3.4 相似三角形的性质（讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦“相似三角形的性质”核心知识点，系统梳理对应角相等、对应边成比例，对应高、中线、角平分线及周长的比等于相似比，面积比等于相似比平方的性质。通过知识点表格、即学即练搭建基础支架，再延伸至翻折、平移、坐标系等应用题型，形成从性质到综合运用的完整学习脉络。 资料以情境化题型设计为亮点，如翻折变换中构造相似列方程培养几何直观（数学眼光），分类讨论相似对应顺序训练推理能力（数学思维），结合测距、光学等实际问题渗透模型意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后变式巩固助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第三章 图形的相似 3.4 相似三角形的性质 知识点一 相似三角形的性质 图形 性质 ·相似三角形的对应角 ，对应边 ； ∵△ABC∽△DEF，∴∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F， ·相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比 ； 即学即练 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．（2026·四川雅安·一模）如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 3．（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 4．（26-27九年级·上海·暑假作业）若，且面积比为，则其对应边上的高的比为_______． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 图形 性质 ·相似三角形周长的比 ，相似三角形面积的比 ； ∵△ABC∽△DEF，，∴， 即学即练 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 题型01 根据相似三角形的性质求面积 ·核心技巧：先找（或证）相似，求相似比，然后面积比 = 相似比²。 ①若题目直接给面积，用性质4反求相似比或边长（开方）。 ②若图形是同高或等高的两个三角形，面积比 = 底边比（即使不相似也能用，非常隐蔽）。 · 面积比是平方关系，开方时只取正数（几何中负值舍去）。 · 不是所有面积比都等于相似比平方：只有对应三角形才成立，若不是对应面积，不能用。 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北邯郸·三模）如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积比是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．如图，，且，则的值为（     ）A． B． B． C． D． 2．如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）在求解图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等方法．如图，为的对角线，分别在上，且，若，则___________． 题型02 在翻折变换中借助相似三角形求值 ·核心模型：折痕即角平分线+垂直平分线。 ①翻折的本质是轴对称：对应边相等、对应角相等。 ②求值的核心步骤：设未知数（如折痕长度、某段边长）→ 用翻折性质标出等边 → 找出含未知数的相似三角形 → 列比例方程。 · 找不准对应边：翻折后重合的边相等，如A点落在A'处，则AA'被折痕垂直平分，折痕是AA'的垂直平分线。 · 忽略“折叠后角相等”：这是构造“AA”相似的关键。 · 方程无解或增根：求出的边长必须满足三角形三边不等式，否则舍去。 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，将△沿着折叠得到△，与相交于点，则的长是________． 变｜式｜巩｜固 1．如图，将边长为6的正方形纸片按如图所示方式折叠（点分别在边上），使点落在边上的点处，点落在点处，若点为的三等分点，则的长为_____． 2．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为__________________． 题型03 在平移变换中利用相似三角形求值 ·核心模型：平移不改变形状和大小，只是位置移动。 ①平移后，对应边平行且相等→立即产生平行线→平行线分线段成比例→构造A字型或8字型相似。 ②求值法：用平移距离t表示边长，再在相似三角形中列比例方程。 · 平移距离不是边长：平移后重合部分的长度 = 原边长 - 平移距离（当图形移出时）。 · 分类讨论：平移方向不同（向左/向右、向上/向下），线段长度的表达式不同，必须画图分段讨论。 · 注意“重叠部分”：重叠部分常是相似的小三角形，利用面积比 = 相似比² 求重叠面积。 典｜例｜精｜析 1．（2026·山西·中考真题）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是______． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，已知正方形的面积为，面积为的正方形从点出发沿着线段平移至点．直线与直线相交于点，直线分别与直线，相交于点，．在正方形的平移过程中，的面积是（　　） A．先变小再变大 B．先变大再变小 C．不变 D．无法确定 题型04 在平面直角坐标系中构造相似三角形求值（坐标） ·核心策略：“引垂线”构造直角三角形相似（“一线三直角”的相似三角形模型）。 （1）在坐标系中，两点间距离用勾股（或公式）算，坐标差就是直角边。 （2）已知一个三角形，要求某点坐标使两三角形相似，步骤： ①确定已知三角形三边（或两角）；②设未知点坐标（x，y）； ③按对应顺序分类讨论（关键！），列出比例方程；④解方程组，舍去不符合条件的解。 · 相似对应顺序不唯一：如以A为公共顶点，可能△AOB∽△ACD，也可能△AOB∽△ADC，至少2类讨论，极易漏解。 · 点在不同象限：坐标正负号影响边长表达式，必须结合象限判断。 · “存在性”问题：最终检验点是否在题目给定的范围（如线段上、抛物线上）。 典｜例｜精｜析 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，以为斜边，在轴的下方作等腰，连接，点在线段上，且，则 _____． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，是的中点，，垂足为．若，，则点的坐标是_______． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D．动点P从点D出发，沿向点C匀速运动，过点作轴的垂线，垂足为，连接．当所在直线与所在直线第一次垂直时，点P的坐标为____________． 题型05 相似三角形的证明与求值 ·一般思路： ①先证相似（用AA、SAS、SSS或HL）。 ②写出相似比。 ③用性质求边长、周长、面积或角。 ·一般技巧： ①若题目有乘积式（如AB·CD = AC·BE），立刻想到将其转化为比例式 AB/AC = BE/CD，再去找相似三角形。 ②若求多条线段和/差，考虑用相似比表示各段，再合并。 · 逻辑跳跃：证明中不能直接说“显然相似”，必须写清依据（如“∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF（AA）”）。 · 对应边写错：比例式一旦写错，后续求值全错。建议在草稿纸上先标好对应顶点再列式。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．如图，在中．，于，作于，是中点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 题型06 相似三角形的网格作图 ·问题：给一个三角形，要求画一个与之相似且放大/缩小k倍的三角形，顶点在格点上。 ·方法：将原三角形每条边按相同比例放大/缩小，但网格中只能沿横竖方向取整格点。 · 格点限制：不是任意比例都能作，比例须使新边长为格点可表示的线段（如整数或）。 · 旋转/翻转：新三角形可以不平行于原图，但对应边比例必须一致。 · 多解：方向可上可下、可左可右，通常有多个答案，题目若说“画出一个”即可。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，三点均在格点上． (1)如图一，取格点，在网格中画，使三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） (2)如图二，在线段上取一点，使（保留作图痕迹） 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，不要求写作法，保留作图痕迹． (1)在图①中，画出的中线； (2)在图②中，在的边上找到一点，使； (3)在图③中，在的边上找到一点，使． 题型07 相似三角形的应用（构造相似三角形进行测距） · 人的高度要“减去眼睛到地面”：测距时用的是视线，直角边是“眼高”而非身高（题目若说“眼高1.6m”就用，若说“身高”往往指眼高，看题意）。 · 同一时刻：影长问题必须注明“同一时刻”，否则不成立。 · 单位陷阱：米和厘米混用，必须统一。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江西吉安·期末）长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具．某品牌的长尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，经测量得知，求在图2闭合状态下点之间的距离． 2．（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 题型08 一次函数与相似三角形综合 ·一般思路： 1. 求关键点坐标：联立一次函数解析式，求出交点。 2. 用坐标表示边长：利用两点间距离公式（或横纵坐标差）表示三角形三边。 3. 分类讨论相似对应：设动点P坐标，按不同对应顺序列比例方程，求解并检验。 · 动点参数范围：设P(t, kt+b)时，必须注明t的取值范围（如在线段上、在射线上）。 · 相似对应最多有 6种，但多数因角度限制可排除，常用策略是：先固定一个角相等（如直角），再分两类讨论，减少计算量。 · 增根检验：解出的t必须满足几何位置，且使边长>0，否则舍去。 · 面积结合：若题目还涉及面积比，记得使用性质（面积比 = 相似比²）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图1，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是直线上一点． (1)求直线的解析式及点坐标． (2)已知点是轴上一动点，若以点为顶点的三角形与相似，试求点的坐标． (3)若点是直线下方的一点，且点的横，纵坐标乘积为，若的面积为12．求点的坐标． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是x轴负半轴上一点，连接． (1)填空：点A坐标为__________，点B坐标为__________； (2)如图1，点P为线段上一点，连接，若，且点C的横坐标为，求线段的长； (3)如图2，若点P为直线上一点，记的面积为，的面积为，的面积为．若，求点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似 3.4 相似三角形的性质 知识点一 相似三角形的性质 图形 性质 ·相似三角形的对应角 相等，对应边 成比例； ∵△ABC∽△DEF，∴∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F， ·相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比 都等于相似比； 即学即练 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 2．（2026·四川雅安·一模）如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______． 【答案】 【难度】0.65 【分析】根据平行四边形的性质得到，从而证得，利用相似三角形对应边成比例及已知线段比即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4．（26-27九年级·上海·暑假作业）若，且面积比为，则其对应边上的高的比为_______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．根据相似三角形的性质，先由面积比求出相似比，再利用相似三角形对应高的比等于相似比得出结果即可． 【详解】解：∵，且面积比为， ∴相似比为， ∴对应边上的高的比为． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． (2) 【难度】0.52 【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ．    ， ， ， ， ． 图形 性质 ·相似三角形周长的比 等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方； ∵△ABC∽△DEF，，∴， 即学即练 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【详解】解：∵，， ∴相似三角形对应边成比例可得，故选项A错误； 相似三角形对应角相等可得，故选项B错误； 相似三角形面积比等于相似比的平方可得，故选项C错误； 相似三角形周长比等于相似比可得，故选项D正确． 2．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图，在中，，，，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】利用相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】， ， ， ，， ， ． 3．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【答案】(1)如图，即为所求作，； (2)如图，即为所求作，． 【难度】0.52 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可得，进而计算的面积， （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可得，进而计算的周长． 【详解】（1）解：作略， 的面积为； （2）解：作略， ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． 题型01 根据相似三角形的性质求面积 ·核心技巧：先找（或证）相似，求相似比，然后面积比 = 相似比²。 ①若题目直接给面积，用性质4反求相似比或边长（开方）。 ②若图形是同高或等高的两个三角形，面积比 = 底边比（即使不相似也能用，非常隐蔽）。 · 面积比是平方关系，开方时只取正数（几何中负值舍去）。 · 不是所有面积比都等于相似比平方：只有对应三角形才成立，若不是对应面积，不能用。 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北邯郸·三模）如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【详解】解：∵， ∴，， ∴，故A正确， ∴， ∴，，故B、C正确， ∴，故D错误． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】由重心的性质可得，由相似三角形的性质可得面积与的面积之比． 【详解】解：点恰好是的重心， ， 将沿边上的中线平移到的位置， ，， ， ， ，， ，， ， 面积与的面积之比． 变｜式｜巩｜固 1．如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】根据得出相似比，进而求出与的面积比，利用面积差求出四边形的面积，最后计算比值即可； 【详解】解：，且， ， ， ， ， ， ． 2．如图，在菱形中，是边上一点，若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）在求解图形面积时，经常用到“同底等高”“等底等高”等方法．如图，为的对角线，分别在上，且，若，则___________． 【答案】7 【难度】0.65 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等积变换，利用相似得到线段和高的比例关系是解题的关键． 先证明，再利用三角形相似的判定和性质，平行四边形的性质，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 题型02 在翻折变换中借助相似三角形求值 ·核心模型：折痕即角平分线+垂直平分线。 ①翻折的本质是轴对称：对应边相等、对应角相等。 ②求值的核心步骤：设未知数（如折痕长度、某段边长）→ 用翻折性质标出等边 → 找出含未知数的相似三角形 → 列比例方程。 · 找不准对应边：翻折后重合的边相等，如A点落在A'处，则AA'被折痕垂直平分，折痕是AA'的垂直平分线。 · 忽略“折叠后角相等”：这是构造“AA”相似的关键。 · 方程无解或增根：求出的边长必须满足三角形三边不等式，否则舍去。 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，推出，由折叠得，，，，得到，证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，将△沿着折叠得到△，与相交于点，则的长是________． 【答案】/ 【难度】0.4 【分析】连接交于点，连接，由折叠可得，，，根据矩形性质和勾股定理可得，则，，利用，可得，所以，然后证明，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，连接交于点，连接， 由折叠可知：，，， 在矩形中，，，，， 又，， ，则，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 即的长是． 变｜式｜巩｜固 1．如图，将边长为6的正方形纸片按如图所示方式折叠（点分别在边上），使点落在边上的点处，点落在点处，若点为的三等分点，则的长为_____． 【答案】或 【难度】0.4 【分析】根据同角的余角相等证得，从而证明与，再根据点为的三等分点分和两种情况，利用相似求出边的长度，再利用勾股定理求解． 【详解】解：由折叠可知，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点作交于点， ， ∴四边形为矩形， ∴， 情况1：当时，， ， 在中，，即，解得， ∴， ∵， ∴，即，解得， 则，， ∵， ∴，即， 解得， 则， ∴， ∴， 在中，； 情况2，当时，， 根据情况1的方法求解，解得； 综上所述，的长度为或． 2．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为__________________． 【答案】或 【难度】0.4 【分析】根据题意分两种情况，根据折叠的性质分别求出的长，再证明，进而可知的长． 【详解】解析：∵， ∵将沿翻折，点的对应点为， 如图，当时，点在内， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 当时，点F在外， 同理可得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 综上所述，的长为或． 题型03 在平移变换中利用相似三角形求值 ·核心模型：平移不改变形状和大小，只是位置移动。 ①平移后，对应边平行且相等→立即产生平行线→平行线分线段成比例→构造A字型或8字型相似。 ②求值法：用平移距离t表示边长，再在相似三角形中列比例方程。 · 平移距离不是边长：平移后重合部分的长度 = 原边长 - 平移距离（当图形移出时）。 · 分类讨论：平移方向不同（向左/向右、向上/向下），线段长度的表达式不同，必须画图分段讨论。 · 注意“重叠部分”：重叠部分常是相似的小三角形，利用面积比 = 相似比² 求重叠面积。 典｜例｜精｜析 1．（2026·山西·中考真题）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】由四边形是正方形得，由点是的中点得，由平移得，进而得，得出，代换即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由平移得， ∴， ∴, 又∵， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是______． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵为中线， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿其底边中线向下平移， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，已知正方形的面积为，面积为的正方形从点出发沿着线段平移至点．直线与直线相交于点，直线分别与直线，相交于点，．在正方形的平移过程中，的面积是（　　） A．先变小再变大 B．先变大再变小 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【难度】0.4 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，通过相似比和面积比例，将动态平移问题转化为定值计算是解题关键． 通过相似三角形推导出为定值，再结合梯形面积与相似三角形面积比，可证明的面积在正方形平移过程中保持不变． 【详解】解：根据题意易知：，，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的面积为定值，与正方形在移动过程中的位置无关． 故选：． 题型04 在平面直角坐标系中构造相似三角形求值（坐标） ·核心策略：“引垂线”构造直角三角形相似（“一线三直角”的相似三角形模型）。 （1）在坐标系中，两点间距离用勾股（或公式）算，坐标差就是直角边。 （2）已知一个三角形，要求某点坐标使两三角形相似，步骤： ①确定已知三角形三边（或两角）。 ②设未知点坐标（x，y）。 ③按对应顺序分类讨论（关键！），列出比例方程。 ④解方程组，舍去不符合条件的解。 · 相似对应顺序不唯一：如以A为公共顶点，可能△AOB∽△ACD，也可能△AOB∽△ADC，至少2类讨论，极易漏解。 · 点在不同象限：坐标正负号影响边长表达式，必须结合象限判断。 · “存在性”问题：最终检验点是否在题目给定的范围（如线段上、抛物线上）。 典｜例｜精｜析 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，以为斜边，在轴的下方作等腰，连接，点在线段上，且，则 _____． 【答案】 【难度】0.65 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点D作于点E，设与x轴交于点G，根据等腰直角三角形的性质求出，用代入法求出的解析式为，进而求出点G的坐标为，根据勾股定理求出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，结合相似三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E，设与x轴交于点G， ∵点B的坐标为， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 设的解析式为， 把A，D代入得， ， ∴， ∴的解析式为， 当时，， ∴点G的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，是的中点，，垂足为．若，，则点的坐标是_______． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、坐标与图形，由题意可得，，作于，证明，得出，求出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， 如图：作于， ， ∵，垂足为． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标是， 故答案为： 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D．动点P从点D出发，沿向点C匀速运动，过点作轴的垂线，垂足为，连接．当所在直线与所在直线第一次垂直时，点P的坐标为____________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平面直角坐标内点的坐标， 根据题意画出图形，根据点的坐标得出，再设点，可得，进而得出，然后说明，最后根据对应边成比例得出答案． 【详解】解：如图所示，所在的直线垂直于于点F． ∵点，点C是的中点，轴， ∴点， ∴． 设点， 则， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得或． ∵． ∴当所在直线与所在直线第一次垂直时，点P的坐标为． 故答案为：． 题型05 相似三角形的证明与求值 ·一般思路： ①先证相似（用AA、SAS、SSS或HL）。 ②写出相似比。 ③用性质求边长、周长、面积或角。 ·一般技巧： ①若题目有乘积式（如AB·CD = AC·BE），立刻想到将其转化为比例式 AB/AC = BE/CD，再去找相似三角形。 ②若求多条线段和/差，考虑用相似比表示各段，再合并。 · 逻辑跳跃：证明中不能直接说“显然相似”，必须写清依据（如“∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF（AA）”）。 · 对应边写错：比例式一旦写错，后续求值全错。建议在草稿纸上先标好对应顶点再列式。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ∵四边形内角和为， ， ， ， ； (2) 【难度】0.57 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，再由证明，从而得到，则可证； （2）先求出再利用求出，求出两个三角形的相似比和的面积，利用相似三角形面积之比等于相似比求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由（1）知， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【难度】0.65 【分析】（1）得出，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证； （2）先证出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵是边的中点， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； (2) 【难度】0.65 【分析】（1）由，两边同时加，推得；结合已知边的比例关系，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证得； （2）由得对应角，结合对顶角，可证．根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中．，于，作于，是中点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明：于，作于， ， ， ∴， ， ， ， ． (2) 【难度】0.65 【分析】（1）只要证明，可得，推出即可解决问题； （2）利用直角三角形斜边中线定理求出，再根据三角形中位线定理得到，则，再书写比例式求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． ，，是中点，， ， ，， ， ， ∴ ， ． 题型06 相似三角形的网格作图 ·问题：给一个三角形，要求画一个与之相似且放大/缩小k倍的三角形，顶点在格点上。 ·方法：将原三角形每条边按相同比例放大/缩小，但网格中只能沿横竖方向取整格点。 · 格点限制：不是任意比例都能作，比例须使新边长为格点可表示的线段（如整数或）。 · 旋转/翻转：新三角形可以不平行于原图，但对应边比例必须一致。 · 多解：方向可上可下、可左可右，通常有多个答案，题目若说“画出一个”即可。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，三点均在格点上． (1)如图一，取格点，在网格中画，使三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） (2)如图二，在线段上取一点，使（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质解题的关键是： （1）取格点D，连接即可； （2）取格点M，连接，交于点E即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 理由：由题意知， 由勾股定理得，， ∴，， ∴， 又， ∴； （2）解：如图，点E即为所求， 理由：由题意知：，，， ∴， ∴， 即． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，不要求写作法，保留作图痕迹． (1)在图①中，画出的中线； (2)在图②中，在的边上找到一点，使； (3)在图③中，在的边上找到一点，使． 【答案】(1)解：的中线如图①所示： (2)解：点如图②所示： (3)点如图③所示： 【难度】0.57 【分析】（1）利用网格的特点找到的中点即可； （2）利用网格的特点得到且，，利用相似三角形的性质即可得到； （3）利用网格的特点找到点，，得，再利用网格的特点找到平行四边形，交于点，得，得，推出是等腰三角形即可． 题型07 相似三角形的应用（构造相似三角形进行测距） · 人的高度要“减去眼睛到地面”：测距时用的是视线，直角边是“眼高”而非身高（题目若说“眼高1.6m”就用，若说“身高”往往指眼高，看题意）。 · 同一时刻：影长问题必须注明“同一时刻”，否则不成立。 · 单位陷阱：米和厘米混用，必须统一。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【难度】0.56 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江西吉安·期末）长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具．某品牌的长尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，经测量得知，求在图2闭合状态下点之间的距离． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ， 又， ， ， ． 2．（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【难度】0.65 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 题型08 一次函数与相似三角形综合 ·一般思路： 1. 求关键点坐标：联立一次函数解析式，求出交点。 2. 用坐标表示边长：利用两点间距离公式（或横纵坐标差）表示三角形三边。 3. 分类讨论相似对应：设动点P坐标，按不同对应顺序列比例方程，求解并检验。 · 动点参数范围：设P(t, kt+b)时，必须注明t的取值范围（如在线段上、在射线上）。 · 相似对应最多有 6种，但多数因角度限制可排除，常用策略是：先固定一个角相等（如直角），再分两类讨论，减少计算量。 · 增根检验：解出的t必须满足几何位置，且使边长>0，否则舍去。 · 面积结合：若题目还涉及面积比，记得使用性质（面积比 = 相似比²）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图1，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是直线上一点． (1)求直线的解析式及点坐标． (2)已知点是轴上一动点，若以点为顶点的三角形与相似，试求点的坐标． (3)若点是直线下方的一点，且点的横，纵坐标乘积为，若的面积为12．求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或． 【难度】0.65 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标的交点，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）把B、C的坐标代入，求出k、b的值，然后令，求出对应的x的值，即可求解； （2）分；两种情况讨论，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可； （3）设，过Q作轴，交直线于M，则，然后根据“的面积为12”构建关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，，， ∵，即， ∴要使与相似，则点P在点A的右侧， 当时， 又， ∴， ∴，即， 解得， ∴ ∴点P的坐标为； 当时， 又， ∴， ∴，即， 解得， ∴ ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为或； （3）解：设， 过Q作轴，交直线于M，则 ∵的面积为12， ∴， 解得，， 当时，； 当时，； ∴点Q的坐标为或． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C是x轴负半轴上一点，连接． (1)填空：点A坐标为__________，点B坐标为__________； (2)如图1，点P为线段上一点，连接，若，且点C的横坐标为，求线段的长； (3)如图2，若点P为直线上一点，记的面积为，的面积为，的面积为．若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【难度】0.42 【分析】（1）分别求出当时，的值；当时，的值，由此即可得； （2）先求出的长，再证出，根据相似三角形的性质求解即可； （3）设点的坐标为，，分三种情况：①当点在上，即时，②当点在的延长线上，即时，③当点在的延长线上，即时，根据面积之间的关系建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数得：， ∴点的坐标为， 将代入一次函数得：，解得， ∴点的坐标为． （2）解：∵点是轴负半轴上一点，且点的横坐标为， ∴， 由（1）已得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：设点的坐标为，， ∵， ∴， ∵的面积为，且， ∴， ①如图，当点在上，即时， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴， ∴此时点的坐标为； ②如图，当点在的延长线上，即时， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴， ∴此时点的坐标为； ③如图，当点在的延长线上，即时， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， 这个方程根的判别式为，没有实数根，舍去； 综上，点的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $