2.1等式性质与不等式性质（第2课时）（导学案）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦等式与不等式性质第2课时，引导学生梳理等式性质、掌握不等式八大性质及作差比较法，通过回忆等式性质类比探究不等式性质，搭建从已知到未知的学习支架。 以问题驱动探究，设置概念填空、辨析及证明、判断、求范围等分层题型，结合知识点拨强调易错点，培养逻辑推理与数学运算核心素养，融入平流层高度等现实情境，助力学生严谨变形与自主学习能力提升。

2.1 等式性质与不等式性质（第2课时）（导学案） 1、梳理等式的基本性质，掌握不等式的八大基本性质，能利用不等式性质比较代数式大小、进行简单变形，培育数学运算核心素养。 2、通过类比等式性质探究不等式性质，学会作差比较法判断两式大小，体会类比推理、转化化归的数学思想，提升逻辑推理能力。 3、感受等式与不等式知识的内在关联，体会数学知识的系统性，养成严谨规范的代数变形习惯，体会不等关系在现实生活中的广泛应用。 重点：理解等式与不等式的基本性质，熟练运用不等式性质进行变形，会用作差比较法比较两个代数式的大小。 难点：运用不等式性质时易忽视条件，多步变形出错，灵活利用作差法处理含参数代数式大小比较问题。 阅读教材，完成以下问题： 【1】概念填空 1．不等式的性质： 性质1  对称性：______； 性质2  传递性：，______； 性质3  可加性：； 性质4  可乘性：，______，，______； 性质5  同向可加性：，______； 性质6  同向同正可乘性：，______； 性质7  同正可乘方性：（，）。 2．含有绝对值的不等式基本性质 （1）若___________ ; （2）若____________; （3） 【2】概念的巩固 判断正误。 （1）若，则一定成立．( ) （2）若，则．( ) （3）若，则．( ) 问题1：你能回忆起等式的基本性质并归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 探究一、不等式的性质 问题2：从形的角度我们已经证明了性质3，你能从数的角度再证明它吗？ 【辨析1】求解不等式，并用不等式的性质说明理由。 【例1】已知，，求证： 【知识点拨】 比较大小的方法： 特殊值法：可用于判断不等式不成立，不能用于证明不等式成立． 性质法：应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质 成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构 造性质与法则. 作差法：作差并与比较． 作商法：作商并与比较，注意作商法需先判正负． 【题型1：证明不等式】 1、已知，，求证： 【题型2：判断不等关系】 1、用不等号“＞或“＜”填空： （1）如果，,那么____ （2）如果，，那么____ （3）如果，那么______ （4）如果，那么______ 【知识点拨】 利用不等式性质判断不等式是否成立的方法： (1)运用不等式的性质判断： 要注意不等式成立的条件，不要弱化条件,尤其是不能凭想象捏造性质。 (2)特殊值法： 取特殊值时，要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算。 2、已知，且则下列命题中是真命题的是（ ）. 如果，那么 如果，那么 如果，那么 如果，那么 3、给出下列结论： ①若ac>bc，则a>b； ②若a<b，则ac2<bc2； ③若<0，则a>b； ④若a>b，c>d，则a－c>b－d； ⑤若a>b，c>d，则ac>bd. 其中正确结论的序号是______. 【题型3：求代数式范围】 1、 已知，试求与的取值范围. 【知识点拨】 利用不等式的性质求代数式范围要注意的问题： (1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质． (2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如：由及，推不出；由，推不出等． (3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误。 2、已知，，求4的取值范围。 2、 已知,, 求的取值范围。 一、单选题 1．平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 3．若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 8．若，则“”是“”的（    ）条件。 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 二、多选题 9．已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 10．若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 11．已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．设，，则，的大小关系为_______. 13．设，不等式的解集为__________． 14．若实数，满足，，则的取值范围是________． 四、解答题 15．用一段长为40m的铁皮围成一个一边靠墙的矩形仓库，墙长20m，平行于墙的一条边长为. (1)若要求仓库的面积不小于，用不等式组表示其中的不等关系； (2)若矩形的长、宽都不能超过14m，求的取值范围。 16．（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 17．已知，试比较和的大小。 18．若，，，比较与的值的大小，并说明理由。 19．（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围。 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式性质（第2课时）（导学案）（解析版） 1、梳理等式的基本性质，掌握不等式的八大基本性质，能利用不等式性质比较代数式大小、进行简单变形，培育数学运算核心素养。 2、通过类比等式性质探究不等式性质，学会作差比较法判断两式大小，体会类比推理、转化化归的数学思想，提升逻辑推理能力。 3、感受等式与不等式知识的内在关联，体会数学知识的系统性，养成严谨规范的代数变形习惯，体会不等关系在现实生活中的广泛应用。 重点：理解等式与不等式的基本性质，熟练运用不等式性质进行变形，会用作差比较法比较两个代数式的大小。 难点：运用不等式性质时易忽视条件，多步变形出错，灵活利用作差法处理含参数代数式大小比较问题。 阅读教材，完成以下问题： 【1】概念填空 1．不等式的性质： 性质1  对称性：______； 性质2  传递性：，______； 性质3  可加性：； 性质4  可乘性：，______，，______； 性质5  同向可加性：，______； 性质6  同向同正可乘性：，______； 性质7  同正可乘方性：（，）。 【答案】 2．含有绝对值的不等式基本性质 （1）若___________ ; （2）若____________; （3） 【答案】 或 【2】概念的巩固 判断正误。 （1）若，则一定成立．( ) （2）若，则．( ) （3）若，则．( ) 【答案】 错误 正确 错误 【详解】（1）当时，若，则，故该结论错误； （2）∵，∴，∴，故该结论正确； （3）当时，满足，但不满足，故该结论错误。 问题1：你能回忆起等式的基本性质并归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 提示：运算中的不变性就是性质。 【答案】等式有下面的基本性质： 性质1(对称性) 如果，那么； 性质2(传递性) 如果，,那么； 性质3(可加性) 如果，那么； 性质4(可乘性) 如果，那么； 性质5(可除性) 如果，那么 探究一、不等式的性质 问题2：从形的角度我们已经证明了性质3，你能从数的角度再证明它吗？ 分析 要证，只要证，即. 证明: 即 . 由性质3可得， 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边。 【辨析1】求解不等式，并用不等式的性质说明理由。 解：不等式两边同乘以，得 . （不等式性质） 两边同加上，得. （不等式性质） 即 两边同乘以，得 （不等式性质） 【例1】已知，，求证： 【分析】利用不等式性质证明不等式时，可从结论出发，结合已知条件，寻求使当前命题成立的充分条件，而这个充分条件是容易由已知条件证明的。 证明：方法一（作差法）： ∵ ， 所以， 又因为，所以， 所以 方法二（性质法）： ∵ ∴ 于是，即 由得. 【知识点拨】 比较大小的方法： 特殊值法：可用于判断不等式不成立，不能用于证明不等式成立． 性质法：应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质 成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构 造性质与法则. 作差法：作差并与比较． 作商法：作商并与比较，注意作商法需先判正负． 【题型1：证明不等式】 1、已知，，求证： 证明：方法一（作差法）： ∵ 由，得；由，得 因为， 所以. 方法二（性质法）： 因为，所以. 又因为，所以 即 【题型2：判断不等关系】 1、用不等号“＞或“＜”填空： （1）如果，,那么____ （2）如果，，那么____ （3）如果，那么______ （4）如果，那么______ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【知识点拨】 利用不等式性质判断不等式是否成立的方法： (1)运用不等式的性质判断： 要注意不等式成立的条件，不要弱化条件,尤其是不能凭想象捏造性质。 (2)特殊值法： 取特殊值时，要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算。 2、已知，且则下列命题中是真命题的是（ ）. 如果，那么 如果，那么 如果，那么 如果，那么 【答案】 3、给出下列结论： ①若ac>bc，则a>b； ②若a<b，则ac2<bc2； ③若<0，则a>b； ④若a>b，c>d，则a－c>b－d； ⑤若a>b，c>d，则ac>bd. 其中正确结论的序号是______. 【答案】③ 【题型3：求代数式范围】 1、已知，试求与的取值范围. 解： ∵，所以 ∴， ∴，即， 又∵， 所以即 【知识点拨】 利用不等式的性质求代数式范围要注意的问题： (1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质． (2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如：由及，推不出；由，推不出等． (3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误。 2、已知，，求4的取值范围。 解：（法一）设，得，， ∴ ， ∴ 则，即 故4的取值范围为 （法二）令， ∴ ∴ ，∴，∴ 又 ，∴ 故4的取值范围为。 3、已知,, 求的取值范围。 解：令 所以，得 一、单选题 1．平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可。 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确。 故选：D. 2．已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断。 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 3．若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差、作商法即可判断A、B的正误，由不等式的性质可判断C、D的正误。 【详解】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确； C：由，知，即，正确； D：由，有，正确； 故选：A 4．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性。 【详解】因为，根据不等式的性质有，所以充分性成立， 当时，满足，但不成立，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件。 5．以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 6．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误； 7．设，，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断。 【详解】充分性：若，由不等式的性质可知成立， 必要性：若成立，但不一定成立， 例如：，成立，但不满足， 所以是的充分不必要条件。 8．若，则“”是“”的（    ）条件。 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 【答案】C 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”， 因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即，可知必要性成立； 因此“”是“”的必要非充分条件。 二、多选题 9．已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BCD 【详解】对于A，，若，则，故A为假命题； 对于B，，，又，，故B为真命题； 对于C，，则，，故C为真命题； 对于D，且，则，，故D为真命题． 10．若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用同向不等式的可加性等性质进行判断即可。 【详解】因为，所以，即，故A正确； 因为，所以，又因为，所以，故B错误； 因为，所以，又因为，所以，故C正确； 因为，，所以，故D正确； 故选：ACD 11．已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式的性质可判断A,C正确；通过举反例说明B,D错误即得。 【详解】对于A，因，，利用不等式的同向可加性，则有，故A正确； 对于B，不妨取，但，故B错误； 对于C，因，，故由不等式的同向可加性，可得，故C正确； 对于D，因，不妨取，显然，故D错误。 故选：AC. 三、填空题 12．设，，则，的大小关系为_______. 【答案】 【解析】先分别将平方，再进行大小比较即可． 【详解】，两式的两边分别平方， 可得，， 显然. 所以. 故答案为： 13．设，不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】不等式可变形为，即，解得. 所以不等式的解集为. 14．若实数，满足，，则的取值范围是________． 【答案】. 【分析】先求出的范围，然后结合不等式的性质进行计算。 【详解】由于，则； 由于，则， 两式相加，则. 故答案为：. 四、解答题 15．用一段长为40m的铁皮围成一个一边靠墙的矩形仓库，墙长20m，平行于墙的一条边长为. (1)若要求仓库的面积不小于，用不等式组表示其中的不等关系； (2)若矩形的长、宽都不能超过14m，求的取值范围。 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据题意列出不等式组即可求解； （2）根据题意列出不等式组，解不等式组即可求解。 【详解】（1）由题可得， 则矩形仓库的另一条边长为， 所以仓库的面积， 故该题中的不等关系可表示为. （2）因为矩形的长、宽都不能超过14m， 所以，解得. 16．（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）利用不等式的性质求解； （2）利用作差法比较大小。 【详解】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． 17．已知，试比较和的大小。 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解。 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 18．若，，，比较与的值的大小，并说明理由。 【答案】，理由见解析。 【分析】利用不等式的基本性质，直接判断两式的大小关系。 【详解】，理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. 19．（1）若，，求证：. （2）已知“，”. （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围。 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）（i）利用不等式的性质计算即可；（ii）利用待定系数法计算即可。 【详解】（1）证明：因为，所以，利用同向可加性得， 所以，则， 又，所以； （2）（i）因为，， 所以由同向可加性得，则； （ii）设，即， 所以，解得， 则，， 所以. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $