专项02 探索规律（数式规律与图形规律）（题型专练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以六大题型为框架，系统整合数式与图形规律的解题方法，通过典例与变式构建从识别到应用的完整逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字序列规律|1典例+3变式|等差/等比公式、正负交替符号规则、分数拆分法|从基础数列到符号与分数复合规律，逐步提升抽象难度| |数式运算规律|1典例+3变式|横向拆分（变与不变部分）、序号代入法|通过等式结构分析，建立数式与序号的模型关系| |图形计数规律|1典例+3变式|结果列表转化数字序列、区分总个数与增加量|实现图形直观到数字抽象的转化，培养几何直观| |图形递推规律|1典例+3变式|前几项归纳法、递推增量分析|基于操作规则推导变化逻辑，发展推理意识| |规律应用|1典例+3变式|代数式代入求值、方程验证正整数解|连接规律模型与实际问题，强化应用意识| |易错辨析|1典例+3变式|第n项验证法、符号规则辨析、正整数解判断|针对高频错误点，完善逻辑严谨性|

专项02 探索规律（数式规律与图形规律） （题型突破·举一反三） 题型 01 数字序列规律（等差、等比、正负交替） 题型 02 数式运算规律（等式、算式找规律） 题型 03 图形规律—计数类（点、线段、小正方形、火柴棒） 题型 04 图形规律—递推变化（每次按规则变形） 题型 05 规律的应用：求第 n 项、求具体项、判断某数是否存在 题型 06 规律易错辨析 ▌题型01 数字序列规律（等差、等比、正负交替） 1.等差数列：后项−前项 = 定值；第项：首项公差 2.正负交替：（第一项负）；（第一项正） 3.等比数列：后项 ÷ 前项 = 定值；第项：首项公比 4.分数规律：分子分母分开找各自的规律 【典例1】(25-26 七年级上・江苏无锡・期中) 观察一列数：，求第项的代数式。 【答案】 【分析】相邻两数差为，属于等差数列，首项，公差。 【详解】 第 1 项： 第 2 项： 第 3 项： …… 第项： 【变式1-1】 (24-25 七年级上・四川宜宾・阶段检测) 观察：，则第项是 ，第项为 。 答案】； 【分析】数字部分就是自然数，正负交替，奇数项负，偶数项正。 【详解】 第项符号由控制，数值为，即； 当，。 【变式1-2】 (25-26 七年级上・广东东莞・期中) 按规律写代数式：，第项 = 。 【答案】 【详解】 分子： 第个为 分母： 第个为 第项： 【变式1-3】 (25-26 七年级上・辽宁大连・阶段检测) 一组数：，下面表达式符合该规律的是（） A.　B.　C.　D. 【答案】 【分析】，第项。 ▌题型02 数式运算规律（等式、算式找规律） 1.横向看：等式左右两边分别找变化部分、不变部分； 2.把序号代入式子，把可变位置替换成含的代数式。 【典例1】(25-26 七年级上・山东临沂・期中) 观察等式： 写出第个等式。 【答案】 【分析】第一个数是序号；第二个数总比第一个大；右边是的平方。 【详解】 第行左边：；右边： 即： 【变式2-1】 (25-26 七年级上・辽宁铁岭・期中) 观察： 求： 。 【答案】 【详解】从开始连续个奇数相加，和等于的平方。 【变式2-2】 (25-26 七年级上・湖南岳阳・期中) 观察下面算式： 写出第个等式： 。 【答案】 【详解】 第个式子：，计算得。 【变式2-3】 (24-25 七年级上・河南三门峡・期末) 已知： 猜想 。 【答案】 ▌题型03 图形规律—计数类（点、线段、小正方形、火柴棒） 1.依次写出前 3‑4 组图形对应的计数结果； 2.把图形序号和计数结果对应列出，转化为数字序列找第项； 3.分清：总个数、增加的个数。 【典例3】(25-26 七年级上・河北石家庄・开学考试) 用火柴棒依次拼接正方形，拼接 1 个正方形需要火柴棒根；拼接 2 个相连正方形，需要火柴棒根；拼接 3 个相连正方形，需要火柴棒根； 求拼接个相连正方形需要火柴棒根数。 【答案】 【分析】；；，每多拼接 1 个正方形增加根火柴。 【详解】 ： ： ： 拼接个相连正方形需要火柴棒：。 【变式3-1】 (25-26 七年级上・河南南阳・期中) 一组点阵，第 1 组点的个数：； 第 2 组点的个数：； 第 3 组点的个数：； 第 4 组点的个数：； 第组点的个数： 。 【答案】 【变式3-2】 (25-26 七年级上・广东东莞・期中) 摆放小石子，第 1 组摆放颗；第 2 组摆放颗；第 3 组摆放颗……，求第组摆放的石子数量。 【答案】 【详解】第组石子数：；，。 【变式3-3】 (25-26 七年级上・广西贵港・单元检测) 一组图形对应的小圆圈总数，第 1 组总数：；第 2 组总数：；第 3 组总数：； 则第组图形小圆圈总数为 。 【答案】 【详解】公差为 4，首项 6；。 ▌题型04 图形规律—递推变化（每次按规则变形） 递推：后一组图形由前一组图形按固定规则变化；先写出前几项，再归纳通项。 【典例4】(25-26 七年级上・辽宁鞍山・开学考试) 一张纸片，第一次把它撕成 4 片；第二次任取其中一片，再撕成 4 片；之后每一次都只选取其中 1 片撕成 4 片。 第 1 次撕完共片，第 2 次撕完共片，求第次撕完纸片总张数。 【答案】 【分析】每撕一次，增加 3 张纸片。初始 1 张，每操作一次数量。 【详解】 ： ： ： 第次撕完纸片总数：。 【变式4-1】 (25-26 七年级上・山东泰安・期末) 观察树枝生长情况，第 1 年长出 2 个树枝；从第 2 年开始，每一个老枝每年新长出 1 个树枝。 第 1 年树枝总数量：；第 2 年树枝总数量：；第 3 年树枝总数量：；求第年树枝总数。 【答案】 【变式4-2】 (25-26 七年级上・黑龙江大庆・期末) 一组迭代变化的图案，第 1 组阴影面积为；每进行一次变化，阴影面积变为原来的。 第 1 组：，第 2 组：，第 3 组：，第 4 组：，第组图案阴影面积 = 。 【答案】 【变式4-3】 (25-26 七年级上・江苏苏州・期中) 对圆环做操作，第一次操作之后变为 5 个圆环，第二次从全部圆环里选取一个变成 5 个，操作完成后总共有 9 个；第三次操作完成后总数，求第次操作之后圆环总数。 【答案】 ▌题型05 求第n项、求具体项、判断某数是否存在 1.已知直接代入代数式求该项； 2.判断某个数是否在序列中：令代数式等于该数，解，是正整数则存在，否则不存在。 【典例5】(24-25 七年级上・宁夏吴忠・阶段检测) 一组数： ①求第 20 项；②问是不是这组数中的某一项，如果是，求是第几项。 【答案】①；②是，第项 【分析】公差 5，第项： 【详解】 第项： ①： ②令，，，是正整数，是第 21 项。 【变式5-1】 (24-25 七年级上・江西南昌・专题练习) 某组图形第组所用小棒数量：。求第 15 组图形小棒数量。 【答案】 【详解】，。 【变式5-2】 (25-26 七年级上・北京大兴・期中) 一列数第项为，问是否在数列中？若是求。 【答案】是； 【详解】，正整数，存在。 【变式5-3】 (25-26 七年级上・云南昆明・单元复习) 某类图形第组需要根火柴棒，现有根火柴，能否拼出其中某一组图形？ 【答案】能拼出第 10 组图形 【详解】令，，解得，为正整数，可以拼出第 10 组图形。 ▌题型06 规律易错辨析 1.找第项时，不要直接拿第 2、3 项直接套，务必验证是否成立； 2.正负交替：分清第一项是正还是负，选对或； 3.图形规律：区分 “增加多少” 和 “总数是多少”； 4.判断数是否属于序列，解出必须是正整数，小数、负数都不行。 【典例6】(25-26 七年级上・四川南充・阶段检测) 下面对于数列的第项说法正确的是（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【答案】 【详解】 A：得 2，得 3，错误； B：，，，正确； C 得到奇数；D 得到，不符合。 【变式6-1】 (25-26 七年级上・福建厦门・期中) 判断：数列，同学写第项是，对吗？说明理由。 【答案】正确 【详解】 ，；，，符合数列。 【变式6-2】 (25-26 七年级上・江苏常州・期中) 一组图形，第 1 组需要 5 根火柴；第 2 组需要 9 根；第 3 组需要 13 根。小明说 “每一次增加 4 根，所以第组是”，判断正误并改正。 【答案】错误；正确 【详解】代入得 4，和实际 5 矛盾；通项：。 【变式6-3】 (25-26 七年级上・吉林长春・期末) 数列第项，问是否是数列中的项？ 【答案】不是 【详解】令，不是正整数，不存在。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专项02 探索规律（数式规律与图形规律） (题型突破举一反三) 题型01数字序列规律（等差、等比、正负交替） 典例精析 【典例1】 【答案】3n-1 【分析】相邻两数差为3，属于等差数列，首项2，公差3。 【详解】 第1项：2=3×1-1 第2项：5=3×2-1 第3项：8=3×3-1 .∴.第n项：3n-1 举一反三 【变式1-1】 答案】100；（-1”.n 【分析】数字部分就是自然数，正负交替，奇数项负，偶数项正。 【详解】 第n项符号由-1)”控制，数值为n,即-1”·n 当n=100,(-1)100×100=1×100=100。 【变式12】 n 【答案】 n+1 【详解】 1/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 分子：1,2,3,4…第n个为n 分母：2,3,4,5…第n个为n+1 .第n项： n n+1 【变式1-3】 【答案】B 【分析】3=(-31，-9=(-32,27=(-33，-81=(-34，第n项(-3。 题型02数式运算规律（等式、算式找规律） 典例精析 【典例1】(25-26七年级上·山东临沂·期中) 观察等式： 1×3+1=4=22 2×4+1=9=32 3×5+1=16=42 4×6+1=25=52 写出第n个等式。 【答案】n(n+2)+1=(n+1)2 【分析】第一个数是序号n:第二个数总比第一个大2：右边是（序号+1）的平方。 【详解】 第n行左边：n(n+2)+1:右边：(n+1)2 即：n(n+2)+1=(n+12 举-反 【变式21】 【答案】n2 【详解】从1开始连续n个奇数相加，和等于n的平方。 2/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式22】 【答案】(n+12-n2=2n+1 【详解】 第n个式子：(n+12-n2,计算得(n2+2n+1)-n2=2n+1。 【变式2-3】 【答案】 1-1 nn+1 题型03图形规律一计数类（点、线段、小正方形、火柴棒） 典例精析 【典例3】 【答案】3n+1 【分析】n=1→4；n=2→7；n=3→10，每多拼接1个正方形增加3根火柴。 【详解】 n=1:3×1+1=4 n=2:3×2+1=7 n=3:3×3+1=10 ∴.拼接n个相连正方形需要火柴棒：3n+1。 举一反三 【变式3-1】 【答案】n2 【变式32】 【答案】30 【详解】第n组石子数：3n:n=10,3×10=30。 3/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式33】 【答案】4n+2 【详解】公差为4，首项6；4(n-1)+6=4n+2。 题型04图形规律一递推变化（每次按规则变形） 典例精析 【典例4】 【答案】3n+1 【分析】每撕一次，增加3张纸片。初始1张，每操作一次数量+3。 【详解】 n=1:4=3×1+1 n=2:7=3×2+1 n=3:10=3×3+1 第n次撕完纸片总数：3n+1。 三举一反三 【变式41】 【答案】2” 【变式42】 【答案】 【变式43】 【答案】4n+1 4/7 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型05求第n项、求具体项、判断某数是否存在 典例精析 【典例5】 【答案】①102：②是，第21项 【分析】公差5，第n项：5n+2 【详解】 第n项：7+(n-1)×5=5n+2 ①n=20:5×20+2=102 ②令5n+2=107,5n=105,n=21,n是正整数，是第21项。 举一反三 【变式51】 【答案】59 【详解】n=15,4×15-1=59。 【变式52】 【答案】是；n=25 【详解】2n-5=45→2n=50→n=25,正整数，存在。 【变式53】 5/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】能拼出第10组图形 【详解】令5n-2=48,5n=50,解得n=10,n为正整数，可以拼出第10组图形。 题型06规律易错辨析 典例精析 【典例6】 【答案】B 【详解】 A:n=1得2，n=2得3，错误： B:n=1→2，n=2→4，n=3→6，正确： C得到奇数；D得到2,4,8,16，不符合。 举一反三 【变式6-1】 【答案】正确 【详解】 n=1,（-1.2×1=-2:n=2,（-12.4=4,符合数列。 【变式62】 【答案】错误；正确4n+1 【详解】n=1代入4n得4，和实际5矛盾：通项：5+(n-1)×4=4n+1。 6/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式63】 【答案】不是 1 【详解】令3n-1=10→3n=11→n= 3,不是正整数，不存在。 7/7 专项02 探索规律（数式规律与图形规律） （题型突破·举一反三） 题型 01 数字序列规律（等差、等比、正负交替） 题型 02 数式运算规律（等式、算式找规律） 题型 03 图形规律—计数类（点、线段、小正方形、火柴棒） 题型 04 图形规律—递推变化（每次按规则变形） 题型 05 规律的应用：求第 n 项、求具体项、判断某数是否存在 题型 06 规律易错辨析 ▌题型01 数字序列规律（等差、等比、正负交替） 1.等差数列：后项−前项 = 定值；第项：首项公差 2.正负交替：（第一项负）；（第一项正） 3.等比数列：后项 ÷ 前项 = 定值；第项：首项公比 4.分数规律：分子分母分开找各自的规律 【典例1】(25-26 七年级上・江苏无锡・期中) 观察一列数：，求第项的代数式。 【答案】 【分析】相邻两数差为，属于等差数列，首项，公差。 【详解】 第 1 项： 第 2 项： 第 3 项： …… 第项： 【变式1-1】 (24-25 七年级上・四川宜宾・阶段检测) 观察：，则第项是 ，第项为 。 【变式1-2】 (25-26 七年级上・广东东莞・期中) 按规律写代数式：，第项 = 。 【变式1-3】 (25-26 七年级上・辽宁大连・阶段检测) 一组数：，下面表达式符合该规律的是（） A.　B.　C.　D. ▌题型02 数式运算规律（等式、算式找规律） 1.横向看：等式左右两边分别找变化部分、不变部分； 2.把序号代入式子，把可变位置替换成含的代数式。 【典例1】(25-26 七年级上・山东临沂・期中) 观察等式： 写出第个等式。 【答案】 【分析】第一个数是序号；第二个数总比第一个大；右边是的平方。 【详解】 第行左边：；右边： 即： 【变式2-1】 (25-26 七年级上・辽宁铁岭・期中) 观察： 求： 。 【变式2-2】 (25-26 七年级上・湖南岳阳・期中) 观察下面算式： 写出第个等式： 。 【变式2-3】 (24-25 七年级上・河南三门峡・期末) 已知： 猜想 。 ▌题型03 图形规律—计数类（点、线段、小正方形、火柴棒） 1.依次写出前 3‑4 组图形对应的计数结果； 2.把图形序号和计数结果对应列出，转化为数字序列找第项； 3.分清：总个数、增加的个数。 【典例3】(25-26 七年级上・河北石家庄・开学考试) 用火柴棒依次拼接正方形，拼接 1 个正方形需要火柴棒根；拼接 2 个相连正方形，需要火柴棒根；拼接 3 个相连正方形，需要火柴棒根； 求拼接个相连正方形需要火柴棒根数。 【答案】 【分析】；；，每多拼接 1 个正方形增加根火柴。 【详解】 ： ： ： 拼接个相连正方形需要火柴棒：。 【变式3-1】 (25-26 七年级上・河南南阳・期中) 一组点阵，第 1 组点的个数：； 第 2 组点的个数：； 第 3 组点的个数：； 第 4 组点的个数：； 第组点的个数： 。 【变式3-2】 (25-26 七年级上・广东东莞・期中) 摆放小石子，第 1 组摆放颗；第 2 组摆放颗；第 3 组摆放颗……，求第组摆放的石子数量。 【变式3-3】 (25-26 七年级上・广西贵港・单元检测) 一组图形对应的小圆圈总数，第 1 组总数：；第 2 组总数：；第 3 组总数：； 则第组图形小圆圈总数为 。 ▌题型04 图形规律—递推变化（每次按规则变形） 递推：后一组图形由前一组图形按固定规则变化；先写出前几项，再归纳通项。 【典例4】(25-26 七年级上・辽宁鞍山・开学考试) 一张纸片，第一次把它撕成 4 片；第二次任取其中一片，再撕成 4 片；之后每一次都只选取其中 1 片撕成 4 片。 第 1 次撕完共片，第 2 次撕完共片，求第次撕完纸片总张数。 【答案】 【分析】每撕一次，增加 3 张纸片。初始 1 张，每操作一次数量。 【详解】 ： ： ： 第次撕完纸片总数：。 【变式4-1】 (25-26 七年级上・山东泰安・期末) 观察树枝生长情况，第 1 年长出 2 个树枝；从第 2 年开始，每一个老枝每年新长出 1 个树枝。 第 1 年树枝总数量：；第 2 年树枝总数量：；第 3 年树枝总数量：；求第年树枝总数。 【变式4-2】 (25-26 七年级上・黑龙江大庆・期末) 一组迭代变化的图案，第 1 组阴影面积为；每进行一次变化，阴影面积变为原来的。 第 1 组：，第 2 组：，第 3 组：，第 4 组：，第组图案阴影面积 = 。 【变式4-3】 (25-26 七年级上・江苏苏州・期中) 对圆环做操作，第一次操作之后变为 5 个圆环，第二次从全部圆环里选取一个变成 5 个，操作完成后总共有 9 个；第三次操作完成后总数，求第次操作之后圆环总数。 ▌题型05 求第n项、求具体项、判断某数是否存在 1.已知直接代入代数式求该项； 2.判断某个数是否在序列中：令代数式等于该数，解，是正整数则存在，否则不存在。 【典例5】(24-25 七年级上・宁夏吴忠・阶段检测) 一组数： ①求第 20 项；②问是不是这组数中的某一项，如果是，求是第几项。 【答案】①；②是，第项 【分析】公差 5，第项： 【详解】 第项： ①： ②令，，，是正整数，是第 21 项。 【变式5-1】 (24-25 七年级上・江西南昌・专题练习) 某组图形第组所用小棒数量：。求第 15 组图形小棒数量。 【变式5-2】 (25-26 七年级上・北京大兴・期中) 一列数第项为，问是否在数列中？若是求。 【变式5-3】 (25-26 七年级上・云南昆明・单元复习) 某类图形第组需要根火柴棒，现有根火柴，能否拼出其中某一组图形？ ▌题型06 规律易错辨析 1.找第项时，不要直接拿第 2、3 项直接套，务必验证是否成立； 2.正负交替：分清第一项是正还是负，选对或； 3.图形规律：区分 “增加多少” 和 “总数是多少”； 4.判断数是否属于序列，解出必须是正整数，小数、负数都不行。 【典例6】(25-26 七年级上・四川南充・阶段检测) 下面对于数列的第项说法正确的是（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【答案】 【详解】 A：得 2，得 3，错误； B：，，，正确； C 得到奇数；D 得到，不符合。 【变式6-1】 (25-26 七年级上・福建厦门・期中) 判断：数列，同学写第项是，对吗？说明理由。 【变式6-2】 (25-26 七年级上・江苏常州・期中) 一组图形，第 1 组需要 5 根火柴；第 2 组需要 9 根；第 3 组需要 13 根。小明说 “每一次增加 4 根，所以第组是”，判断正误并改正。 【变式6-3】 (25-26 七年级上・吉林长春・期末) 数列第项，问是否是数列中的项？ 1 / 2 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