化简得2.8x=70.4，解得x=24。 答：当月用气量为24立方米。 【变式1-2】（25-26 七年级上·青岛期中）短视频会员充值：月基础费15元，含30次高清观看权限，超出次数每次0.5元。某月会员总扣费27元，求当月高清观看总次数。 【答案】当月高清观看总次数为54次 【详解】 ∵15＜27，观看次数超出免费权限 设总观看次数为x次 列方程：15+0.5(x-30)=27 整理计算：15+0.5x-15=27，化简得0.5x=27，解得x=54。 答：当月高清观看总次数为54次。 【变式1-3】（25-26 七年级上·宁波期末）阶梯水费：月用水量不超过15吨，每吨3元；超过15吨的部分，每吨4元。某用户月水费65元，求当月用水量。 【答案】该用户当月用水量为20吨 【详解】 ∵15×3=45＜65，用水量超过15吨 设用水量为x吨 列方程：45+4(x-15)=65 整理计算：45+4x-60=65，化简得4x=80，解得x=20。 答：当月用水量为20吨。 ▌题型02 双方案最优选择问题（消费方案对比） 1. 题型特征：两种不同消费优惠方案，无固定用量，需自主求解费用相等临界值。 2. 解题关键：分别列出两种方案的费用表达式，令两式相等，求出临界数量。 3. 决策方法：用量小于、等于、大于临界值，对应选出最省钱方案。 【典例2】 （25-26 七年级上·郑州期中）书店购买教辅资料，方案一：所有图书一律9折销售；方案二：办理20元会员卡，所有图书8折销售。求购买标价总和为多少元的图书时，两种方案花费相同？ 【答案】当购买图书标价总和为200元时，两种方案花费相同 【分析】方案二有固定办卡费用+折扣优惠，方案一无固定费用，通过列等式求出费用相等的临界标价。 【详解】 设图书标价总和为x元 方案一费用：0.9x 方案二费用：20+0.8x 列方程：0.9x=20+0.8x 整理计算：0.1x=20，解得x=200。 答：图书标价总和为200元时，两种方案花费相同。 【变式2-1】（25-26 七年级上·厦门期中）健身馆收费：甲方案：单次健身25元；乙方案：月卡40元，单次健身只需15元。求每月健身多少次，两种方案费用一致？ 【答案】每月健身4次时，两种方案费用一致 【详解】 设每月健身x次 列方程：25x=40+15x 整理计算：10x=40，解得x=4。 答：每月健身4次时，两种方案费用相同。 【变式2-2】（25-26 七年级上·株洲期中）文具采购两种优惠：A方案：购买笔记本一律12元/本；B方案：购买超过40本，前40本原价，超出部分每本10元。求购买多少本时，两方案费用相等？ 【答案】购买80本笔记本时，两种方案费用相等 【详解】 设购买x本（x＞40） 列方程：12x=40×12+10(x-40) 整理计算：12x=480+10x-400，化简得2x=80，解得x=80。 答：购买80本时，两方案费用相同。 【变式2-3】（25-26 七年级上·芜湖期末）婚纱租赁：方案①单日租赁180元/天；方案②办理会员，年费300元，单日租赁130元/天。求一年租赁多少天，两种方案费用相同？ 【答案】一年租赁6天时，两种租赁方案费用相同 【详解】 设一年租赁x天 列方程：180x=300+130x 整理计算：50x=300，解得x=6。 答：一年租赁6天时，两种方案费用相同。 ▌题型03 表格信息分段计费（读取图表列方程） 1. 解题核心：精准读取表格中的分段区间、对应单价、固定费用，不混淆档位。 2. 解题流程：读表→算临界值→判断档位→列分段方程→求解检验。 3. 易错点：禁止跨段混用单价，严格按照区间分段核算费用。 【典例3】 （25-26 七年级上·全国重点期中）某地居民供暖收费标准如下： 供暖面积（平方米） 单价（元/平方米） 不超过80 22 超过80的部分 24 某用户冬季供暖总费用2080元，求该用户供暖面积。 【答案】该用户供暖面积为90平方米 【分析】先计算80平方米基础供暖费用，判断总费用超出基础档位，再分段列方程求解面积。 【详解】 基础费用：80×22=1760元，2080＞1760，供暖面积超80平方米 设供暖面积为x平方米 列方程：1760+24(x-80)=2080 整理计算：1760+24x-1920=2080，化简得24x=2240，解得x=90。 答：该用户供暖面积为90平方米。 【变式3-1】（25-26 七年级上·天津期中）手机流量套餐收费：基础18元含6GB流量，超出部分每GB2元。某月缴费30元，求总使用流量。 【答案】当月总使用流量为12GB 【详解】 设总流量为xGB（x＞6） 列方程：18+2(x-6)=30 整理计算：18+2x-12=30，化简得2x=24，解得x=12。 答：总使用流量为12GB。 【变式3-2】（25-26 七年级上·重庆期中）共享电动车收费：2小时内15元，超过2小时，每小时加收3元（不足1小时按1小时算）。某人付费24元，求最长使用时长。 【答案】该用户最长使用时长为5小时 【详解】 设超出2小时的时长为x小时 列方程：15+3x=24 整理计算：3x=9，解得x=3。 总时长：2+3=5小时 答：最长使用时长为5小时。 【变式3-3】（25-26 七年级上·西安期末）同城快递收费：首重2千克12元，续重每千克2.5元。寄件付费22元，求包裹总重量。 【答案】该包裹总重量为6千克 【详解】 设续重为x千克 列方程：12+2.5x=22 整理计算：2.5x=10，解得x=4。 总重量：2+4=6千克 答：包裹总重量为6千克。 ▌题型04 整数型方案统筹设计（租车、购票、进货最优） 1. 核心特点：车辆、票数、商品数量均为非负整数，不可为小数。 2. 解题步骤：根据总数量列关系式→枚举所有可行整数方案→计算各方案费用→筛选最优省钱方案。 3. 最优原则：优先选用单人/单件成本低的方案，尽量满载，减少空位浪费。 【典例4】 （25-26 七年级上·全国统考期中）某研学基地租车收费：甲租车公司无论租车时长，统一收取固定服务费200元，另加每人5元乘车费；乙租车公司无固定服务费，每人收取乘车费9元。若全校统一租车，且总人数固定，请问一共有多少名学生时，两家租车公司收费完全相同？ 【答案】当学生人数为50名时，两家租车公司收费完全相同 【详解】 解：设一共有x名学生。 根据题意可得： 甲公司总费用：(200 + 5x) 元 乙公司总费用：9x 元 当两家收费相同时，列一元一次方程： 200 + 5x = 9x 移项得：9x - 5x = 200 合并同类项得：4x = 200 系数化为1得：x = 50 答：当有50名学生时，两家租车公司收费完全相同。 【变式4-1】（25-26 七年级上·南昌期中）展馆有两种购票优惠方案：方案A：无会员卡，每张门票30元；方案B：先花60元办理专属会员卡，每张门票只需20元。某班级参观购票，两种方案花费一样，求该班级参观人数。 【答案】该班级参观人数为6人 【详解】 解：设该班级参观人数为x人。 方案A总费用：30x 元 方案B总费用：(60 + 20x) 元 根据费用相等列一元一次方程： 30x = 60 + 20x 移项得：30x - 20x = 60 合并同类项得：10x = 60 系数化为1得：x = 6 答：该班级参观人数为6人。 【变式4-2】（25-26 七年级上·武汉期中）建材运输有两种合作方案：物流公司甲：每吨货物运输费18元，无其他费用；物流公司乙：全程基础服务费80元，每吨货物运输费14元。若某次运输两种方案费用相同，求本次运输的建材吨数。 【答案】本次运输建材吨数为20吨 【详解】 解：设本次运输建材为x吨。 甲公司总运费：18x 元 乙公司总运费：(80 + 14x) 元 根据费用相等列一元一次方程： 18x = 80 + 14x 移项得：18x - 14x = 80 合并同类项得：4x = 80 系数化为1得：x = 20 答：本次运输建材20吨时，两种方案费用相同。 【变式4-3】（25-26 七年级上·太原期末）文具店采购奖品有两种优惠：方案一：所有奖品统一9元/件；方案二：会员充值50元后，所有奖品7元/件。采购一批奖品时两种方案花费一致，求采购奖品的总件数。 【答案】采购奖品总件数为25件 【详解】 解：设采购奖品总件数为x件。 方案一总费用：9x 元 方案二总费用：(50 + 7x) 元 根据花费相同列一元一次方程： 9x = 50 + 7x 移项得：9x - 7x = 50 合并同类项得：2x = 50 系数化为1得：x = 25 答：采购25件奖品时，两种方案花费一致。 ▌题型05 成本利润方案决策（商业决策临界值） 1. 核心公式：总成本=固定成本+单件成本×数量；总利润=单件利润×销售数量。 2. 解题思路：列出两种经营方案的成本或利润式子，求相等临界值，分区间判断优劣。 3. 应用场景：进货选择、加工合作、销售分成、设备租赁决策。 【典例5】 （25-26 七年级上·全国重点压轴）零件加工有两种合作方案：甲工厂无固定费用，每件加工费6元；乙工厂收取固定服务费150元，每件加工费3.5元。求加工多少件时，两厂总费用相等？ 【答案】当加工零件数量为60件时，甲、乙两厂总加工费用相等 【详解】 设加工x件零件 列方程：6x=150+3.5x 整理计算：2.5x=150，解得x=60。 答：加工60件时，两厂总费用相等。 【变式5-1】（25-26 七年级上·海口期中）商品进货：A供货商每件40元；B供货商固定运费100元，每件36元。求进货多少件时，两家成本一致？ 【答案】当进货数量为25件时，A、B两家供货商的进货总成本一致 【详解】 解：设进货数量为x件。 根据题意可得：A供货商总进货成本为40x元； B供货商总进货成本为(100+36x)元。 令两家成本相等，列方程： 40x = 100 + 36x 移项计算：40x - 36x = 100 合并同类项：4x = 100 系数化为1：x = 25 答：当进货25件时，两家供货商进货成本一致。 【变式5-2】（25-26 七年级上·贵阳期中）销售分成方案：方案一每件盈利18元无保底；方案二每件盈利14元，保底奖励200元。求销售多少件时，两方案利润相同？ 【答案】当销售数量为50件时，两种销售分成方案利润相同 【详解】 解：设销售数量为x件。 根据题意可得：方案一总利润为18x元； 方案二总利润为(14x+200)元。 令两种方案利润相等，列方程： 18x = 14x + 200 移项计算：18x - 14x = 200 合并同类项：4x = 200 系数化为1：x = 50 答：当销售50件时，两种销售分成方案利润相同。 【变式5-3】（25-26 七年级上·长春期末）设备租赁：甲方案月租150元+每小时5元使用费；乙方案无月租，每小时8元使用费。求使用时长多少时，费用相同？ 【答案】当设备使用时长为50小时时，甲、乙两种租赁方案费用相同 【详解】 解：设设备使用时长为x小时。 根据题意可得：甲方案总费用为(150+5x)元； 乙方案总费用为8x元。 令两种方案费用相等，列方程： 150 + 5x = 8x 移项计算：8x - 5x = 150 合并同类项：3x = 150 系数化为1：x = 50 答：当设备使用时长为50小时，两种租赁方案费用相同。 ▌题型06 分段计费易错陷阱专练（区间判断、列式纠错） 1. 列式陷阱：禁止全部用量套用优惠单价，基础额度必须按原价计费。 2. 区间陷阱：解方程后必须检验解的范围，与假设区间不符则解无效。 3. 实际陷阱：计数类变量取整数，计量类变量可保留小数，灵活取舍。 【典例6】 （25-26 七年级上·南通期末）阶梯电费：月用电≤120度，0.5元/度；＞120度，超出部分0.6元/度。某同学根据电费72元，直接解得用电量120度，若电费为84元，该同学直接列方程0.6x=84，判断解题错误并改正。 【答案】该同学解题列式错误，未按照分段计费规则计算，该用户当月正确用电量为140度 【详解】 错误原因：用电量超120度时，仅超出部分按0.6元计费，基础120度仍按0.5元计费，不能整体套用高价。 基础电费：120×0.5=60元，84＞60，用电量超120度 设用电量为x度，列方程：60+0.6(x-120)=84 整理计算：60+0.6x-72=84，化简得0.6x=96，解得x=140。 答：正确用电量为140度。 【变式6-1】（25-26 七年级上·绵阳期中）阶梯水费：月用水≤12吨，2.5元/吨；超12吨部分3元/吨。某用户缴费39元，同学直接列3x=39得x=13，请判断正误并写出正确解法。 【答案】该同学解题错误，全额套用高档水费单价，不符合分段计费规则，该用户当月正确用水量为14吨 【详解】 12吨基础水费：12×2.5=30元，39＞30，用水量超12吨 正确方程：30+3(x-12)=39，解得x=14，原解法全员套用高价，列式错误。 【变式6-1】（25-26 七年级上·泰州期中）两店采购球拍：甲店一律100元/副；乙店超40副超出部分9折。同学认为“采购40副以上乙店一定更贵”，判断说法正误并说明理由。 【答案】该说法错误。 当采购数量大于40副时，乙店超出部分可享受9折优惠，整体采购费用低于甲店， 因此采购40副以上乙店更划算 【变式6-3】（25-26 七年级上·嘉兴期末）文具店钢笔销售：单次购买不超20支，18元/支；超20支部分15元/支。顾客共花费390元，同学直接列15x=390，解得x=26，请判断列式是否正确，写出完整正确解法。 【答案】该同学列式不正确，错误将全部购买数量套用优惠单价，忽略基础数量原价计费，顾客实际购买钢笔数量为22支 【详解】 错误原因：忽略前20支原价计费，全部套用优惠单价。 20支基础费用：20×18=360元，390＞360，购买数量超20支 设购买x支，列方程：360+15(x-20)=390 整理计算：360+15x-300=390， 化简得15x=330， 解得x=22。 22＞20，符合区间条件。 答：实际购买22支钢笔。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项04 一元一次方程的应用:方案设计与分段计费(题型专练) （题型突破·举一反三） ▌题型01 基础分段计费问题（生活阶梯收费） 【典例1】 【答案】本次乘车行驶里程为8千米 【分析】付费金额超出起步价，说明行驶里程超过2千米，总费用由起步费用和超里程费用两部分组成，分段列方程求解。 【详解】 ∵2千米以内最高收费10元，22＞10 ∴行驶里程超过2千米 设行驶里程为x千米 根据题意列方程：10+2(x-2)=22 整理计算：10+2x-4=22，化简得2x=16，解得x=8。 答：本次乘车行驶里程为8千米。 【变式1-1】 【答案】该用户当月用气量为24立方米 【详解】 ∵20×2.4=48＜62.4，用气量超过20立方米 设用气量为x立方米 列方程：48+2.8(x-20)=62.4 整理计算：48+2.8x-56=62.4，化简得2.8x=70.4，解得x=24。 答：当月用气量为24立方米。 【变式1-2】 【答案】当月高清观看总次数为54次 【详解】 ∵15＜27，观看次数超出免费权限 设总观看次数为x次 列方程：15+0.5(x-30)=27 整理计算：15+0.5x-15=27，化简得0.5x=27，解得x=54。 答：当月高清观看总次数为54次。 【变式1-3】 【答案】该用户当月用水量为20吨 【详解】 ∵15×3=45＜65，用水量超过15吨 设用水量为x吨 列方程：45+4(x-15)=65 整理计算：45+4x-60=65，化简得4x=80，解得x=20。 答：当月用水量为20吨。 ▌题型02 双方案最优选择问题（消费方案对比） 【典例2】 【答案】当购买图书标价总和为200元时，两种方案花费相同 【分析】方案二有固定办卡费用+折扣优惠，方案一无固定费用，通过列等式求出费用相等的临界标价。 【详解】 设图书标价总和为x元 方案一费用：0.9x 方案二费用：20+0.8x 列方程：0.9x=20+0.8x 整理计算：0.1x=20，解得x=200。 答：图书标价总和为200元时，两种方案花费相同。 【变式2-1】 【答案】每月健身4次时，两种方案费用一致 【详解】 设每月健身x次 列方程：25x=40+15x 整理计算：10x=40，解得x=4。 答：每月健身4次时，两种方案费用相同。 【变式2-2】 【答案】购买80本笔记本时，两种方案费用相等 【详解】 设购买x本（x＞40） 列方程：12x=40×12+10(x-40) 整理计算：12x=480+10x-400，化简得2x=80，解得x=80。 答：购买80本时，两方案费用相同。 【变式2-3】 【答案】一年租赁6天时，两种租赁方案费用相同 【详解】 设一年租赁x天 列方程：180x=300+130x 整理计算：50x=300，解得x=6。 答：一年租赁6天时，两种方案费用相同。 ▌题型03 表格信息分段计费（读取图表列方程） 【典例3】 （25-26 七年级上·全国重点期中）某地居民供暖收费标准如下： 供暖面积（平方米） 单价（元/平方米） 不超过80 22 超过80的部分 24 某用户冬季供暖总费用2080元，求该用户供暖面积。 【答案】该用户供暖面积为90平方米 【分析】先计算80平方米基础供暖费用，判断总费用超出基础档位，再分段列方程求解面积。 【详解】 基础费用：80×22=1760元，2080＞1760，供暖面积超80平方米 设供暖面积为x平方米 列方程：1760+24(x-80)=2080 整理计算：1760+24x-1920=2080，化简得24x=2240，解得x=90。 答：该用户供暖面积为90平方米。 【变式3-1】 【答案】当月总使用流量为12GB 【详解】 设总流量为xGB（x＞6） 列方程：18+2(x-6)=30 整理计算：18+2x-12=30，化简得2x=24，解得x=12。 答：总使用流量为12GB。 【变式3-2】 【答案】该用户最长使用时长为5小时 【详解】 设超出2小时的时长为x小时 列方程：15+3x=24 整理计算：3x=9，解得x=3。 总时长：2+3=5小时 答：最长使用时长为5小时。 【变式3-3】 【答案】该包裹总重量为6千克 【详解】 设续重为x千克 列方程：12+2.5x=22 整理计算：2.5x=10，解得x=4。 总重量：2+4=6千克 答：包裹总重量为6千克。 ▌题型04 整数型方案统筹设计（租车、购票、进货最优） 【典例4】 【答案】当学生人数为50名时，两家租车公司收费完全相同 【详解】 解：设一共有x名学生。 根据题意可得： 甲公司总费用：(200 + 5x) 元 乙公司总费用：9x 元 当两家收费相同时，列一元一次方程： 200 + 5x = 9x 移项得：9x - 5x = 200 合并同类项得：4x = 200 系数化为1得：x = 50 答：当有50名学生时，两家租车公司收费完全相同。 【变式4-1】 【答案】该班级参观人数为6人 【详解】 解：设该班级参观人数为x人。 方案A总费用：30x 元 方案B总费用：(60 + 20x) 元 根据费用相等列一元一次方程： 30x = 60 + 20x 移项得：30x - 20x = 60 合并同类项得：10x = 60 系数化为1得：x = 6 答：该班级参观人数为6人。 【变式4-2】 【答案】本次运输建材吨数为20吨 【详解】 解：设本次运输建材为x吨。 甲公司总运费：18x 元 乙公司总运费：(80 + 14x) 元 根据费用相等列一元一次方程： 18x = 80 + 14x 移项得：18x - 14x = 80 合并同类项得：4x = 80 系数化为1得：x = 20 答：本次运输建材20吨时，两种方案费用相同。 【变式4-3】 【答案】采购奖品总件数为25件 【详解】 解：设采购奖品总件数为x件。 方案一总费用：9x 元 方案二总费用：(50 + 7x) 元 根据花费相同列一元一次方程： 9x = 50 + 7x 移项得：9x - 7x = 50 合并同类项得：2x = 50 系数化为1得：x = 25 答：采购25件奖品时，两种方案花费一致。 ▌题型05 成本利润方案决策（商业决策临界值） 【典例5】 【答案】当加工零件数量为60件时，甲、乙两厂总加工费用相等 【详解】 设加工x件零件 列方程：6x=150+3.5x 整理计算：2.5x=150，解得x=60。 答：加工60件时，两厂总费用相等。 【变式5-1】 【答案】当进货数量为25件时，A、B两家供货商的进货总成本一致 【详解】 解：设进货数量为x件。 根据题意可得：A供货商总进货成本为40x元； B供货商总进货成本为(100+36x)元。 令两家成本相等，列方程： 40x = 100 + 36x 移项计算：40x - 36x = 100 合并同类项：4x = 100 系数化为1：x = 25 答：当进货25件时，两家供货商进货成本一致。 【变式5-2】 【答案】当销售数量为50件时，两种销售分成方案利润相同 【详解】 解：设销售数量为x件。 根据题意可得：方案一总利润为18x元； 方案二总利润为(14x+200)元。 令两种方案利润相等，列方程： 18x = 14x + 200 移项计算：18x - 14x = 200 合并同类项：4x = 200 系数化为1：x = 50 答：当销售50件时，两种销售分成方案利润相同。 【变式5-3】 【答案】当设备使用时长为50小时时，甲、乙两种租赁方案费用相同 【详解】 解：设设备使用时长为x小时。 根据题意可得：甲方案总费用为(150+5x)元； 乙方案总费用为8x元。 令两种方案费用相等，列方程： 150 + 5x = 8x 移项计算：8x - 5x = 150 合并同类项：3x = 150 系数化为1：x = 50 答：当设备使用时长为50小时，两种租赁方案费用相同。 ▌题型06 分段计费易错陷阱专练（区间判断、列式纠错） 【典例6】 【答案】该同学解题列式错误，未按照分段计费规则计算，该用户当月正确用电量为140度 【详解】 错误原因：用电量超120度时，仅超出部分按0.6元计费，基础120度仍按0.5元计费，不能整体套用高价。 基础电费：120×0.5=60元，84＞60，用电量超120度 设用电量为x度，列方程：60+0.6(x-120)=84 整理计算：60+0.6x-72=84，化简得0.6x=96，解得x=140。 答：正确用电量为140度。 【变式6-1】 【答案】该同学解题错误，全额套用高档水费单价，不符合分段计费规则，该用户当月正确用水量为14吨 【详解】 12吨基础水费：12×2.5=30元，39＞30，用水量超12吨 正确方程：30+3(x-12)=39，解得x=14，原解法全员套用高价，列式错误。 【变式6-1】 【答案】该说法错误。 当采购数量大于40副时，乙店超出部分可享受9折优惠，整体采购费用低于甲店， 因此采购40副以上乙店更划算 【变式6-3】 【答案】该同学列式不正确，错误将全部购买数量套用优惠单价，忽略基础数量原价计费，顾客实际购买钢笔数量为22支 【详解】 错误原因：忽略前20支原价计费，全部套用优惠单价。 20支基础费用：20×18=360元，390＞360，购买数量超20支 设购买x支，列方程：360+15(x-20)=390 整理计算：360+15x-300=390， 化简得15x=330， 解得x=22。 22＞20，符合区间条件。 答：实际购买22支钢笔。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项04 一元一次方程的应用:方案设计与分段计费(题型专练) （题型突破·举一反三） 题型01 基础分段计费问题（生活阶梯收费） 题型02 双方案最优选择问题（消费方案对比） 题型03 表格信息分段计费（读取图表列方程） 题型04 整数型方案统筹设计（租车、购票、进货最优） 题型05 成本利润方案决策（商业决策临界值） 题型06 分段计费易错陷阱专练（区间判断、列式纠错） ▌题型01 基础分段计费问题（生活阶梯收费） 1. 核心规则：分段计费、分段核算，仅超出部分执行新标准，基础额度按原价收费，禁止整体统一计价。 2. 标准步骤：计算临界费用→判断用量区间→列分段方程→求解→检验区间合理性。 3. 常见场景：燃气费、水费、网约车费、会员资费、物流收费等。 【典例1】（25-26 七年级上·苏州期末）某市网约车收费标准：起步里程2千米（含2千米）收费10元；超过2千米的部分，每千米收费2元。小李某次乘车共付费22元，求本次乘车的行驶里程。 【答案】本次乘车行驶里程为8千米 【分析】付费金额超出起步价，说明行驶里程超过2千米，总费用由起步费用和超里程费用两部分组成，分段列方程求解。 【详解】 ∵2千米以内最高收费10元，22＞10 ∴行驶里程超过2千米 设行驶里程为x千米 根据题意列方程：10+2(x-2)=22 整理计算：10+2x-4=22，化简得2x=16，解得x=8。 答：本次乘车行驶里程为8千米。 【变式1-1】（25-26 七年级上·广州期末）居民燃气收费：每月用气不超过20立方米，每立方米2.4元；超过20立方米，超出部分每立方米2.8元。某用户某月缴纳燃气费62.4元，求当月用气量。 【变式1-2】（25-26 七年级上·青岛期中）短视频会员充值：月基础费15元，含30次高清观看权限，超出次数每次0.5元。某月会员总扣费27元，求当月高清观看总次数。 【变式1-3】（25-26 七年级上·宁波期末）阶梯水费：月用水量不超过15吨，每吨3元；超过15吨的部分，每吨4元。某用户月水费65元，求当月用水量。 ▌题型02 双方案最优选择问题（消费方案对比） 1. 题型特征：两种不同消费优惠方案，无固定用量，需自主求解费用相等临界值。 2. 解题关键：分别列出两种方案的费用表达式，令两式相等，求出临界数量。 3. 决策方法：用量小于、等于、大于临界值，对应选出最省钱方案。 【典例2】 （25-26 七年级上·郑州期中）书店购买教辅资料，方案一：所有图书一律9折销售；方案二：办理20元会员卡，所有图书8折销售。求购买标价总和为多少元的图书时，两种方案花费相同？ 【答案】当购买图书标价总和为200元时，两种方案花费相同 【分析】方案二有固定办卡费用+折扣优惠，方案一无固定费用，通过列等式求出费用相等的临界标价。 【详解】 设图书标价总和为x元 方案一费用：0.9x 方案二费用：20+0.8x 列方程：0.9x=20+0.8x 整理计算：0.1x=20，解得x=200。 答：图书标价总和为200元时，两种方案花费相同。 【变式2-1】（25-26 七年级上·厦门期中）健身馆收费：甲方案：单次健身25元；乙方案：月卡40元，单次健身只需15元。求每月健身多少次，两种方案费用一致？ 【变式2-2】（25-26 七年级上·株洲期中）文具采购两种优惠：A方案：购买笔记本一律12元/本；B方案：购买超过40本，前40本原价，超出部分每本10元。求购买多少本时，两方案费用相等？ 【变式2-3】（25-26 七年级上·芜湖期末）婚纱租赁：方案①单日租赁180元/天；方案②办理会员，年费300元，单日租赁130元/天。求一年租赁多少天，两种方案费用相同？ ▌题型03 表格信息分段计费（读取图表列方程） 1. 解题核心：精准读取表格中的分段区间、对应单价、固定费用，不混淆档位。 2. 解题流程：读表→算临界值→判断档位→列分段方程→求解检验。 3. 易错点：禁止跨段混用单价，严格按照区间分段核算费用。 【典例3】 （25-26 七年级上·全国重点期中）某地居民供暖收费标准如下： 供暖面积（平方米） 单价（元/平方米） 不超过80 22 超过80的部分 24 某用户冬季供暖总费用2080元，求该用户供暖面积。 【答案】该用户供暖面积为90平方米 【分析】先计算80平方米基础供暖费用，判断总费用超出基础档位，再分段列方程求解面积。 【详解】 基础费用：80×22=1760元，2080＞1760，供暖面积超80平方米 设供暖面积为x平方米 列方程：1760+24(x-80)=2080 整理计算：1760+24x-1920=2080，化简得24x=2240，解得x=90。 答：该用户供暖面积为90平方米。 【变式3-1】（25-26 七年级上·天津期中）手机流量套餐收费：基础18元含6GB流量，超出部分每GB2元。某月缴费30元，求总使用流量。 【变式3-2】（25-26 七年级上·重庆期中）共享电动车收费：2小时内15元，超过2小时，每小时加收3元（不足1小时按1小时算）。某人付费24元，求最长使用时长。 【变式3-3】（25-26 七年级上·西安期末）同城快递收费：首重2千克12元，续重每千克2.5元。寄件付费22元，求包裹总重量。 ▌题型04 整数型方案统筹设计（租车、购票、进货最优） 1. 核心特点：车辆、票数、商品数量均为非负整数，不可为小数。 2. 解题步骤：根据总数量列关系式→枚举所有可行整数方案→计算各方案费用→筛选最优省钱方案。 3. 最优原则：优先选用单人/单件成本低的方案，尽量满载，减少空位浪费。 【典例4】 （25-26 七年级上·全国统考期中）某研学基地租车收费：甲租车公司无论租车时长，统一收取固定服务费200元，另加每人5元乘车费；乙租车公司无固定服务费，每人收取乘车费9元。若全校统一租车，且总人数固定，请问一共有多少名学生时，两家租车公司收费完全相同？ 【答案】当学生人数为50名时，两家租车公司收费完全相同 【详解】 解：设一共有x名学生。 根据题意可得： 甲公司总费用：(200 + 5x) 元 乙公司总费用：9x 元 当两家收费相同时，列一元一次方程： 200 + 5x = 9x 移项得：9x - 5x = 200 合并同类项得：4x = 200 系数化为1得：x = 50 答：当有50名学生时，两家租车公司收费完全相同。 【变式4-1】（25-26 七年级上·南昌期中）展馆有两种购票优惠方案：方案A：无会员卡，每张门票30元；方案B：先花60元办理专属会员卡，每张门票只需20元。某班级参观购票，两种方案花费一样，求该班级参观人数。 【变式4-2】（25-26 七年级上·武汉期中）建材运输有两种合作方案：物流公司甲：每吨货物运输费18元，无其他费用；物流公司乙：全程基础服务费80元，每吨货物运输费14元。若某次运输两种方案费用相同，求本次运输的建材吨数。 【变式4-3】（25-26 七年级上·太原期末）文具店采购奖品有两种优惠：方案一：所有奖品统一9元/件；方案二：会员充值50元后，所有奖品7元/件。采购一批奖品时两种方案花费一致，求采购奖品的总件数。 ▌题型05 成本利润方案决策（商业决策临界值） 1. 核心公式：总成本=固定成本+单件成本×数量；总利润=单件利润×销售数量。 2. 解题思路：列出两种经营方案的成本或利润式子，求相等临界值，分区间判断优劣。 3. 应用场景：进货选择、加工合作、销售分成、设备租赁决策。 【典例5】 （25-26 七年级上·全国重点压轴）零件加工有两种合作方案：甲工厂无固定费用，每件加工费6元；乙工厂收取固定服务费150元，每件加工费3.5元。求加工多少件时，两厂总费用相等？ 【答案】当加工零件数量为60件时，甲、乙两厂总加工费用相等 【详解】 设加工x件零件 列方程：6x=150+3.5x 整理计算：2.5x=150，解得x=60。 答：加工60件时，两厂总费用相等。 【变式5-1】（25-26 七年级上·海口期中）商品进货：A供货商每件40元；B供货商固定运费100元，每件36元。求进货多少件时，两家成本一致？ 【变式5-2】（25-26 七年级上·贵阳期中）销售分成方案：方案一每件盈利18元无保底；方案二每件盈利14元，保底奖励200元。求销售多少件时，两方案利润相同？ 【变式5-3】（25-26 七年级上·长春期末）设备租赁：甲方案月租150元+每小时5元使用费；乙方案无月租，每小时8元使用费。求使用时长多少时，费用相同？ ▌题型06 分段计费易错陷阱专练（区间判断、列式纠错） 1. 列式陷阱：禁止全部用量套用优惠单价，基础额度必须按原价计费。 2. 区间陷阱：解方程后必须检验解的范围，与假设区间不符则解无效。 3. 实际陷阱：计数类变量取整数，计量类变量可保留小数，灵活取舍。 【典例6】 （25-26 七年级上·南通期末）阶梯电费：月用电≤120度，0.5元/度；＞120度，超出部分0.6元/度。某同学根据电费72元，直接解得用电量120度，若电费为84元，该同学直接列方程0.6x=84，判断解题错误并改正。 【答案】该同学解题列式错误，未按照分段计费规则计算，该用户当月正确用电量为140度 【详解】 错误原因：用电量超120度时，仅超出部分按0.6元计费，基础120度仍按0.5元计费，不能整体套用高价。 基础电费：120×0.5=60元，84＞60，用电量超120度 设用电量为x度，列方程：60+0.6(x-120)=84 整理计算：60+0.6x-72=84，化简得0.6x=96，解得x=140。 答：正确用电量为140度。 【变式6-1】（25-26 七年级上·绵阳期中）阶梯水费：月用水≤12吨，2.5元/吨；超12吨部分3元/吨。某用户缴费39元，同学直接列3x=39得x=13，请判断正误并写出正确解法。 【变式6-1】（25-26 七年级上·泰州期中）两店采购球拍：甲店一律100元/副；乙店超40副超出部分9折。同学认为“采购40副以上乙店一定更贵”，判断说法正误并说明理由。 【变式6-3】（25-26 七年级上·嘉兴期末）文具店钢笔销售：单次购买不超20支，18元/支；超20支部分15元/支。顾客共花费390元，同学直接列15x=390，解得x=26，请判断列式是否正确，写出完整正确解法。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $