2.1 等式性质与不等式性质 第二课时 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦等式性质与不等式性质，通过梳理等式基本性质作为基础，延伸至不等式性质及知识拓展，构建前后知识联系的学习支架，引导学生系统掌握核心内容。 资料设置典例精析与分层跟踪训练，结合方法总结和易错警示，助力学生提升数学运算与推理能力，培养数学抽象素养，有效突破性质应用难点，适合学生自主学习与教师教学评估。

2.1等式性质与不等式性质 第二课时 等式性质与不等式性质 【学习目标】 ①掌握等式和不等式的基本性质； ②运用不等式的性质解决有关问题； ③通过学习不等式的性质并解决相关问题，提升数学抽象和数学运算素养. 【学习重点】 熟练掌握等式与不等式全部基本性质，会用性质判断命题真假、证明不等式，并用待定系数法求解代数式取值范围. 【学习难点】 准确把握不等式各性质成立的前提条件，规避单独拆分变量求范围导致区间扩大的错误，灵活选用赋值法、作差法、待定系数法处理复杂不等关系问题. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.等式的基本性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么. 2.不等式的基本性质 性质1 如果，那么；如果，那么.即__________________.（对称性） 性质2 如果，那么.即_________________.（传递性） 性质3 如果，那么______________.（可加性） 性质4 如果，那么___________；如果那么__________.（可乘性） 性质5 如果，那么________________.（加法法则） 性质6 如果，那么__________.（乘法法则） 性质7 如果，那么__________（）（乘方法则） 3.知识拓展 （1）倒数法则 ①如果，那么；②如果，那么； 综合①②可得如果且，则________. （2）糖水不等式 若，则__________；若，则__________. 二、典例精析 题型1 利用不等式性质判断命题真假 例1．已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 方法总结 题型2 利用不等式性质证明不等式 例2．已知，求证:. 方法总结： 题型3 利用不等式性质求代数式的取值范围 例3．已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 易错警示： 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，且，则的最大值是________． 6．已知，，则的取值范围是________． 7．已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 8．已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【能力提升】（多数必做） 9．（多选题）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．（多选题）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 11．已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 12．已知均为正实数，且，求证：． 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．设，，为正实数.证明：. 四、课时小结 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1等式性质与不等式性质 第二课时 等式性质与不等式性质 【学习目标】 ①掌握等式和不等式的基本性质； ②运用不等式的性质解决有关问题； ③通过学习不等式的性质并解决相关问题，提升数学抽象和数学运算素养. 【学习重点】 熟练掌握等式与不等式全部基本性质，会用性质判断命题真假、证明不等式，并用待定系数法求解代数式取值范围. 【学习难点】 准确把握不等式各性质成立的前提条件，规避单独拆分变量求范围导致区间扩大的错误，灵活选用赋值法、作差法、待定系数法处理复杂不等关系问题. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.等式的基本性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么. 2.不等式的基本性质 性质1 如果，那么；如果，那么.即.（对称性） 性质2 如果，那么.即.（传递性） 性质3 如果，那么.（可加性） 性质4 如果，那么；如果那么.（可乘性） 性质5 如果，那么.（加法法则） 性质6 如果，那么.（乘法法则） 性质7 如果，那么（）（乘方法则） 3.知识拓展 （1）倒数法则 ①如果，那么；②如果，那么； 综合①②可得如果且，则. （2）糖水不等式 若，则；若，则. 二、典例精析 题型1 利用不等式性质判断命题真假 例1．已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 答案：ABD 思路分析：正数同向不等式可直接推导，正负混杂的不等式可用赋值法或作差验证. 规范解答： 对于A ，由已知得，，根据不等式的基本性质5，可得恒成立，A正确； 选项B ，已知，两边同时乘以正数，得，化简得，即，B正确； 选项C ，举反例：取，满足，此时，，，C错误； 选项D ，作差比较： ， 因为，（，故），分母为正； ，，分子，因此为正，即恒成立，D正确. 方法总结 （1）简单的不等式可直接利用已知条件、不等式的性质，通过对不等式变形判断，但注意要紧扣不等式性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导，更不能随意编造性质与法则； （2）对于比较复杂的不等关系，直接利用不等式的性质不易判断，可考虑通过特值法举反例，或通过作差结合差值符号判断. 题型2 利用不等式性质证明不等式 例2．已知，求证:. 思路分析：法1，观察不等式两侧为乘积结构，可考虑利用不等式性质的乘法法则进行证明； 法2，利用作差法，移项通分，将不等式变形，判断差值正负. 规范解答 证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 方法总结： （1）利用不等式性质证明：观察不等式两侧的结构特征，结合不等式性质的特征，确定可利用的不等式性质. （2）分式不等式证明通用模型：两边均为正分式，优先作差→通分→研究分子符号（分母恒正）. 题型3 利用不等式性质求代数式的取值范围 例3．已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 思路分析： （1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 规范解答 （1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 易错警示：已知范围，禁止先求出各自范围再代入计算目标式！单独解出范围会破坏之间的约束关系，导致范围扩大，必须整体换元，利用待定系数线性组合处理. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 答案：D 解析：由，得，而，则. 2．已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若，，故成立. 若，取，，满足，但，故不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 3．以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 答案：C 解析：对于A：取，，，， 满足，，但，A错误； 对于B：取，，，， 满足，但，B错误； 对于C：因为，所以，C正确； 对于D：取，， 满足，但，D错误； 4．已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：对于A：因为，所以，故，A正确； 对于B：因为，所以，所以，B错误； 对于C：因为，所以，所以，C正确； 对于D：因为，所以， 故，所以，D正确. 5．已知，且，则的最大值是________． 答案：5 解析：当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5． 6．已知，，则的取值范围是________． 答案： 解析：，，又因为， ，即． 7．已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 解析：（1）由，得， 当时，，则，即， 当时，，因此， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 由，得， 则，所以的取值范围是. 8．已知，. (1)求证：； (2)求证：. 解析：(1) 由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. (2) 由，而， 所以，即，得证. 【能力提升】（多数必做） 9．（多选题）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 答案：BC 解析：对于Ａ：取，，则，A错误； 对于Ｂ：因为，所以，因为，所以，B正确； 对于Ｃ：因为，，所以，则正确； 对于Ｄ：取，，，则， D错误. 10．（多选题）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 答案：ABD 解析：对于A：由，，得，则，A正确； 对于B：由，，得，则，B正确； 对于C：由，，得，则，C错误； 对于D：由，，得，，则，D正确. 11．已知. (1)求，的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围. 解析：（1）因为，所以，所以； 因为，所以，∴，，即 所以， （2）令，所以， 所以，则，所以. 因为，所以， 所以. 12．已知均为正实数，且，求证：． 解析：，， ， 又， ，故， ，，， ，即． 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．设，，为正实数.证明：. 解析：先证明一个二元引理：对任意正实数，，有. 事实上，这等价于， 也就是. 两边均为正，因此可以平方。只需验证. 而 . 所以引理成立。 现在分别令，得到 ， ， . 三式相加，右边正好相消： . 因此. 等号成立当且仅当三次使用引理均取等，即. 证毕。 四、课时小结 (1) 核心概念：等式与不等式基本性质、倒数法则与糖水不等式；不等式命题真假判断；不等式证明；代数式取值范围求解； (2) 工具：作差比较法、赋值法、待定系数配凑法；转化与化归、逻辑推理思想； (3) 解题核心：运用不等式性质时留意前提条件；判断命题真假可举反例验证；求范围务必整体配凑，禁止单独拆分变量扩大区间，重视端点检验。 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $