3.3 探索与表达规律 课前预习2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦“探索与表达规律”，通过数字与图形规律的分层训练，系统提炼观察归纳法，构建从具体实例到代数式表达的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字类规律|11题（含《周髀算经》等情境）|观察序列符号与绝对值变化，归纳通项公式|从具体数字序列到抽象代数式，体现数感与符号意识| |图形类规律|7题（含八边形、“山”字等图形）|分析图形元素数量变化，推导递推关系|从图形直观到数量规律，发展几何直观与空间观念|

3.3 探索与表达规律 课前预习2026-2027学年北师大版 七年级数学上册 一、单选题 1．观察下列图形中的数字排列规律，在第10个图中，的值为（   ） A．103 B．109 C．111 D．132 2．有一组数：6，11，16，21，26，…．用代数式表示其中的第n个数应是（   ） A． B． C． D． 3．某校园餐厅把密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是（    ） A． B． C． D． 4．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？（    ） A．45尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺 5．如图所示，将相同大小的实心圆点按照一定规律摆放，其中第①个图形有3个圆点，第②个图形有6个圆点，第③个图形有10个圆点，．．．．．．，按此规律，第⑦个图形中的圆点数量是（   ） A．27 B．28 C．35 D．36 6．如图，一电子跳蚤在数轴的点P0处，第一次向右跳1个单位长度到点P1处，第二次向左跳2个单位长度到点P2处，第三次向右跳3个单位长度到点P3处，第四次向左跳4个单位长度到点P4处，以此类推，当跳蚤第十次恰好跳到数轴原点，则点P0在数轴上表示的数为（    ） A．﹣5 B．0 C．5 D．10 7．在《设计自己的运算程序》课上，老师设计了如下运算程序：任意写下一个四位数（四位数字相同的除外）．重新排列各位数字，使其组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，然后用最大的数减去最小的数，得到它们的差．重复这个过程．小星写了一个四位数是1752，按照以上程序进行运算，则第100次得到的两个数的差为（     ） A．6264 B．4176 C．1467 D．6174 8．如图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形被涂黑，依此规律，第100个图案中被涂黑的小正方形个数为（   ） A．500 B．499 C．400 D．401 二、填空题 9．“三天打鱼，两天晒网”，是古代渔民的耕作规律，那么第天渔民在_______． 10．按数字规律填空： 2，， 6，，10，_____，14， …． 11．观察下列等式： 猜想： ______ 12．（图形找规律）小明用小棒摆八边形，如图所示，摆n个八边形要用__________根小棒． 13．下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图1中有5个棋子，图2中有10个棋子，图3中有16个棋子，…，则图8中有________个棋子． 三、解答题 14．观察下列各式：……； (1)猜想它的规律，用含n的代数式表示出来 (2)用你得到的规律，计算：，并求出当时代数式的值； 15．在综合与实践课上，小颖和同学们在平整的桌面上用大小形状完全相同的若干个小正方体搭建成如图所示的几何体．在这个活动过程中，他们发现并提出了一些数学问题，请帮他们解答． (1)请在方格纸中画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图； (2)按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共有 个． 16．如图是用足够多的棋子摆成一列具有一定规律的“山”字． (1)摆第一个图形用了________枚棋子，摆第二个图形用了________枚棋子，摆第三个图形用了________枚棋子． (2)按照这种方式摆下去，摆第个图形需要用的棋子的枚数为________． (3)是否存在第个“山”字，使棋子的个数为枚？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．数学课上，李老师让大家比较“”与“”的大小，部分同学根据计算的结果判断出它们相等．爱较真的轩轩陷入沉思，忽然激动地说：我能通过推理说明两个式子相等．她边说边写（如下图左边方框内）． 听了轩轩的想法，大家眼前一亮，不禁跃跃欲试．李老师接着出示了“”，让大家推算会等于哪个乘法算式．请你填一填，写一写． (1) ． (2)请在图中右边方框中写出推算的过程． (3)你能照样子再写一个这样的等式吗？ 18．用火柴棒按下图中的方式搭图形． （1）按图示规律填空： 图形符号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 （2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要 根火柴棒？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B B D C D D 1．【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据数字规律可得，右边的数减去下边的数等于左边的数，而左边的数的绝对值为从1开始的连续的整数，右边的数为从2开始的连续的数的平方，据此即可求解． 【详解】解：第1个图，，； 第2个图中，， 第3个图中，， ， 在第10个图中，，， ∴ 故选：C． 2．【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】观察数字与数字之间的规律进行推导求解即可． 【详解】解：∵第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； 第5个数：； …； ∴第n个数：． 3．【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字变化的规律，能根据所给图形，发现等式左右两边之间的关系是解题的关键；根据所给图形，发现后面密码与前面表达式之间的关系即可解决问题. 【详解】解：由题知， ∵，，， ∵，，；，，；，，， ∴按此规则，，， ∴. 故选：B． 4．【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：B． 5．【答案】D 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形类规律探究．观察可知，图形中点的个数为从1开始的连续的整数的和，进行求解即可． 【详解】解：第①个图形有个圆点； 第②个图形有个圆点； 第③个图形有个圆点； 依次类推： 第⑦个图形中有个圆点； 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】设P0所表示的数是x，根据题意归纳出Pn所表示的数是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n，在根据P10＝0即可求解． 【详解】解：设P0所表示的数是x， 由题意知，P1所表示的数是x+1， P2所表示的数是x+1﹣2， P3所表示的数是x+1﹣2+3， ...， Pn所表示的数是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n， ∴P10所表示的数的是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）10﹣1×10， ∵P10＝0，即x+1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9﹣10＝0， ∴x+（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+...+（9﹣10）＝0， 即x﹣5＝0， 解得x＝5， 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，根据题意总结归纳出数字间的联系，得出规律是解题的关键． 7．【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据题意，按照运算程序依次计算前几次的差，找出运算规律，即可得到第100次运算的结果． 【详解】解： 原四位数为， 第一次运算：排列得到最大数，最小数，差为； 第二次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差为； 第三次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差为； 第四次运算：对差，排列得到最大数，最小数，差仍为； 从第三次开始，每次运算得到的差都是； 因此第次得到的差为． 8．【答案】D 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律． 根据图形的变化发现规律：第个图案中涂有阴影的小正方形个数为，进而求得第个图案中涂有阴影的小正方形个数． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第1个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； 第2个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； 第3个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； 发现规律： 第n个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； ∴第100个图案中涂有阴影的小正方形个数为：； 故选：D． 9．【答案】打鱼 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由题意可知天一个循环，据此解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴第天渔民在打鱼， 故答案为：打鱼． 10．【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】观察序列的符号和绝对值，发现符号交替变化，绝对值是连续的偶数． 本题考查了规律的探索，正确发现规律是解题的关键． 【详解】解： 序列的绝对值为2，4，6，8，10，12，14，即第n项的绝对值为； 符号由n的奇偶性决定，n为奇数时为正，n为偶数时为负； 第6项，此时，绝对值为12，符号为负， 故为； 故答案为：． 11．【答案】55 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，由所给的等式可得出第n个等式为：，再将代入计算即可得解． 【详解】解：∵， … ∴第n个等式为：， ∴ ． 故答案为：55． 12．【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】观察图形，每增加1个八边形就增加7根小棒，据此规律解答即可． 【详解】解：摆n个八边形要用根小棒． 13．【答案】61 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化规律，解决本题的关键是通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况.根据题意得出第个图形中棋子数为，据此可得． 【详解】解：图1中棋子有（个）， 图2中棋子有（个）， 图3中棋子有（个）， ……， 一般地，第个图形中棋子数为， 图8中棋子有（个）． 故答案为：61． 14．【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查探索与表达规律，通过观察，归纳，找规律是解题的关键． （1）根据观察，归纳，即可得到答案； （2）利用第（1）题的规律，把每项都进行裂项，再求和，即可求解． 【详解】（1）由；；；…， 可得：； （2）当时， = ． 15．【答案】(1) 根据题意可得， (2)55 【知识点】图形类规律探索、从不同方向看几何体 【分析】此题考查了从不同方向看几何体、图形的规律类问题，正确画图和找到规律是关键． （1）根据从不同方向看到的形状作图即可； （2）找到规律进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）根据题意可得， 第1层小正方体的个数为1个， 第2层小正方体的个数为个， 第3层小正方体的个数为个， 第4层小正方体的个数为个， …… 按照此种搭建方式继续往下搭建，当搭建到第10层时，该层小正方体的个数共（个） 故答案为： 16．【答案】(1)7；12；17 (2) (3) 不存在，理由：假设存在第个“山”字使棋子个数为368枚， 则，解得， ∵为正整数，而73.2不是正整数， ∴不存在这样的第个“山”字． 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查图形规律探究，通过观察图形棋子数的变化，得到第个图形需要用的棋子的枚数，再利用规律解决问题． （1）直接数出每个图形的棋子数； （2）观察棋子数的变化规律，用含的代数式表示； （3）假设存在，得到方程，解方程，判断解是否为正整数． 【详解】（1）解：数第一个图形的棋子数为7枚，第二个图形为12枚，第三个图形为17枚． 故答案为：7；12；17； （2）解：观察可知，后一个图形比前一个图形多5枚棋子， 第一个图形用了7枚，即，第二个图形用了12枚，即， 第三个图形用了17枚，即， 故摆第个图形需要用的棋子枚数为； 故答案为：； （3）略 17．【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，解题关键是利用因式分解进行化简证明． （1）将进行化简即可； （2）按左边方框写出推算过程； （3）将9的个数从1个2个类比到3个等即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：，； （2） ； （3） ． 18．【答案】（1）4；6；8；10；12；（2）（2+2n） 【知识点】图形类规律探索 【分析】（1）由图形发现，后面的图形都比前面相邻的图形多2根火柴棒，由此计算得出答案即可； （2）利用表中的规律得出一般的规律即可． 【详解】解：（1）填表如下： 图形符号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 4 6 8 10 12 （2）搭第n个图形需要（2n+2）根火柴． 故答案为：（2n+2） 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，进一步利用规律解决问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $