2.2.2基本不等式——基本不等式及其应用（第2课时）导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教a版（2019）高中数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.2基本不等式——基本不等式及其应用 （第2课时） 精品导学案 💫数学人教A版（2019）必修一💫 课 题 基本不等式及其应用 课 时 第2课时 班 级 ________________ 姓 名 ________________ 🎯  【课标要求】 1. 知识目标：进一步理解基本不等式 的意义，掌握”一正、二定、三相等”的应用条件。 1. 能力目标：能运用基本不等式求解两类最值问题——“积定和最小”与”和定积最大”，并能解决简单的实际应用问题。 1. 素养目标：经历”建模—求解—验证”的过程，发展数学运算与数学建模核心素养，体会基本不等式的工具价值。 ⭐【重点难点】 学习重点 学习难点 基本不等式的变形与最值求解 等号成立条件的判断与实际问题的建模 📖  【预习导学】 请认真阅读教材，完成以下预习内容： ◆ 一、知识回顾 1. 重要不等式：对任意实数 ，有 ，当且仅当 时，等号成立。 1. 基本不等式：若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立。 1. 叫做正数 的 ________平均数； 叫做正数 的 ________平均数。 1. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 ________ 它们的几何平均数（填”大于”“小于”“不小于”或”不大于”）。 ◆ 二、新知初探 1. 两类最值模型（基本不等式的直接应用） · 模型一 · 积定和最小 · 若 ，且积 （定值），则和 有最 ___ 值，为 ；当且仅当 时取到。 · 口诀：积定，和最 ___ · 模型二 · 和定积最大 · 若 ，且和 （定值），则积 有最 ___ 值，为 ；当且仅当 时取到。 · 口诀：和定，积最 ___ 2. 应用基本不等式的三个条件——“一正、二定、三相等” 条件 含义 一正 都是 ________ 二定 或 中有一个是 ________ 三相等 等号成立的条件 ________ 3. 思考辨析（对的打”√“，错的打”ד） 1. 对任意实数 ，都有 。（    ） 1. 若 ，且 ，则 的最大值为 。（    ） 1. 若 ，则 。（    ） 1. 用基本不等式求最值时，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可。（    ） ◆ 三、预习疑惑 把你预习中遇到的问题写下来，课堂上与老师、同学交流： 💡 温馨提示：基本不等式看似简单，但”陷阱”很多——等号能不能取到，往往是决定答案是否正确的关键哦！ 🔍  【合作探究】 【问题1】校园文创·钥匙扣定价 某高中数学社团开发了一款校园纪念钥匙扣。经市场调研发现：当每个定价为 元时，每天可售出 个；若单价每提高 元，日销量就减少 个。设每个钥匙扣定价为 元（），日利润为 元。 （每个钥匙扣的成本为 元） 1. 请写出日利润 关于定价 的函数关系式； 1. 利用基本不等式，求日利润的最大值，以及此时的定价。 🗣️ 讨论：有同学说：“因为 是价格，一定是正数，所以’一正’肯定满足。”你同意吗？基本不等式里的”两个正数”到底指什么？ 答：____________________________________________________________ 【问题2】校园农场·蔬菜大棚年利润 学校劳动教育基地计划新建一个蔬菜大棚。经测算，种植某种蔬菜的年收益 （单位：万元）与大棚使用年数 （）之间满足关系： 1. 求该大棚年平均利润 的表达式； 1. 利用基本不等式，求年平均利润的最大值，并求出此时大棚使用了多少年。 🗣️ 讨论：为什么第(2)问可以用基本不等式？你能找到”一正、二定、三相等”分别对应什么吗？ 答：____________________________________________________________ 💡  【典例精析】 例1（单选） 已知 ，则 的最小值为（    ） A.      B.      C.      D. 💬 思路提示：观察到 与 都是正数，且它们的积是定值吗？试试看！ 例2（证明与最值） 已知 ，求函数 的最小值。 💬 思路提示： 是不是正数？把 拆成 ，能不能凑出”积为定值”的两项？ ✏️  【当堂达标】 （建议用时：10分钟   满分：50分） 1.（单选 · 10分） 已知 ，则 的最小值为（    ） A.      B.      C.      D. 2.（单选 · 10分） 用一段长为 的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积为（    ） A.      B.      C.      D. 3.（多选 · 10分） 设 ，则下列不等式中一定成立的是（    ） A. B. C. D. 4.（填空 · 10分） 已知 ，则 的最小值为 _____。 5.（解答 · 10分） 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 ，深为 。池底每平方米造价为 元，池壁每平方米造价为 元。怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 📝  【课堂小结 & 课后作业】 知识框架 课后作业 基本不等式 两类最值 积定→和最__ 和定→积最__ 三条件：___、___、___ 基础巩固：1. 教材习题2.2 第3、4题 2. 完成配套练习册本节 能力提升：3. 已知 ，求 的最小值 拓展探究：4. 尝试用基本不等式推导：对 ，猜测 与 的大小关系 🌟  【学习反思】 今日收获：    ________________________________________________    ________________________________________________ 存在困惑：    ________________________________________________    ________________________________________________ 数学是思维的体操，思考是进步的阶梯 学科网（北京）股份有限公司 $人教a版（2019）高中数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.2基本不等式——基本不等式及其应用 （第2课时） 精品导学案（含解析） 💫数学人教A版（2019）必修一💫 课 题 基本不等式及其应用 课 时 第2课时 班 级 ________________ 姓 名 ________________ 🎯  【课标要求】 1. 知识目标：进一步理解基本不等式 的意义，掌握”一正、二定、三相等”的应用条件。 1. 能力目标：能运用基本不等式求解两类最值问题——“积定和最小”与”和定积最大”，并能解决简单的实际应用问题。 1. 素养目标：经历”建模—求解—验证”的过程，发展数学运算与数学建模核心素养，体会基本不等式的工具价值。 ⭐【重点难点】 学习重点 学习难点 基本不等式的变形与最值求解 等号成立条件的判断与实际问题的建模 📖  【预习导学】 请认真阅读教材，完成以下预习内容： ◆ 一、知识回顾 1. 重要不等式：对任意实数 ，有 ，当且仅当 时，等号成立。 1. 基本不等式：若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立。 1. 叫做正数 的 ________平均数； 叫做正数 的 ________平均数。 1. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 ________ 它们的几何平均数（填”大于”“小于”“不小于”或”不大于”）。 ◆ 二、新知初探 1. 两类最值模型（基本不等式的直接应用） · 模型一 · 积定和最小 · 若 ，且积 （定值），则和 有最 ___ 值，为 ；当且仅当 时取到。 · 口诀：积定，和最 ___ · 模型二 · 和定积最大 · 若 ，且和 （定值），则积 有最 ___ 值，为 ；当且仅当 时取到。 · 口诀：和定，积最 ___ 2. 应用基本不等式的三个条件——“一正、二定、三相等” 条件 含义 一正 都是 ________ 二定 或 中有一个是 ________ 三相等 等号成立的条件 ________ 3. 思考辨析（对的打”√“，错的打”ד） 1. 对任意实数 ，都有 。（    ） 1. 若 ，且 ，则 的最大值为 。（    ） 1. 若 ，则 。（    ） 1. 用基本不等式求最值时，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可。（    ） ◆ 三、预习疑惑 把你预习中遇到的问题写下来，课堂上与老师、同学交流： 💡 温馨提示：基本不等式看似简单，但”陷阱”很多——等号能不能取到，往往是决定答案是否正确的关键哦！ 🔍  【合作探究】 【问题1】校园文创·钥匙扣定价 某高中数学社团开发了一款校园纪念钥匙扣。经市场调研发现：当每个定价为 元时，每天可售出 个；若单价每提高 元，日销量就减少 个。设每个钥匙扣定价为 元（），日利润为 元。 （每个钥匙扣的成本为 元） 1. 请写出日利润 关于定价 的函数关系式； 1. 利用基本不等式，求日利润的最大值，以及此时的定价。 🗣️ 讨论：有同学说：“因为 是价格，一定是正数，所以’一正’肯定满足。”你同意吗？基本不等式里的”两个正数”到底指什么？ 答：____________________________________________________________ 【问题2】校园农场·蔬菜大棚年利润 学校劳动教育基地计划新建一个蔬菜大棚。经测算，种植某种蔬菜的年收益 （单位：万元）与大棚使用年数 （）之间满足关系： 1. 求该大棚年平均利润 的表达式； 1. 利用基本不等式，求年平均利润的最大值，并求出此时大棚使用了多少年。 🗣️ 讨论：为什么第(2)问可以用基本不等式？你能找到”一正、二定、三相等”分别对应什么吗？ 答：____________________________________________________________ 💡  【典例精析】 例1（单选） 已知 ，则 的最小值为（    ） A.      B.      C.      D. 💬 思路提示：观察到 与 都是正数，且它们的积是定值吗？试试看！ 例2（证明与最值） 已知 ，求函数 的最小值。 💬 思路提示： 是不是正数？把 拆成 ，能不能凑出”积为定值”的两项？ ✏️  【当堂达标】 （建议用时：10分钟   满分：50分） 1.（单选 · 10分） 已知 ，则 的最小值为（    ） A.      B.      C.      D. 2.（单选 · 10分） 用一段长为 的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积为（    ） A.      B.      C.      D. 3.（多选 · 10分） 设 ，则下列不等式中一定成立的是（    ） A. B. C. D. 4.（填空 · 10分） 已知 ，则 的最小值为 _____。 5.（解答 · 10分） 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 ，深为 。池底每平方米造价为 元，池壁每平方米造价为 元。怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 📝  【课堂小结 & 课后作业】 知识框架 课后作业 基本不等式 两类最值 积定→和最__ 和定→积最__ 三条件：___、___、___ 基础巩固：1. 教材习题2.2 第3、4题 2. 完成配套练习册本节 能力提升：3. 已知 ，求 的最小值 拓展探究：4. 尝试用基本不等式推导：对 ，猜测 与 的大小关系 🌟  【学习反思】 今日收获：    ________________________________________________    ________________________________________________ 存在困惑：    ________________________________________________    ________________________________________________ 数学是思维的体操，思考是进步的阶梯 📖 参考答案与解析 ✅ 使用建议：先独立完成学案，再对照答案订正。重点关注等号成立条件的检验，这是基本不等式应用的”灵魂”！ 预习导学 ◆一、 知识回顾 1. ； 1. ； 1. 算术；几何 1. 不小于（即大于或等于） ◆ 二、新知初探 1. 两类最值模型 · 模型一：小；； 口诀：积定，和最小 · 模型二：大；； 口诀：和定，积最大 2. 三个条件 条件 含义 一正 都是 正数 二定 或 中有一个是 定值 三相等 等号成立的条件 能够成立 3. 思考辨析 1. ×   当 时，，“一正”不满足。 1. √   为定值，，当 时取等。 1. ×   没说 ，若 都是负数，则 。 1. √   三个条件缺一不可。 合作探究 问题1 校园文创·钥匙扣定价 (1) 函数关系式 当定价为 元时，每件利润为 元。 日销量 = 个。 因此日利润： (2) 求最大值 注意到 ，，且 为定值。 由基本不等式： 当且仅当 ，即 时取等号。 答：当定价为 22.5 元时，日利润最大，最大为 937.5 元。 💡 讨论答：不同意。基本不等式的”两个正数”指的是被用来相加/相乘的那两个代数式，本题中是 和 ，它们都必须大于 ，即 ，而不只是” 是正数”那么简单。 问题2 校园农场·蔬菜大棚 (1) 年平均利润 (2) 求最大值 因为 ，所以 。 当且仅当 ，即 ， 时取等号。 但 ，所以比较 和 ： · 时， · 时， 答：使用第 6 年时年平均利润最大，最大值约为 6.67 万元。 💡 方法提炼：当等号取不到时（如 必须是整数），要验证等号两侧最接近的整数，谁更小（或更大），就取谁。这叫”对勾函数单调性”。 典例精析 例1 答案：C 解析：，，。 由基本不等式： 当且仅当 ，即 ， 时取等号。 最小值为 。 例2 解：，。 当且仅当 ，即 ，， 时取等号。 的最小值为 。 💡 方法提炼：凑项法——当分母是一次式（如 ），把分子也凑出相同的一次式，让乘积变成定值。这是基本不等式最常用的技巧之一。 当堂达标 1. 答案：B 解析：，， 当且仅当 ，即 时取等。 最小值为 。 2. 答案：B 解析：设矩形长为 m，宽为 m，则面积： 当且仅当 ，即 时取等号，此时为正方形。 3. 答案：ABC 选项 判断 说明 A ✓ 基本不等式的直接表述 B ✓ ， C ✓ 重要不等式 ，对全体实数都成立 D ✗ 反例： 时左边 ，右边 ，等号成立；但 时左边 ，右边 ，左边 右边。正确不等式是 4. 答案： 解析：，。 当且仅当 ，即 ，， 时取等号。 最小值为 。 💡 方法提炼：凑项技巧——把 拆成 ，让 和 的乘积为定值 ，就可以用基本不等式了。 5. 解答题 解：设水池底面一边的长度为 m，则另一边长度为 m。 总造价 = 池底造价 + 池壁造价 ，由基本不等式： 当且仅当 ，即 时取等号。 此时 元。 答：当水池底面为边长 30 m 的正方形时，总造价最低，最低总造价为 178 200 元。 💡 方法提炼：立体几何造价问题 → 先设底面一边 → 另一边用面积除 → 池壁面积 → 把 看成整体，利用 为定值 → 基本不等式求最小值。核心仍是”积定和最小”模型。 📌 订正要诀 易错点 正确做法 忽略”一正” 先确认两项都是正数，负数的话要提负号转化 忽略”二定” 先算一下乘积或和是不是常数，不是就需要凑项变形 忽略”三相等” 一定要验证等号能否取到，取不到就用函数单调性求最值 直接套公式不凑项 把含变量的项”凑”成能让乘积/和为定值的形式（加几减几） 🎯 基本不等式三步法：一正 → 二定 → 三相等，一步都不能少！ 学科网（北京）股份有限公司 $